- Bourse de corrigés UPS - Concours Centrale - Supélec 1998 PSI MATHÉMATIQUES I - Corrigé par J. Blanchard (Lycée Fermat, Toulouse) - - Partie I -

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1 - Bourse de corrigés UPS - Concours Centrale - Supélec 998 PSI MATHÉMATIQUES I - Corrigé par J. Blanchard (Lycée Fermat, Toulouse - - Partie I - I.A. - On vérifie facilement pour tout θ R : M(θ + π = M(θ + π j et M( θ = Sym Ox (M(θ On en déduit que (C est globalement invariante dans la translation de vecteur π j et dans la symétrie orthogonale par rapport à Ox. I.B. - L étude précédente montre qu il suffit de construire le sous-arc (C correspondant à θ [ π/] puis de compléter successivement par la symétrie orthogonale par rapport à Ox et les translations de vecteur kπ j (k Z. Le tableau de variations correspondant : dx θ π 4 = sin θ + dy = ( cos θ + 4 π x y π π dy/ dx/ = sin θ cos θ + met en évidence le point O = M( comme seul point non régulier. En ce point le sous-arc (C admet Ox pour tangente ; on a en effet : d M (θ = 4 (cos(θ i +sin(θ d M j et en particulier : ( = 4 i (C est aussi globalement invariante dans les composées de ces deux transformations et de leurs inverses, à savoir les translations de vecteur kπ j et les symétries orthogonales par rapport aux droites y = kπ (k Z ; ces invariances correspondent aux égalités : M(θ + kπ = M(θ + kπ j et M(kπ θ = Sym [y=kπ] (M(θ M98CSC.tex - page

2 La symétrie de (C par rapport à Ox montre qu il s agit en fait d un point de rebroussement de première espèce. 3 Les autres points (θ ] π/] sont en fait biréguliers et (C parcouru dans le sens des θ croissants présente en ces points une concavité constamment tournée vers la gauche puisque : ( dm det ( i, j (θ, d M (θ = 4 sin θ cos θ 4 cos(θ 4 sin θ 4 sin(θ = 6 sin θ > ce que confirment les variations de la pente de la tangente. Notons enfin la tangente parallèle à Oy en S = M(π/, en conformité avec l invariance dans la symétrie par rapport à la droite y = π. "une arche et quelque" de cycloide O 3 6 R y x S I.C. - On a calculé : dm = 4 sin θ τ(θ où τ(θ = cos(θ i + sin(θ j On peut établir directement que la droite OM(θ admet Ox comme position-limite en constatant : y(θ y( θ = (θ3 /6 x(θ x( (θ / = θ 3 θ On peut aussi utiliser la pente-limite de la tangente en M(θ : 3 Autre solution : le système sin θ cos θ θ ( d M (, d 3 M 3 ( est libre. M98CSC.tex - page

3 est unitaire et de même sens que dm pour θ ]kπ (k + π[, de sens opposé pour θ ](k π kπ[. Cette fonction τ répond donc à la question dès lors que l on oriente les sous-arcs (M(θ θ ]hπ (h+π[ dans le sens des θ croissants si h est pair, des θ décroissants si hest impair. I.D. - Pour la fonction τ précédemment trouvée, la fonction : I.E. - α : R R θ θ répond à la question. Sur chaque sous-arc birégulier, θ étant un angle polaire de la tangente orientée, on dispose de la formule : R = ds où s est une abscisse curviligne conforme à l orientation choisie : sur ]kπ (k + π[, θ est un paramètre direct donc ; ds dm = + = + 4 sin θ = 4 sin θ sur ](k π kπ[, θ est un paramètre indirect donc ; ds dm = = 4 sin θ = 4 sin θ Finalement, partout où il est défini et compte tenu des orientations choisies, le rayon de courbure ( algébrique est donné par : R = 4 sin θ I.E. Chaque g λ est visiblement définie, continue et positive sur [ [. - Pour λ [ [, la fonction g λ est prolongeable par continuité en s = λ par la valeur ; elle est donc intégrable sur [ [. λ s - Pour λ = on a : g (s = intégrable sur [ [ s s d après la règle de Riemann. On peut observer qu en vertu de ce qui précède les fonctions f λ introduites par l énoncé sont bien définies (et continues sur [ ]. M98CSC.tex - page 3

