2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE

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1 CHAPITRE Nombres complexes et trigonométrie A Les nombres complexes 66 B Représentation géométrique Affixe Module Argument 67 1 Image d un complexe Affixe d un point, d un vecteur 67 Module 68 3 Nombres complexes de module Argument d un nombre complexe non nul 70 5 Applications géométriques 7 C Racines d un nombre complexe 74 1 Racines n ièmes d un nombre complexe 74 Racines n ièmes de Racines carrées d un nombre complexe Équation du second degré 76 D Trigonométrie 78 1 Lecture du cercle trigonométrique 78 Formules de trigonométrie 80 E Exponentielle complexe 84 Méthodes : L essentiel ; mise en œuvre 86 Énoncés des exercices 99 Solutions des exercices 10 65

2 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie A Les nombres complexes 1 Ou les complexes Les égalités x,0+x,0=x+x,0 x,0x,0=xx,0 montrent que l injection, x x,0 transporte les opérations 3 Noter que la partie imaginaire est un nombre réel L ensemble des couples de nombres réels est muni d une addition et d une multiplication définies par : a, b, a, b, a, b + a, b = a + a, b + b a, b a, b = aa bb, ab + ba Muni de ces opérations, est noté Ses éléments sont les nombres complexes 1 Le nombre complexe 0, 1 est noté i et, pour tout réel a, on convient d identifier le nombre complexe a, 0 et le réel a Pour tout a, b, on a a, b = a, 0 + 0, 1b, 0 = a + ib Définition 1 Étant donné z, il existe un unique couple a, b tel que z = a + ib a + ib est la forme algébrique du nombre complexe z, a est la partie réelle de z, notée Rez, b est la partie imaginaire de z, notée Imz 3 Propriété 1 Dans les opérations sont les suivantes : En particulier, i = 1 a + ib + a + ib = a + a + i b + b, a + ib a + ib = aa bb + i ab + ba 4 Les imaginaires purs sont les complexes de la forme ib, avec b réel L ensemble des imaginaires purs est noté i 5 Ces propriétés se démontrent en utilisant la forme algébrique 6 a 0 ou b 0 7 Ces propriétés se démontrent en utilisant la forme algébrique Propriété Un nombre complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle : z Imz = 0 Un nombre complexe de partie réelle nulle est dit imaginaire pur : 4 z i Rez = 0 Dans les deux propriétés suivantes, z, z, z sont des complexes quelconques Propriété 3 L addition dans est commutative : z + z = z + z ; associative : z + z + z = z + z + z 0 est élément neutre : z + 0 = z z = x, y admet un opposé, noté z, qui est x, y : z + z = 0 5 Propriété 4 La multiplication dans est commutative : zz = z z ; associative : zz z = z z z ; distributive sur l addition : z + z z = zz + z z 1 est l élément neutre : 1z = z Si z 0, il existe z tel que zz = 1 ; z est unique et s appelle l inverse de z Pour z = a + ib 0 6 cet inverse, noté 1/z ou z 1, est : 1 a + ib = a a + b i b a + b 7 66

3 Représentation géométrique Affixe Module Argument 8 Les règles de calcul dans sont les mêmes que dans 9 La conjugaison est l application zz C est une involution C est pour résumer l ensemble de ces règles de calculs que l on dit que, +, est un corps 8 Définition Soit z un nombre complexe, z = a + ib avec a et b réels On appelle conjugué de z le nombre complexe a ib, noté z On a z = z 9 Propriété 5 Étant donné z, on a : Rez = 1 1 z + z et Imz = z z i On a donc z z = z et z i z = z 10 Et z 1 z =z 1 z Propriété 6 Opérations et conjugaison Pour tous complexes z 1, z : z 1 + z = z 1 + z 10, z 1 z = z 1 z et, pour z 0, z1 z = z 1 z B Représentation géométrique Affixe Module Argument Le plan orienté est muni d un repère orthonormé direct = O, i, j Pour x et y réels, Mx, y désigne le point de coordonnées x, y L ensemble des vecteurs du plan est noté 1 Image d un complexe Affixe d un point, d un vecteur 11 Les points d affixe réelle sont ceux de l axe O, i, appelé l axe réel Ceux d affixe imaginaire pure sont les points de l axe O, j, appelé l axe imaginaire pur 1 Cette bijection permet d identifier et On écrira Mz Définition 3 L affixe du point Mx, y est le nombre complexe x + iy, noté z M 11 L affixe du vecteur u = x i + y j est le nombre complexe x + iy, noté z u Définition 4 L antécédant Mz d un complexe z, par la bijection, M z M, s appelle l image z dans le plan complexe 1 L antécédant d un complexe z, par la bijection, u z u, s appelle l image vectorielle de z Propriété 7 Pour tous vecteurs u et v, on a : z u + v = z u + z v Pour tous points A et B, on a : z AB = z B z A 67

4 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie 13 y Théorème 1 Interprétation géométrique de l addition O Mz u M z+a x Étant donné un vecteur u d affixe a, la translation de vecteur u transforme le point M, d affixe z, en le point M, d affixe z = z + a 13 L écriture complexe de t est z = z + a u Étant donné un point Aa et un réel k non nul, l homothétie, de centre A et de rapport k, transforme le point M en le point M tel que : AM = k AM Son écriture complexe est z = a + kz a 14 y O Mz x Théorème Interprétation géométrique de la conjugaison La réflexion s Ox, d axe O, i, transforme le point M, d affixe z, en le point M, d affixe z = z 14 L écriture complexe de s Ox est z = z 15 M z M z y Mz 15 Théorème 3 L écriture complexe de la réflexion s Oy, d axe O, j, est z = z L écriture complexe de la symétrie, de centre O, est z = z M z M z x Module Définition 5 Étant donné z, d image M, le module de z est OM Il est noté z 16 L affixe de AB est b a y : z a =r Théorème 4 La distance entre deux points A et B, d affixes a et b, est AB = b a 16 O A : z a r x Théorème 5 Soit a un nombre complexe et r un réel strictement positif On note A l image de a L ensemble des images des nombres complexes z tels que : z a = r est le cercle de centre A et de rayon r, z a r est le disque fermé 17 de centre A et de rayon r, z a < r est le disque ouvert 18 de centre A et de rayon r 17 Le cercle est inclus 18 Le cercle est exclus Propriété 8 Expressions du module Pour tout complexe z = a + i b, a et b réels : 19 zz=a+iba ib =a +b 0 a a +b et b a +b 68 z = a + b, z = zz 19 Remarques 1 Si z est réel, z n est autre que la valeur absolue de z En particulier, pour tout complexe z, on a z = z si et seulement si z est un réel positif Pour tout complexe z, on a z = 0 si et seulement si z = 0 Propriété 9 Pour tout complexe z, on a : Rez z et Imz z 0

