Le Calcul des Géodésiques de l Ellipsoïde de Révolution

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1 Le Calcul des Géodésiques de l Ellipsoïde de Révolution Abdelmajid Ben Hadj Salem, Dipl.-Eng. abenhadjsalem@gmail.com 6, Rue du Nil, Cité Soliman Er-Riadh, 800 Soliman, Tunisia. Calcul des Lignes Géodésiques de L Ellipsoide de Révolution A côté de la difficulté principale, de celle qui tient au fond même des choses, il y a une foule de difficultés secondaires qui viennent compliquer encore la tâche du chercheur. Il y aurait donc intérêt à étudier d abord un problème où l on rencontrerait cette difficulté principale, mais où l on serait affranchis de toutes les difficultés secondaires. Ce problème est tout trouvé, c est celui des lignes géodésiques d une surface ; c est encore un problème de dynamique, de sorte que la difficulté principale subsiste ; mais c est le plus simple de tous les problèmes de dynamique. (H. Poincaré, 905) Après avoir défini les lignes géodésiques d une surface, on établit les équations des géodésiques pour une surface donnée. Comme application, nous détaillons celles de l ellipsoïde de révolution. On fera l intégration de ces équations.. Introduction et Notations Soit (S) une surface définie par les paramètres (u, v) avec (u, v) D un domaine R. Un point M (S) vérifie : OM = OM (u, v) (.) 07 novembre 05.. Henri Poincaré (854-9) : Mathématicien français, parmi les plus gran du XIXème siècle.

2 Calcul des Lignes Géodésiques de L Ellipsoide de Révolution On introduit les notations usuelles : E = M u. M u = M u F = M u. M v G = M v. M v = M v (.) (.3) (.4) Des équations ( ), on obtient les équations : E u = M M u. u (.5) E v = M u. M u v (.6) F u = M u. M v + M u. M u v (.7) F v = M v. M u + M v. M u v (.8) G u = M v. M u v (.9) G v = M M v. v (.0) Soit n le vecteur unitaire normal en M(u, v) à la surface (S), n est donné par : M n = u M u (.) H avec : H = M u M u (.) D où : = E.du +.F.du.dv + G.dv (.3) L équation (.3) représente le carré infinitésimal de la longueur de l arc. Soit une courbe (Γ) tracée sur (S) et N est le vecteur unitaire de la normale principale le long de (Γ). Définition : Une courbe (Γ) est dite ligne géodésique de la surface (S) si et seulement si les vecteurs n et N sont colinéaires. On démontre par le calcul des variations (P. Petersen, 998) que la ligne géodésique entre deux points d une surface (S) lorsqu elle existe est la courbe de longueur minimale joignant les deux points.

3 Calcul des Lignes Géodésiques de L Ellipsoide de Révolution 3. Les Equations Différentielles des Lignes Géodésiques Calculons l expression de N, on a : N = R dt (.4) Or : D où : T = dm = M u du + M v dv (.5) dt = M u ( ) du + M u v du dv + M d u u + M v La condition n // N peut être écrite : d u + M v ) ( dv (.6) N n = 0 (.7) soit : R dt M u M u H = 0 (.8) Utilisant la formule du produit vectoriel : On obtient : A (B C) = (A.C)B (A.B)C (.9) ( dt. M v ) ( ) M dt M u. M u v = 0 (.0) Or M u et M forment une base du plan tangent en M, d où les deux v conditions : dt. M v = 0 et dt. M u = 0 (.) Ce qui donne deux équations différentielles du second ordre : M u. M v ( ) du +F d u + M u v. M v du dv M + v. M v ( dv ) +G d v = 0 (.)

