MATHÉMATIQUES T erminale S

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1 L Oasis Des MATHÉMATIQUES T erminale S Boubacar MANÉ Mansour SANÉ

2 Préface

3 Table des matières 1 Les Nombres Complexes 5 I Historique II Fabrication de sur-ensembles successifs de N par découverte de lacunes III Ensemble C des nombres complexes IV Opérations dans C V Équations dans C VI Forme trigonométrique d un nombre complexe VII Exercices VIII Épreuves de Bac Transformations et Complexes 1 3

4 4

5 Les Nombres Complexes chapitre 1 Connaissances nécessaires à ce chapitre calculer une expression littérale ; résoudre des équations ; placer des points dans un repère ; lire des coordonnées d un point ; calculer les coordonnées d un vecteur ; calculer la distance entre deux points, connaissant leurs coordonnées ; connaitre et représenter l équation d une droite, l équation d un cercle. Auto-évaluation a. Quelle est la valeur de Px)=x 4 x 3 16x 3x+ 18 si x = 1? b. Quelle est la valeur de Px)=x 4 x 3 16x 3x+ 18 si x =? c. Résoudre Px) = 0. d. Placer le point G1;3i) sur le graphique ci-dessous. e. Quels sont les coordonnées de F? f. Quels) estsont) les points d abscisse? g. Quels) estsont) les points d ordonnée i? 3i i B + A C + i + F D + i E i + I Historique Par nécessité, la notion de nombre s est enrichie au cours des siècles. On connait N l ensemble des entiers naturels : N={0;1;...}. L ensemble Z des entiers relatifs contient N ainsi que les opposés des entiers naturels : 5

6 Z={... 3; ; 1;0;1;...}. Les nombres fractionnaires, nécessaires pour les partages, sont de la forme a avec a et b b entiers ; ils constituent l ensemble Q des nombres rationnels. On remarquera que N est un sous-ensemble de Z, et Z est un sous-ensemble de Q. L ensemble R des nombres réels contient l ensemble Q des nombres rationnels ainsi l ensemble des nombres irrationnels tels que π,, 5... qui ne peuvent pas se mettre sous la forme a avec a et b entiers. b Pour résoudre des équations du troisième degré en particulier) les mathématiciens du XVI e siècle commencèrent à entrevoir l existence d autres nombres qu ils appellent nombres imaginaires. C est le cas en particulier de Jérome Cardan, mathématicien italien, qui obtenait des résultats intéressants en prenant la racine carrée d un nombre négatif. II Fabrication de sur-ensembles successifs de N par découverte de lacunes L équation 7+ x = 4 n a pas de solution dans N, mais sa solution 3) est dans Z. L équation 3x = n a pas de solution dans Z, mais sa solution est dans Q. 3 L équation x = n a pas de solution dans Q, mais ses solutions et sont des nombres irrationnels. L équation x = 1 n a pas de solution dans R, mais aura comme solution i dans le nouvel ensemble C. i i 3 i ,8 3 +) N 4 Z D 5,33 π R 3,75 Q 3 C 6 Chapitre 1. Les Nombres Complexes

7 III Ensemble C des nombres complexes Au milieu du XVIII e siècle, le mathématicien suisse Leonhard Euler désigne par i le nombre imaginaire 1 ; ainsi i = 1 et tous les nombres imaginaires seront de la forme a+ ib avec a et b réels. Tous ces nombres constituent l ensemble des nombres complexes, ensemble que l on va noter C. A Écriture algébrique d un nombre complexe Définition Tout nombre complexe z s écrit de facon unique sous la forme z = a+ ib où a et b sont des réels. L écriture a + i b où a et b sont réels, s appelle écriture algébrique aussi appelée écriture cartésienne) du nombre complexe z. Le nombre réel a s appelle partie réelle du nombre complexe z et on écrit : a= Rez). Le nombre réel b s appelle partie imaginaire du nombre complexe z et on écrit : b= Imz). Quand b est nul, le nombre complexe z s écrit z = a et z est un nombre réel. Quand a est nul, le nombre complexe z s écrit z = ib ; on dit que z est imaginaire pur. Remarque : Soit un nombre complexe z tel que z = a + bi où a et b sont des réels ; 1. z = a+ bi = 0 a= 0 et b= 0. z = a+ bi = a + b i a= a et b= b où a, b, a et b sont des réels) 3. z = a+ bi réel b= 0 4. z = a+ bi imaginaire pur a= 0 B Conjugué d un nombre complexe Définition On appelle conjugué du nombre complexe z = a+ bi le nombre complexe noté z défini par : z = a bi Si z et z sont deux nombres complexes conjugués alors : ) z+ z = z+ z ; z z = z z ; z z = z z 0). z 7

