Fonctions d'une variable réelle : étude locale

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1 Plan Fonctions d'une variable réelle : étude locale Rédaction incomplète. Version beta 1 du 27/11/15 I. Limites Converger! Mais où? Dénitions Propriétés Continuité - Dérivabilité II. Opérations III. Composition Caractérisation séquentielle de la continuité Composition de fonctions IV. Fonctions monotones V. Extension aux fonctions à valeurs complexes Opérations Interprétation comme courbe paramétrée Index asymptote, 5 branche innie, 4 caractérisation séquentielle de la continuité, 3 continuité d'une application croissante sur un intervalle, 4 direction asymptotique, 5 fonction localement bornée, 2 fonctions continues, 2 fonctions dérivables, 2 fonctions dérivables à droite ou à gauche, 2 limite à droite, à gauche, 2 passage à la limite dans une inégalité pour une fonction, 2 question de cours caractérisation séquentielle de la continuité, 3 continuité d'une application croissante sur un intervalle (démonstration), 4 les 9 dénitions d'une limite, 1 limites d'une fonction monotone, 4 sf branches innies, 5 stabilité des inégalités larges par passage à la limite, 2 théorème de la limite monotone, 4 unicité de la limite, 2 L'étude des fonctions d'une variable réelle est réparti entre divers documents. I. Limites 1. Converger! Mais où? Notations I, R. Extrémités d'un intervalle. 2. Dénitions Dénition. Les neuf cas pour la dénition d'une limite f a l sont présentés dans le tableau suivant 1 Rémy Nicolai C2064

2 a l dénition de f a l R R ε > 0, α ε > 0 tq t I : t a < α ε f(t) l < ε = E R, α E > 0 tq t I : t a < α E f(t) < E = + E R, α E > 0 tq t I : t a < α E f(t) > E = R ε > 0, A ε R tq t I : t < A ε f(t) l < ε = E R, A ε R tq t I : t < A ε f(t) < E = + E R, A ε R tq t I : t < A ε f(t) > E = + R ε > 0, A ε R tq t I : t > A ε f(t) l < ε = E R, A ε R tq t I : t > A ε f(t) < E = + E R, A ε R tq t I : t > A ε f(t) > E Notations usuelles pour les limites. lim f(x) = l x a x a f(x) l f a l La notation conseillée est la troisième car c'est elle qui met le mieux en avant que ce sont des fonctions qui admettent des limites et non des nombres. On peut la combiner avec l'usage des conventions habituelles de notation des fonctions anonymes : ]0, + [ R x x Limites à droite, à gauche, stricte ou large. Ces notions sont analogues aux suites extraites. Notations f a+ l, f a++ l, f a l, f a l. Si une fonction admet une limite l en a alors elle admet aussi l pour limite en a à gauche ou à droite stricte ou large. Remarque. Attention f a++ l et f a l n'entraine pas f a l. Extension de la notion de limite en a lorsque f est dénie dans I\{a}. (pour la dérivabilité et les développements limités) 3. Propriétés Dénition (fonction localement bornée). Une fonction f dénie dans un intervalle I est localement bornée en a I (ou au voisinage de a) si et seulement si il existe un α > 0 tel que f I [a α,a+α] soit bornée. On peut étendre la dénition : f est localement bornée au voisinage de + (respectivement ) si et seulement si il existe A R tel que f [A,+ [ (respectivement f ],A] ) soit bornée. Théorème (Passage à la limite dans une inégalité). à rédiger Conséquence : Unicité de la limite. Théorème (Théorème d'encadrement.). (à rédiger) de limite nie, de majoration, de minoration 4. Continuité - Dérivabilité Remarque. a I et f a l entraine l = f(a). Dénition (fonction continue en a). Soit f dénie dans I et a I. On dit que f est continue en a si et seulement si f a f(a). 2 Rémy Nicolai C2064

3 II. Opérations Le plan est à peu près le même que pour l'étude des suites convergentes. Proposition. Le produit d'une fonction localement bornée en a par une fonction qui converge vers 0 en a converge vers 0. Preuve. à rédiger Théorème (Opérations sur les fonctions convergentes). Soit I un intervalle de R, a I et f, g deux fonctions dénies dans I et qui convergent en a respectivement vers des réels l f et l g. Soit λ un nombre réel. Alors : f f + g λf fg sup(f, g) inf(f, g) convergent en a respectivement vers : l f l f + l g l f l g max(l f, l g ) min(l f, l g ) Preuve. valeur absolue La propriété repose sur l'inégalité somme multiplication externe produit f(x) l f f(x) l f sup et inf La propriété repose sur les propriétes déjà montrées ainsi que sur les formules : sup(f, g) = 1 (f + g + f g ) 2 inf(f, g) = 1 (f + g f g ) 2 Faire un tableau analogue à celui pour les suites relativement aux opérations sur les fonctions qui divergent vers + ou. III. Composition 1. Caractérisation séquentielle de la continuité Théorème (caractérisation séquentielle de la limite). Soit a I, l R et f dénie dans I. Alors f admet l pour limite en a si et seulement si pour toute suite (x n ) n N d'éléments de I, la suite (f(x n )) n N l Preuve. Suivant que a et l sont réels ou + ou, diverses démonstrations analogues sont à fournir. On se place dans le cas où a et l sont nis, les autres cas sont à rédiger. Convergence de la fonction entraîne convergence des suites. On suppose f l, on considère une suite (x n ) n N quelconque qui converge vers a. Pour tout ε > 0, 1 - Il existe un α ε > 0 tel que x a α ε f(x) l ε car f l. 2 - Pour ce α ε > 0, il existe un N N tel que n N x n a α ε. 3 - Alors n N f(x n ) l ε. On doit montrer que si, pour toute suite (x n ) n N qui converge vers a, la suite (f(x n )) n N converge vers l, alors f l en a. On va prouver la contraposée c'est à dire que si f ne converge pas vers l en a alors il existe une suite (x n ) n N qui converge vers a mais pour laquelle la suite (f(x n )) n N ne converge pas vers l. On suppose donc que f ne converge pas vers l en a. Il existe 1 donc un ε particulier (notons le ε 0 tel que, pour tout α > 0 (en particulier pour 1 n ) il existe un x (notons le x n car il dépend de n) tel que x n a 1 n et f(x n ) l ε 0 La première inégalité montre par le théorème d'encadrement que (x n ) n N a et la deuxième que (x n ) n N ne converge pas vers l (le théorème de passage à la limite dans une inégalité entrainerait une contradiction). 1 En général le nom ε vient toujours après un quanticateur, le vient ici de la négation de la proposition habituelle 3 Rémy Nicolai C2064