4 Calcul des Lignes Géodésiques de L Ellipsoide de Révolution 4 et : M v. M u Posons : ( ) dv +F d v + M u v. M u E u = E u ; F v = F v ; E v = E v ; G u = G u ; du dv M + u. M u F u = F u G v = G v ( ) du +E d u = 0 (.3) (.4) Utilisons les équations (.5) à (.0), (.) et.3), ces dernières équations peuvent être écrites : ( ) (F u E v du ) + F d u + G u ( ) (F v G u dv ) + F d v + E v du dv dv + G v du + E u ( ) dv + G d v = 0 (.5) ( ) du + E d u = 0 (.6).3 Détermination des Lignes Géodésiques de l Ellipsoïde de révolution Considérons maintenant comme surface l ellipsoïde de révolution qu on paramètre comme suit : X = N.cosϕcosλ Y = Ncosϕsinλ (.7) Z = N( e )sinϕ où : N = a / = aw e sin ϕ est le rayon de courbure de la grande normale avec : Appelons : W = e sin ϕ r = Ncosϕ (.8) le rayon du parallèle de latitude ϕ et ρ le rayon de courbure de la méridienne donné par : ρ = a( e ) ( e sin ϕ) e sin ϕ = a( e )W 3/

5 Calcul des Lignes Géodésiques de L Ellipsoide de Révolution 5 Alors la première forme fondamentale s écrit : = ρ dϕ + r dλ (.9) En prenant comme variables u = ϕ et v = λ, nous obtenons : E = E(ϕ) = ρ, F = 0, G = r (.30) E ϕ = ρρ, E λ = 0, F ϕ = F λ = 0, G ϕ = rr = rρsinϕ, G λ = 0(.3) Alors les équations (.5) et (.6) deviennent : rρsinϕ La première équation s écrit : dont l intégration donne : rρsinϕ dϕ dλ + r d λ = 0 (.3) ( ) dλ ( ) dϕ + ρρ + ρ d ϕ = 0 (.33) r dλ ( d r dλ ) = 0 (.34) = C = constante (.35) Nous retrouvons la relation de Clairaut (J. Lemenestrel, 980) : r.sinaz = constante = C = asinaze (.36) où Az est l azimut de la géodésique au point M et Aze son azimut initial au point M 0 à l équateur. L équation (.33) s écrit : ρ ( rsinϕ ( dλ ) + ρ ( dϕ ) ) + ρ d ϕ = 0 (.37) Ce qui donne : - ρ = 0 le point M est sur l équateur : ϕ = 0 et r = a le demi-grand axe de l ellipsoïde et l équation (.3) devient : dont l intégration donne : d λ = 0 (.38) λ λ 0 = l(s s 0 ) (.39). Alexis Claude de Clairaut (73-765) : Mathématicien, astronome et géophysicien français.

6 Calcul des Lignes Géodésiques de L Ellipsoide de Révolution 6 le point M décrit l équateur et la géodésique est le grand cercle de rayon a. - ρ 0, le point M n est pas sur l équateur, l équation (.33) s écrit comme suit : ρ d ϕ + ρ ( ) dϕ + rsinϕ Pour intégrer (.40), utilisons une nouvelle fonction, soit : ( ) dλ = 0 (.40) Z = dλ dϕ (.4) De (.35), on obtient : soit : dϕ = dϕ dλ dλ = C r dϕ dλ = dϕ = C r Z C r Z Exprimons maintenant la dérivée seconde d ϕ/ : d ϕ = d ( ) dϕ = d dϕ ( ) dϕ dϕ = d dϕ L équation (.40) s écrit en utilisant (.35) et (.43) : [ (dϕ ) ] ρ d dϕ + ρ ( dϕ (.4) ( ) dϕ (.43) ) ( ) C + sinϕ r 3 = 0 (.44) Posons : L équation (.44) devient : U = ( ) dϕ (.45) ρ du dϕ + ρ U = C sinϕ r 3 (.46) L équation (.46) est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre. Sa résolution sans second membre donne : U = k ρ (.47) En utilisant le second membre de (.46), on considère que k est une fonction de ϕ, on a alors : U = ( ) ρ k 0 C r = k 0r C ρ r (.48)