5 Représentation géométrique Affixe Module Argument Propriété 10 Module d un quotient, d un produit Pour tous complexes z et z, on a : 1 zz = z z, si z 0 1 z = 1 z z z z = z pour tout n, z n = z n 1 1 On procède par récurrence en convenant que z 0 =1 1 On a zz = zz zz = zz z z = z z Si z 0, z z = z z = Théorème 6 Inégalité triangulaire z z z Étant donné deux complexes z et z, on a z + z z + z avec égalité si et seulement si z = 0 ou s il existe un réel positif tel que z = z On calcule : z + z z + z = zz + zz + z z z + z z + z Avec la propriété 9 = zz Re zz 0 On obtient l inégalité triangulaire puisque les réels z + z et z + z sont positifs Si z = 0, l inégalité est une égalité Si z = z, avec +, il vient z + z = 1 + z = 1 + z = z + z 3 Avec la remarque 1 suivant la propriété 8 Si z + z = z + z et z 0, on a zz + 3 donc z = z avec = zz z + 4 y O z 1 x 3 Nombres complexes de module 1 Définition 6 L ensemble des nombres complexes de module 1 est noté est l ensemble des affixes des points du cercle trigonométrique z= 1 z Propriété 11 5 O e i 1 x e i =e i = 1 e i Soit z un nombre complexe On a z 1 4 = z z Remarque est stable par produit et passage à l inverse Définition 7 Exponentielle d un nombre imaginaire pur Pour tout réel, on pose e i = cos + i sin e i =i, e i = 1, e i 4 = 1+i Propriété 1 = { e i ; } 7 7 Lorsque parcourt l intervalle [0,[, le point Mcos,sin décrit donc e i décrit 8 En particulier e i =1 0[] Propriété 13 Pour tous réels et, on a : e i = e i [] 8 69

6 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Théorème 7 Pour tous réels et, on a : e i+ = e i e i, e i = 1 e i = ei, pour tout n, e n i = e i n, formule de Moivre 9 On obtient les autres formules avec e i0 =1 et en procédant par récurrence 30 C est une relecture de la formule e ni =e i n 31 Avec la propriété 5 On a e i e i = cos + i sin cos + i sin, et en développant, il vient : e i e i = cos cos sin sin + i cos sin + sin cos Les formules d addition en trigonométrie donnent alors : e i e i = cos + + i sin +, c est-à-dire e i e i = e i+ 9 Formulaire 1 Formule de Moivre 30 Pour tout réel et pour tout entier relatif n : cos + i sin n = cosn + i sinn Formules d Euler 31 Pour tout réel, cos = ei + e i et sin = ei e i i 4 Argument d un nombre complexe non nul Définition 8 3 O Mz x Soit z un nombre complexe non nul, d image M Toute mesure de l angle orienté i, OM s appelle un argument de z 3 On écrit arg z [ ] Propriété 14 Pour tout réel, arg e i [ ] Propriété 15 Pour un nombre complexe non nul z, on a : z + arg z [ ], z arg z [ ], z i arg z [ ] Propriété O 1 Mz N e i x Pour tout z, z 0, les arguments de z sont ceux de z z Pour z 0, notons M et N les images de z et z/ z On a : OM = z [ ] ON donc i, OM i, ON 33 c est-à-dire arg z arg z [ ] z 70

7 Représentation géométrique Affixe Module Argument 34 Si z=a+ib on a = a +b et est défini modulo par cos = a a +b, sin = b Propriété 17 Forme trigonométrique d un complexe non nul Pour tout nombre complexe non nul z, on a : z = e i avec = z et argz [ ] 34 a +b Ėxemple 1 Soit a et b des réels avec a, b 0, 0 En écrivant le nombre complexe a + ib sous forme trigonométrique a + ib = A e i, il vient : a cos + b sin = Re e i A e i = A cos On a A = a + b et est défini modulo par cos = a b et sin = a + b a + b Théorème O z z z z x Pour des nombres complexes non nuls z et z, on a : z = z z = z et arg z arg z [ ], z = z z = z et arg z arg z [ ], z = z z = z et arg z + arg z [ ] 35 Propriété 18 Pour des nombres complexes non nuls z et z, on a : arg zz arg z + arg z [ ] z et arg arg z arg [ z ] z Posons = z, = z, arg z [ ] et arg z [ ] On a alors z = e i et z = e i, donc zz = e i+ et z z = ei Ainsi, + est un argument de zz et est un argument de z /z ei 36 O 1 e i e i 1 0<< 37 [ ] Si on a 1+e i =0 38 Si 0 1 e i =0 [ ] on a 1+e i Corollaire Pour des nombres complexes non nuls z et z, on a arg z = arg z [ ] si et seulement si z /z est un réel strictement positif Propriété 19 Soit un réel On a : e i = cos i e et 1 e i = i sin i e ; 1 + e i = cos et 1 e i = sin ; Si < < alors arg 1 + e i [ ] ; 37 Si 0 < < alors arg 1 e i [ ] 38 1 On factorise 1 + e i i = i i e e + e et 1 e i i = i i e e e et on conclut avec la formule d Euler Les formules concernant les modules découlent de 1 Quant aux arguments, on a cos > 0 lorsque < < et sin lorsque 0 < < 71

8 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Exemple Soit n 1 un entier et t un réel Pour t 0 [ ], on calcule e ikt = 1 ein+1t 1 e it = On a donc : n + 1 si t 0 [ ] n + 1 cos kt = sin t cos nt sin t si t 0 [ ] et : 0 si t 0 [ ] n + 1 sin kt = sin t sin nt sin t si t 0 [ ] n + 1 sin sin t t int e 5 Applications géométriques Propriété 0 Étant donné des points A, B, C, D avec A B et C D, d affixes respectives a, b, c, d, on a : d c [ ] AB, CD arg b a Avec la relation de Chasles, on a modulo : AB, CD i, CD i d c, AB arg z arg z arg CD AB b a 39 M M Définition 9 Étant donné un point A et un réel, la rotation de centre A et d angle est la transformation du plan, notée rot A, ainsi définie : rot A, A = A, si M A, alors M = rot A, M où M est le point tel que AM = AM et AM, AM [ ] 39 A 40 z =a+e i z a z a Théorème 9 Écriture complexe d une rotation Soit A un point du plan, d affixe a, et un réel L écriture complexe de la rotation de centre A et d angle est : rot A, : z = a + e i z a 40 Soit Mz un point du plan et M z son image par rot A, Si z = a, on a z = a Si z a, on a z a z a car z a z a = AM z a AM et arg z a donc z a z a = ei Dans les deux cas, z = a + e i z a AM, AM [ ] 7

9 Représentation géométrique Affixe Module Argument Propriété 1 Alignement de points Des points A, B et C, avec A C, d affixes a, b, c, sont alignés si et seulement si : c b est réel c a Si B = C, les points A, B, C sont alignés et c b = 0 est réel c a Si B C, A, B, C, sont alignés si et seulement si : [ ] AC, BC 0, c est-à-dire arg c b c a 0[ ] ou encore c b est réel c a 41 On procède comme pour la propriété 1 Propriété Orthogonalité 41 Soit A, B et C, avec A C, des points d affixes a, b, c 1 Les vecteurs AB et AC sont orthogonaux si et seulement si : c b est imaginaire pur c a Si B C, les droites AC et BC sont orthogonales si et seulement si : c b est imaginaire pur c a Propriété 3 4 L angle de deux droites Soit et deux droites sécantes en A 1 et est défini modulo Il existe deux droites, et deux seulement, passant par A et telles que : 1 par,,, = [ ] u1, u [] 4 où u 1 et u dirigent 1 et Ces droites s appellent les bissectrices des droites et 43 u u A u u 1 u + u 44 Avec la propriété Selon le signe de cos 46 Selon le signe de sin Elles sont orthogonales et dirigées par les vecteurs u ± u où u et u sont des vecteurs unitaires dirigeant et 43 Soit u et u des vecteurs unitaires dirigeant et, d affixe e i et e i, et un vecteur dirigeant une droite passant par A En utlisant la relation de Chasles, on a u,, u [ ] si et seulement si : u 1, = u, u [ ] Cela montre qu il existe deux droites solutions et deux seulement et qu elles sont orthogonales Par ailleurs, on a u, u arg e i [ ] et : 44 u, u + u arg ei + e i e i arg 1 + e i [ ] 45 u, u u arg 1 e i ] 46 [ 73