4 I.E. Observons qu à s [ [ fixé, on a, pour λ < µ : { gλ (s < g µ (s si s > g λ (s = g µ (s (= si s = En effet, pour s ] [, g λ (s apparaît comme le quotient des deux fonctions de λ : λ s positive et strictement croissante, λ s strictement positive et strictement décroissante, Considérons la fonction de deux variables : g : [ ] [ [ R λ s (λ, s λ s Elle est continue en raison de la continuité des projections (λ, s λ et (λ, s s et des propriétés de permanence des fonctions continues (ici produit, différence, composition par, quotient... Elle vérifie la propriété de domination suivante : λ [ ] s [ [ g(λ, s = g λ (s g (s où g est intégrable sur [ [ (cf I.E. Un théorème du cours affirme alors que la fonction G : [ ] R λ g(λ, s ds est continue. Utilisant encore l inégalité précédente on peut écrire, pour λ < µ : G(µ G(λ = g µ g λ }{{} continue, positive, non nulle. [ [ > par théorème. I.E.3 Effectuons le changement de variables : s = sin α, α [ θ] dans λ l intégrale à calculer : f λ ( sin θ λ = = sin θ/λ θ λ s λ s ds sin α sin α cos α dα cos α λ = θ ( cos α dα = λ λ (θ sin θ M98CSC.tex - page 4

5 La bijection : χ λ : [ ω] R permet de paramétrer la { θ sin } θ/λ courbe (C λ = (x, f λ (x / x [ ] par : x λ (θ = sin θ = ( cos θ M λ (θ λ λ y λ (θ = f λ (x λ (θ = θ [ ω] λ (θ sin θ ce qui prouve que (C λ est l image par l homothétie de centre O et de rapport du sous-arc de (C défini par : λ { x(θ = cos θ M(θ θ [ ω] y(θ = θ sin θ I.E.4 Toujours pour λ = sin ω ] [ le résultat précédent fournit, pour θ = ω : ω sin ω cos ω f λ ( = sin ω La continuité de λ f λ ( en permet d écrire : f ( = lim f ω sin ω cos ω λ( = lim λ < ω π/ < sin ω soit : f ( = π/ - Partie II - II.A. - z E est continue donc bornée sur le segment [ ]. + z (x La fonction x est définie, continue, positive sur [ ] et x + M majorée par x (où M = sup z(x, elle-même intégrable x x [ ] sur ] ] d après { la règle de Riemann. } L ensemble U(z / z E a est : non vide : il contient U(a = désigne la fonction constante a, minoré : on a U(z + a x x dx = pour tout z E a. dx = + a où a Il admet donc une borne inférieure, soit m(a, ce qui précède permettant en outre de préciser : m(a + a M98CSC.tex - page 5

6 II.B. - D après l encadrement précédent : lim m(a = a II.C. - II.C. On a, pour t R : φ(t = ψ(t, x = ψ(t, x dx avec : + [z(x + t h (x] x (t, x R ] ] La fonction ψ est bien définie sur R ] ] et continue, toujours en vertu de la continuité des projections (t, x t et (t, x x et des propriétés de permanence des fonctions continues (ici encore produit, somme, composition par, quotient... Il en est de même pour ψ [z(x (t, x = t + t h (x] h (x x + [z(x + t h (x] (t, x R ] ] Enfin on dispose, pour tout segment [ A + A] de R, des majorations : + [ z(x + A h (x ] ψ(t, x = Ψ A, (x x et (t, x [ A + A] ] ] ψ t (t, x [ z(x + A h (x ] h (x = Ψ A, (x x avec, par un argument tout-à-fait similaire à celui de II.A, Ψ A, et Ψ A, intégrables sur ] ]. On peut alors affirmer par théorème : φ C (R, R et φ (t = [z(x + t h (x] h (x dx (t R x + [z(x + t h (x] II.C. Le résultat précédent fournit pour t = : φ ( = z(x h (x x + z (x dx Par hypotèse φ présente un minimum en t =. On a donc : φ ( = soit : z(x h (x x + z (x dx = ceci tenant pour tout élément h de E. Soit maintenant h E. Il est clair que si I = = h(x dx alors h I E. On a donc : z(x [h(x I] x + z (x dx = z(x h(x ( x + z (x dx z(x x + z (x dx I M98CSC.tex - page 6

