Équations de bilan. Chapitre 7. Sommaire. O. Thual, 26 mai 2013

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1 Chapitre 7 Équations e bilan O. Thual, 26 mai 2013 Sommaire 1 Théorèmes e transport Domaine transporté par le mouvement Conservation e la masse Théorèmes e transport complémentaires Formulation es équations e bilan Formulation intégrale Formulations en bilan locaux Relations e saut Principe fonamental e la ynamique Moélisation es efforts Tenseur es contraintes Symétrie u tenseur es contraintes

2 2 Chapitre 7. Équations e bilan Introuction On appelle théorèmes e transport les relations qui permettent e ériver par rapport au temps es intégrales sur es omaines transportés par le mouvement. Ces théorèmes permettent e formuler la loi e conservation e la masse pour la représentation eulérienne e la masse volumique. Elles permettent également e ériver les équations e bilan locaux à partir es lois e bilan exprimés en formulation intégrales. Dans le cas une surface e iscontinuité mobile, le bilan global permet e ériver es relations e saut. On peut ensuite formuler le principe fonamental e la ynamique en consiérant la quantité e mouvement et le moment cinétique un ensemble e particules transportées par le mouvement. On montre comment l existence une équation e bilan entraine celle un vecteur flux et celle u tenseur es contraintes ans le cas e la loi e conversation e la quantité e mouvement. 1 Théorèmes e transport La érivation une intégrale triple sur un omaine transporté par le mouvement conuit à rajouter au terme e érivée partielle u champ intégré un terme e flux cinématique intégrée sur la frontière. Ce résultat, complété par autres théorèmes e transport, permet e formuler la loi e conservation e la masse et e préparer la formulation autres équations e bilan. 1.1 Domaine transporté par le mouvement On consière un omaine constitué e particules transportées par le mouvement X(a, t). Ces particules écrivent es trajectoires e la forme x(t) = X(a, t) avec x(0) = a, issues un ensemble e positions initiales formant le omaine D 0. On peut onc écrire = X(D 0, t). On it que le omaine est transporté par le mouvement. X(a, t) Ω 0 D 0 δv 0 a Ω(t) δv(t) x(t) Figure 7.1 Domaine transporté par le mouvement X(a, t).

3 Théorèmes e transport 3 On consière un champ c(x, t), en représentation eulérienne, intégrable sur le omaine. Sa représentation lagrangienne c (L) (a, t) vérifie onc c[x(a, t), t] = c (L) (a, t). On peut alors consiérer le changement e variable x = X(a, t) à l instant t ans l intégrale C[] = c(x, t) 3 x = c (L) (a, t) J(a, t) 3 a, D 0 (7.1) où J(a, t) est le Jacobien e l application X e Ω 0 ans IR 3 au temps t. Si c(x, t) et onc c (L) (a, t) sont érivables par rapport à l espace et au temps, on peut ériver cette intégrale par rapport au temps en écrivant [ (L) t D C[] = J + c 0 ] (L) J (a, t) 3 a. (7.2) La érivée par rapport au temps u Jacobien J(a, t) se calcule en consièrant la variation un petit volume δv(t) transporté par le mouvement autour e la trajectoire x(t) = X(a, t) qui obéit aux relations δv(t) = J(a, t) δv 0 et 1 δv(t) δv(t) = iv U[X(a, t), t] (7.3) t où δv 0 = δv(0) est la position u petit volume ans la configuration e référence Ω 0. En éliminant δv(t) entre ces eux relations, on obtient J (a, t) = iv U[X(a, t), t] J(a, t). (7.4) En reportant cette expression ans l intégrale e l équation (7.2), on obtient [ ] (L) t D C[] = (a, t) + c (L) (a, t) iv U[X(a, t), t] J(a, t) 3 a. (7.5) 0 ( ) (L) En rappelant que (L) (a, t) est la représentation lagrangienne c t e la érivée particulaire, on peut faire le changement e variable x = X(a, t) inverse pour obtenir finalement [ ] c c(x, t) 3 x = t t (x, t) + c(x, t) iv U(x, t) Les relations c écrire t = 3 x. (7.6) +U gra c et iv (c U) = U gra c+c iv U, permettent c 3 x = t = ( ) c t + c iv U 3 x [ ] + iv (c U) 3 x. (7.7)