10 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie C Racines d un nombre complexe 1 Racines n ièmes d un nombre complexe Définition Pour n=, on parle Soit z un nombre complexe et n un entier naturel avec n 47 de racine carrée et, pour n=3, de racine cubique Une racine n ième de z est un complexe Z tel que Z n = z 48 0 est l unique racine n ième de 0 49 z étant non nul, ses racines n ièmes sont non nulles Théorème 10 Tout nombre complexe non nul admet exactement n racines n ièmes 48 Soit z ; posons r = z et arg z [ ] On cherche les racines n ièmes de z sous la forme Z = e i avec > 0 49 L égalité Z n = z se traduit par n = r et n [ ], donc par : = n r et [ ] n n En posant Z k = n re i +k n, l égalité Z k = Z k se traduit par : +k n = +k [ ] c est-à-dire k = k[n] n Les racines n ièmes de z sont donc les n nombres complexes deux à deux distincts Z k, 0 k n 1 Définition 11 L ensemble des racines n ièmes de 1 est noté n 50 Si r= z et [ ] arg z, Z 0 = n i re n est une racine n ième de z Propriété 4 Racines n ièmes d un nombre complexe non nul Soit z un nombre complexe non nul et Z 0 une racine n ième de z Les racines n ièmes de z sont les Z 0 u où u décrit n 50 L égalité Z n = z s écrit Z n = Z0 n Z n ou = 1 c est-à-dire Z Z 0 Z 0 Racines n ièmes de 1 51 Relire la démonstration du théorème 10 et utiliser la formule de Moivre Théorème L ensemble des racines n ièmes de 1 est n = i En posant n = e n, on a n = { k } n ; 0 k n 1 { ik } e n ; 0 k n 1 74 Remarque L ensemble n est stable par produit et passage à l inverse

11 Racines d un nombre complexe Propriété 5 Les images des racines n ièmes de 1 sont les sommets d un polygone régulier à n côtés dont le centre de gravité est O 3 n n n = n O 1 n 1 n n n 5 Avec la propriété 19 En notant, pour tout entier relatif, M k l image de k n, on a M n = M 0 et on calcule : M k 1 M k = k n k 1 = k 1 n 1 = n 1 = sin n 5 n n ce qui montre que les côtés du polygone M 0 M 1 M n 1 M 0 ont même longueur Le centre de gravité de ce polygone est l isobarycentre des sommets, c est le point d affixe : z = 1 n 1 k n = 1 n n n n 1 n 1 = 0 i Exemple 3 On pose j = e 3 ; j = 1 + i 3 et j = 1 i 3 i j j 1 1 O 1 /3 1 i j j = {1, 1} 4 = {±1,±i} On observe l inclusion 4 et la factorisation : z 4 1 = z 1 z + 1 = {1, 1} 3 = {1, j, j } 6 = {±1,±j,±j } On observe les inclusions 6 et 3 6 et les factorisations : z 6 1 = z 1 z 4 + z + 1 = z 3 1 z

12 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Exemple 4 Avec 3 = 8, on voit que est une racine cubique de 8 Les trois racines cubiques de 8 sont donc, j, et j, c est-à-dire, 1 i 3 et 1 + i 3 Exemple 5 Construction d un pentagone régulier à la règle et au compas i On pose = e 5 donc 5 = { 1,,, 3, 4} On observe que, pour z 5 {1}, on a : 0 = z5 1 z 1 = z4 + z 3 + z + z + 1, donc avec x = 1 z + 1, il vient : z J 5 0 = z + z z + 1 z = z z + z 1 1 = 4x + x 1 z Il en découle, avec z = puis avec z =, A I O B 1 que cos 5 et cos 4 sont les racines du trinôme 5 4x + x 1 ; on a donc : 3 4 cos 5 + cos 4 5 = 1 et cos 5 cos 4 5 = 1 4 En notant A et B les points d affixes cos 4 5 et cos 5 et I leur milieu, on a donc : z I = 1 4 et OA OB = 1 4 Notons le cercle de diamètre [A, B] ; il rencontre Oy en un point J On a : 53 Avec le théorème de Pythagore 1 4 = OA OB = OI + IA OI IA = OI IA 53 = OJ donc OJ = 1 On obtient une construction du pentagone régulier dont les sommets sont les racines cinquièmes de 1 en traçant le cercle centré au point I d affixe 1/4 et passant par le point J d affixe i/ Ce cercle coupe Ox en A et B et les tangentes en ces points fournissent les 4 éléments de 5 {1} 3 Racines carrées d un nombre complexe Équation du second degré 31 Calcul des racines carrées sous forme algébrique Soit z = a + ib, avec a et b réels, un nombre complexe non nul Si b = 0, z = a est réel et ses racines carrées sont : a et a si a > 0 76 i a et i a si a < 0 { Si b 0, l équation x + iy x y = a = z s écrit xy = b Dans certains cas, une solution évidente apparaît Par exemple, si z = 3 +4i, le système s écrit : { x y = 3 xy = une solution évidente est x = 1 et y = On conclut que les racines carrées de 3 + 4i sont 1 + i et 1 i

13 Racines d un nombre complexe 54 Les équations du second degré à coefficients réels sont connues La méthode est la même pour le traitement des équations à coefficients complexes 55 N importe laquelle des deux S il n y a pas de solution évidente, on remarque que l équation x + iy = z donne aussi x + y = a + b, en comparant les modules Alors x y = a et x + y = a + b donnent x = 1/ a + a + b et y = 1/ a + a + b, ce qui permet de déduire x et y De plus, le signe de xy étant celui de b, x et y ont le même signe si b > 0 et de signe contraire si b < 0 Ce raisonnement par analyse fournit deux solutions possibles et il s agit bien des deux racines carrées de z puisque l on sait qu elles existent 3 Équation du second degré Méthode On considère l équation : 54 E : z, az + bz + c = 0, avec a, b, c 3 et a 0 z + b b 4ac a 4a = 0 Cette équation s écrit aussi z, Soit une racine carrée 55 de b 4ac Alors on a b 4ac 4a = Les solutions de E sont : b a et b + a Définition 1 Étant donné l équation E, le nombre = b 4ac en est le discriminant En posant b = b, le nombre = b ac est le discriminant réduit En utilisant le calcul fait en préambule, il vient : Propriété 6 a 56 On a alors az +bz+c=az z 0 57 On a alors az +bz+c=az z 1 z z a Si = 0, l équation E admet une racine double qui est z 0 = b a 56 b Si 0, soit une racine carrée de, l équation E admet deux racines distinctes qui sont z 1 = b et z a = b + 57 a Avec = racine carrée de, ces formules deviennent : z 1 = b a, z = b + a Propriété 7 Deux complexes z 1 et z distincts ou non sont les racines de E si et seulement si : z 1 + z = b a et z 1z = c a 58 Dans le cas d une racine double z 0 = b a, la somme des racines est z 0 et le produit est z 0 Que soit nul ou non 58, les racines sont z 1 = b a Donc z 1 + z = b a et z 1z = b 4a = b 4a = c a et z = b + a La réciproque résulte de l identité z z 1 z z = z z 1 + z z + z1 z Cas particulier : a, b, c réels = b 4ac 0, on retrouve le classique trinôme à coefficients réels = b 4ac < 0, les racines carrées de sont i et i b i b + i Les solutions de E sont donc : et a a Ce sont alors des nombres complexes conjugués 77