8 IV A Opérations dans C Addition et soustraction de deux nombres complexes Pour additionner deux nombres complexes, on fait séparément la somme des parties réelles et celle des parties imaginaires. Pour soustraire deux nombres complexes, on fait séparément la différence des parties réelles et celle des parties imaginaires. Exemple a. Mettre sous la forme algébrique 3+i )+5 i) ; 1+3i ) 5 i ) et i 5)+3 4i ). b. Calculer 3+i )+5 i) et 1+3i ) 5 i ). Correction: a. Écriture nombres sous la forme algébrique : 3+i)+5 i)= 3+i + 5 i = 3+5)+ 1)i = 8+i 1+3i) 5 i)= 1+3i 5+i = 1 5)+3+)i = 4+5i i 5)+3 4i)=i 5+3 4i = 5+3)+ 4)i = i. b. Calculons : 3+i)+5 i)= 3+i)+5+i)= 8+3i 1+3i) 5 i)=1 3i 5+i = 4 i. B Multiplication de deux nombres complexes Pour multiplier deux nombres complexes, on applique la distributivité de la multiplication par rapport à l addition et à la soustraction. Exemple Effectuer les produits suivants : 6 i ) ; 5i 7+3i ) ; +3i )5 4i ) ; 9 i )5+7i ) et 1+3i )5 i ). Correction: 6 i)= 6 i = 1 4i 5i7+3i)=5i 7 5i 3i = 1 4i = 35i 15i = 15+35i +3i)5 4i)=5 4i)+3i5 4i)= 10 8i + 15i 1i )=10 8i+ 15i i)5 4i)= +7i 9 i)5+7i)=59+53i 1+3i)5 i)=1 3i)5 i)= 1 17i. 8 Chapitre 1. Les Nombres Complexes

9 C Division de deux nombres complexes Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur puis on calcule. Le dénominateur doit toujours être un nombre rationnel. Exemple Écris les nombres z 1 = +5i 3 i et z = 1 3i sous la forme algébrique. 3+4i Correction: z 1 = +5i 3 i = +5i)3+i) 3 i)3+i) = 4+19i = i z = 1 3i 3+4i = 1 3i)3 4i) 3+4i)3 4i) = 9 13i = i. V Équations dans C De façon générale, deux nombres complexes sont égaux s ils ont les mêmes parties réelles et imaginaires. Exemple Résout dans C les équations 1+i z = 1+3i et 1+i)z = z +3i. z Correction: Pour z 0, on a : 1+iz = 1+3i 1+iz = z 1+3i) 1=z 1+3i) iz z 1 z [ 1+3i) i]= 1 z 1+i)=1 z = 1+i = 1 i 1+i) 1 i) 1 i 1 i z = 1) i) = 1+4 = 1 i 5 1 i S= 5 1+i)z = z +3i Posons z = a+ bi, a et b réels ; on obtient : 1+i)a+ bi)=a bi +3i a+ bi + i a b = a +3i bi a b+ b+ a)i { = a { +3 b)i { a b = a b= b= a+ b = 3 b a+ b= 3 a= 1 z = 1+i d où S= { 1+i} 9

