27 février version 1.0. Note sur le vernier. Michel Karatchentzeff. Fondation Louis de Broglie, 23 rue Marsoulan, Paris

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1 27 février version 1.0 Note sr le vernier Michel Karatchentzeff Fondation Lois de Broglie, 23 re Marsolan, Paris Introdction. La plpart des mesres, Lois de Broglie disait même la totalité, correspondent à des évalations de longers. Mesrer ne températre, par exemple, revient à mesrer la position de l extrémité d n liqide dans n tbe ; les lois de la physiqe déterminent ensite le lien entre cette position et la températre. Dans n certain domaine de températre, l agmentation d n degré correspond tojors à la même variation de la position de l extrémité d liqide ; il est alors pratiqe de la repérer sr le tbe à partir d ne origine dédite des lois de la physiqe (le zéro de l échelle celsis, par exemple, correspond à la températre de la glace fondante à l air libre). À partir de cette position, on reporte sr le tbe, ne site de traits dont la distance correspond a déplacement d liqide lorsqe sa températre varie d n degré. Cette distance devient n étalon de températre, et la site des traits représente ne règle gradée en degrés celsis. On dit qe l on a obten ne échelle de températre. La sitation est pls simple lorsq on mesre des longers. La physiqe définit le mètre, son sos-mltiple le centimètre et il est facile d imaginer ne règle gradée en centimètres. Comme il est rare qe les objets dont on mesre la longer aient tos n nombre entier de centimètres, on divise chaqe centimètre en dix por obtenir ne précision pls grande. La mesre est alors obtene, a millimètre près, par excès o par défat. Cette note a por bt de montrer qe l on pet encore agmenter cette précision d n facter 10 (c est-à-dire obtenir ne mesre a dixième de millimètre) à l aide d n instrment très simple, appelé vernier, et qe l on fait glisser le long de la règle précédente. Principes d vernier. Le vernier est n instrment inventé par Pierre Vernier ( ). Il s adapte à tos les appareils de mesre de longers o d angles et permet d apprécier avec pls de précision les sbdivisions d ne gradation, tot en gardant la lisibilité des gradations. Il est, par exemple, possible d obtenir à partir d n décimètre gradé en millimètres ne précision d dixième de millimètre sans q il soit besoin de grader le décimètre en dixièmes de millimètres, ce qi serait, sinon impossible, sûrement illisible.

2 27 février version 1.0 Ce concept est extrêmement pissant pisq il montre la possibilité d agmenter la précision d ne mesre fornie par n appareil donné sans q il soit besoin de repenser le dit appareil règle (R) 0 règle (R ) 1 Figre.1. Les dex règles constitantes d vernier ; elles sont chacne gravées a dixième de ler nité. Éléments d n vernier : Un vernier est conç à partir de dex règles (R) et (R ) schématisées sr la figre 1, qe l on fait colisser l ne contre l atre ; la règle (R) est spposée fixe ; la règle (R ) glisse alors le long de (R) et est appelée, por cette raison, crser. Sr chaqe règle est choisie ne nité de longer, mais ces nités ne sont pas indépendantes : chaqe règle est divisée en sos mltiples de son nité (en général le dixième o le vingtième) et on impose qe k divisions de l ne aient la même longer qe p divisions de l atre. Par exemple, l nité de la règle (R) étant le centimètre, chaqe centimètre de (R) est divisé en millimètres ; on choisit por nité d crser 9 mm qe l on divise à son tor en 10 intervalles de 0,9 mm. Ce dernier exemple étant le pls fréqemment rencontré sera tilisé tot a long de cette note : il est illstré sr la figre 2 où dix divisions d crser (R ) ont la même longer qe 9 divisions de la règle fixe (R) nité de la règle (R) nité de la règle (R ) Figre.2. Les nités de chacne des règles ; la longer de l nité de la seconde est égale a 9/10 de la longer de la première. On sppose enfin qe les zéros des dex règles sont sités à l extrémité gache de chaqe règle.