14 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Exemple 6 Soit l équation E : z iz 5i + 1 = 0 Les racines de E sont les racines carrées des racines du trinôme t 5 14it 5i +1 Celles-ci sont t 1 = i et t = 5 1i car t 1 + t = 5 14i et t 1 t = 10i 4 Les racines carrées de i sont ± e i/4 c est-à-dire 1 i et 1 + i Les racines carrées de 5 1i sont les complexes x + iy tels que x y = 5 et xy = 6, x = 3 et y = vérifiant ces égalités, les racines de 5 1i sont 3 i et 3 + i En conclusion, les racines de E sont 1 i, 1 + i, 3 i et 3 + i Exemple 7 Pour tout réel, les racines du trinôme z z cos +1 sont e i et e i car e i +e i = cos et e i e i = 1 D Trigonométrie y 1 Lecture du cercle trigonométrique M est un point du cercle trigonométrique, d affixe e i où = i [ ], OM Ses coordonnées sont : x = OH = cos et y = OK = sin Si [ ], la droite OM coupe la tangente à au point A1 en un point T Par le théorème de Thalès, on a : AT HM = OA OH donc AT = sin cos sin K + O M e i H cos T AT=tan A 1 x 59 tan 6 = 1 3, tan 4 =1, tan 3 = 3 60 Par lecture du cercle trigonométrique Lorsque ] [ décrit,, le point T décrit de bas en haut 61 Avec cos +sin =1 Définition 13 Pour tout réel tel que sin [], on pose tan = cos 59 Propriété 8 La fonction tan est -périodique, impaire et strictement croissante sur l intervalle avec : lim > Propriété 9 tan =, lim < Pour tout réel tel que [], 1 + tan = tan = cos 61 ], [ 78

15 Pour tout réel tel que [] : tan + = tan Trigonométrie 11 Angles associés L écriture complexe de rot 0,/ est z = iz Cela permet de placer facilement sur les points d affixe ±e ±i et ±i e ±i et d en déduire les formules exposées dans les deux formulaires ciaprès On observe diverses symétries par rapport aux axes, à la droite : y = x, par rapport à O En particulier, les points d affixes e i et i e i sont symétriques par rapport à, donc : cos = sin sin = cos Et, pour n : cos + n = 1 n cos sin + n = 1 n sin ie i e i e i ie i ie i : y=x e i e i iei Formulaire cos + = sin, sin + = cos cos = cos, sin = sin cos + = cos, sin + = sin cos = sin, sin = cos cos + 3 = sin, sin + 3 = cos cos = cos, sin = sin 3 3 cos = sin, sin = cos Formulaire 3 6 En particulier, deux droites de pentes m et m sont orthogonales si et seulement si mm = 1 Pour tout réel tel que [] : tan = 1 Équations et inéquations Soit a un réel tel que 1 a 1 Il existe un unique réel tel que a = cos et 0 Les solutions de l équation cos x = a sont les réels x tels que x [ ] ou x [ ] Les solutions de l inéquation cos x a sont les réels x pour lesquels il existe k tel que : + k x +k Les solutions de l inéquation cos x a sont les réels x pour lesquels il existe k tel que : +k x + k 1 tan et tan + = 1 tan 6 cos xa y O x=a cos xa x 79

16 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Soit a un réel tel que 1 a 1 Il existe un unique réel tel que a = sin et sin xa y y=a Les solutions de l équation sin x = a sont les réels x tels que x [ ] ou x [ ] Les solutions de l inéquation sin x a sont les réels x pour lesquels il existe k tel que : +k x + k Les solutions de l inéquation sin x a sont les réels x pour lesquels il existe k tel que : + k x +k O sin xa x Soit a un réel Il existe un unique réel tel que : y < < et tan = a Les solutions de l équation tan x = a sont les réels x tels que x [] Les solutions de l inéquation tan x a sont les réels x pour lesquels il existe k tel que : y=a tan xa tan xa + k < x + k ou + k < x + + k Les solutions de l inéquation tan x a sont les réels x pour lesquels il existe k tel que : + k x < + k ou + tan xa O tan xa x + + k x < 3 + k Formules de trigonométrie 1 Formules d addition Soit a et b des réels Pour établir la relation e i a+b = e ia e ib, on a déjà utilisé : cosa + b = cos a cos b sin a sin b et sina + b = sin a cos b + sin b cos a En remplaç ant b par b, on obtient deux autres formules Formulaire 4 cosa + b = cos a cos b sin a sin b, cosa b = cos a cos b + sin a sin b, sina + b = sin a cos b + sin b cos a sina b = sin a cos b sin b cos a tan x est défini, pour tout x sin x [] par tan x = cos x Étant donné a et b réels, a + b sina + b [], on a tana + b = cosa + b Il vient alors tana + b = sin a cos b + sin b cos a cos a cos b sin a sin b 80 Si on a de plus a [] et b [], alors il vient cos a cos b 0 et on divise le numérateur et le dénominateur par cos a cos b

17 Trigonométrie Formulaire 5 63 Avec b=/ a, on a tan b=1/ tan a, donc tan a tan b=1 64 On change b en b dans la formule précédente 65 Si a b=/[] on a tan a tan b= 1 66 En utilisant cos a+sin a=1 67 Avec a /[] et a /4[] Pour a [], b [] et a + b [], on a : tana + b = Pour a [], b [] et a b [], on a : tana b = tan a + tan b 1 tan a tan b 63 tan a tan b 1 + tan a tan b Duplication de l argument Dans les formules d addition, le cas particulier a = b donne Formulaire 6 sin a = sin a cos a cos a = cos a sin a, ou 66 cos a = cos a 1 ou cos a = 1 sin a tan a tan a = 1 tan 67 a Expression de sin, cos, tan en fonction de tan / On sait que, pour a [], on a 1 cos a = 1 + tan a Il vient alors : sin a = tan a cos a = Formulaire 7 tan a 1 + tan et a cos a = cos a 1 = 1 + tan a 1 68 Dans les formules ci-dessus, on pose =a Pour [ ] 68 on pose t = tan et on obtient : sin = t 1 t, cos = 1 + t 1 + t, tan = t 1 t avec aussi [] Exemple 8 Équation a cos x + b sin x = c a, b, c sont des réels avec a, b 0, 0 a Avec les formules d addition L équation s écrit cosx = c a + b, où est un réel tel que : a cos = et sin = b a + b a + b Si c > a + b, l équation n a pas de solution Si c a + b, les solutions sont les réels x tels que x ± [ ], où est un réel tel que cos = c a + b Le calcul explicite de cos x et de sin x s obtient après celui de sin = 1 cos en utilisant les formules d addition b Avec l angle moitié Si les réels x tels que x [ ] ne sont pas solutions a + c 0, on ramène l équation à un équation du second degré en posant t = tanx/ L équation obtenue est : a + ct bt + c a = 0, son discriminant réduit est = a + b c Si < 0, il n y a pas de solution Si 0, l équation en t admet une ou deux solutions t 1 et t, on résout ensuite les équations : tan x = t 1 et tan x = t 81

