MATHÉMATIQUES PHYSIQUE Durée : 3 heures

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1 Conours B ENSA B 9MP MATHÉMATIQUES PHYSIQUE Durée : 3 heures L usage d une alulatrie est interdit pour ette épreuve Si, au ours de l épreuve, un andidat repère e qui lui semble être une erreur d énoné, il le signale sur sa opie et poursuit sa omposition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre La partie Mathématiques est notée sur points, la partie Physique est notée sur 8 points MATHÉMATIQUES Exerie I Analyse Soit f la fontion définie sur positives Caluler l intégrale : t ; par : f t ke a où k et sont des onstantes I a f t dt () puis aluler sa limite quand a tend vers Donner la valeur de k pour que ette limite soit égale à On onserve ette valeur de k dans toute la suite du problème Caluler l intégrale : puis aluler sa limite quand a tend vers 3 Caluler l intégrale : a J a tf t dt () a K a t f t dt puis aluler sa limite quand a tend vers 4 Soit C la ourbe représentative de la fontion t f t Donner l équation de sa tangente T au point d absisse t Pour 3 traer C et T 5 (3) dans un repère orthogonal /7 TSVP

2 Exerie II Probabilités Soit X la durée de vie d une ampoule au krypton On suppose que X admet pour densité la t fontion définie sur ; par : f t e où est une onstante positive Reonnaître la loi de X Donner l espérane E X et la variane V hoix, donner le résultat ou utiliser les aluls de la première partie X de la variable aléatoire X On pourra, au 3 Caluler le réel positif m tel que : P X m Comparer m et E X Peut-on onlure que la moitié des ampoules ont une durée de vie supérieure à E X? 4 Caluler P X E X Exerie III Algèbre linéaire Commenter e résultat Soit a et b, deux réels On donne les matries G, A, X, X, définies par : 6 G 5 a X b A b b X ' b Caluler X ' X, que l on omparera à G Pour quelles valeurs de a et b es deux matries sont-elles égales? Pour quelles valeurs de a la matrie G est-elle inversible? 3 Caluler le rang de la matrie X En déduire elui de la matrie A 4 Pour a, effetuer une diagonalisation de G On donnera les valeurs propres de G ainsi que les sous espaes propres assoiés /7

3 PHYSIQUE Problèmes d isolation d une maison On s intéresse dans e problème à la modélisation du hauffage d un logement et son interation ave une atmosphère extérieure Dans une première partie, on va s intéresser aux pertes par ondution thermique et à la notion de résistane thermique Dans une seonde partie, on disutera plus partiulièrement l intérêt du double vitrage par rapport au simple vitrage Dans une troisième partie, indépendante des deux préédentes, on s intéressera enfin au problème de l isolation d une pièe hauffée Dans tout e qui suit, on adopte une desription unidimensionnelle suivant l axe des x On onsidère un matériau de ondutivité thermique de surfae S et d épaisseur e On note la masse volumique du matériau et sa apaité alorifique massique Ce matériau sépare deux régions où on suppose la température onstante, T pour x et T pour x e (figure ) On appelle T(x) la température qui règne au point d absisse x dans le matériau et on note j j( x) e x le veteur ourant thermique Toute l étude sera menée en régime stationnaire et on supposera par ailleurs qu il n existe auun terme soure volumique Figure : Géométrie unidimensionnelle I Équation de la haleur en régime stationnaire Résistane thermique I Quelle est la signifiation physique de j et quelle est son unité? I Par un bilan thermodynamique appliqué à la tranhe de matériau de surfae S omprise entre x et x dx, établir l équation de onservation de la haleur portant sur j(x) I3 Rappeler la loi de Fourier et l appliquer dans le as du problème unidimensionnel Quelle est l unité de la ondutivité thermique? I4 Quelle est alors l équation vérifiée par la température T ( x ) Résoudre ette équation et en déduire la forme de T ( x ) en fontion T, T, e et x I5 En déduire l expression de j( x ) On suppose T T, quel est le signe de j? Commenter (en quelques lignes maximum) e signe I6 On note le flux thermique ou puissane thermique qui passe au travers du matériau Quelle est l expression de qu on herhera à mettre sous la forme : ( T ) T R La quantité R th est appelée résistane thermique, quelle est son unité? Quelle est sa signifiation physique? th 3/7 TSVP