7 soit : z(x h(x x + z (x dx = λ h(x dx avec : λ = z(x x + z (x dx 4 II.C.3 N a été choisi tel que pour tout n > N on ait : [x /n x + /n] [x /N x + /N] [ ] Pour un tel n, l intégrale proposée s écrit alors : h n (xf(x dx = x+/n x /n n( n x x f(x dx ou encore, par le changement de variable : x = x + u/n, u [ ] h n (xf(x dx = ( u f(x + u/n du }{{} = g n (u Définissons : g(u = ( u f(x et vérifions les propriétés suivantes : C.S. i g n g n + ii g est une fonction continue sur [ ] iii n > N g n M = max sur [ ] x [x /N x +/N] f(x fonction intégrable qui résultent toutes de la continuité de f : en x pour i, sur [x /n x + /n] pour ii, et enfin sur [x /N x + /N] pour iii. Le théorème de convergence dominée du programme permet alors d affirmer : g n (u du n + g(u du soit : lim n h n (xf(x dx = f(x 5 II.C.4 En appliquant II.C. avec h = h n pour tout n > N on obtient, compte tenu de h n (x dx = : n > N λ = z(x h n (x x + z (x dx 4 On pouvait certes aussi utiliser la propriété rappelée en tout début d énoncé... 5 On peut aussi donner une preuve directe avant le changement de variable ; après ce changement, on peut encore donner une preuve directe, preuve qui revient alors à utiliser une propriété de convergence uniforme... M98CSC.tex - page 7

8 En appliquant alors II.C.3 à f : ] [ R x z(x x + z (x on obtient : x ] [ z(x x + z (x = λ soit : z(x + z (x = λ x et, par continuité : x [ ] z(x + z (x = λ x Encadrons la valeur λ comme demandé : La propriété λ conduirait à z(x pour x ] ] et donc à a = z(x dx ce qui est faux. On a donc : λ > par ailleurs on a : λ = z ( + z ( < Finalement : λ ] [ Pour tout x de [ ], z(x vérifie l équation : z (x = λ x ( + z (x soit : ( λ xz (x = λ x où λ x >. Comme z(x est du signe de λ on en déduit : z(x = + λ x λ x ou encore : z = g λ II.C.5 Par définition : a = U(z = λ f λ ( est strictement croissante sur [ ] : f ( = : g = f ( = π/ : c est I.E.4 Il en résulte bien : < a < π/ II.D. - On se donne réciproquement un réel a ] π/[. g λ (x dx = f λ (. Or on sait que : c est I.E. II.D. L application λ f λ ( prend la valeur en, la valeur π/ en, et est continue (cf I.E. : le théorème des valeurs intermédiaires justifie alors l existence de λ. L unicité d un tel λ résulte, elle, de la croissante stricte de cette application. II.D. Puisque U(g λ + th = ψ(t, x dx avec ψ(t, x = + [gλ (x + t h (x] x (t, x R ] ] M98CSC.tex - page 8