18 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie 3 Conversion de sommes en produits Formulaire 8 Pour tous réels a, b, cos a cos b = 1 cosa + b + cosa b sin a sin b = 1 cosa b cosa + b sin a cos b = 1 sina + b + sina b 69 On les obtient directement à partir des formules de duplication sin a cos a = 1 sin a, cos a = 1 + cos a et sin a = 1 cos a 69 Ces formules s obtiennent à partir des formules d addition On peut aussi utiliser les formules d Euler Par exemple : cos a cos b = eia + e ia e ib + e ib = 1 e ia+b + e ia b + e ia+b + e ia b 4 et il vient cos a cos b = 1 cosa + b + cosa b Les formules inverses : conversion de sommes en produits peuvent se déduire des précédentes par le simple changement de variable : p = a + b, q = a b 8 Formulaire 9 Pour tous réels p et q : cos p + cos q = cos p + q cos p cos q = sin p + q sin p + sin q = sin p + q sin p sin q = sin p q cos p q sin p q cos p q cos p + q Ces formules s obtiennent aussi avec les factorisations : e ip + e iq = e i p+q cos p q et e ip e iq = e i p+q i sin p q 4 Linéarisations 1 Pour linéariser des expressions du type cos n ou sin n, on utilise les formules d Euler En posant z = e i on a cos = z + z 1 et i sin = z z 1 En utilisant la formule du binôme de Newton, il vient : n cos n n = z n k et i n sin n = k 1 k n k z n k On regroupe alors les termes correspondant aux indices k et n k, en distinguant les cas où n est pair et où n est impair Si n = p 1 est impair, il vient : p 1 cos p 1 1 p 1 = z p 1 k p 1 + z k+1 p k p 1 1 p 1 = 4 p 1 cosp 1 k k

19 Trigonométrie p 1 sin p 1 1 = i p 1 1 k p 1 z p 1 k z k+1 p k = 1p 1 4 p 1 p 1 Si n = p est pair, il vient : cos p = 1 p 1 p = 1 p 1 [ 4 p p 1 sin p 1 = i p [ = 1p p 1 { 4 p 1 k p 1 k p z p k + z k p + k { } p cosp k + k 1 k p k 1 k p k sinp 1 k p p p ] p p z p k + z k p + } cosp k Pour linéariser des expressions du type cos p sin q, on peut : 1 p p p i p + 1 p ] p p linéariser cos p et sin q, développer le produit des sommes obtenues ; il vient une somme de termes du type cos a cos b ou sin a cos b que l on linéarise à leur tour ; écrire, toujours avec z = e i, p i q cos p sin q = z + z 1 p z z 1 q, développer et procéder à des regroupements de termes ; observer des simplifications en utilisant des formules de trigonométrie 5 Transformation de tann, cosn, sinn Soit n un entier naturel normal Pour tout réel, en utilisant la formule du binôme, il vient e in = cos + i sin n n = cos n k i sin k k En séparant la partie réelle et la partie imaginaire, on déduit : cos n = 1 n cos n sin 0 n sin n = 1 n cos n 1 sin n 1 Si [] on obtient, en factorisant par cosn : cos n = cos n sin n = cos n On en déduit la propriété suivante 0 n 0 n 1 1 n tan 1 n tan

20 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Propriété 30 Pour tout entier naturel non nul et pour tout réel tel que : on a : tann = [] et n [] 1 n +1 0 n 1 0 n t +1 1 où t = tan n t t Exemple 9 tan = 1 t Définition t t, tan3 = 1 3t, tan4 = 3 4t 4t 1 6t + t 4 La suite des polynômes de Tchebycheff T n est définie par : n0 { T 0 z = 1, T 1 z = z n 1, T n+1 z z T nz + T n 1 z = 0 Propriété 31 Pour tout entier naturel n, on a :, { cosn = Tncos n sinn = sin T ncos La première formule s obtient par une récurrence à deux pas en notant que, pour tout entier n 1, on a :, cosn cosn 1 = cos cos n La seconde formule s obtient par dérivation de la première Exemple 10 On calcule les premiers polynômes de Tchebycheff et les polynômes dérivés T 0 z = 1 T 1 z = z cos = cos 1 T z = z 1 donc cos 3 = 4 cos 3 3 cos T 3 z = 4z 3 3z cos 4 = 8 cos 4 8 cos + 1 T 4 z = 8z 4 8z + 1 T z = 4z sin = sin cos T 3 z = 1z 3 donc sin 3 = sin 4 cos 1 T 4 z = 3z3 16z sin 4 = sin 8 cos 3 4 cos E Exponentielle complexe 70 e z est aussi noté expz Définition 15 Pour tout complexe z, on pose e z = e Rez e i Imz 70 Propriété 3 Pour tout complexe z, e z est non nul, avec : e z = e Rez et arg e z = Imz [ ] 84

21 Exponentielle complexe Propriété 33 Pour tous complexes z et z : e z+z = e z e z 1 e z = e z Avec z = x + iy, z = x + iy où x, x, y et y sont réels, on calcule : Avec e 0 = 1, on déduit 1 e z = e z e z+z = e x+x e iy+y = e x e x e iy e iy = e z e z 71 i={ik,k } Propriété 34 Pour tous complexes z et z, on a : e z = e z z z i 71 On a les équivalences suivantes : e z = e z e z z = 1 Re z z = 0 et Im m m 0 [ ] Propriété 35 Soit a un nombre complexe et l équation E : e z = a, z 1 Si a = 0, E n a pas de solution Si a 0, les solutions de E sont les nombres complexes : n a + iarg a + k, k Le premier point résulte du fait que, pour tout z, e z 0 Si a 0, on les équivalences : e z = a e Rez = a et Im z arga [ ] Rez = n a et il existe k tel que Im z = arg a + k 85

22 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Méthodes L essentiel I Calculs et équations dans Conjugué d un nombre complexe Si l on veut calculer un module on peut penser à l expression z = zz qui est souvent plus efficace que z = a + b, a = Rez, b = Imz Si l on veut traduire que z est réel on peut écrire z = z Si l on veut traduire que z est imaginaire pur on peut écrire que z = z Voir Mise en œuvre, exercices 1, 3, 16 et 18 Si l on veut rendre réel le dénominateur dans un quotient a b on peut multiplier a et b par b Forme algébrique ou trigonométrique? Si l on veut travailler dans un contexte additif on peut utiliser la forme algébrique Si l on veut travailler dans un contexte multiplicatif on peut utiliser la forme trigonométrique ou exponentielle Voir Mise en œuvre, exercices, 14 et 15 Si l on veut calculer la valeur exacte du sinus ou du cosinus d un angle on peut comparer les deux formes d un nombre d argument Si l on veut calculer les racines n ièmes d un nombre complexe on peut utiliser sa forme trigonométrique Voir Mise en œuvre, exercice 8 Équations à coefficients réels ou complexes Si les coefficients d une équation algébrique sont réels, les racines sont réelles ou deux à deux conjuguées Si les coefficients de deux équations sont deux à deux conjugués, les racines de l une sont les conjuguées de celles de l autre Voir Mise en œuvre, exercice 6 Si l on veut résoudre une équation du second degré on peut penser à sa forme canonique ou utiliser son discriminant Voir Mise en œuvre, exercices 4, 6 et 7 Si l on veut résoudre une équation de degré 3 ou plus on peut chercher une racine apparente réelle, ou une racine imaginaire pure Voir Mise en œuvre, exercice 5 86

