Dynamique des Solides Chapitre 3

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1 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 Chap3: YNMIQUE L objectif de ce chapitre est l étude des forces et de leurs effets sur le mouvement des systèmes matériels On va décrire les torseurs de forces etérieures et énoncer le principe liant ces actions à l'évolution des paramètres I TOSEU YNMIQUE : 19 1 éfinitions : 19 Epression du torseur dynamique d un système : 19 3 elation entre le moment cinétique et le moment dynamique : 19 4 Changement de point d un moment d un torseur dynamique : 5 pplication : isque roulant sur un plan incliné : 1 II Eercices : 1 III PINCIPE FONMENTL E L YNMIQUE : 1 Enoncé : Théorèmes générau de la dynamique : 3 1 Théorème de la résultante dynamique : 3 Théorème du moment dynamique : 3 3 Suite de l application précédente : 3 IV Eercices : 5 ISET e Sousse 18

2 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 I TOSEU YNMIQUE : 1 éfinitions : Le torseur dynamique de l ensemble matériel (E) de centre d inertie () en mouvement par rapport au repère, en un point quelconque est le torseur suivant : E PE PE P P dm P dm La résultante dynamique «quantité d'accélération»: P dm Le moment dynamique au point : E P P dm P E P E emarque: L accélération dépend du repère de référence choisi et donc le torseur dynamique dépend également du repère de référence choisi Epression du torseur dynamique d un système : P E On sait que : mv VP dm érivons les deu membres : m d V d VP P E On obtient finalement m P dm Le torseur dynamique s écrit donc E P E dm ISET e Sousse 19 m E 3 elation entre le moment cinétique et le moment dynamique : On a : E PV P dm P E Calculons la dérivée par rapport au temps dans () du moment cinétique au point : d d d E PV P P E dm d d P V P P V P P V P

3 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 Or P d = OP d O alors d P V P d = V P V V P V V P P V P V P P V V P dm P P dm où d E P d E V V P dm P P dm P d E V mv P P dm E d E P m V V ttention à ne pas confondre cette relation avec celle du Changement de point d un moment d un torseur dynamique Cas particulier : d On peut écrire E E lorsque: - est un point fie - est un point fie - confondu avec 4 Changement de point d un moment d un torseur dynamique : B E BP P dm BP P dm B B P dm P dm P P dm P P dm onc le torseur dynamique obéit au mêmes règles que les autres torseurs : lors quelques soient les points et B on a : BE E B m ISET e Sousse

4 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 5 pplication : isque roulant sur un plan incliné : éterminer le moment dynamique au point I (point de contact) du cylindre plein ( S ) de rayon dans sont mouvement par rapport au repère On sait que le moment d inertie du cylindre par rapport à l ae, z est I 1 Z S m 1 ère méthode : 1 On sait que P m z, déjà déterminer au paravent ppliquons IS S Im V y 1 ( ) (S) I V V I S I et puisque V I et S I z y I mv = y z I S 1m z + z = 3 m z ppliquons maintenant d I S IS m V I V et puisque S IS d IS où IS = 3 m z VI alors ème méthode : S d S = z I 1m S S Im 1m z + m y 3 = m z Finalement IS = 3m z II Eercices : Eercice 1 : P mg Une wagonnette en accélération Il est mis à sont poids, à une traction T et au actions des rails : et B supposées verticales (voir figure ci-contre) On demande de : 1 Calculer W? W T ISET e Sousse 1 m g B B

5 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 Calculer W? Eercice : Une pièce coudée (1) est en liaison pivot par rapport au bâti (), et une tige () est en liaison glissière avec (1) comme l indique la figure ci-contre Le mécanisme est plan Les paramètres du mouvement,u et Ou On demande de :? 1 Calculer v 1 O y 1 B u? Calculer? 3 onner l équation de 4 Calculer O? Eercice 3 : Soit un système composé des deu solides (1) et () de masse respective m 1 et m y 1 y 1 1 On demande de calculer : 1 Les éléments de réductions des torseurs cinétiques de (1) et () par rapport à? Les éléments de réductions des torseurs dynamiques de (1) et () par rapport à? (1) O () B u ISET e Sousse