3 27 février version 1.0 Mesre d ne longer à l aide d n vernier : La mesre de longer est schématisée par la figre 3. L ne des extrémités d corps à mesrer coïncide avec l origine O de la règle fixe (R), l atre avec l origine A d crser (R ). Par convention, les points affectés d n prime appartiennent a crser, les atres à la règle fixe. Tos ces points appartiennent à ne même droite, l axe de glissement, mais por la clarté d raisonnement, ils ont été représentés sr dex droites qi correspondent chacne à ne des règles et qi sont parallèles l axe de glissement. Trois cas pevent se rencontrer : le point A coïncide exactement avec l n des traits de la règle fixe. On lit alors directement la mesre de la longer sr la règle (R) ; le point A se retrove entre dex traits de (R) et l n des traits C d crser (R ) coïncide avec n des traits C de (R). C est le cas de la figre 3 ; le point A se retrove entre dex traits de (R) et il existe n trait C de (R ) et n trait C de (R) tel qe la distance CC est la pls petite de tos les coples qe l on pet former. Mettons de côté provisoirement ce dernier cas por ne traiter qe le second : le point A est sité entre dex traits sccessifs (A et B) de la règle (R). On sppose enfin qe les traits C et C coïncident. O A B C O A C Figre.3. Principe d ne mesre : les extrémités d corps grisé dont on mesre la longer sont mises en coïncidence avec les origines des règles. La mesre se lit en A et en C. La longer d corps à mesrer est donc O A ; elle se dédit des dex façons possibles d évaler OC = O C. Si et désignent respectivement les nités sr chaqe règle, on a = 0,9 et OC = OA + AC = O C = O A + A C Dans le cas particlier de la figre 3, on a : Comme = (9/10), on a : OC = 0,8 + 0,6 = 0 A + 0,6 O A = 0,8 + 0,6-0,6 = 0,8 + 0,6-0,6 0,9 = 0,8 + 0,6 0,1 Comme dans l exemple vat 10 mm, la longer O A vadra 8,6 mm. Il sffit ensite de remarqer qe le premier chiffre 8 correspond a trait immédiatement infériere à

4 27 février version 1.0 A tandis qe le second est le 6 indiqé par C sr la règle. La précision obtene est d 1/10 de mm. Il ne reste pls q à généraliser : le point A est tojors entre A et B, mais maintenant OA = n et OB = (n+1) et C se trove exactement à m traits de A. On a donc C = m. Si C est à m traits de A, par constrction, C est à m traits de A ; on a donc AC = m. Il ne reste pls q à écrire qe OC=O C : O C = O A + A C = OC = OA + AC d où O A = n + m - m et comme = 0,9 O A = (n + 0,1 m) on retrove bien le résltat précédent : le n est l sr la règle (R) ; c est l abscisse d point A ; le m est l sr le crser, il correspond à C et c est ne décimale de n (facter 0,1). Le résltat s écrit donc symboliqement : n,m millimètres Reste à traiter le cas où acn des traits des règles (R) et (R ) ne sont en coïncidence. Ce cas est schématisé sr la figre 4 qi ne fait qe reprendre la figre 3 en éliminant tot ce qi n est pas mesre. Les points O, A, B, C correspondent tojors à des traits de la règle fixe, les points O A, C, à des traits d crser, et por bien montrer qe q acn trait des dex règles n est en coïncidence, on a fait apparaître le point C projection de C sr (R ) et qi ne correspond à acn trait de (R ). Par constrction, la distance C C est infériere en valer absole à 0,9 mm. O A B C C" O A C Figre.4. Principe d ne mesre : acn trait sr l ne des règles n est en coïncidence avec n des traits de l atre ; le point C projection d point C de la règle (R) ne coïncide avec acn trait de la règle (R ). Sr la figre 4, C a été placé à gache de C, il arait très bien p être à droite ; ce qi importe, c est qe la valer absole de C C soit bornée. Il ne reste pls q à évaler les qantité égales OC et O C. En posant (totes les qantités sont algébriqes) : OC = OA + AC = O C = O A + A C + C C O A = n + m - m - C C Il sera démontré dans les compléments mathématiqes qe la longer C C est d n ordre de grander d centième de la gradation. Si on la néglige devant les atres longers, on retrove la formle de la démonstration précédente ; les même règles sont alors valables à cette précision près..

5 27 février version 1.0 Généralisations : Vis à vis d ne règle gradée, on place n crser mobile gradé de telle sorte qe m traits d crser correspondent à n traits de la règle fixe. Avec m = 10 et n = 9 on a n vernier a 1/10 eme, avec m=20 et n =19 n vernier a 1/20eme... Applications d vernier. Les principes de fonctionnement décrits précédemment pevent s étendre à divers types d appareils de mesre ; ils se généralisent avec les diverses façons d obtenir dex corbes qi glissent l ne sr l atre. Si, comme dans la théorie, le crser est ne règle plate qi glisse le long d ne atre, l appareil sera d type pied à colisse, cathétomètre,... ; si le crser est n bolon tornant ator d ne vis le long de l axe de la règle fixe, l appareil sera d type palmer o micromètre ; si, enfin, les règles sont des arcs de cercle, ce seront des angles qi porront être mesrés comme dans les sextants, théodolites etc. Figre.5. De gache à droite : pied à colisse, palmer, vernier de théodolite. Compléments mathématiqes. Géométrie et Gradations : Un vernier est réalisable parce q il est relativement aisé de diviser les gradations en tilisant la règle et le compas. Les méthodes tilisées sont simplement rappelées sans démonstration sr les figres 6 et 7.