23 Méthodes II Application à la trigonométrie Méthodes Si l on veut calculer une somme de fonctions trigonométriques on peut l interpréter comme partie réelle ou imaginaire d une somme géométrique à l aide de cos n = Re e in ou sin n = Im e in Voir Mise en œuvre, exercices 9 et 11 Si l on veut linéariser une expression trigonométrique on peut utiliser les formules d Euler ou mettre en œuvre les formules trigonométriques élémentaires Voir Mise en œuvre, exercice 10 Si l on veut exprimer cos nx ou sin nx en fonction de cos x ou sin x on peut utiliser les polynômes de Tchebycheff Voir Mise en œuvre, exercice 1 III Nombres complexes et géométrie Dans les applications géométriques, le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, e1, e Questions d alignements, d angles Si l on veut traiter une question portant sur des points A, B, C on peut penser à les repérer par leurs affixes a, b, c Si l on veut exprimer que A, B, C distincts sont alignés on peut écrire que c b est réel c a Voir Mise en œuvre, exercice 0 Si l on veut exprimer que ABC est rectangle en C on peut écrire que c b est imaginaire pur c a Voir Mise en œuvre, exercice 1 Transformations géométriques Si l on veut effectuer une translation de vecteur u, d affixe a on peut penser à la représentation complexe z z + a Si l on veut effectuer une homothétie de centre, d affixe et de rapport k on peut penser à la représentation complexe z + kz Si l on veut effectuer une rotation d angle et de centre, d affixe on peut penser à la représentation complexe : z + e i z Voir Mise en œuvre, exercices 13, 17, 18 et 19 Méthodes 87

24 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Mise en œuvre Ex 1 Calculer les parties réelle et imaginaire de a 3 + i i b Solution 3 + i1 + i 1 i Commentaires a 3 + i = 9 + 1i + 4i donc 3 + i = 5 + 1i Ensuite, Développement d un carré, et i = i i = 10 5i + 4i 1i, donc 3 + 1i i = + 19i En développant b 1 + i 1 i = 1 + i 1 + i1 i Il vient alors 1 + i = i Pour achever, i3 + i = + 3i 1 i En multipliant par le conjugué du dénominateur 1+i =i et 1 i = Ex Calculer 1 + i 3 9 Indications Utilisation de la forme trigonométrique et de la formule de Moivre Solution Commentaires Le module du nombre z = 1 + i 3 est 1 + 3, c est-à-dire La forme trigonométrique est adaptée au On a donc z z = i, et z a 3 pour argument cos = 1 Ainsi z = e i 3, et il vient z 9 = 9 e 3i langage multiplicatif, et, en particulier, aux calculs de puissances, sin = 3 Formule de Moivre Avec e 3i = 1, on obtient 1 + i 3 9 = 51 cos 3= 1 et sin 3=0 Ex 3 z étant un complexe différent de 1, calculer les parties réelle et imaginaire de Z = + z 1 z Indications On rend réel le dénominateur en multipliant par le conjugué de ce dénominateur Il serait bien long de passer trop vite aux parties réelles et imaginaires Solution On a Z = + z1 z 1 z1 z 1 z1 z = 1 z z + zz = 1 x + x + y = x 1 + y + z1 z = z + z zz = x x y 3iy Finalement, ReZ = x x y 3y x 1 + y, ImZ = x 1 + y Commentaires On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué 1 z de 1 z Avec z=x+iy, x et y réels 88

25 Méthodes Ex 4 Équations du second degré Résoudre dans les équations du second degré : E 1 x 10x + 13 = 0, EMéthodes x x cos + 1 = 0 avec donné Indications La forme canonique est préférable à l utilisation du discriminant Solution Commentaires 1 L équation E 1 s écrit aussi x 5x + 13 = 0, c est-à-dire : Le discriminant réduit n est pas indispensable x x 4 = 0 ou encore 5 i x 5 + i = 0 A +B =A+iBA ib Les solutions sont donc 5 i et 5 + i x x cos + 1 s écrit aussi x cos + 1 cos ou : x cos +sin, ou encore x cos +i sin x cos + sin Les racines de E sont cos + i sin et cos isin ou encore e i et e i Autre solution : = cos 1, soit = i sin avec le discriminant réduit = sin Les racines de E sont cos + i sin et cos i sin c est-à-dire e i et e i Notons que, si sin = 0, il y a une racine double cos = 0, cos = 1, =, cos = 1 Ex 5 Une équation de degré 3 Soit le polynôme à coefficients réels Px = x 3 6x + 13x 10 1 Calculer P et en déduire une factorisation de Px Calculer les racines complexes de Px Indications Pour une équation de degré 3, on cherche une solution «apparente» Solution 1 P = = donc P = 0 Effectuons alors la factorisation de Px par x Il existe a, b, c réels tels que x 3 6x + 13x 10 = x ax + bx + c x ax + bx + c = ax 3 + b ax + c bx c donne a = 1, b a = 6, c b = 13, c = 10, d où a = 1, b = 4, c = 5 Ainsi, Px = x x 4x + 5 x 4x + 5 = x + 1 montre que x 4x + 5 n a pas de racine réelle est donc la seule racine réelle de Px x + 1 = x ix + i montre que les racines complexes de x 4x + 5 sont i et + i Dans, les racines de Px sont, i et + i Commentaires Px, à coefficients réels, est factorisable par x d si et seulement si Pd=0 L objectif est de se ramener à un produit de facteurs du premier ou du second degré Par identification On peut aussi calculer le discriminant réduit : = 1 A +B =A+iBA ib 89

26 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Ex 6 Résoudre l équation : z, z 3z + + z 3z + = 0 Indications On factorise avec l identité remarquable a + b = a + iba ib On est alors ramené à deux équations du second degré à coefficients conjugués Solution On factorise z 3z + + z 3z + en : + iz 31 + iz i iz 31 iz + 1 i E 1 : +iz 31+iz+1+i = 0 a pour discriminant = 1 3i =91+i Ses racines sont z 1 = 1 + i et z = + i 5 De la forme a +b Commentaires 81+i+i donc = 8 6i=1 6i 9=1 3i E : iz 31 iz + 1 i = 0 est la conjuguée de E 1 Ses racines z 3 et z 4 sont les conjuguées de z 1 et z Leurs coefficients sont conjugués Ex 7 Soit u un réel tel que u < Calculer les module et argument de chacune des racines de l équation : Indications z, z zcos u + i sin u + i sin ucos u + i sin u = 0 Pour le discriminant réduit utiliser z e iu z + ie iu sin u = 0 Pour mettre les racines sous forme de produits, utiliser 1 cos u = sin u, 1 + cos u = cos u et sin u = sin u cos u Solution Le discriminant réduit est = e iu ie iu sin u = 1 Les racines sont z 1 = cos u + i sin u 1 et z = cos u + i sin u + 1 z 1 = sin u + i sin u cos u = i sin u cos u + i sin u 1 cos u= sin u Pour < u < 0, arg i sin u = [ donc z 1 = sin u, u ] i sin u = sin u [ et pour 0 < u <, z 1 = sin u, u + ] z = cos u + i sin u cos u = cos u [ ] d où z = cos u, u cos u + i sin u Commentaires =e iu cos u i sin u=1, 1+cos u= cos u, e i u = [ 1, ] u Ex 8 On pose, comme il est usuel, j = e i 3 Soit z un nombre complexe tel que z = jz, calculer le module z de z Déterminer les solutions de l équation z, z = jz Indications Mise en œuvre de j, racine cubique de 1 90

