Correction Exercices Oscillation mécanique

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1 Corrction Exrcics Oscillation mécaniqu Exrcic 1 : 1. a ) P + TR + R = ma Projction suivant xx ' : P x + TRx + R x = ma x = ma d x TR = xi, a =, -x= ma dt d x m + x = dt d x + x = Équation différntill qui admt pour solution dt m x(t) = X sin( ω t + ρ ) Avc b ) à t=, ω = ; T m π = ; T = π ω x() = a = X sin( ρ ) dx v = = ωx cos( ω t + ρ ) dt A t=, v() = = ωx cos( ρ ) m X sin ρ = a Donc ω X cos ρ = sin ρ π ρ = cos ρ =

2 π π ρ =, X sin = a X = a 4 ω = = = rd s m.1 - π x(t) = 1 sin(t + ) T n s, x n m 1. a ) E = EC + EP E C 1 = mv, 1 1 E = mv + x b ) 1 1 E = mv + x 1 EP = x + E x(t) = a sin( ω t + ρ ) v(t) = ωa cos( ω t + ρ ) P P 1 1 E = a sin ( ω t + ρ ) + mω cos ( ω t + ρ ) Comm ω = m 1 E = a sin ( ω t + ρ ) + cos ( ω t + ρ) E 3 ) 1 = a 1 π EC = mω a cos ( ω t + ) 1

3 1 π 1 π π EC = a cos ( ω t + ) = a cos ( t + ) T Exrcic : m=.5g x(t) = X sin( ω t + ρ ) 1 ) P + TR + R + + f = ma Par projction suivant x x on a : P x + TRx + R x + x + fx = ma x = ma -hv-x=ma d x dx m + h + x = dt dt X ) x v1 ρ x dx π h = hωx sin( ω t + ρ x + ) v dt hωx v π ρ x + d x x 3 d t = ω ω + ρ + π m h X sin( t ) v x hωx v3 ρ + π sin( t ) v = ω + Dans l triangl OAH

4 { ( ) } 1 = h ω + ω X X = ω + ω h ( m ) 3 ) X st maximal quand l dénominatur noté y = h ω + ( ω ) st minimum, or y st minimum quand sa dérivé par rapport à s annul. Calculons la dérivé d y. dy dω dy d ( ) = h ω + ( m ω ) mω ω ω =ω R = C'st-à-dir R R ( R ) 4 ) a ) N = N h ω + ( m ω ) mω = ω = ω R h m + m ω = m / / h R / ω = m / m h R ω = m m h R ω = ω m On voyant la construction d rsnl précédnt, on rmarqu qu mω X = mω X = X ω

5 Donc ls dux vcturs V 1 st V 1 ont la mêm valur mais d sns opposés, c qui donn : b ) (t) = sin( ω t) π T = x(t) = X sin( ωt ) c ) Pmoy = V cos( ρ ρ v ) d après la construction d rsnl si ω = ω ; = hv moy = hv ρ ρ v P cos( ) ω = ω ; ρ = ρ V ; cos( ρ ρ v ) = 1 Si P moy hv = Pour ω = ω la puissanc st maximal. l pndul d un résonanc d vitss d puissanc. T I AX AX = ω = X = hv Q T X 1 Q U 1 hv C R I RI RC AX C = = = = AX ω 1 U Rω C U C = = Q cofficint d surtnsion. c rapport st analogu au factur d qualité ou

6 Exrcic 3 : 1 ) P + TR + R + + f = ma Par projction suivant x x on a : P x + TRx + R x + x + fx = ma x = ma -x-hv+=ma d x dx a =, v= dt dt dv a= dt, x vdt = dv m hv vdt (t) dt + + = ) a ) V 1 = 1.8m s avc π/ ω = = 16 rd s π/ 1 1 c ) v()= ; v() = V sin ρ v = T = 6.5π = 1.5 π 1 s dv(t) dt = t = ωv cosρ v sin ρ v = ρ v = π cosρv V = 1.8ms v(t) = 1.8sin(16t + π ) 1 t n s v n m s -1

7 3 ) 3v +. dv + 4 vdt = par idntification avc l équation dt dv m hv vdt dt + + = a ) ω =, m = 4Nm 1, m=. 4 ω = = 1 = 14.14rd s. 1 1 h = 3Nm s, ω = 14.14, ω = 16 ω hv ω hv = = 3.84N v1 ρ V = π m V N 4.1 dv ω = = = m v π dt ρ V + 4 vdt v 3 4V ω ρ V π Echll : 1cm 1N = = 3.