4 2. Composition de fonctions à rédiger IV. Fonctions monotones Proposition. Soit f une fonction monotone dénie dans un intervalle I et a un point de I qui n'est pas une extrémité. Alors f admet en a des limites strictement à droite et à gauche de a notées f + (a) et f (a). f (a) f + (a) f croissante f a sup {f(t), t I, t < a} f a++ inf {f(t), t I, t > a} f décroissante f a inf {f(t), t I, t < a} f a++ sup {f(t), t I, t > a} De plus, f (a) f(a) f + (a) si f est croissante et f + (a) f(a) f (a) si f est décroissante. La fonction est continue en a si et seulement si f (a) = f(a) = f + (a). Preuve. à rédiger Théorème (continuité d'une application croissante sur un intervalle). Soit f une fonction monotone dénie dans un intervalle I. Si f(i) est un intervalle, alors, pour tout a I, la fonction f est continue en a. La fonction est donc continue dans I. Preuve. à rédiger V. Extension aux fonctions à valeurs complexes 1. Opérations Dénition. Soit f dénie dans un intervalle I de R et a I. Soit z C. La fonction f converge en a vers z (notation f a z si et seulement si f z a 0. Remarques. La convergence d'une fonction à valeurs complexes se ramène donc à celle d'une fonction à valeurs réelles. On peut considérer a réel ou + ou mais la limite z doit être dans C. Proposition. Soit I un intervalle, a I, f et g dénies dans I qui convergent respectivement en a vers l f et l g, λ C. Alors : f a l f, f a l f, f + g a l f + l g, λf a λl f, fg a l f l g, si l f 0 : Preuve. La démonstration repose sur des inégalités de module liées à l'inégalité triangulaire. Proposition. Soit I un intervalle, a I, f dénie dans I. Soit z C. ( ) f a z Re(f) a Re(z) et Im(f) a Im(z) 1 f a 1 l f Preuve. Dans un sens, on utilise Re(f) Re(z) f z et Im(f) Im(z) f z. Dans l'autre, on utilise les opérations (linéarité) de la proposition précédente. 2. Interprétation comme courbe paramétrée Remarques sur les dénitions possibles de la notion de branches innie. On se limite à un cas particulier Cette propriété est indépendante du point A. Af(t) + 4 Rémy Nicolai C2064

5 f(t) A Fig. 1: Direction asymptotique Fig. 2: branche innie sans direction asymptotique Dénition (branche innie avec direction asymptotique). On dira que f admet en t 0 une branche innie avec une direction asymptotique u lorsqu'il existe un point A tel que : Af(t) + et Af(t) Af(t) Vérions que la convergence et la valeur de la limite sont indépendantes du point A. Dénition (Asymptote). On dira que f admet une branche innie avec une droite asymptote D lorsque u Af(t) + et d(f(t), D) 0 Proposition. Une courbe paramétrée f admet une branche innie avec une droite asymptote si et seulement si elle admet une directions asymptotique u et qu'il existe un point A et un réel l A tel que det( Af(t), u ) l A Dans ce cas, la droite asymptote est formée par les points M tels que det( Af(t), u ) = l A Preuve. Vérions que si on change de point, on change de limite l A mais pas de droite. Montrons que la distance de f(t) à cette droite tends vers 0. La proposition précédente conduit à une équation de l'asymptote et constitue une méthode pratique. 5 Rémy Nicolai C2064

6 Exemples. 1. Courbes paramétrées f(t) = O + u(t) i + v(t) j avec u ou v qui tend vers l'inni.à rédiger 2. Cas d'une courbe en polaire : f(θ) = O + ρ(θ) } e θ ρ + θ0 1 Of(θ) Of(θ) = e θ θ0 Il y a donc toujours une direction asymptotique. Il y a une asymptote si et seulement si le déterminant converge or det( Of(θ), e θo ) = ρ(θ) sin(θ θ 0 ) On obtient donc une forme indéterminée que l'on traite avec les outils de l'analyse. Lorsqu'il existe une limite nie l, on obtient une équation polaire de la droite asymptote qu'il est facile d'exprimer en coordonnées cartésiennes en développant simplement le sin. ρ sin(θ θ 0 ) = l x sin θ 0 + y cos θ 0 = l e θo 6 Rémy Nicolai C2064