27 Méthodes Solution Analyse De z = j z, on déduit z = j z donc z = z, ce qui donne z = 0 ou z = 1 Ainsi les solutions de z = j z sont à rechercher parmi les Méthodes nombres 0 et e i Synthèse 0 est solution évidente de l équation Par ailleurs, étant donné réel, e i est solution si et seulement si : Commentaires Avec z = z Les nombres e i sont les complexes de module 1 On utilise arg z= arg z et arg zz =arg z+arg z e i = e i 3 e i c est-à-dire si et seulement si e 3i = e i 3, ou encore : il existe k tel que 3 = 3 + k Les solutions sont donc celles d arguments = 9 + k, ce qui donne, 3 modulo, trois valeurs distinctes pour : 9, 4 10 et 9 9 En conclusion, les solutions sont : 0, e i 9, e i 4 9 et e i 10 9 En multipliant les deux membres par e i, il vient e 3i e i 3 =1 L égalité d arguments est définie à un multiple entier relatif de près Ex 9 Résoudre l équation x, sin x + sin x + sin 3x = 0 E Indications Deux méthodes sont possibles : 1 transformer la somme sin x + sin x + sin 3x en produit, calculer cette somme en utilisant les exponentielles complexes Solution 1 Première méthode Les formules de transformation des sommes en produits donnent : sin x + sin 3x = sin x cos x donc sin x + sin x + sin 3x = sin x1 + cos x Ainsi l ensemble E des solutions de E est constitué des réels x qui Commentaires vérifient sin x = 0 ou cos x = 1, ce qui donne : { } E = 3 + k / k { 3 } { } k + k / k / k soit aussi E = Deuxième méthode { } { } k k 3 / k /k sin x + sin x + sin 3x est la partie imaginaire de e ix + e ix + e 3ix e ix + e ix + e 3ix est la somme de trois termes en progression géométrique La raison e ix est égale à 1 quand x 0 mod Il est immédiat que tous ces réels sont solutions de E Quand x 0 mod, on a e ix + e ix + e 3ix = e ix e3ix 1 e ix 1 L objectif est encore de transformer cette somme en un produit Raison e ix et premier terme e ix D abord, on élimine le cas particulier où la raison vaut 1 a+aq+aq =a q3 1 q 1 quand q 1 e 3ix 1 = e 3i x e 3i x e 3i x et e ix 1 = e i x e i x e i x On se met en situation d utiliser les formules d Euler 91

28 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Avec e x ix e3i e i x = e ix, il vient alors e ix + e ix + e 3ix = e ix sin 3x sin x Calcul sur les exposants et e i e i =i sin La partie imaginaire de e ix + e ix + e 3ix est donc sin x sin 3x sin x Avec e ix =cos x+i sin x Dans ce deuxième cas, les solutions sont les réels tels que x k, k, et sin 3x = 0 ou sin x = 0 Pour Il s agit des réels k avec k entier non multiple de 6, et k 3 avec k entier non multiple de 4 Comme on a vu dans le premier cas que les nombres k, k, sont solutions, on retrouve { : } { } k k E = 3 / k / k x k, on a x k, donc sin x 0 Il apparaît que cette deuxième méthode est bien plus pénible que la première : une parfaite connaissance des formules usuelles de trigonométrie ne doit pas être considérée comme un luxe dont on peut se passer Ex 10 Linéariser cos x sin 3 x Indications Deux méthodes : les formules d Euler ou les formules élémentaires de trigonométrie Solution 1 Première méthode, formules d Euler cos x sin 3 ix e + ix ix e e ix 3 e x = i = 1 e ix 5 e ix e ix e ix i = 1 e 5ix 5 e 3ix e ix + e ix + e 3ix e 5ix i[ ] = 1 e 5ix e 5ix 4 e3ix e 3ix eix e ix i i i = 1 sin 5x sin 3x sin x 16 Méthode trigonométrique cos x= eix +e ix Commentaires, sin x= eix e ix i Comme prévu, il s agit essentiellement d un calcul algébrique, avec, en début et en final, l appel aux formules d Euler cos x sin x = 1 4 sin x = 1 1 cos 4x 8 On a donc cos x sin 3 x = 1 sin x sin x cos 4x, et on conclut avec : 8 Ex 11 cos x sin x= 1 sin x et sin x= 1 cos x sin x cos 4x = 1 sin 5x sin 3x sin p cos q= 1 Somme trigonométrique Calculer C n = cosx + k, S n = sinx + k sinp+q+sinp q 9 Indications Former C n + is n et distinguer e i = 1 et e i 1

29 Méthodes Solution 1 C n + is n = e ix+k = e ix e ik C n+is n= Commentaires cosx+k+i sinx+k e ik k est une suite géométrique Méthodes De premier terme 1, de raison ei Premier cas, e i = 1 0 mod C n + is n = n + 1e ix, C n = n + 1 cos x, S n = n + 1 sin x 3 Deuxième cas, e i 1 0 mod e ik = C n = cos Ex 1 n+1 ei e i x + n e i n+1 e i n+1 sin n+1 e i e i sin Montrer que, pour tout n, 3 + 4i 5, S n = sin = e in x + n sinn + 1 sin sin n+1 sin n est pas une racine n ième de 1 e ik = ein+1 1 e i 1 En identifiant parties réelles et parties imaginaires des deux membres Indications Raisonner par l absurde et utiliser les polynômes de Tchebycheff Solution On a 3 + 4i 3 + 4i 5 = 1 ; posons = e i 5 Commentaires Supposons 3 + 4i 5 n Alors cos n = 1 Or T ncos = cos n où T n est le polynôme de Tchebycheff de degré n Les formules : T 0 z = 1 T 1 z = z T n+1 z = zt nz T n 1 z prouvent que les coefficients de T n sont des entiers, et que le coefficient dominant vaut n 1 n 1 En écrivant : T nz = n 1 z n + c k z k, c k, on obtient : n 1 n 1 3 n = 5 n c k 3 k 5 n k, ce qui apporte une contradiction car n 1 3 n n est pas multiple de 5 Ex 13 Étant donné z {i}, on forme Z = z + i z i 1 Déterminer l ensemble E 1 des images des nombres z tels que Z soit réel Déterminer l ensemble E des images des nombres z tels que Z soit imaginaire pur 3 Déterminer l ensemble E 3 des images des nombres z tels que Z ait pour argument 93