6 27 février version 1.0 A 3 x P P A 2 (D) A 1 A B A B Figre.6 et 7. Por mener ne parallèle à la droite (D) par le point P, on constrit n cercle passant par P et copant la droite ax points A et B ; on mesre par le compas la distance AP : le cercle de centre B et de rayon AP cope le premier cercle en P ; il ne reste pls q à tracer la droite PP qi est la parallèle cherchée. Por décoper le segment AB en trois parties égales, on trace ne droite qelconqe Ax sr laqelle on porte sccessivement trois fois la même qantité arbitraire, ce qi détermine les points A 1, A 2 A 3 ; on trace A 3 B et il ne reste pls q à mener par les points A 1 et A 2, par la méthode précédente, les parallèles à A 3 B ; ces droites copent AB ax points cherchés. Les distances entre A et A 1, A 1 et A 2, A 2 et A 3 étant égales, le théorème de Thalès nos dit q il en sera de même por les points correspondants sr AB ; théoriqement, il sffit donc de tracer le premier point, pis de reporter la distance correspondante. Coïncidences des traits des dex gradations : On reprend les règles (R) et (R ) et on convient de dénommer chaqe trait par la valer de sa distance à l origine en dixième de l étalon (en mm dans l exemple choisi). On convient de pls de primer tot ce qi concerne (R ). Avec cette convention le trait 10 de (R ) coïncide avec le trait 9 de (R) sr la figre 2. Spposons q il y ait a moins ne doble coïncidence, c est-à-dire q il existe dex traits i et j avec (i < j ) de (R ) qi coïncident chacn avec n trait de (R). La distance entre les traits coïncidant pet s écrire de dex manières selon q on la calcle sr (R) o (R ) ; elle vat d après la définition des traits : (j - i ) / 10 = k / 10 où k est nécessairement n entier. Comme = 0,9 cette éqation s écrit dans N : (j - i ) 9 = 10 k et sa sele soltion est j - i = 10 et k = 9 pisqe 9 et 10 sont premiers entre ex. En définitive, la sele soltion possible j = 10 ; i = 0 ; k = 9

7 27 février version 1.0 correspond a cas de la figre 2 lorsqe les origines coïncident. Bien entend, cette soltion est encore valable par translation de /10. On pet donc dire q il y ara, a pls dex coïncidences ; elles se prodiront lorsqe O coïncidera avec l n qelconqe des traits de (R). Dans tos les atres cas de configration, il y ara, a pls, ne coïncidence. Cas d ne coïncidence niqe : Il est pratiqe de raisonner sr ne coïncidence correspondant à dex traits d même nméro d ordre, les atres cas s obtenant par ne simple translation. Tojors avec les mêmes notations, on sppose donc qe la coïncidence corresponde ax traits k et k. Le décalage entre les dex origines O et O est alors donné par : OO + k /10 = k /10 soit, pisqe = 0,9 dans l exemple choisi OO = 0,1 k /10 Le décalage croît donc avec k selon cette loi et l on retrove bien évidemment la précision d dixième de millimètre de la démonstration générale. Étde d cas sans coïncidence : Commençons par spposer qe O coïncide avec O ; dans ce cas, en posant por simplifier /10 = d et /10 = d, nos avons : 11 = 0,1 d 0,1 d = 0,09 d 22 = 0,18 d... kk = 0,9 k d Donc, si OO = 0, les traits le pls rapprochés des dex règles sont 1 et 1. On en dédit qe, si O se décale vers la droite, 1 commencera par se rapprocher de 1 qi sera atteint avant tot atre trait. Donc, si O se décale, la coïncidence sivante sera 11. Comme, a cors de ce déplacement, OO croît depis 0, 11 décroît depis 0,09 jsq à 0, le maximm d écart entre dex traits sera atteint lorsqe les OO et 11 seront égax, c est-à-dire qand : OO = 11 = 0,045 d = 4,5 % d Lorsqe 1 et 1 coïncident, on est reven a point de départ, à ne translation près. Il sffit alors de recommencer le même raisonnement. En conclsion, l écart maximm entre dex traits de chaqe gradation est de 4,5 % de l nité. L errer commise en lectre est donc de cet ordre de grander, et c est ce q il fallait démontrer. Remarqe finale. Por des raisons natrelles d évoltion, l électroniqe a pénétré les appareils tilisant n vernier et offre directement le résltat de la mesre. C est très pratiqe, mais il est à craindre qe cex qi s en servent oblient ler principe de fonctionnement et l astce géniale qi en est à la base. Ce serait fort dommage por les cherchers o les ingéniers car il s agit de notions fondamentales dont ils porraient avoir besoin dans ler propre travail.