4 4 Chapitre 7. Équations e bilan 1.2 Conservation e la masse On consière un omaine transporté par le mouvement et on éfinit sa masse par l intégrale m[] = ρ(x, t) 3 x (7.8) où ρ(x, t) est le champ e masse volumique. La loi e conservation e la masse stipule que cette quantité est invariante en temps pour tout omaine, ce que l on trauit par la relation t ρ(x, t) 3 x = ( ρ t + ρ iv U ) (x, t) 3 x = 0. (7.9) En appliquant cette relation sur es omaines e plus en plus petits, on en éuit le bilan local ρ (x, t) + ρ(x, t) iv U(x, t) = 0 (7.10) t valable pour tout point x et tout temps t. En éveloppant l expression e la érivée particulaire, on peut écrire cette loi e conservation e la masse sous les formes suivantes ρ ρ ρ + ρ iv U = + U gra ρ + ρ iv U = + iv (ρ U) = 0, (7.11) t où l on a utilisé la relation iv (ρ U) = U gra ρ + ρ iv U. On voit que si le mouvement est isochore, c est-à-ire si iv U = 0, la loi e conservation e la masse entraine que ρ est constant le long une trajectoire quelconque ans la mesure ou ρ t = 0. Réciproquement, si le milieu est incompressible, c est-à-ire si ρ reste constant le long es trajectoires, alors l écoulement est isochore. 1.3 Théorèmes e transport complémentaires On généralise facilement le théorème e érivation es intégrales sur es omaines transportés par le mouvement au cas es champs e vecteurs V (x, t) à l aie e la relation t V 3 x = en explicitant ses composantes sous la forme ( V i 3 Vi x = t t + V i [ Vi = + ( V t + V iv U ) 3 x (7.12) ) U j x j x j (V i U j ) 3 x ] 3 x. (7.13)

5 Théorèmes e transport 5 En consiérant le tenseur orre eux V U e composantes V i U j, prouit tensoriel e V et U, on peut écrire [ ] V V 3 x = t + iv (V U) 3 x. (7.14) D(t + δt) S x n U S U.n δt U δt Figure 7.2 Interprétation géométrique u terme U n ans l intégrale e surface u flux cinématique. En utilisant les formules e la ivergence Q n S = iv Q 3 x et D D D σ n S = D iv σ 3 x (7.15) valables pour un champ e vecteur Q(x, t) ou un champ e tenseur σ(x, t), on peut écrire les théorèmes e transport sous la forme c 3 x = t 3 x + c U n S, V 3 V x = t 3 x + V (U n) S. (7.16) On peut interpréter les termes c U et V U, ont les prouits avec la normale n sont respectivement c (U n) et V (U n), comme es flux cinématiques à l aie e la figure 7.2. Penant le temps δt, les longueurs U n δt permettent e éfinir les éléments e volume S U n δt qui expliquent la ifférence ue au mouvement entre les intégrales sur D(t + δ t) et penant le temps δ t, en plus e la ifférence ue à la variation ou V u champ consiéré. Cette série e théorèmes e transport se termine ici par le théorème e Reynols qui suppose que la loi e conservation e la masse ρ + iv (ρ U) = 0 est vérifiée. Dans ce cas, on peut écrire ρ φ 3 x = ρ φ t t 3 x, (7.17) où φ(x, t) est un champ scalaire érivable quelconque. Pour émontrer ce résultat, il suffit e évelopper l expression (ρ φ) + iv (ρ φ U) = 0 et appliquer la loi e conservation e la masse. On peut aussi se ramener à un omaine fixe par changement e variable et utiliser l invariance ans le temps u prouit ρ (L) (a, t) J(a, t) qui constitue la formulation lagrangienne e la conservation e la masse.