30 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Solution 1 Z = Z se lit z + iz + i = z iz i, z i, soit z + z = 0, z i, c est-à-dire z imaginaire pur différent de i L ensemble E 1 est donc l axe des ordonnées, sauf le point 0, Z + Z = 0 se lit z + iz + i + z iz i = 0, z i, soit : zz 4 + iz z = 0, z i c est-à-dire x + y y = 0, x, y 0,, ou encore : x + y 1 = 9, x, y 0, 4 E est donc le cercle de centre A = point B = 0, 0, 1, de rayon 3 privé du Commentaires a b = c équivaut à ad=bc, bd 0 d z est imaginaire pur si et seulement si z+z=0 Avec x=re z et y=im z 3 arg Z = équivaut à Re Z = 0 et Im Z > 0 z + iz + i Avec Z = z i = x + y y +3ix z i, on voit que E 3 est caractérisé par x + y y = 0 et x > 0 Il s agit donc de la partie de constituée des points d abscisses strictement positives On remarque que la condition x > 0 donne z i Ex 14 Étant donné x et y réels, on considère les nombres complexes z 1 = x 4 + iy + 5, z = x i1 y z = x + iy et son image M = x, y dans le plan 1 Pour quel point M a-t-on z 1 = 3z? Déterminer et représenter l ensemble des points M tels que z 1 z soit réel 3 On note A le point d affixe i Montrer que z 1 z est imaginaire pur si et seulement si z + i = 5 En déduire l ensemble des points M tels que z 1 z soit imaginaire pur Solution 1 z 1 = 3z équivaut à x 4 + iy + 5 = 3x i1 y { { x 4 = 3x + 4 x = 16 soit : c est-à-dire y + 5 = 31 y 4y = Le point qui correspond à la solution est M = 8, 1 Commentaires Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire On a z 1 z = 8 + iy + 4 z 1 z est réel si et seulement si y + 4 = 0, c est-à-dire y = Un complexe est réel lorsque sa partie imaginaire L ensemble est la droite d équation y = est nulle 3 La partie réelle de z 1 z est x 4x + 4 y + 51 y Avec a, b, c, d réels, la partie réelle de z 1 z est donc imaginaire pur si et seulement si x 4x + 4 y + 51 y = 0, soit si et seulement si x + y + 4y 1 = 0, c est-à-dire : x + y + = 5, ou encore x + iy + = 5, soit x + iy + = 5 z+i = z i est l affixe du vecteur AM, donc z + i = 5 équivaut à AM = 5 L ensemble est le cercle de centre A et de rayon 5 a+ibc+id est ac bd Un complexe est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle Une somme de carrés de deux réels fait penser au carré du module d un nombre complexe 94

31 Méthodes Ex 15 Rotation dans le plan complexe Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, u, v 1 Calculer les module et argument du nombreméthodes complexe a = 3 i ; marquer son image A On considère la rotation de centre O et d angle Soit f l application qui, à l affixe z de M, associe 4 l affixe z de M = M Exprimer f z à l aide de z 3 Construire l image B de A par la rotation Déterminer l affixe b de B sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique 4 Déduire des calculs précédents les valeurs exactes de cos 1 et de sin 1 Indications Les valeurs de cos 1 et de sin 1 peuvent s obtenir à partir de celles de cos 6 et de sin 6 ou en remarquant que 1 = 3 L objectif est ici de mettre l accent sur une rotation 4 Solution Commentaires 1 On a a = 3 + 1, donc a = L argument de a est défini 3 par cos = et sin = 1 c est-à-dire = 6 à près cos 6 = 3, sin 6 = 1 On a f z = e i 4 z = 1 + iz Faire une rotation de centre O et d angle 4, 3 B est sur le cercle de centre O, «c est multiplier» par e i 4 de rayon OA et OA, OB = 4 v b = 1 + i B 3 i 1 O = i 3 1 u donc b = + i A Par ailleurs, b = e i 4 e i 6 donc b = e i 4 6 c est-à-dire b = e i 1 ou b = cos 1 + i sin Forme trigonométrique de b 1 4 L égalité i donne alors : cos 1 = Ex 16 Identité du parallélogramme = cos 1 + i sin 1 et sin 1 = 6 4 Montrer que, pour z et z complexes, on a : z + z + z z = Par identification des parties réelles et imaginaires des formes algébrique et trigonométrique z + z En déduire que, dans un parallélogramme ABCD, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés : AC + BD = AB + BC + CD + DA 95

32 Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Chapitre : Nombres complexes et trigonométrie Solution Développons z + z : z + z = zz + zz + z z + z z De même, en remplaçant z par z, il vient : z z = zz zz z z + z z Commentaires z+z =z+z z+z z+z =z+z z = z On en déduit z + z + z z = z + z c est-à-dire : z + z + z z = z + z Soit a, b, c, d les affixes de A, B, C, D On a AD = BC et AB = DC Avec les affixes, cela s exprime par d a = c b et b a = c d Posons z = d a = c b et z = b a = c d Alors z + z = c a et z z = d b On a donc : c a + d b = d a + c b + b a + c d c est-à-dire AC + BD = AB + BC + CD + DA En additionnant les deux égalités précédentes ABCD est un parallélogramme aff AB=b a Avec l égalité établie au début Ex 17 Soit A, B, C, D quatre points du plan orienté Sur les côtés du quadrilatère ABCD, on construit les triangles isocèles rectangles APB, CQB, CRD, ASD tels que : PB, PA = /, QB, QC = /, Montrer que PQRS est un parallélogramme RD, RC = /, SD, SA = / Solution L objectif est de montrer que [PR] et [QS] ont le même milieu Soit p, q, r, s les affixes respectives de P, Q, R, S L affixe du milieu K de [PR] est 1/p + r Celle du milieu J de [QS] est 1/q + s Montrer que PQRS est un parallélogramme revient donc à montrer que : p + r = q + s Soit a, b, c, d les affixes respectives de A, B, C, D PA se déduit de PB par la rotation de centre O et d angle / ce qui se traduit par : a p = ib p Donc p1 i = a ib, d où p = a ib1 + i Commentaires Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, e 1, e OK= 1 OP+ OR Aff PA=e i Aff PB Finalement, p = 1/ a1 + i + b1 i On multiplie les deux membres par 1+i De même : q = 1/ c1 + i + b1 i r = 1/ c1 + i + d1 i s = 1/ a1 + i + d1 i Avec les expressions des affixes p, q, r et s, il vient : p + r = 1 a + c1 + i + b + d1 i aff QC=e i aff QB Aff RC=e i Aff RD Aff SA=e i Aff CD 96 et q + s = 1 a + c1 + i + b + d1 i donc p + r = q + s et PQRS est un parallélogramme

33 Méthodes Ex 18 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O, e 1, e Étant donné un point M d affixe z, on considère le point M d affixe z 3 Déterminer l ensemble des points M tels que M, Méthodes M et A d affixe 1 soient alignés Solution 1 Remarquons tout d abord que l alignement est réalisé dès que deux des points A, M ou M sont confondus A = M lorsque z = 1 M = M lorsque z = z 3, c est-à-dire z = 0, z = 1 ou z = 1 A = M si et seulement si z 3 = 1 c est-à-dire z = 1, z = j ou z = j En conclusion deux des points A, M et M sont confondus si et seulement si : z = 0 ou 1 ou 1 ou i ou 1 i Si M n a pas l une des affixes rencontrées ci-dessus, les points A, M et M sont distincts Ils sont alors alignés lorsque le nombre z3 1 est réel, c est-à-dire si z 1 et seulement si z + z + 1 est réel z + z + 1 = x y + x ixy + y montre que z + z + 1 est réel lorsque yx + 1 = 0 c est-à-dire y = 0 ou x = 1 Notons que les cinq points rencontrés dans les cas particuliers sont sur les droites et d équations respectives x = 1 et y = 0 En conclusion, est exactement la réunion de et de zz 1=0 j= 1 +i 3 z 3 1 z 1 =z +z+1 Commentaires, j = 1 i 3 Avec x=re z et y=im z j 1 O 1 j Ex 19 Soit A le point d affixe 1, B celui d affixe 1 Déterminer l ensemble E des points du plan tels que : MA, MB = 3 Indications Étant donné A, B et M, deux à deux distincts et d affixes respectives a, b et z, on a MA, MB = arg z b z a Solution Pour tout M d affixe z, différent de A et de B, on a : z + 1 arg = MA, MB z 1 On a donc MA, MB = 3 si et seulement si arg z + 1 z 1 = arg e i 3 Commentaires On applique la propriété rappelée 97