Approximation linéaire des racines carrées entières Clément BOULONNE 5 avril 2016

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1 Approximation linéaire des racines carrées entières Clément BOULONNE 5 avril 016 Résumé Je me souviens que, dans un article non publié sur CBMaths.fr, j ai voulu tenté d approcher 1 en faisant une interpolation linéaire de la fonction x x. Je profite aussi de la sortie du n o 169 de Tangente Magazine sur les «Racines Carrées» pour écrire un article sur ces fameuses racines carrées et comment peut-on approximer les racines carrées entières (c est-à-dire les racines carrées du type n avec n N) par interpolation linéaire de la fonction x x sur les intervalles [k, (k + 1) ] avec k N. 1 Approximation de 1 On remarque d abord que : Ensuite, on considère le segment [16, 5], les points A(16; 0), B(5; 0) et M(1; 0). On cherche r Q tel que AM rab. AM AB AM 5 9 AB r 5 9 Or 5 9 0, 55. Donc une approximation de 1 peut être 4, 55. Quelle est la précision de cette approximation? Sur XCas, on évalue la valeur de la racine carrée avec evalf. e v a l f ( s q r t ( 1 ) ) On y presque, non? Enfin non, on a réussi à approximer la racine carrée à une décimale près ( ) 5 0, 070 mais c est déjà pas mal pour des collégiens ou des lycéens. Peut-on généraliser la méthode? Quelle est la précision globale de l approximation? Notion d interpolation et de précision linéaire Définition.1 Soit I un intervalle de R, f : I R une fonction dérivable et a, b I. On appelle interpolation linéaire de f entre a et b la fonction affine L f [a; b] telle que : L f [a; b](a) f(a) et L f [a; b](b) f(b). Exemple.1 Soit f : x (x 1)(6 x). On veut trouver l expression de l interpolation linéaire de f entre et 4. Or : L f [; 4]() f() et L f [; 4](4) f(4). On résout alors le système linéaire suivant : { { a + b ( 1)(6 ) b 4 a 4a + b (4 1)(6 4) 4a + (4 a) 6 { b 4 a a a 1 { a 1 b 1

2 Donc : L f [; 4] x +. (Sur la figure suivante, la courbe représentative de la fonction f est représentée en bleue et la courbe représentative de la fonction L f [; 4] est représentée en noire.) 7 6 B 5 4 A Théorème.1 Soit I un intervalle de R, f : I R une fonction dérivable, a, b I et L f [a; b] l interpolation linéaire de f entre a et b. L f [a; b] αx + β avec : α f(b) f(a) b a et β bf(a) af(b). b a Preuve Résolution du système d équation : { αa + β f(a) αb + β f(b) Exemple. Pour l exemple, nous aurions pu utiliser ce théorème pour calculer α et β : α et β Définition. Soit I un intervalle de R, f : I R une fonction dérivable, a, b I et L f [a; b] l interpolation linéaire de f entre a et b. Soit c R, on appelle précision linéaire locale de f en c sur [a; b], le nombre P L Lf [a;b](c) L f [a; b](c) f(c). R Dans les conditions précédentes : P L Lf [a;b](a) P L Lf [a;b](b) 0 Exemple. On veut calculer la précision locale de f : x (x 1)(6 x) en sur [; 4] est : P L Lf [;4]() L f [; 4]() f()