6 6 Chapitre 7. Équations e bilan 2 Formulation es équations e bilan Une équation e bilan consiste à exprimer la variation temporelle une graneur intégrée sur une omaine transporté par le mouvement en fonction e l intégrale un flux sur sa frontière et e l intégrale un terme e prouction ans son intérieur. Ce bilan global permet e ériver es bilans locaux lorsque le champ intégré est érivable et es relations e saut en présence e surfaces e iscontinuité mobiles. 2.1 Formulation intégrale Un équation e bilan est la onnée un champ c(x, t), un champ e surface q c (x, n, t) et un champ volumique f c (x, t) tels que pour tout omaine transporté par le mouvement e vitesse U(x, t) on puisse écrire c(x, t) 3 x + q c (x, n, t) S = f c (x, t) 3 x, (7.18) t où n est la normale sortante e la frontière u omaine. Si c(x, t) est une fonction érivable, on peut appliquer la formule e érivation une intégrale sur un omaine transporté par le mouvement et écrire q c (x, n, t) S = [ f c iv (c U) ] 3 x. (7.19) En appliquant cette relation à l instant t pour une famille e omaine tétraères T h e taille caractéristique h tenant vers zéro, on peut écrire T h q c (x, n, t) S = O(h 3 ) (7.20) Ω(t) S x U n Q c Figure 7.3 Flux Q c (x, t) une équation e bilan.

7 Formulation es équations e bilan 7 On montre alors, en faisant tenre la famille e tétrahères vers un point fixe x, que q c (x, n, t) épen linéairement e n et qu il existe onc un vecteur flux (sortant) Q c (x, t) tel que l on puisse écrire q c (x, n, t) = Q c (x, t) n. (7.21) En appliquant le théorème e la ivergence, la formulation intégrale e l équation e bilan s écrit onc c(x, t) 3 x + Q t c n S = f c (x, t) 3 x. (7.22) 2.2 Formulations en bilan locaux En supposant que c(x, t) est une fonction érivable, on éuit e la formulation intégrale u bilan global eux formulations en bilan locaux. La première, appellée bilan local en formulation conservative consiste à écrire, pour tout point x et tout temps t, la relation + iv (c U + Q c ) = f c. (7.23) Pour éuire ce bilan local u bilan global, il suffit pour appliquer la formule e la ivergence pour transformer l intégrale surfacique en intégrale volumique puis e faire tenre le omaine D vers x au temps t. La euxième formulation suppose que la loi e conservation e la masse est vérifiée. On éfinit alors le champ φ(x, t) par la relation c(x, t) = ρ(x, t) φ(x, t) ce qui est toujours possible ans le mesure où la masse volumique ρ(x, t) ne s annule pas. En remplaçant c par ρ φ ans l équation e bilan (7.23) et en utilisant la loi e conservation e la masse ρ + iv (ρ U) = 0, on peut écrire ρ φ t + iv Q c = f c. (7.24) Nous appelerons formulation avec masse conservée cette écriture e l équation e bilan. En résumé, l expression une équation e bilan pour la graneur c = ρ φ, ans le cas où c est érivable et où la masse est conservée, peut se faire par l une es trois formulations suivantes : intégrale : t conservative : ρ φ 3 x + avec masse conservée : Q c n S = f c 3 x (ρ φ) + iv (ρ φ U + Q c ) = f c ρ φ t + iv Q = f c c. (7.25) Il est à noter que ans le cas où c(x, t) amet es iscontinuités en espace (choc), la formulation intégrale u bilan est plus riche que les bilans locaux ans la mesure où elle contient également les relations e saut.

