NOM : Prénom : Bilan Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 Ex 6 / 30 / 4 / 5 / 3 / 6 / 6 / 6
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- Jean-Philippe Beauchamp
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1 DS JANVIER 206 Durée : 2h Avec Calculatrice NOM : Prénom : Bilan Ex Ex 2 Ex Ex Ex 5 Ex 6 / 0 / / 5 / / 6 / 6 / 6 Déterminer et exploiter la loi d'une variable aléatoire Construire et utiliser un arbre pondéré Calculer et interpréter l'espérance d'une variable aléatoire Connaitre et utiliser les variations des fonctions usuelles Lire graphiquement un nombre dérivé Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a Résoudre une inéquation du second degré Présenter à l'écrit des résultats et des réponses de manière rigoureuse Exercice - points - Acquis + ou - Non acquis Non fait On choisit au hasard un nombre compris entre et (bornes comprises). On définit la variable aléatoire X qui lui associe la somme de ses chiffres.. a) Quelles sont les valeurs possibles pour X? (justifier pour une seule des valeurs) b) Donner la loi de probabilité de X en complétant le tableau ci-dessous. (Justifier une seule probabilité) x i p(x = x i ) 2. Calculer son espérance. Exercice 2-5 points - Une urne contient quatre boules, trois blanches et une noire. On tire au hasard des boules dans l urne, une par une, jusqu à obtenir la boule noire. On note N l événement «on tire la boule noire».. Que représente l événement N? 2. Compléter l arbre ci-dessous et calculer les probabilités manquantes. Soit R la variable aléatoire qui donne le rang de sortie de la boule noire. a) Quelles sont les valeurs possible pour R? b) Donner la loi de probabilité de R sous forme de tableau. c) Calculer alors E(R). Conclure. Exercice - points -. Sans calculs, mais en utilisant une des fonctions étudiées en cours et en expliquant votre démarche, comparer les nombres,2 et,5. 2. Sans calculs, mais en expliquant votre démarche, comparer ( 2,)² et ( 2,)².. Sans calculs, mais en expliquant votre démarche, comparer les nombres 2,0 et 2,0.. En justifiant votre démarche, trouver quelles sont les valeurs de x vérifiant 6 x 8.
2 Exercice - 6 points - La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On a tracé les droites T, T2 et T tangentes respectives à la courbe (Cf) aux points A, B et C. La fonction f admet deux extremums atteints pour les valeurs et 2. ) Déterminer par simple lecture graphique les nombres : f (2), f (0) et f () 2) On note f la fonction dérivée de f ; déterminer par simple lecture graphique les nombres : f (2), f (0) et f () ) Déterminer par simple lecture graphique une équation de la tangente T : ) Pour quelles valeurs de x a-t-on : f (x) = 0? (Justifier) 5) Dresser le tableau de variation de cette fonction f sur R. Exercice 5-6 points - Sur la figure ci-dessous, on a tracé une droite D ainsi que la courbe P de la fonction g définie sur R par : g(x) = x² + x +. ) A l aide des informations fournies par la figure, déterminer l équation réduite de D. 2) a) Déterminer, algébriquement, l ensemble des points d intersection des courbes P et D. b) En déduire, par un raisonnement algébrique, la position relative de P par rapport à D. Exercice 6-6 points - Une étude de marché portant sur un produit a permis de déterminer que son prix à l unité p(x), en milliers d euros, dépendait de la quantité x de produit mise sur le marché : p(x) = 0,02x ) A quel intervalle appartient x pour que x et p(x) reflètent la réalité? 2) a) Calculer la recette (x), en milliers d euros, rapportée par la vente de x produits. b) Existe-t-il des productions pour lesquelles la recette atteint ?