10 Remarque : Si z est un nombre complexe, a, b et c des réels tels que az + bz+ c = 0 a 0) [ alors, on peut toujours écrire que : az + bz+ c = a z+ b ) ] a 4a avec =b 4ac forme canonique). [ az + bz+ c = 0 a z+ b ) ] a 4a = 0 z+ b ) a 4a= 0 car a 0, ce qui donne : z+ b ) a 4a = 0 z+ b ) ) = 0 a a z+ b ) a z+ b ) a a + = 0 a z+ b ) z+ b+ ) = 0 a a z+ b ) = 0 ou z+ b+ ) = 0 a a z 1 = b a Et finalement, on obtient : az + bz+ c = 0 si et seulement si ou z = b+ a Si >0, on obtient deux solutions réelles z 1 = b Si =0, on a une solution double z 0 = b a. a ou z = b+. a Si <0, les solutions complexes sont z 1 = b i ou z = b+ i a a L écriture de la forme canonique permet de faire une factorisation dans C. Exemple Résoudre dans C l équation z + z+ =0 Correction: z + z+ =0, =1 8= 7 = 7= 7 i = i 7 z 1 = 1 i 7 1 i 7 Ce qui donne alors z = 1+i ; S = ; 7 1+i 7 10 Chapitre 1. Les Nombres Complexes

11 VI A Forme trigonométrique d un nombre complexe Représentation géométrique des nombres complexes Droite réelle R : On appelle droite réelle, toute droite rapportée à un repère normé O; #» u ) ; A tout nombre réel x, on associe alors un point M de la droite réelle celui d abscisse x), et réciproquement ; on note Mx) pour dire : le point M d abscisse x. 3 1 O M 0 #» u 1 x 3 4 Plan complexe C : On appelle plan complexe tout plan rapporté à un repère orthonormé direct O; #» u ; #» v ) ; A tout nombre complexe z = x+i y, on associe alors un point M du plan complexe celui de coordonnées x; y)), et réciproquement. On note Mz) pour : dire le point M d affixe z). 3i yi i i #» v O i J #» u M I 1 x 3 Définition Le nombre complexe z = a+ bi est appelé affixe du point Ma;b) ; On la note z M ; Le point Ma;b) est appelé image du complexe z = a+ bi ; On le note Mz) ; Le vecteur #» u a;b) est appelé vecteur image du complexe z = a+ bi ; On le note #» u z). L axe des abscisses du plan complexe correspond aux images des réels : il est appelé axe des réels ; L axe des ordonnées du plan complexe correspond aux images des imaginaires purs : il est appelé axe des imaginaires purs. B Module et argument d un nombre complexe Tout point M O du plan complexe est repéré soit : par un couple de coordonnées cartésiennes x; y) ou a;b)) ; par un couple de coordonnées polaires r ;θ) r > 0 et θ défini à π près). y sin θ r θ M O cos θ x 11

12 On a les relations suivantes : { x= r cosθ) y = r sinθ) Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes) ; r = x + y et θ tel que : cosθ)= x r sinθ)= y Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires ) r Définition : Module et Argument Soit z = x+i y un nombre complexe non nul d image M ; On appelle : argument de z toute mesure en radians) de l angle polaire de M c est-à-dire de l angle orienté #» u ; OM). #» On le note argz) lire arg de z ). module de z la distance OM ; On le note z lire module de z ) et donc z = x + y. Si on note r le module et θ un argument de z, alors : z = r cosθ)+isinθ)) Cette écriture est appelée forme trigonométrique de z. iy sin θ) #» v O #»u r = z cos θ) Mz) θ=ar g z) x Remarque : La forme algébrique caractérise un complexe z à partir de sa partie réelle x et de sa partie imaginaire y donc à partir des coordonnées cartésiennes x; y) de Mz) alors que la forme trigonométrique caractérise un complexe z à partir de son module r et de l un de ses arguments θ donc à partir de coordonnées polaires r ;θ) de Mz). Exemple Donner l écriture trigonométrique z = 3+i Correction z = 3) + 1) = 4= 3 cosθ) = si nθ)= 1 θ= π 6. D où z = cos π 6 + i.si n π ) 6 Exemple Donner l écriture algébrique z = 4 cos π 4 + i.si n π ) 4 Correction z = 4 ) + i. = +i. 1 Chapitre 1. Les Nombres Complexes