6 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 III PINCIPE FONMENTL E L YNMIQUE : 1 Enoncé : Il eiste au moins un repère galiléen (lié à la terre), et au moins une chronologie, tels que pour tout sous-ensemble matériel (e) d un ensemble matériel (E), le torseur dynamique de (e) dans son mouvement par rapport au repère soit égale au torseur des actions mécaniques etérieures à (e) e e E Le principe fondamental de la dynamique : P F e pour e E Fet e Théorèmes générau de la dynamique : En eprimant que les deu torseurs intervenant dans le principe fondamental ont une même résultante générale et un même moment résultant en tout point, on obtient deu théorèmes appelés théorèmes générau de la dynamique Soient (m) la masse et le centre d inertie du sous-ensemble matériel (e) de l ensemble matériel (E) en mouvement par rapport au repère Si, en un point quelconque on a : e m e et et e F M F et e et e 1 Théorème de la résultante dynamique : Pour tout sous-ensemble matériel (e) de l ensemble matériel (E) en mouvement par rapport au repère galiléen, la résultante dynamique de (e) dans son mouvement par rapport au repère est égale à la résultante générale du torseur associé au actions mécaniques etérieures à (e) Soit : m Fete Théorème du moment dynamique : Pour tout sous-ensemble matériel (e) de l ensemble matériel (E) en mouvement par rapport au repère galiléen, le moment dynamique de (e) dans son mouvement par rapport au repère est égale au moment résultant du torseur associé au actions mécaniques etérieures à (e) Soit : e M F ete pour ISET e Sousse 3

7 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 3 Suite de l application précédente : Etude dynamique du disque roulant sur un plan incliné Le torseur dynamique au centre d inertie du disque (S) est S m S avec m S = m y = 1 m z S Les actions etérieures qui s eercent sur le cylindre ont : Pesanteur P Mg Sin Cos y M P TN y ction de contact avec le sol M M M I I z y P N I T T Ny y T Soit en définitive: Fet MgSin T N MgCos y M Fet Tz En appliquant le principe fondamental de la dynamique au point : On obtient : M F et F F et ets S T Ou encore: M M g Sin N M g Cos T 1 M Nous sommes en présence d un système de trois équations à quatre inconnues T, N,, Pour le résoudre, il nous faut une équation supplémentaire que l on va obtenir en eaminant les conditions de roulement au point de contact I entre le disque et le plan incliné Si on fait l hypothèse qu il y a roulement sans glissement du disque () sur le plan (P), alors la vitesse de glissement de () sur (P) est nulle Soit: V V / ) V ( P / ) I ( I ISET e Sousse 4 gi

8 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 Or V I ( P / ) (le plan étant fie) Et V I ( / ) V( / ) ( / ) I = z ( y) ( ) La condition de roulement sans glissement nous fournit l équation: = Soit en dérivant par rapport au temps: On résout alors le système : T M Mg sin N Mg cos 1 T M On obtient après résolution : IV Eercices : EXECICE 1: eprendre l'eercice 1 du Chapitre 6 g sin 3 g sin 3 Mg sin T 3 N Mg cos e) Calculer le torseur dynamique de ( S ) au point O EXECICE : On considère un système constitué d'une tige (T) de masse m de longueur L et d'un disque () de centre C de masse m et de rayon L/3 La tige est articulée au point O par une liaison pivot d'ae O, z et est liée au disque par une liaison pivot en C d ae C, z Le disque est en contact permanent au point I avec un ISET e Sousse 5