3 CORRECTION : DS JANVIER 206 Durée : 2h Avec Calculatrice NOM : Prénom : La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l argumentation. Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Bilan Ex Ex 2 Ex Ex Ex 5 Ex 6 / 0 / / 5 / / 6 / 6 / 6 Déterminer et exploiter la loi d'une variable aléatoire Construire et utiliser un arbre pondéré Calculer et interpréter l'espérance d'une variable aléatoire Connaitre et utiliser les variations des fonctions usuelles Lire graphiquement un nombre dérivé Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a Résoudre une inéquation du second degré Présenter à l'écrit des résultats et des réponses de manière rigoureuse Acquis + ou - Non acquis Non fait Exercice - points - On choisit au hasard un nombre compris entre et (bornes comprises). On définit la variable aléatoire X qui lui associe la somme de ses chiffres.. a) Quelles sont les valeurs possibles pour X? (justifier pour une seule des valeurs) Les nombres donnant une somme de leurs chiffres égale à sont et 0 Par exemple, une somme égale 2 est obtenue avec les nombres 2, et 20, etc. X peut prendre les valeurs entre et 0 b) Donner la loi de probabilité de X en complétant le tableau ci-dessous. (Justifier une seule probabilité) x i p(x = x i ) Rappel : une probabilité est un nombre compris entre 0 et et la somme de toutes les probabilités doit être égale à! Remarque : il est plus facile de garder des fractions pour effectuer les calculs! 2. Calculer son espérance. i=0 E(X) = x i p(x = x i ) i= = = 27 ( ) = = 5,08 L espérance est donc de 5,08
4 Exercice 2-5 points - Une urne contient quatre boules, trois blanches et une noire. On tire au hasard des boules dans l urne, une par une, jusqu à obtenir la boule noire. On note N l événement «on tire la boule noire».. Que représente l événement N? L événement N est l événement contraire à N : «on tire la boule noire» D où N correspond à «on ne tire pas la boule noire» ou «on tire la boule blanche» 2. Compléter l arbre ci-dessous et calculer les probabilités manquantes. Soit R la variable aléatoire qui donne le rang de sortie de la boule noire. a) Quelles sont les valeurs possible pour R? R peut valoir, 2, ou. b) Donner la loi de probabilité de R sous forme de tableau. p(r = ) = p(r = 2) = = p(r = ) = 2 2 = p(r = ) = r i 2 p(r = r i ) c) Calculer alors E(R). Conclure. E(R) = = +2++ = 0 = 5 2 = 2,5 En moyenne, sur un grand nombre d expériences, le rang de sortie d une boule noire est 2,5.
5 Exercice - points -. Sans calculs, mais en utilisant une des fonctions étudiées en cours et en expliquant votre démarche, comparer les nombres, 2 et, 5. On sait que,2 <,5 Or la fonction f x x est croissante sur R Donc les images sont classées dans le même ordre que les antécédents. On en déduit que f (,2) < f (,5) donc,2 <,5. 2. De même, comparer ( 2, )² et ( 2, )². Sur ] ; 0], f x x² est décroissante Donc les images sont l ordre contraire à celui des antécédents Comme 2, > 2, donc f ( 2,) < f ( 2,) d où ( 2,)² < ( 2,)². Sans calculs, mais en expliquant votre démarche, comparer les nombres On sait que 0 < 2,0 < 2,0 sur ]0 ; + [, la fonction inverse g x est décroissante donc renverse l ordre. x On en déduit g (2,0) > g (2,0) c est-à-dire 2,0 > 2,0 2,0 et 2,0.. En justifiant votre démarche, trouver quelles sont les valeurs de x vérifiant 6 x 8. 6 = ( ) et 8 = 2 ; Sur R, la fonction f x x est croissante donc conserve l ordre. 6 x 8 f ( ) f (x) f (2) x 2. L ensemble des solutions est = [ ; 2].