13 C Forme exponentielle d un nombre Complexe Pour tout θ, on pose e iθ = cosθ)+i.sinθ). e iθ =1; e iθ )=e iθ ; e i θ+kπ) = e iθ ; e iθ e iθ = e i θ+θ ) 1 ; e iθ= e iθ ; eiθ = e i θ θ ) ; e iθ e iθ ) n = e iθn. Si un complexe z non nul admet r comme module et θ comme argument alors z = r.e iθ. r.e iθ = r.e iθ avecr > 0 et r > 0) r = r et θ= θ + kπ. Exemple Soit z = 3+i Correction z = 3) + 1) = 4= 3 cosθ) = z = si nθ)= 1 θ= π 6. Exemple z = 4.e i. π 4 Correction D où z =.e i. π 6 z = 4.e i. π 4 = 4 cos π 4 + i.si n π 4 ) z = 4 + i. = +i. ) Exemple Calculer de 1 i) 1 Correction On pose z = 1 i) : z = =. D où z =.e π 4 1 i) 1 = z 1 =.e π 4 cosθ)= 1 = si nθ)= 1 = θ= π 4. ) 1= ) 1 ) 1= e π ) 1 4 e 1π 4 = 64.e 3iπ 1 i) 1 = 64cos 3π)+i.si n 3π))= 64 1 i) 1 = 64 Exemple Soit z 1 = +i. et z = 3+i. Calculer la forme trigonométrique de z 1, z et z ) ) 1 π π puis déduire la valeur de cos et si n. z 1 1 Correction En calculant le module et un argument de z 1 et z, on montre que z 1 =.e i π 4 et z =.e i π 6. On en déduit que z 1 =.e i π 4 = e i π z.e i π 4 π 6 ) = e i π π 1 ; 6 1 est donc un argument de z 1. z Or z ) ) 1 +i. +i. 3+i 6+ 6 = = = + i. z 3+i ) ) z1 z1 ) R e ) I m π z 6+ π z 6 Donc cos = = et si n = = 1 z z 1 4 z z 13

14 Exemple Résolvons l équation z 3 = 1. Correction Posons z = r.e i.θ ; l équation devient alors z 3 = r 3.e 3i.θ = 1.e i.θ r = 1 et 3θ= kπ. Ce qui donne : r = 1 et θ= kπ. En posant k = 0, k = 1 et k =, on a : 3 1.e i.0 = 1 ; 1.e i. π = + i. 4π 1 3 et 1.ei. 3 = i. S = { 1; i. ; 1 } 3 i. D Formules de Moivre et d Euler Formule de Moivre Formule d Euler cosθ)= ei.θ i.θ + e e i.θ ) n = e i.nθ cosθ)+i.sinθ)) n = cosnθ)+i.sinnθ) et sinθ)= ei.θ i.θ e i Exemple Linéarisons : cos 3 x) Correction cos 3 x)= e i.x + e i.x ) 3 = ei.3x + e i.3x + 3e i x + 3e i x 8 = cos3x)+6cosx) = cos3x)+ 3 4 cosx) E Nombres complexes et configurations A, B et C étant trois points distincts d affixes z A, z B et z C dans un repère O; #» u ; #» v ) ; Alors : AB = z B z A ; ar g z B z A ) = #»u #» ) ; AB ; ) zc z A #» ar g = AB; #» ) A za ) AC z B z A z B z A #» v C zc ) B zb ) D zd ) ) zc z A ar g z B z A ar g z B z A ) O #» u 14 Chapitre 1. Les Nombres Complexes