8 8 Chapitre 7. Équations e bilan 2.3 Relations e saut On consière maintenant le cas où c(x, t) est érivable sur la omaine transporté par le mouvement, sauf sur une surface mobile qui partage le omaine en eux sous-omaines D 1 (t) et D 2 (t) tels que D 1 (t) D 2 (t) = (voir figure 7.4). On note W (x, t) = W (x, t) N(x, t) la vitesse e la surface mobile où N(x, t) est la normale pointant u omaine D 1 vers le omaine D 2. On note alors le saut e c et le saut e Q c e la manière suivante : [c] = c (2) c (1) et [Q c ] = Q (2) c Q (1) c (7.26) où les exposants (1) et (2) ésignent respectivement les valeurs ans les omaines D 1 et D 2 au voisinage e Σ. D 2 (t) D 1 (t) D 1 (t) N W D 2 (t) Figure 7.4 Surface e iscontinuité mobile e vitesse W = W N. Si c(x, t) est régi par l équation e bilan c(x, t) 3 x + Q t c n S = f c (x, t) 3 x, (7.27) il est intéressant e évelopper le premier terme sous la forme c 3 x = t D 1 (t) 3 x + c U n S + c (1) W N S ( D 1 Σ)(t) + D 2 (t) 3 x + c U n S c (2) W N S ( D 2 Σ)(t) = D 1 (t) 3 x + c U n S + c (1) (W U (1) ) N S D 1 (t) + 3 x + c U n S c (2) (W U (2) ) N S, D 2 (t) le secon sous la forme Q c n S = + D 2 (t) D 1 (t) D 2 (t) ainsi que le troisième sous la forme f c (x, t) 3 x = Q c n S Q c n S + D 1 (t) Q (1) c Q (2) c N S N S, f c 3 x + f c 3 x. D 2 (t)

9 Principe fonamental e la ynamique 9 En écrivant que l équation e bilan est vérifiée sur les omaines D 1 (t) et D 2 (t) on obtient la relation [ ] c (2) (U (2) W ) c (1) (U (1) W ) N S [ ] + Q (2) Q (1) N S = 0. (7.28) c c En consiérant es omaines e plus en petits, on aboutit finalement à l équations e saut [c (U W ) N ] + [Q c N ] = 0, (7.29) pour tout point x e la surface e iscontinuité mobile et pour tout temps. 3 Principe fonamental e la ynamique La loi e conservation e la quantité e mouvement, qui constitue la première loi u principe fonamental e la ynamique, entraine que les forces surfaciques e contact épenent linéairement e la normale à la frontière ce qui conuit à la éfinition u tenseur es contraintes. La loi e conservation u moment cinétique, qui complète le principe, entraine que ce tenseur est symétrique. 3.1 Moélisation es efforts Les forces extérieures e volumes, qui représentent les interactions à longue portée avec l extérieur e la configuration éformée Ω(t), sont éfinies par leur résultante, leur moments en O et leur puissance ans un mouvement U à travers les relations respectives F extvol [] = f(x, t) 3 x, M extvol [] = x f(x, t) 3 x, P extvol [] = f(x, t) U(x, t) 3 x, (7.30) où f(x, t) est la ensité volumique es forces e volumes. Les forces e contact extérieures à, qui représentent les interactions à courte portée exercées sur la frontière par son voisinage extérieur situées à une istance microscopique inférieure à celle u continu, sont également éfines par trois graneurs à travers les relations F extcont [] = T (x, n, t) S,

10 10 Chapitre 7. Équations e bilan Ω(t) x x S T (x, n, t) f(x, t) n Figure 7.5 Forces extérieures e volume f(x, t) et forces e contacts T (x, n, t) extérieures à. M extcont [] = P extcont [] = x T (x, n, t) S, T (x, n, t) U(x, t) S, (7.31) où T (x, n, t) est la ensité surfacique es forces e contact. On suppose que les forces intérieurs e volumes, qui représentent les interactions à longue portée entre les particules situées à l intérieur e Ω(t), sont ientiquement nulles, ce que l on trauit par les relations F intvol [] = 0, M intvol [] = 0, P intvol [] = 0. (7.32) Enfin, les forces e contact intérieures au omaine, qui représentent les interactions à courte portée entre les particules e ce omaine, vérifient, à cause u principe e l action et e la réaction, les relations F intcont [] = 0, M intcont [] = 0. (7.33) Cepenant, leur puissance P intcont [] pour le champ e vitesse U n est en général pas nulle. Son expression est onnée par le théorème e l énergie cinétique, comme nous le verrons ans un chapitre ultérieur. 3.2 Tenseur es contraintes Pour exprimer le principe fonamental e la ynamique on éfinit la quantité e mouvement et le moment cinétique en O un omaine transporté par le mouvement qui s écrivent respectivement [ ] = ρ U 3 x et σ[] = ρ x U 3 x. (7.34)

