Généralités sur les fonctions, cours, première S

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1 Généralités sur les fonctions, cours, première S F.Gaudon septembre 009 Table des matières Notions préliminaires sur les fonctions. Ensemble de dénition Courbe représentative Égalité de deux fonctions Fonctions de référence. Fonction carré Fonction inverse Fonctions anes Fonctions cosinus et sinus Fonctions associées et opérations sur les fonctions 5. x f(x) + k x f(x + k) x kf(x) Somme de deux fonctions

2 Notions préliminaires sur les fonctions. Ensemble de dénition Dénition : L'ensemble de dénition D f d'une fonction f : x f(x) est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles f(x) est calculable. f : x x est calculable lorsque x 0 c'est à dire x donc D f = [; + [ ; g : x x est calculable lorsque x donc D g =] ; [ ]; + [.. Courbe représentative Dénition : Soit f une fonction d'ensemble de dénition D f. Dans un repère, la courbe représentative C f de f est l'ensemble des points M(x; y) tels que x D f et y = f(x). On dit que y = f(x) est l'équation de la courbe C f dans le repère.. Égalité de deux fonctions Dénition : Deux fonctions f et g d'ensembles de dénition D f et D g respectivement sont égales si : D f = D g ; pour tout x D f f(x) = g(x). On considère les fonctions f et g dénies par f(x) = x x+ et g(x) = x. On a D f = R {} et D g = R. Cependant, pour tout x 0 on a f(x) = g(x). f et g ne sont pas égales. http: // mathsfg. net. free. fr

3 Fonctions de référence. Fonction carré Dénition et propriétés : D f = R ; dénie pour tout x réel par x x ; strictement décroissante sur ] ; 0] et strictement croissante sur [0; + [ ; représentée graphiquement par une parabole Fonction inverse Dénition et propriétés : D f = R ; dénie pour tout x 0 par x x ; strictement décroissante sur ] ; 0[ et strictement décroissante sur ]0; + [ représentée graphiquement par une hyperbole ; http: // mathsfg. net. free. fr

4 . Fonctions anes Dénition et propriétés : D f = R ; dénies pour tout x réel par x ax + b où a et b sont deux réels xés ; croissante sur R si a > 0 et décroissante sur R si a < 0 ; représentées graphiquement par une droite.. Fonctions cosinus et sinus Dénition et propriétés : D f = R ; dénies pour tout x réel par x cos(x) et par x sin(x) ; périodiques de période π, c'est à dire pour tout x réel, f(x + π) = f(x) ; représentées graphiquement par des sinusoïdes. http: // mathsfg. net. free. fr

5 Fonctions associées et opérations sur les fonctions Soit f une fonction de courbe représentative C f dans un repère (O; i; j) orthogonal. Soit k un réel.. x f(x) + k La courbe C h représentant la fonction h : x f(x) + k est l'image de C f par la translation de vecteur k j. La gure ci-dessous montre les courbes représentatives de f et h dans un repère (O; i; j) dénies par f(x) = x et h(x) = f(x) = x. La courbe de h se déduit de la courbe de f par la translation de vecteur j. Cf Ch f(x) 0 x 0 j h(x) Soit C la courbe représentative de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction h : x f(x + k) dans un repère (O; i; j). On a, pour tout point M (x ; y ) appartenant à C, M (x ; y ) C si et seulement si y = h(x ) c'est à dire y = f(x ) + k soit y k = f(x ). On pose X = x et Y = y k et on considère le point M de coordonnées (X; Y ). M(x ; y ) C signie donc encore que Y = f(x) c'est à dire que M(X; Y ) C. Or, MM a pour coordonnées (x M x M; y M y M) donc (x x ; y (y k)) c'est à dire (0; k) ce qui signie que M est l'image de M par la translation de vecteur k j. Ceci étant vrai pour tout point M de C et réciproquement pour tout point M de C, on en déduit que C est l'image de C par cette translation. f et x f(x) + k ont les mêmes variations. Montrons que si f est croissante, alors x f(x)+k est aussi croissante. En eet, pour tous les nombres x et x réels de l'intervalle d'étude avec x < x, comme f est croissante on a f(x) < f(x ) puis en ajoutant k dans les deux membres, on obtient f(x) + k < f(x) + k ce qui montre que x f(x) + k est croissante sur l'intervalle d'étude. http: // mathsfg. net. free. fr 5