3 Définition. Soit I un intervalle de R, f : I R une fonction dérivable, a, b I et L f [a; b] l interpolation linéaire de f entre a et b. Soit c R, on appelle précision linéaire globale de f sur [a; b], le nombre P G Lf [a;b] b a L f [a; b](x) f(x) dx. R P G L f [a;b] 0 f L f [a; b] Exemple.4 On veut calculer la précision linéaire globale de f : x (x 1)(6 x) sur [; 4] : P G Lf [a;b] x + (x 1)(6 x) dx x + ( x + 7x 6) dx ( x + 7x 6) (x + ) dx x + 6x 8 dx On peut vérifier que H(x) x + 6x 8 est positive sur [; 4] (en calculant les racines et en utilisant la propriété des signes pour les fonctions du second degré). P G Lf [a;b] ( x + 6x 8) dx ( 64 8 [ x + 6x 8x ] 4 ( + 8 ) [ x + x 8x ) + (16 4) 8 (4 ) ] 4 Interpolation linéaire de la fonction racine carrée Soit : f : R + R x x On connaît quelques points à coordonnées entières de la courbe représentative de la fonction racine carrée. C est tous les points de la forme (k ; k) avec k N. On peut alors faire une interpolation linéaire sur les intervalles [k, (k + 1) ] avec k N. On obtient alors les fonctions suivantes : avec α k L f ([k, (k + 1) ]) α k x + β k k + 1 k (k + 1) k (k + 1 k) (k + 1 k)(k k) 1 k k 1 k + 1 β k k(k + 1) (k + 1)k (k + 1) k k + k + k k k k + k k(k + 1) k + 1 k + 1 k + 1 Exemple.1 Sur [0; 1], L f ([0; 1]) α 0 x + β x x Sur [1; 4], Sur [4; 9], L f ([1; 4]) α 1 x + β 1 1 x + 1 L f ([4; 9]) α x + β 1 5 x x x

4 FIGURE 1 Tracé de la fonction f : x x et de ces interpolations linéaires sur les intervalles [k ; (k + 1) ] On s intéresse maintenant à la précision globale des interpolations linéaires sur les intervalles [k, (k + 1) ]. Lors de mon travail de recherche sur l article, j ai voulu calculer cette précision pour un k quelconque appartenant à N. Je me suis dis que j allais tomber sur une formule en fonction de k et déduire la convergence de cette méthode d interpolation pour calculer des approximations de racines (c est-à-dire plus k est grand, plus l approximation est précise). Sauf que! Je vais vous proposer deux exemples qui ont constitué des exemples de vérification de ma formule. Exemples.1 Sur [0; 1], Sur [1; 4], P G Lf ([0;1]) P G Lf ([1;4]) / ( x x) dx [ ] 1 x/ x ( x 1 x ) [ dx x/ 1 6 x x [ ] 1 / ] 4 1 Je vous laisse vérifier les calculs. On peut ensuite énumérer le théorème central de cet article. Théorème.1 Pour tout k N, P G Lf ([k ;(k+1) ]) Preuve Soit k N. On calcule : (k+1) k P G Lf ([k ;(k+1) ]) ( ) x 1 k(k + 1) x dx 1 k + 1 k (k+1) k x k k + k k + 1 x dx. 4

5 On peut montrer que, pour tout x [k ; (k + 1) ], x x + k +k. Donc : k+1 k+1 (k+1) ] (k+1) [ x P G Lf ([k ;(k+1) ]) x k + 1 k + k k + 1 dx x/ x 4k + (k + k)x k + 1 k k [ (k + 1) ) / (k ) /] 1 [ (k + 1) 4 k 4] k + k [ (k + 1) k ] 4k + k + 1 [ (k + 1) k ] 1 [ (k + 1) 4 k 4] k + k (k + 1) (k + 1) k (k + k + 1) (k + 1) (4k + 6k + 4k + 1) (k + k) k + k + k k + 1 k + k + k k + 1 k k ( 1 k + 1 k k + 1 k k (k + 1) ) ( k + 1 k + 1 k k (k + 1) k k ) ( ) k + 1 (k + 1) k k k (k + 1) k k(k + 1) k + + k + 1 k (k + 1) k k + k + k k k + 1 k 1 (k k + 8k + 4 6(k + 1) + 1 (k + 1) k k (k + 1) 6k + ((k + 1)) 6(k + 1) k + 1 6(k + 1) 1 6. R 1. Le théorème nous dit que les surfaces de la figure ont la même aire.. D après le graphique (page 8) et les résultats des tableaux des pages suivantes, on peut remarquer que l approximation locale s améliore quand k est grand. On peut espérer approcher la racine carrée au centième près lorsque k 1. 5

6 FIGURE Les domaines A, B, C, D et E ont une aire de 1 6 UA 6

7 4 Interpolation linéaire et tangente On peut relier la notion d approximation linéaire d une fonction f sur l intervalle [a; b] avec celle de tangente en un point. R Si f est dérivable en un point c R, alors sa tangente a pour équation : y f (c)(x c) + f(c). 7

8 FIGURE Précision linéaire locale de la fonction x x C est aussi l approximation linéaire de f sur l intervalle [c; c + ε] avec ε 0. 8