15 Définition AB) CD) ar g AB) CD) ar g Z #» CD Z #» AB ) ) Z #» CD Z #» AB A, B et C alignés ar g = 0+kπ ou π+kπ Z #» CD Z #» AB = π +kπ ou π +kπ Z #» CD Z #» ) AB Z #» AC Z #» AB = 0+kπ ou π+kπ Z #» AC réel A Bet C D) Z #» AB imaginaire pur A Bet C D) réel A Bet A C) L ensemble des points M d affixe z tels que z z A =r r > 0) est le cercle de centre A et de rayon r. L ensemble des points M d affixe z tels que z z A = z z B z A z B ) est la médiatrice du segment [AB]. L ensemble des points M d affixe z tels que z z A )=θ+ kπ est la demi-droite partant de Amais ne contenant pas A) dirigée par le vecteur #» r tel que #» u ; #» r )=θ F Complexes et transformations Définition Soit M d affixe z, M d affixe z et Ω d affixe ω ; z = z+ b M est l image de M par la translation de vecteur #» u dont l affixe est b. z ω=e iθ z ω) M est l image de M par la rotation de centre Ω et d angle θ. z ω=kz ω) M est l image de M par l homothétie de centre Ω et de rapport k. G Caractérisation d un réel et d un imaginaire pur Définition z est réel I m z)=0 z = z z = 0 ou ar g z)=0+kπ ou ar g z)=π+kπ z est imaginaire pur R e z) = 0 z = z z = 0 ou ar g z) = π + kπ ou ar g z)= π + kπ Exemple Déterminer l ensemble E des points M d affixe z tels que + i )z + 3 4i soit imaginaire pur. Déterminer l ensemble E des points M d affixe z tels que z i soit réel. z 15

16 Correction On pose z = x+ i y x et y réels), i z+ 3 4i imaginaire pur +i )x+ i y)+3 4i imaginaire pur x y+ 3)+ix+ y 4) imaginaire pur x y+ 3=0. E est donc la droite d équation y = x + 3. Soit A d affixe i et B d affixe. ) ) z i z i z i réel z = i ou ar g = 0+kπ ou ar g = π+kπ avec z ). z z z On a alors : M=A ou MB; #» M # A)=0+kπ» ou π+kπ avec M B). E est donc la droiteab)privée du point B. VII Exercices Exercice 1 Soient z = +3i et z = i 5. Calculer et écrire sous la forme algébrique : z+ z, z z, z 3z, z ), z z et z. Exercice Placer dans le plan complexe les points d affixes : z 1 = +3i, z = 3 i, z 3 = 1+i, z 4 = i, z 5 = i z 6 = i, z 7 = 1, z 8 = i 3, z 9 = z 1 3z, z 10 = z 3 z 4 z ). Exercice 3 Soit z = 3+5i et z = +3i, calculer z, z, z+ z, z+ z, z+ z, z z, z z, z z. Exercice 4 Calculer les nombres complexes suivants et les mettre sous forme algébrique : a= 3+i)1 i) +i) b= i)3+i)+4i c = 1+i) 3 d = 3+4i) 4 e = 9 4i f = i +i 3 i + 4+i 1 i. Exercice 5 1 ) Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : 1 +7i ; 4 i ; 3 i 5+3i ; i 1 3i ; +i. i ) Résoudre l équation 1 + i)z = 3 i, donner la solution sous la forme algébrique. 3 ) Le nombre complexe i est-il solution de l équation 1 i)z+ 1+3i = 0? 4 ) Le nombre complexe 1+3i est-il solution de l équation 5z z+ =0? 5 7+5i 5 ) Écrire plus simplement le nombre complexe 7 i + 7 i. 7+5i 16 Chapitre 1. Les Nombres Complexes

