Devoir Surveillé n 2 Correction Première ES

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1 Correction Correction DS n - Première ES - Octobre 1 Devoir Surveillé n Correction Première ES Second degré Durée heures - Coeff. 8 Noté sur points Eercice 1. QCM 5 points 1.. Si l on met l équation 5 3 = 1 ) sous la formea +b+c, alors On sait que > et a < ; alors la parabole d équationy = a +b+c a pour allure a = b = 7 c = L ensemble S des solutions de l équation = est Le sommet S de la parabole d équation y = ++3 L ensemble S des solutions de l inéquation 3 < 1; ) ] 1; 3[ { ; } Eercice. Étude complète 1 points On considère la fonctionf, définie sur R parf) = [1 point] Déterminer les racines de f sur R. La fonctionf est une fonction polynôme du second degré avec : a = 1; b = 1; c =. Le discriminent = 9 > donc elle admet deu racines réelles. = 9 > = S = { 1; }. [1 point] En déduire l epression factorisée de f si cela est possible. f) = +1) ) 3. [1 point] Dresser le tableau de signe de f). = 9 > et a = 1 <, donc le signe def) est donnée par : 1 signe de f) +. [1 point] Résoudre l inéquationf) >. L étude de signe de la question précédente nous donne directement la résolution de l inéquation : f) > ] 1; [ / M. Duffaud 1/5

2 Correction Correction DS n - Première ES - Octobre 1 5. [1 point] Dresser le tableau de variation de la fonctionf en faisant apparaitre les racines éventuelles dans le tableau. La fonction f est une fonction polynôme du second degré avec : a = 1 ; b = 1 ; c =. Le coefficient a = 1 < étant négatif, sa courbe représentative est une parabole de sommet un maimum, de coordonnées : S α = b ) a ; fα) 1 ; S ; 9 ) α = 1 1 f 9 6. [1 point] Construire C f, la courbe représentative de la fonction f dans le repère de l annee on fera apparaitre clairement le sommet et les racines). 7. [1 point] Résoudre l équation + 3 = L équation + 3 = est une équation du second degré avec : a = 1 ; b = ; c = 3. Le discriminent = 16 > donc elle admet deu racines réelles. = 16 > = S = { 3; 1} 8. [3 points] Dresser le tableau de variation de la fonctiong, définie sur R par g) = + 3 puis construire sur le même graphique de l annee, C g, la courbe représentative de la fonction g on fera apparaitre clairement le sommet et les racines). La fonctiong est une fonction polynôme du second degré avec :a = 1; b = ; c = 3. Le coefficienta = 1 > étant positif, sa courbe représentative est une parabole de sommet un minimum, de coordonnées : S α = b ) a ; gα) ; S 1; ) 3 α = 1 1 g 9. [3 points] Résoudre graphiquement, puis par le calcul l inéquation : f) g). Les abscisses des points de C f qui sont au dessus de C g sont les solutions réelles, si elles eistent, de l inéquationf) g). f) g) Or le trinôme du second degré +5 est de la formea +b+c aveca = ; b = 1; c = 5. = 1 > 1 = 1 1 Le signe du trinôme est alors donnée par : et = 1+ 1 signe de f) g) [ 1 ] 1 ; / M. Duffaud /5

3 Correction Correction DS n - Première ES - Octobre 1 Eercice 3. Équation bicarrée et inéquation 5 points 1. [,5 points] Résoudre dans R l inéquation : I 1 ) : ] [ 3 ;. [,5 points] En posantx =, résoudre dansr E ) : 5 = S = { 5 ; } 5 Eercice. A la recherche du tau 5 points Un capital de 15 euros est placé à un tau de t% puis l année suivante au tau de t+)%. Au bout de deu ans, le capital obtenu est de euros. 1. [ points] Epliquez pourquoi t est solution de l équation : 1, 51 + t)1 + t) = Au bout des deu ans, le capital augmenté des intérêts vaudra : 15 1+t%) 1+t+)%) On a donc l égalité : 15 1+t%) 1+t+)%) = t ) 1 1+t [3 points] Calculer le taut, arrondi au centième. ) 1+ t+ ) = ) 1+t = t) 1+t) = ,51+t)1+t) = ,51+t)1+t) = ,5t +33t 187= L équation est du second degré de la formeat +bt+c = avec : a = 1,5; b = 33; c = 187. Le discriminent = 13 1 > donc elle admet deu racines réelles. = 131> = S 3 = { 8; 6} Le tau étant positif, la seule solution retenue est t = 6 Eercice 5. Optimisation de bénéfice 13 points Le coût total de production, en euros, est donné avec [; 6] parf) = [ points] Étudier les variations de f sur [; 6] et dresser le tableau de variation en faisant figurerf) etf6). La fonction f est une fonction polynôme du second degré avec : a = 1 ; b = ; c =. Le coefficient a = 1 > étant positif, sa courbe représentative est une parabole de sommet un minimum, de coordonnées : S α = b ) a ; fα) ; S1; 1) α = 1 6 f f) = f6) = 6 1. [,5 point] Chaque objet fabriqué est vendu au pri unitaire de 3 euros. La recette est R) = [1 point] Le bénéfice réalisé pour la production et la vente de objets est donné, pour [ ; 6], en faisant la différence des recettes et des coûts soit : g) = 3 + ) = +5 / M. Duffaud 3/5

4 Correction Correction DS n - Première ES - Octobre 1. [ points] Variations de g sur [; 6] et tableau de variation en faisant figurerg) etg6). La fonctiong est une fonction polynôme du second degré avec :a = 1; b = 5; c =. Le coefficienta = 1 < étant négatif, sa courbe représentative est une parabole de sommet un maimum, de coordonnées : S α = b ) a ; gα) ; S 7; 59) α = g g) = 59 g6) = [1 point] En déduire la quantité à produire permettant à l entreprise de réaliser un bénéfice maimal. Quel est ce bénéfice maimal? Le bénéfice maimal est donc de 59 euros, obtenu pour une production de 7 objets. 6. [ points] Résoudre l inéquationg). g) +5 Or le trinôme du second degré +5 est de la formea +b+c aveca = 1; b = 5; c =. Le signe du trinôme est alors donnée par : = 116 > 1 = et = signe de g) [; 5] Déduire de la question précédente les quantités que l entreprise doit produire et vendre pour que la production soit rentable. L entreprise doit donc vendre entre et 5 objets pour que la production soit rentable. 7. [1,5 points] Sur le deuième graphique de l annee, on a tracé C f, la courbe représentative de la fonctionf. Construire C R, la courbe représentative de la fonction recette R et epliquer comment graphiquement retrouver le résultat de la question précédente. 8. [1 point] Retrouver graphiquement le bénéfice maimal. Epliquez votre raisonnement et visualisez ce bénéfice maimal sur le graphique à l aide de couleur. Ce bénéfice maimal correspond à l écart maimal entre la droite et la courbe des coûts C f entre et [ points] Construire C g, la courbe représentative de la fonctiong. / M. Duffaud /5

5 Correction Correction DS n - Première ES - Octobre 1 Annee à rendre avec votre copie Graphique de l eercice 5 y 3 C g Graphique de l eercice C f / M. Duffaud 5/5