6 Exercice - 6 points - La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On a tracé les droites T, T2 et T tangentes respectives à la courbe (Cf) aux points A, B et C. La fonction f admet deux extremums atteints pour les valeurs et 2. ) Déterminer par simple lecture graphique les nombres : f (2), f (0) et f () f (2) = f (0) = 2 f () = 2 2) On note f ' la fonction dérivée de f ; déterminer par simple lecture graphique les nombres : f ' (2), f ' (0) et f ' () f (2) = 0 f (0) = 2 2 = f () = 2 = 2 ) Déterminer par simple lecture graphique une équation de la tangente T : Le coefficient directeur de la tangente T est égal à f ' (2) c est-à-dire à. Son ordonnée à l origine est égale à. On en déduit qu une équation de cette tangente T est : y = x + ) Pour quelles valeurs de x a-t-on : f (x) = 0? (Justifier) Résoudre l équation f ' (x) = 0 signifie que l on recherche les abscisses des points de (Cf) où la tangente à (Cf) est parallèle à l axe des abscisses. S = { ; 2} 5) Dresser le tableau de variation de cette fonction f sur R. x 2 + Variation 2,5 de f
7 Exercice 5-6 points - Sur la figure ci-dessous, on a tracé une droite D ainsi que la courbe P de la fonction g définie sur R par : g(x) = x² + x +. ) A l aide des informations fournies par la figure, déterminer l équation réduite de D. Equation réduite de D a la forme y = mx + p La droite D coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0; ), donc son ordonnée à l origine est p =. La droite D passe par le point de coordonnées (; 8), donc son coefficient directeur est : m = 8 0 = 5. Donc l équation réduite de D est : y = 5x + 2) a) Déterminer, algébriquement, l ensemble des points d intersection des courbes P et D. On étudie le signe de la différence : d(x) = g(x) (5x + ) = x 2 + x + 5x = x² x 2 C est une expression polynômiale de degré 2 dont le discriminant est : = ( )² ( 2) = + 8 = 9 > 0 L expression admet donc deux racines réelles distinctes : x = b = ( ) 9 = = 2 = et x 2a = b+ = ( )+ 9 = + = = 2 2a Donc les abscisses des points d intersections de P et D sont et 2 On calcule désormais les images : l image de y = 5x + = 5 ( ) + = 5 + = 2 l image de 2 y = 5x + = = 0 + = Conclusion les points d intersection des courbes P et D sont ( ; 2) et (2; ) b) En déduire, par un raisonnement algébrique, la position relative de P par rapport à D. On étudie le signe de la différence : d(x) = g(x) (5x + ) = x² x 2 Comme le coefficient de degré 2 de d(x) est > 0, son signe est donné, en fonction de x R, par : Si x < alors d(x) > 0 : La courbe P est strictement au dessus de D sur ] ; [. Si < x < 2 alors d(x) < 0 : La courbe P est strictement en dessous de D sur ] ; 2[. Si x > 2 alors d(x) > 0 : La courbe P est strictement au dessus de D sur ]2;+ [.
8 Exercice 6-6 points - Une étude de marché portant sur un produit a permis de déterminer que son prix à l unité p(x), en milliers d euros, dépendait de la quantité x de produit mise sur le marché : p(x) = 0,02x ) A quel intervalle appartient x pour que x et p(x) reflètent la réalité? Il faut que le prix à l unité soit positif D où 0,02x + 50 > 0 50 > 0,02x 50 0,02 > x 00 > x Et la quantité x est positive D où x > 0 Donc il faut entre 0 et 00 produits afin que cela reflètent la réalité. 2) a) Calculer la recette (x), en milliers d euros, rapportée par la vente de x produits. La recette est le produit du prix de vente par la quantité vendue D où R(x) = x p(x) = x ( 0,02x + 50) = 0,02x² + 50x Donc R(x) = 0, 02x² + 50x b) Existe-t-il des productions pour lesquelles la recette atteint ? On doit résoudre R(x) 0000 Attention aux unités Alors 0,02x² + 50x ,02x² + 50x C est une expression polynômiale de degré 2 dont le discriminant est : = (50)² ( 0,02) ( 0 000) = = 00 > 0. L expression admet donc deux racines réelles distinctes : x = b 2a = ( 0,02) = ,0 = 60 0,0 = 500 x 2 = ( 0,02) = 0 0,0 = 000 le coefficient de degré 2 est 0,02 < 0, D où x ,02x² + 50x Donc 0,02x² + 50x si x [000; 500] Conclusion : La recette atteint si la production est comprise entre 000 et 500 produits.
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