6 . x f(x + k) La courbe C h représentant la fonction h : x f(x + k) est l'image de la courbe C f par la translation de vecteur k i. Soit C la courbe représentative de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction h : x f(x + k) dans un repère (O; i; j). On a, pour tout point M (x ; y ) appartenant à C, M (x ; y ) C si et seulement si y = h(x ) c'est à dire y = f(x + k). On pose X = x + k et Y = y et on considère le point M de coordonnées (X; Y ). M(x ; y ) C signie donc encore que Y = f(x) c'est à dire que M(X; Y ) C. Or, MM a pour coordonnées (x M x M; y M y M) donc (x (x + k); y y ) c'est à dire ( k; 0) ce qui signie que M est l'image de M par la translation de vecteur k i. Ceci étant vrai pour tout point M de C et réciproquement par le même raisonnement pour tout point M de C, on en déduit que C est l'image de C par cette translation. La gure ci-dessous montre la représentation graphique des fonctions f et h dénies par f(x) = x et h(x) = (x + ) pour tout x réel. La courbe représentant h se déduit de celle représentant f par la translation de vecteur i. Ch f(x) = f(x) Cf j x0 x 0. x kf(x) La courbe C h représentant la fonction notée kf et dénie par kf : x (kf)(x) = kf(x) est l'ensemble des points de coordonnées (x; kf(x)). En particulier, si k =, C h est l'image de C f par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses. http: // mathsfg. net. free. fr 6

7 La gure suivante montre la représentation graphique des fonctions f et h dénies par f(x) = x et h(x) = 0, 5x. f(x) Cf f(x) 0 x 0 0.5f(x) h(x) Ch Si k > 0 alors les variations de f et kf sont les mêmes ; si k < 0 alors les variations de f et kf sont opposées. Montrons par exemple que si k < 0 et f est croissante sur I, alors kf est décroissante sur I. Pour tous les réels x et x appartenant à I tels que x < x on a f(x) < f(x ) puisque f est croissante sur I, puis kf(x) > kf(x ) car k est négatif. Cela montre bien que x kf(x) est décroissante sur I.. Somme de deux fonctions Dénition : La fonction somme de deux fonctions f et g dénies sur un même ensemble D est la fonction notée f +g dénie par f +g : x (f +g)(x) = f(x) + g(x). La gure suivante montre les représentations graphiques des fonctions f et g dénies par f(x) = x si x 0 et g(x) = x pour tout réel x ainsi que la courbe représentant la fonction h = f + g dénie par h(x) = + x pour tout réel x non nul. x http: // mathsfg. net. free. fr 7

8 Ch Cg h(x) g(x) f(x) Cf 0 x 0 Si f et g sont toutes les deux croissantes (respectivement décroissantes) sur un même intervalle I, alors f + g est croissante (respectivement décroissante) sur I. Si f et g sont croissantes sur un même intervalle I, pour tous x et y appartenant à I tels que x y on a f(x) f(y) par croissance de f et g(x) g(y) par croissance de g. Par conséquent, f(x) + g(x) f(y) + f(y) par addition membre à membre, ce qui justie que f + g est croissante sur I ; si f et g sont décroissantes sur un même intervalle I, pour tous x et y appartenant à I tels que x y, on a f(x) f(y) et g(x) g(y) par décroissance de f et g donc f(x) + g(x) f(y) + f(y) par addition membre à membre, ce qui montre que f + g est décroissante sur I. Soit f dénie sur R par f(x) = x et g dénie sur R par g(x) = 5x. On sait que x x est croissante sur R +. f est donc croissante sur cet intervalle d'après le paragraphe précédent. De même g est croissante sur R +. Par conséquent x x + 5x est croissante sur R +. Remarque : On ne peut rien dire de manière générale dans le cas où f et g n'ont pas les mêmes variations sur I. En eet, pour f dénie par f(x) = x et g dénie par g(x) = x sur R, f est croissante, g est décroissante sur R et f +g = 0 est constante sur R. Par contre, pour h dénie par h(x) = x sur R, h est décroissante sur R mais f + h est dénie par (f + h)(x) = x sur R et y est donc croissante. http: // mathsfg. net. free. fr 8