9 II.D.3 il suffit d établir la convexité, pour chaque x ] ] fixé de la fonction ψ(, x. En effet, pour t, u R et, α [ ] l inégalité φ(( αt + αu ( αφ(t + αφ(u résultera de l intégration entre et de l inégalité entre fonctions de x : ψ(( αt + αu, x ( αψ(t, x + αψ(u, x x ] ] Vérifions donc cette convexité en calculant, à x fixé : ψ t,t(t, x = h (x (x ( + [g λ (x + t h (x] 3/ Le graphe d une fonction convexe étant situé au dessus de chacune de ses tangentes, on peut écrire, en utilisant la tangente au point d abscisse t = : φ(t φ( + φ (t Il suffit donc d établir : φ ( = pour obtenir, en faisant t =, le résultat demandé. Or : φ ( II.C. = g λ (x h (x x + g λ (x dx = = λ h (x dx = II.D.4 Le II.C. a montré que si z E a vérifie U(z = m(a alors nécessairement a ] π/[ et z = g λ où λ est lié à a par la relation a = g λ (x dx = f λ ( ce qui le détermine parfaitement comme cela est vérifié en II.D. Ceci prouve l unicité de la solution. Réciproquement soit a ] π/[ et λ choisi tel que a = f λ ( = g λ (x dx. on a bien g λ E a, par ailleurs, si h E a, alors U(h = U(g λ + (h g λ }{{} E U(g λ (h g λ = a a = et donc : Ceci prouve que U(z = min h E a U(h et donc l existence de la solution. Achevons les calculs demandés : On a, d après I.E.3 : a = ω sin ω cos ω sin ω M98CSC.tex - page 9

10 Le changement de variables : x = sin α, α [ ω] dans λ l intégrale U(g λ = = x λ x dx conduit, tous calculs faits, à : m(a = ω sin ω résultat dont on peut vérifier la cohérence avec l encadrement obtenu en II.A. - Partie III - III.A. - Le point M(t décrivant (Γ d équation y = f(x, ses coordonnées vérifient : y(t = f(x(t et donc : ẏ(t = f (x(tẋ(t (t [o T ] La condition : g x(t = [ẋ(t + ẏ(t ] ( < t T s écrit alors : g x(t = ẋ(t [ + f (x(t ] soit, compte tenu de ẋ(t > et, donc, de x(t > : = + f (x(t ẋ(t g x(t Intégrons sur ] T ] : T dt = T + f (x(t ẋ(t dt g x(t On reconnaît (changement de variable x = x(t, dx = ẋ(t dt l intégrale : + f (x dx g x d où finalement : T = g U(f III.B. - Les dérivées des fonctions f cherchées sont continues et vérifient : f( f( = a donc appartiennent à E a. D après II.D.4, si < a < π/, la quantité U(f est alors minimum ssi f = g λ, où λ est défini en fonction de a comme en II.D., soit compte tenu de la condition initiale f( = ssi : f(x = x g λ (s ds c est-à-dire pour : f = f λ M98CSC.tex - page f (x dx =

11 La courbe correspondante est la courbe (C λ du I.E.3 Le temps T mis par le mobile pour parvenir en A est alors m(a soit : g T = ω g sin ω III.C. - Effectuons sur l arc (C λ trouvé le changement de paramètre du I.E.3 : x = cos θ λ = sin θ θ sin θ θ sin θ cos θ, y = =, avec θ [ ω] λ λ λ L égalité : θ = arcsin(λ x(t montre que θ est une fonction de t de classe C au moins sur ] T ] avec θ(t >. La condition : g x(t = [ẋ(t + ẏ(t ] ( < t T s écrit alors, en tenant compte des calculs du I.D. et de l homothétie de rapport λ : g sin θ λ = d où l on déduit : [ds dt ] [ ds ] = θ(t = [ 4 sin θ ] θ(t λ g θ(t = λ ( < t T et, compte tenu de θ( = : g θ(t = λ t ( t T Il reste à appliquer les formules de cinématique : v = ds dt = ds θ = 4 sin θ g λ λ γ T = dv dt γ N = v R = soit : soit : v = ( g γ T = g cos λ t g ( g λ sin λ t ( g 4 sin λ t λ soit : FIN g λ ( g sin λ t ( g γ N = g sin λ t M98CSC.tex - page