Première S Exercices : vecteurs et variations des fonctions associées

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1 Exercice 1 : vecteurs et alignement de points ABC est un triangle. Le plan est muni du repère (A; AB, AC) et on considère les points R(-1;0) et Q(0;a) où a est un nombre réel différent de -1. 1) a) Prouver que les droites (BC) et (RQ) sont sécantes. b) Démontrer que les coordonnées de leur point d'intersection P sont 1 a ; a. ) M et N sont les points tels que QCBM et ACPN soient des parallélogrammes. a) Calculer les coordonnées des points M et N. b) Démontrer que les points R, M et N sont alignés. Exercice : 1) Question de cours Dans un repère, d et d sont les droites d équations cartésiennes respectives : ax + by + c = 0 avec (a ;b) (0 ;0) et a x + b y + c = 0 avec (a ;b ) (0 ;0) Démontrer que d et d sont sécantes si, et seulement si, ab ba 0. ) Application Dans un repère, on donne les points A(4 ;), B(- ;4) et C(7 ;9) a) Démontrer que les droites d et d d équations respectives : x y + = 0 et -1,5x + 7,5y 33 = 0 sont deux médianes du triangle ABC. b) Vérifier que d et d sont sécantes. c) Calculer les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC. 1

2 Exercice 3 : variations des fonctions associées : distance d'un point à une droite Dans un repère orthonormé, on considère les points A(0;1) et M(x;y). M est un point de la droite d d'équation y = x 4. L'objectif est d'étudier les variations de la distance Am lorsque M parcourt la droite d, et en particulier de déterminer la distance AM minimale. 1) Exprimer la distance AM en fonction de x. ) L'objectif est donc maintenant d'étudier les variations de la fonction : f : x x² - 10x + 5 a) Justifier que f(x) existe quel que soit le nombre x. b) Etablir le tableau de variation de la fonction u définie sur Y par : u : x x² - 10x + 5. c) Enoncer le théorème qui permet de déduire des variations de u celles de f. d) En déduire la valeur minimale de la distance AM. Exercice 4 : variations des fonctions associées [AB] est un segment de longueur 8 cm et M est un point de ce segment distinct des extrémités A et B. On pose AM = x avec 0 < x < 8. On note f la fonction définie par f(x) = 1 AM + 1 BM. a) Démontrer que pour tout x de l'intervalle ]0;8[, f(x) = b) Etudier le sens de variation de f sur ]0;8[ (x 4)². c) Déterminer la position du point M pour laquelle f(x) est minimale. Exercice 5 : variations des fonctions associées f est la fonction définie sur l'intervalle [-1;+ [ par f(x) = 1 + x. On a construit ci-dessous la courbe C f représentative de f.

3 1) a) Sur l'intervalle [-1;+ [ comparer les nombres 1 + x et 1 + x. b) Pour quelle valeur de x obtient-on : 1 + x = 1 + x? ) a) Représenter sur le même graphique C f et la droite d'équation y = 1 + x. Exercice 6 : variations des fonctions associées 1) Etudier les variations de la fonction f définie sur Y par f(x) = x² + x 4. ) Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x. 3) Représenter la fonction f et en déduire la représentation graphique de la fonction g définie pour tout nombre x par g(x) = x² + x 4 3

4 Exercice 1 1) a) Dans le repère (A; AB, AC) on a : B(1;0) C(0;1) R(-1;0) et Q(0;a). BC = -1 1 RQ 0 (-1) a - 0 = 1 a Les vecteurs BC et RQ ne sont pas colinéaires si -1 a Soit si a -1. Comme a -1 alors les vecteurs BC et RQ ne sont pas colinéaires. Donc les droites (BC) et (RQ) ne sont pas parallèles : elles sont donc sécantes. b) P(x;y) (BC) donc les vecteurs BP et BC sont colinéaires. BP x 1 y - 0 et BC -1 1 La colinéarité des vecteurs BP et BC se traduit par : x y = 0 x + y = 1 P(x;y) (RQ) donc les vecteurs PR et RQ sont colinéaires. PR -1 x 0 - y et RQ 1 a La colinéarité des vecteurs PR et RQ se traduit par : On a donc le système suivant : x + ax = 1 a y = 1 - x (-1 x) a - 1 (-y) = 0 -ax + y = a 1 a x = y = 1 1 a x + y = 1 -ax + y = a 1 a x = Donc P a bien pour coordonnées 1 a ; a y = ) a) QCBM est un parallélogramme donc BM = CQ. Soit M(x;y) 1 a x = y = a 4

5 BM x 1 y et CQ a BM = CQ x = 1 et y = 1 a Les coordonnées de M sont donc (1; 1 a). ACPN est un parallélogramme donc Soit N(x;y) PN x 1 a y a CA 0-1 PN = CA. 1 a a PN = CA x = et y = - 1 = a 1 a = a 1 Les coordonnées de N sont donc 1 a ; a 1. RM 1 - a b) et RN a 1 (1 a) - = 0 1 a + 1 a 1 = a 1 Donc les vecteurs RM et RN sont colinéaires. Donc les points R, M et N sont colinéaires. 5