4 I7 II Rappeler la loi d Ohm loale En omparant ette loi à la loi de Fourier, on herhe une analogie entre les problèmes életrique et thermique Quelles sont les grandeurs analogues du ourant életrique I et de la tension életrique U? Comparaison simple vitrage/double vitrage On onsidère pour ommener une vitre de surfae S m et d épaisseur e = mm On donne la ondutivité thermique du verre verre = SI Cette vitre sépare une pièe à la température T = C de l extérieur à la température T =5 C (figure ) II Caluler la résistane thermique R assoiée au simple vitrage Quelle est la puissane qui sort de la pièe au travers de la vitre? Figure : Simple Vitrage Figure 3 : Double Vitrage II Cas du double vitrage On onsidère maintenant un double vitrage de surfae S m formé par deux lames de verres d épaisseur e ' =4 mm séparées par une ouhe d air d épaisseur e '' = mm Ainsi, l épaisseur totale du système est toujours égale à e e' e'' On donne la ondutivité thermique de l air =, SI (figure 3) air On note T ' la température qui règne à la sortie de la première lame de verre et T ' elle qui règne à l entrée de la deuxième lame de verre (figure 3) IIa Exprimer et aluler la résistane thermique R d une seule des lames de verre De même, exprimer et aluler la résistane thermique R ' de l air On note ' la puissane thermique qui traverse suessivement la première lame de verre, la lame d air et la seonde lame de verre IIb Exprimer les différenes de température T T ', T ' T ' et T ' T en fontion de ' et des différentes données du problème II En déduire la différene de température totale T T et l expression de la résistane thermique totale R ' assoiée au double vitrage À quel type d assoiation e résultat vous fait-il penser? IId Caluler la résistane R ' assoiée au double vitrage ainsi que la puissane ' qui sort de la pièe au travers du double vitrage Que vaut le rapport / '? Commenter (quelques lignes maximum) 4/7

5 II3 Prise en ompte des effets onvetifs Figure 4 En réalité, le alul préédent néglige un effet physique très important En effet, les éhanges thermiques entre les vitres et l air de la pièe ou l air extérieur se font grâe au mouvement de l air au voisinage de la surfae de la vitre On parle d éhange onvetif (figure 4) On modélise es éhanges onvetifs par une loi dite loi de Newton : hs (T air T verre ) où est la puissane thermique éhangée, Tair est la température de l air (de la pièe ou à l extérieur), T verre est la température dans la vitre au voisinage de l interfae ave l air, h est appelé oeffiient de transfert thermique et S est la surfae d éhange II3a Montrer que la loi de Newton peut se traduire par l introdution d une nouvelle résistane thermique qu on notera R On revient pour le moment à l étude du simple vitrage mais en prenant en ompte les éhanges onvetifs sur les deux faes de la vitre On note la puissane qui traverse la vitre Du fait des éhanges onvetifs, la température sur les deux faes de la vitre est différente de la température de l air ave lequel elle est en ontat (figure 5) On donne pour l interfae verre-air h W K - m - II3b En vous inspirant du raisonnement de la question IIb, exprimez la résistane thermique R du simple vitrage (ave effet onvetif) en fontion de R et R Caluler ette résistane et en déduire la puissane thermique qui traverse le simple vitrage Figure 5 : Simple Vitrage ave onvetion Figure 6 : Double Vitrage ave onvetion On s intéresse maintenant à nouveau au double vitrage en prenant en ompte les éhanges onvetifs Attention, seules les faes au ontat de l air de la pièe et de l air extérieur sont le siège d une onvetion, la lame d air entrale étant de faible épaisseur et au repos n est pas le siège d un phénomène onvetif (figure 6) II3 De même que préédemment, exprimer la résistane thermique R ' du double vitrage (ave effet onvetif) en fontion de R ' et R Caluler ette résistane R ' et en déduire la puissane thermique ' qui traverse le double vitrage 5/7 TSVP

6 II3d Que vaut le rapport / '? Conlure quant à l intérêt d un double vitrage III Isolation d une pièe hauffée On onsidère une pièe arrée de ôté a =4m et de hauteur H =3m L air de ette pièe est onsidéré omme un gaz parfait diatomique de oeffiient p,4 Par ailleurs, les objets v présents dans la pièe possèdent également une apaité alorifique C p,obj 6 JK - IIIa IIIb III Exprimer le nombre de moles d air présentes dans la pièe Rappeler l expression de la apaité alorifique molaire de l air p Exprimer et aluler alors la apaité alorifique à pression onstante C p,air de l air de la pièe 5 (qu on supposera à la pression atmosphérique patm Pa ) En déduire, la apaité alorifique totale C du système air+objets présents dans la pièe III Évolution temporelle de la température de la pièe On note T la température de la pièe qui est supposée être homogène et T ext la température de l air à l extérieur Du fait de la ondution de la haleur au travers des vitres et des murs de la pièe, une puissane thermique sort de la pièe et la température de la pièe peut don dépendre du temps On admettra par ailleurs qu on peut érire la loi T T ext R tot thermique totale des vitres et des murs où R tot désigne la résistane IIIa Par un bilan d énergie entre les instants t et t dt, montrer que l équation d évolution de la température peut se mettre sous la forme : A dt dt T T ext où on exprimera la onstante A en fontion de Rtot et C Préiser l unité de A IIIb Résoudre ette équation en onsidérant qu à l instant initial, on a T () T On préisera lairement le proédé utilisé pour résoudre ette équation différentielle 6/7

7 III Un expérimentateur a enregistré l évolution de la température en fontion du temps dans la pièe (figure 7) Déduire de e graphe les valeurs de T, T ext et A En déduire la valeur expérimentale de R tot Figure 7 On suppose maintenant qu un radiateur permet de hauffer la pièe en fournissant à la pièe la puissane P IIId Par un nouveau bilan d énergie, déduire la nouvelle équation d évolution de la dt température et la mettre sous la forme : A T T où on exprimera T en fontion dt des données du problèmes FIN DE L ÉPREUVE 7/7 TSVP