17 Exercice 6 Résoudre les équations suivantes, d inconnue z C : a) i z z+ 4 i = z 4i b) z i z+ i = z+ c) z+ 3+i)z = 4 i d) z 3i 1+i)z+ 1 i)z = 3. e) z 4z+ 5=0 f) z 5 i)z+ 5 5i = 0 g) z 3+i)z+ 4+3i = 0 h) 1+i)z + 31 i)z +i)=0. Exercice 7 1 )Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants : z 1 = 3+4i, z = 1 i, z 3 = 5 i, z 4= 3, z 5 = i 4, z 6 = i, z 7 = 5, z 8 = + i. ) Donner les formes trigonométriques de : z 1 = 1+i, z = 3+i, z 3 = 1 i 3, z 4 = i. Placer les points correspondants et faire apparaître les éléments sur un dessin. Exercice 8 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé O; u, v), on considère les points A et B d affixes respectives a= 3i et b= 5 i. Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB. Exercice 9 Soient z 1 = +i et z = 1+i 3. Écrire z 1 et z sous la forme trigonométrique. En déduire les formes trigonométriques de z 1 z ; Exercice 10 z 1 z ; z 1 ) 3 ; z 1 ; z ; z 1 ) z. On considère les nombres complexes : z 1 = e i π 3 ; z = e i π 4 et z = z 1 z. 1 ) Donner la forme exponentielle de z. ) Donner les formes algébriques de z 1 et z. En déduire la forme algébrique de z. 3 ) En déduire les valeurs exactes de cos π 1 et sin π 1. Exercice 11 Écrire sous la forme exponentielle et sous la forme trigonométrique les nombres complexes : 17

18 a= 3+ 3 i, b= 1+i, c = 5+11i 3 7 4i 3, d = cos π 6 + i sin π ). 6 Exercice 1 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct O; u, v), on considère les points A, B et C d affixes respectives a= 1, b= 1+i et c = 1+ 3+i. Calculer c a et l écrire sous la forme exponentielle. En déduire la nature du triangle ABC. b a Exercice 13 1 ) On considère l équation E ) : z 4z 5=0. a) Montrer que : E ) : z ) 9=0 [z ) 3][z )+3]=0. b) En déduire les solutions de E ). ) On considère l équation F ) : z 4z+ 13= 0. a) Montrer que : F ) : z ) + 9=0. b) En remarquant que 9= 3i), trouver les solutions de F ). VIII Épreuves de Bac Exercice 14 Partie A : On considère le polynôme P défini sur C par Pz)=z 3 +i ) z + 1+i ) z i. a. Montrer que le nombre complexe z 0 = i est solution de l équation Pz)=0. b. i. Déterminer les réels a et b tels que Pz)= z i ) z + az+ b ). Partie B : ii. En déduire les solutions dans C de l équation Pz) = 0. Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct O; #» u ; #» v ). On prendra cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d affixes respectives : z A = 1+i, z B = 1 i, z J = i et z K = e 3iπ 4. a. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l exercice. 18 Chapitre 1. Les Nombres Complexes

19 b. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l affixe de L est égale à. c. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. d. Soit D le point d affixe z D = 1+i. On considère!a rotation r de centre O qui transforme J en D. i. Déterminer une mesure de l angle de la rotation r. ii. Soit C l image du point L par la rotation r. Déterminer l affixe du point C. e. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse. 19

20 Exercice 15 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct O; u, v) unité graphique cm), on considère les points A, B et C d affixes respectives z A =, z B = 1+i 3 et z C = 1 i 3. Partie A a. i. Donner la forme exponentielle de z B puis de z C. ii. Placer les points A, B et C. b. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC. c. Déterminer et construire l ensemble D des points M du plan tels que Partie B z = z. À tout point M d affixe z tel que z z A, on associe le point M d affixe z défini par z = 4 z. a. i. Résoudre dans C l équation z = 4 z. ii. En déduire les points associés aux points B et C. iii. Déterminer et placer le point G associé au centre de gravité G du triangle OAB. b. i. Question de cours : Prérequis : le module d un nombre complexe z quelconque, noté z, vérifie z = zz où z est le conjugué de z. Démontrer que : pour tous nombres complexes z 1 et z, z 1 z = z 1 z. pour tout nombre complexe z non nul, 1 z = 1 z. ii. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de, z = z z. iii. On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D, où D est l ensemble défini à la question 3. de la partie A. Démontrer que le point M associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ. 0 Chapitre 1. Les Nombres Complexes

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( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3 I Forme algébrique d un nombre complexe 1 Il existe un ensemble noté et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes : " ; L'ensemble est muni d'une addition et d'une multiplication

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