9 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 solide (S) immobile On repère les mouvements du système par les paramètres suivants : O,, y, z O, 1, y1, z 1 : Le repère de référence lié à (S), : Un repère mobile lié à (T), C,, y, z : Un repère mobile lié au disque (), Tel que, 1 y, y et 1 1, y, y 1 On supposera qu'il y a roulement sans glissement en I ETUE E L TIE Soit le centre de gravité de la tige (T) 1) Calculez la vitesse de? ) onnez la matrice d'inertie de la tige (T) au point dans la base b 1? 3) Calculez le torseur cinétique de la tige au point? 4) Calculez le torseur dynamique de la tige au point C? 5) Calculez l'énergie cinétique de la tige (T)? 6) Calculez l'énergie potentielle de la tige (T)? 7) Ecrire les équations découlant du P F pour la tige (T)? ETUE U ISQUE 8) onnez la matrice d'inertie du disque () au point C dans la base b? 9) Calculez le torseur cinétique du disque () au point C? 1) Calculez l'énergie cinétique du disque ()? 11) Calculez l'énergie potentielle du disque ()? 1) Calculez le torseur dynamique du disque () au point C? 13) Ecrire les équations découlant du P F pour le disque ()? 14) onner l'équation de roulement sans glissement de () sur (S)? EXECICE 3 : Le mécanisme proposé à l étude est celui d une Planétaire (voir le schéma cinématique du mécanisme cidessous) On considère, dans un repère O,, y, z astreint à se déplacer dans le plan O,, y, le mouvement plan d'un disque (), de rayon a, Le centre C du disque décrit une circonférence de ISET e Sousse 6

10 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 rayon L, de centre O On pose OC L u La tige (T) est en liaison pivot d ae (O, z ) avec le bâti () (entraînée par un moteur M 1 non représenté) Le disque () est en liaison pivot d ae (C, z ) avec la tige (T) epères associés : On considère les repères orthonormés directs suivants : O,, y, z repère lié le bâti (); 1 C,, y, z repère lié au disque () ; O, u, v, z repère lié à la tige (T) Paramètres cinématiques et de positions : ans les deu parties u sera repéré par l angle,u, La position de sera repérée soit par rapport à,, t u, On remarque que ces paramètres sont liés par la relation Schéma cinématique du mécanisme :, soit par rapport à u, y P C u Hypothèses T O Toutes les liaisons sont supposées parfaites La tige (T) est de longueur (L), de masse (m T ) et de centre d inertie ( T ) Le disque () est de rayon, de masse (m ) et de centre d inertie (C) Les actions eercées par le moteur (M 1 ), le moteur (M ), la tige (T) et le disque () sont : Le moteur (M 1 ) lié à () applique sur la tige (T) un couple : C1 C z 1 ISET e Sousse 7

11 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 La pesanteur applique sur la tige (T) le poids : PT mt g y La pesanteur applique sur le disque () le poids : P m g y avec ( g est l accélération de pesanteur) La matrice d inertie I T La matrice d inertie de la tige (T) par rapport à la base, v, z T I T B B T u : ISET e Sousse 8 T u, v I C du disque () par rapport à la base, y, z I C 1 onner les vecteurs rotations : C, z, y, Partie I : Etude Cinématique (T / ), ( / ) et ( / T) z : Calculer la vitesse au point (C) de la tige (T) par rapport au repère : V C T / En déduire la vitesse au point ( T ) de la tige (T) par rapport au repère : V T T / 3 Calculer l'accélération du point (C) de la tige (T) par rapport au repère : C T / En déduire l'accélération du point ( T ) de la tige (T) par rapport au repère : T T / 4 Calculer la vitesse du point (P) du disque () par rapport au repère : V P / En déduire l'accélération du point (P) du disque () par rapport au repère :

12 ynamique des Solides 11-1 Chapitre 3 P / Partie II : Etude Cinétique 1 éterminer le moment d inertie B T de la tige (T) par rapport à l ae ( T, z ) : En déduire son moment par rapport à l ae (O, z ) éterminer le moment d inertie C du disque () par rapport à l ae (C, z ) : En déduire son moment par rapport à l ae (O, z ) 3 Calculer le moment cinétique au point (T) de la tige (T) dans son mouvement par rapport à : T T / 4 Calculer le moment cinétique au point (O) de la tige (T) dans son mouvement par rapport à : O T / 5 Calculer le moment cinétique au point (C) du disque () dans son mouvement par rapport à : C / 6 Calculer le moment dynamique au point (T) de la tige (T) dans son mouvement par rapport : T à T 7 Calculer le moment dynamique au point (O) de la tige (T) dans son mouvement par rapport à : O T 8 Calculer le moment dynamique au point (O) du système [tige (T) + disque ()] dans leur mouvements par rapport à : O ( T ) Partie III : Principe Fondamentale de la ynamique En appliquant le principe fondamentale dynamique théorème des moments dynamiques au point (O) à l ensemble [(T) + ()] onner l epression de C1 en fonction des données du problème ISET e Sousse 9