6 Exercice : 1) Question de cours Un vecteur directeur v de la droite d a pour coordonnées (-b ;a). Un vecteur directeur v de la droite d a pour coordonnées (-b ;a ). Les droites d et d sont sécantes si et seulement si les vecteurs ne sont pas colinéaires c'est-à-dire si et seulement si ba (-ab ) 0 Soit si et seulement si ab ba 0. ) Application a) Les coordonnées du milieu C de [AB] sont : 4 - ;+4 Soit C (1 ;3) v et v x C y C + = = 0 ; donc C (d). x C y C + = = 0 ; donc C (d) Donc d est la médiane issue de C du triangle ABC. Les coordonnées du milieu B de [AC] sont : ; + 9 Soit B 11 ;11-1,5x B + 7,5y B 33 = -1, ,5 11 Donc B (d ) = 6 33 = = 0-1,5x B + 7,5y B 33 = -1,5 (-) + 7, = = 0 Donc B (d ) Donc d est la médiane issue de B du triangle ABC. b) Un vecteur directeur de d est v (1 ;1) et un vecteur directeur de d est v (-7,5 ;-1,5). v et v ne sont pas colinéaires ; donc les droites d et d sont sécantes. c) G est le point d intersection des médianes d et d du triangle ABC. 6

7 Les coordonnées de G vérifient donc le système : x y + = 0-1,5x + 7,5y 33 = 0 x = y -1,5(y ) + 7,5y = 33 x = y 6y = 33-3 y = 5 x = 3 Les coordonnées de G sont donc (3 ;5) Figure avec GeoGebra 7

8 Exercice 3 : variations des fonctions associées : distance d'un point à une droite 1) a) A(0;1) et M(x;x -4) AM² = x² + (x 4 1)² = x² + x² - 10x + 5 = x² - 10x + 5 Donc AM = x² - 10x + 5 ) a) Le discriminant de l'équation du second degré x² - 10x + 5 est : = (-10)² = = -100 Donc x² - 10x + 5 > 0 pour tout x réel. Donc la fonction f est bien définie sur Y. b) x² - 10x + 5 = x² - 5x + 5 = x 5 ² x² - 10x + 5 = x 5 ² = x 5 ² 5 + De cette forme canonique de u(x), on déduit le tableau de variations suivant : x f' f(x) - + 5/ 5/ - + c) Les fonctions u et u varient dans le même sens sur Y. d) On en déduit que la distance minimale de AM est atteinte pour x = 5 et que sa valeur est Vérification graphique : 5 = 5 =5. 5 3,54. 8

9 Remarque : On verra dans un autre chapitre que la distance d'un point A(x A ;y A ) à une droite d'équation ax + by + c = 0 est donnée par la formule : D = ax A + by A + c a² + b² Vérification avec l'exemple de l'exercice : a = 1; b = -1; c = -4; x A =0 et y A = On a alors : D = 1² + (-1)² = 5 On retrouve bien la distance minimale du point A à la droite d trouvée dans l'exercice. Exercice 4 : variations des fonctions associées a) BM = 8 x Donc f(x) = 1 x x = 8 x + x x(8 x) = 8 x(8 x) Or 16 (x 4)² = (4 + x 4)(4 x + 4) = x(8 x) Donc f(x) = 8 16 (x 4)² b) La fonction x (x 4)² est décroissante sur ]0;4] et croissante sur [4;0[. La fonction x 16 - (x 4)² est croissante sur ]0;4] et décroissante sur [4;0[ La fonction x 1 est décroissante sur ]0;8[. x 8 Donc la fonction x décroissante sur ]0;4] et 16 (x 4)² croissante sur [4;8[. 9

10 c) f admet un minimum sur ]0;8[ en x = 4 et ce minimum est égal à f(4) = 1. Exercice 5 : variations des fonctions associées 1) a) Si x -1 alors 1 + x Pour comparer les nombres positifs 1 + x et 1 + x, on peut comparer leurs carrés. ( 1 + x)² = 1 + x 1 + x ² = 1 + x + x² On a : 1 + x ² - ( 1 + x)² = x² 0 (car un carré est toujours positif). Donc 1 + x ² ( 1 + x)² Comme la fonction carrée est croissante sur l'intervalle [0;+ [, on en déduit que 1 + x 1 + x 10

11 ) a) b) Si 1 + x = 1 + x alors 1 + x = 1 + x ² D'où : 1 + x = 1 + x + x² D'où x = x = 1 + x pour x = 0. b) Pour tout [-1; + [, 1 + x 1 + x et 1 + x = 1 + x pour x = 0. On en déduit que la droite d d'équation y = 1 + x est toujours située au dessus de la courbe C f. Le point d'intersection de la droite d et de la courbe C f est le point (0;1). 11

12 Exercice 6 : variations des fonctions associées 1) f(x) =(x² + x ) = x + 1 ² = x + 1 ² 9-4 On en déduit les variations de f : x f' - - 1/ + + f(x) -9/ ) La forme factorisée de f est : f(x) = (x + )(x 1) 3) On a donc si x - ou x 1 alors f(x) 0 et si x [-;1] alors f(x) 0. 1