8 c ) 4 h (m ) V = + ω ω 4 = 3 + (. 16 ) 1.8 = N 16 C qui corrspond aussi à la valur d après la construction d rsnl n utilisant l échll adopté tan( ρ ρ v) = = ρ ρ v = =.3rd Comm ρ v = π; ρ = 3.37rd = sin( ω t + ρ ) = 4sin(16t ) t n s n N 4 ) La puissanc moynn st donné par la rlation Pmoy = V cos( ρ ρ v ) P moy Pmoy = cos(.3rd) =.49 (w)

9 Exrcic 4 : A- 1 ) Equation différntill s écrit alors d x dx m + h + x = dt dt ) B- 1 ) Equation différntill s écrit alors d x dx m + h + x = dt dt ) X = h ω + ( m ω ) V = ω X = V = ω ω + ω h ( m ) AX h + ( m ω ) ω hω tan( ρ ρ ) = m ω v 3 ) Résonanc d amplitud ou d élongation pour h R ω = ω m Résonanc d vitss pour ω ' R = ω Donc -1 ω = ω 1 = 1.65 rd s

10 h h 1 ; = ω 1 ω ω = ω m m = ω1 ω = h m ( ) 1( ) -1 h = 7.; h=5.nm s 1 ω = ω = m 1 1 = mω = = 16Nm Exrcic 5 : A. 1 ) Equation différntill s écrit : d x dx m + h + x = dt dt ) l énrgi mécaniqu E = EC + EP E = EC + EPl + EPp 1 1 E = mv + x Dérivons par rapport au tmps : de dv dx = mv + x dt dt dt Or dv = a; dx = v dt dt de dt dv = v m + x dt ; or d après l équation différntill dv dx m + x = h = hv dt dt

11 de dt = v( hv) = hv de = hv dt : L énrgi décroît au cours du tmps. 3 ) l oscillatur st n régim psudopériodiqu t la psudo périod st pratiqu mnt égal à la périod propr T 4 ) E = E E1 Avc E = EC + EP E 1 mv 1 x = + dx Or à t = T ; v = = dt t Car la tangnt à la courb st horizontal, donc l cofficint dirctur d la tangnt st nul. v= tout l énrgi st sous form d énrgi cinétiqu - E 1 1 = x = (5 1 ) E 1 d mêm qu E - E = x1 = (6 1 ) 1 E = (5 1 ) (6 1 ) - - E =.J L énrgi prdu : -3 E = 1 J B. 1 a) Equation différntill donn d x dx m + h + x = dt dt

12 dv m hv vdt dt + + = b) dans l triangl OAH h (m ) V = + ω ω V = h (m ) m tan( ρ ρ ) = + ω ω v ω ω h 3 ) d après la courb on rmarqu a) qu (t) t f(t) sont n opposition d phas c'st-à-dir : ρ ρ f = π ; or f Car f=-hv ; ρ = ρ + π Donc ρ ρ v + π = π ρ ρ v = v b) D après la construction d rsnl, quand ρ = ρ v ; ρ ρ v = On a V/ = mω V/ ω ω = m ω ; ω = ω

13 C qui donn à v sa valur maximal. L systèm st sièg d un résonanc d vitss. c) v(t) = V sin( ω t) h m -1 v(t) = sin( ωt); ω = ω = 1 rd s Ou bin f.1 h. AX fax = hv ; V = = =.5 v(t) =.5sin(1t) x(t) = v(t)dt t n s v n ms -1.5 x(t) = cos(1t) 1 t n s x n m π x(t) = 5 1 sin(1t ) c) La puissanc moynn st donné par la rlation V Pmoy = cos( ρ ρv ) P moy V hv V hv = = =. (.5) = =.5 (watt) V 3 ) X = = ω ω h + (m ω ) ω X = ω + ω h (m )

14 b) X st maximal quand l dnominatur st minimal t c dnominatur st minimal quand sa dérivé par rapport à Calculons la dérivé d u avc du dω du d ω ω = h ω + (mω )(m ω ) R ω st null. u = h ω + (mω ) / R / R R =, h / ω + mω (m / ω ) = R h + m(mω ) = R h + m ω m = R h + m(mω ) = m h R ω = m m h R ω = m m (.) R ω = = ω = 9.97 rd s c) ω R -1 h R ω = ω m R h ω m m ω h h m ω h m ω; ω = = = 1 rd s m. -1

15 h. 1 h =.8 g s -1