7 Calcul des Lignes Géodésiques de L Ellipsoide de Révolution 7 avec k 0 la constante d intégration. U étant une fonction positive, on doit avoir : k 0 r C > 0 (.49) Revenant à l équation (.45), on obtient : U = Utilisons les équations (.4) et (.50), on obtient : ce qui donne : ( ) dϕ = k 0r C ρ r (.50) ( ) dϕ = k 0r C ( ) C ρ r = r = C Z r 4 Z = C r 4 ( ) dϕ (.5) dλ ( ) dλ = ρ C dϕ r k 0 r C (.5) Déterminons la valeur de k 0. Pour cela, nous exprimons dλ en utilisant les équations (.35) et (.5). Calculons, on obtient : soit : Or d après (.35) : = ρ dϕ + r dλ = r (k 0 r C ) C dλ + r dλ = r4 k 0 C dλ d où alors k 0 = et par suite : ( ) dλ = C r 4 ( ) dλ = C k 0 r 4 (.53) ( ) dλ = ρ C dϕ r r C (.54) Pour pouvoir intégrer l équation précédente, exprimons r C, d où : Posons : D où : r C = N cos ϕ C = a cos ϕ e sin ϕ C = ) (a C ) ( a C e sin ϕ W a C (.55) k = a C e a C (.56) r C = (a C )( k sin ϕ)/w (.57)

8 Calcul des Lignes Géodésiques de L Ellipsoide de Révolution 8 Remarquons que le coefficient k est supérieur à, donc la latitude géodésique ϕ reste inférieure à la latitude ϕ définie par sinϕ = /k. Alors l équation (.54) s écrit : ( dλ dϕ ) = ( e ) C (a C )cos ϕ( e sin ϕ)( k sin ϕ) (.58) D où en remplaçant C par a.sin(aze) et comme tg(aze) est de même signe que (dλ/dϕ), on peut écrire alors : dλ dϕ = Soit en intégrant entre 0 et ϕ : ou encore : ( e )tg(aze) cosϕ ( e sin ϕ)( k sin ϕ) ϕ ( e )tg(aze) λ λ e = 0 cost ( e sin t)( k sin t) dt = ϕ ( e dt )tg(aze) 0 cost ( e sin t)( k sin t) λ λ e = ( e )tg(aze) ϕ 0 dt cost ( e sin t)( k sin t) En prenant comme variable w = sint, l intégrale (.60) devient : (.59) (.60) sinϕ λ λ e = ( e dw )tg(aze) 0 ( w )( e w )( k w ) (.6) Cherchons à exprimer l abscisse curviligne s en fonction de ϕ. Or l expression de est égale à : soit : D où : = ρ dϕ + r dλ = ρ dϕ + C r = r ρ dϕ r C = a ( e ) cos ϕdϕ cos (Aze)( e sin ϕ) 3 ( k sin ϕ) = a( e )cosϕdϕ cos(aze)( e sin ϕ) ( k sin ϕ)( e sin ϕ) (.6) (.63) En prenant t = sinϕ comme nouvelle variable, l intégrale de (.63) donne en prenant comme origine de l abscisse curviligne s un point de l équateur : s = a( e ) cosaze sinϕ 0 dt ( e t ) ( k t )( e t ) (.64) Les intégrales (.6) et (.64) sont des intégrales elliptiques de troisième espèce.

9 Applications aux Problèmes Direct et Inverse du Calcul des Lignes Géodésiques 9 Applications aux Problèmes Direct et Inverse du Calcul des Lignes Géodésiques Dans cette deuxième partie, on va traiter numériquement l application des formules précédentes dans la résolution des problèmes dits direct et inverse du calcul des lignes géodésiques.. Le Problème Direct On donne : - (ϕ, λ ) d un point M, - la longueur s de la géodésique de M à M, - l azimut géodésique Az de la ligne géodésique de M à M. On demande de calculer : - les coordonnées géodésiques (ϕ, λ ) de M, - l azimut géodésique Az en M. Solution :. Calcul de la constante C, C = N(ϕ ).cosϕ.sinaz = a.sin(aze) d où Aze et k.. Détermination de ϕ à partir de : s = a( e ) cosaze avec ϕ = ϕ ϕ. 3. Ayant ϕ, on calcule λ par : λ λ = ( e )tg(aze) cosϕ ϕ ( e sin ϕ ) ( k sin ϕ )( e sin ϕ ) sinϕ sinϕ 4. Le calcul de Az se fait par sin(az ) = C/r(ϕ ).. Le Problème Inverse dw ( w )( e w )( k w ) On donne les coordonnées (ϕ, λ ) et (ϕ, λ ) de deux points M et M. On demande de calculer : - la longueur s de la ligne géodésique de M à M, - l azimut Az en M, - l azimut géodésique Az en M. Solution :. On doit calculer la constante C. A partir de l équation (.54), on peut écrire que : ( ) λ = ρ (ϕ ) C ϕ r (ϕ ) (r (ϕ ) C ) = (λ λ ) (ϕ ϕ )