11 Principe fonamental e la ynamique 11 Le principe fonamental e la ynamique stipule que la érivée e la quantité e mouvement et u moment cinétique en O un omaine e particules transporté par le mouvement sont respectivement égales à la résultante e toutes les forces et au moment en O e toutes les forces. Ces eux lois e conservation s écrivent respectivement [ ] = F t extvol [] + F extcont [], t σ[] = M extvol[] + M extcont []. (7.35) Seules les forces extérieures apparaissent ans ces équations ans la mesure où la résultant et le moment en O es autres forces sont nuls. La loi e conservation e la quantité e mouvement et u moment cinétique en O s écrivent onc respectivement, en formulation intégrale : ρ U 3 x T S = f 3 x, t D x ρ U 3 x x T S = x f 3 x. (7.36) t D Si ρ et U sont érivables, la loi e conservation e la quantité e mouvement peut s écrire sout la forme T (x, n, t) S = ρ(x, t) U t (x, t) 3 x f(x, t) 3 x, (7.37) ce qui permet e émontrer, à l aie e la construction es petits tétraères emboités, que la ensité surfacique e forces T épen linéairement e la normale n. Cette propriété permet e éfinir le tenseur es contraintes σ à travers la relation T (x, n, t) = σ(x, t) n. (7.38) La loi e conservation e la quantité e mouvement et u moment cinétique en O s écrivent alors ρ U 3 x σ n S = f 3 x, t x ρ U 3 x x (σ n) S = x f 3 x. (7.39) t À partir e la loi e conservation e la quantité e mouvement, on peut interpréter le tenseur es contraintes σ comme le flux entrant e la quantité e mouvement. 3.3 Symétrie u tenseur es contraintes La formulation avec masse conservée e la loi e conservation e la quantité e mouvement se trauit par le bilan local ρ U t = f + iv σ. (7.40)

12 12 Chapitre 7. Équations e bilan D autre part, en l absence e iscontinuité, la loi e conservation u moment cinétique en O s écrit x ρ U t 3 x x (σ n) S = x f 3 x. (7.41) En reportant le bilan local e quantité e mouvement (7.40) ans ce bilan global (7.41), on obtient la relation C = x (σ n) S x iv σ 3 x = 0. (7.42) En appliquant le théorème e la ivergences, composantes e C s écrivent alors σ kl C i = ɛ ijk x j σ kl n l S ɛ ijk x j 3 x x [ ] l (xj σ kl ) σ kl = ɛ ijk x j 3 x x l x l = ɛ ijk σ kj 3 x = 0 (7.43) On en éuit que σ(x, t) est un tenseur symétrique vérifiant onc t σ = σ. Pour tout point x et tout point t, on peut trouver une base orthonormée ans laquelle la matrice es composantes e σ est iagonale. On voit que la loi conservation u moment cinétique n apporte pas autre information que imposer à σ être symétrique par rapport à la loi e conservation e la quantité e mouvement que l on peut écrire sous la forme ρ U t = f + f cont avec f cont = iv σ. (7.44) On peut interpréter f cont comment étant la ensité volumique équivalente aux forces e contact σ n appliquée à un petit volume. T = σ(x, t). n f cont (x, t) δv x n δv x Figure 7.6 Densité volumique f cont équivalente aux forces e contact T = σ n. Pour conclure, les relations e saut issues e la formulation intégrale e la loi e conservation e la quantité e mouvement s écrivent [ρ U (U W ) N ] [σ N ] = 0, (7.45) pour tout point x une surface e iscontinuité mobile et pour tout temps.