10 Applications aux Problèmes Direct et Inverse du Calcul des Lignes Géodésiques 0 ce qui donne C : C = r ρ λ ϕ + r ρ ( λ ϕ En considérant l azimut compris entre 0 et π, donc Az est positif, C est positif. En le calculant pour ϕ et ϕ, on obtient C par la valeur moyenne : ) C = C (ϕ ) + C (ϕ ). Par suite, on obtient la valeur de k par (.56) : k = a C e a C 3. Ayant C, on a par (.36), Az et Az : sinaz = C r(ϕ ) et sinaz = C r(ϕ ) 4. Par suite, on a aussi Az e : sinaz e = C a 5. Enfin, l équation (.64) détermine s. On itère le processus..3 Calcul de l Expression (.64) Dans ce paragraphe, on calcule en détails : s = a( e ) cosaz e sinϕ 0 dt ( e t ) ( k t )( e t ) Pour x <, on a les développements limités suivants : ( + x) 3/ = 3 x x 35 6 x x (.) = + x x + 3x 8 + 5x x (.) 8 En prenant x = e t et x = k t, on obtient : ( e t ) 3/ = + 3 e t e4 t e6 t e8 t k t = + k t + 3k4 t 4 + 5k6 t k8 t (.3) 8

11 Applications aux Problèmes Direct et Inverse du Calcul des Lignes Géodésiques Par suite : ( e t ) ( k t )( e t ) = + k + 3e t + 3k4 + 6e k + 5e 4 t ou encore à l ordre 4 : 5k 6 + 9k 4 e + 5k e e 6 t k k 6 e + 90k 4 e k e e 8 t (.4) 8 ( e t ) ( k t )( e t ) = + mt + nt m = k + 3e ; n = 3k4 + 6e k + 5e Calcul de l expression (.6) On a : λ λ e = ( e )tg(aze) soit dans notre cas : λ λ = ( e )tg(aze) Or d après (.) : et : de même : D où : sinϕ 0 sinϕ sinϕ dw ( w )( e w )( k w ) dt ( t )( e t )( k t ) e t = + e t e4 t e6 t e8 t k t = + k t + 3k4 t 4 + 5k6 t k8 t = + t t + 3t t t (.5) 8 ( t )( e t )( k t ) = + + k + e t k + e + 3k 4 + e k + 3e 4 t k + 3e + 3k 4 + e k + 3e 4 + 5k 6 + 3k 4 e + 3k e 4 + 5e 6 t

12 Applications aux Problèmes Direct et Inverse du Calcul des Lignes Géodésiques Qu on écrit sous la forme : avec : ( t )( e t )( k t ) = + αt + βt 4 + γt (.6) α = + k + e β = 3 + k + e + 3k 4 + e k + 3e 4 8 γ = 5 + 3k + 3e + 3k 4 + e k + 3e 4 + 5k 6 + 3k 4 e + 3k e 4 + 5e 6 6 (.7).5 Traitement d un exemple.5. Le Problème direct Soit le point M avec : - ϕ = gr, - λ = gr, - Az = gr, - s = m. Solution : - C = N(ϕ ).cosϕ.sinaz = 3, m, - Az e = gr, a C e - k = a C = Pour calculer ϕ, on pose ϕ = ϕ ϕ, et s = s on a alors l équation : Références s.cosaz e a( e ) = ϕcosϕ ( e sin ϕ ) ( k sin ϕ )( e sin ϕ ) H. Poincaré Sur les Lignes géodésiques des surfaces convexes. Transactions of the American Mathematical Society. n 6, pp ; Œuvres 6, pp P. Petersen Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics, n 7. Springer-Verlag. 435p. J. Lemenestrel Cours de Géodésie Elémentaire, ENSG, IGN France.