Physique quantique appliquée Travaux dirigés n 5. Evolution Oscillateur harmonique

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1 Université Pierre et Marie Curie M1 PGA & SDUEE Année Physique quantique appliquée Travaux dirigés n 5. Evolution Oscillateur harmonique A- Evolution A l instant initial t 0, le système est dans l état ψ 0 = ψ 1 + ψ où ψ 1 et ψ sont des états propres de l hamiltonien, H pour les valeurs propres E 1 et E. On suppose ici que H est indépendant du temps. On rappelle que les vecteurs ψ et g ψ décrivent le même état physique ; g pouvant éventuellement varier avec le temps. 1a- On suppose la relation E 1 = E. Montrer que l état est stationnaire, c est à dire que toute mesure conduit aux mêmes résultats possibles quel que soit l instant où l on effectue la mesure (par résultats possibles on entend ici l ensemble des valeurs observées, leur probabilité ainsi que l état du système immédiatement après la mesure). 1b- On suppose E 1 E. Montrer que le système physique évolue périodiquement. Exprimer la période en fonction de E 1 et E. 1c- Montrer que la mesure de l énergie fournit des résultats indépendants du temps. Exercice On considère l espace des états, E, dont une base orthonormée est constituée par les vecteurs u k, j qui dépendent de deux indices entiers non négatifs, k et j. Ces vecteurs sont des vecteurs propres de l hamiltonien H ; ils satisfont la relation H u k, j = (k + j) ω u k, j. a- Montrer que le résultat d une mesure d énergie est nécessairement E n = nω où n est un entier non négatif. Quelle est l ordre de dégénérescence de E n b- A l instant t = t 0 le système est décrit par le vecteur état ψ 0 ψ 0 = u 0, 0 + (1 + i) u 0, 1 + i u 1, 0 + (1 i) ( u 0, + u 1, 1 ) + u, 0 Donner sans démonstration l état du système à l instant t, quelconque. 1

2 c- A l instant t on mesure l énergie. Préciser les résultats possibles ainsi que la probabilité de chacun d entre eux et, dans chaque cas, l état du système immédiatement après la mesure. B- Autour de l oscillateur harmonique On considère une particule à une dimension de masse m évoluant dans le potentiel suivant : V (X) = 1 mω X 1- Rappeler l expression de l hamiltonien H d un tel oscillateur harmonique. - On notera u n le vecteur propre de H associé à la valeur propre E n. On rappelle que E n = (n + 1 )ω où n est un nombre entier positif ou nul. Soient les opérateurs d annihilation a et de création a définis comme suit : a = 1 { mω X + i } P x mω a = 1 { mω X i où X et P x sont les opérateurs position et impulsion. On pourra poser : mω α =.a- Les opérateurs a et a sont-ils hermitiques?.b- Calculer le commutateur [a, a ]. } P x mω.c- Comparer l opérateur N = a a à l hamiltonien du système. Déterminer le résultat de l application de N sur u n..d- On rappelle que : a u n = n u n 1 a u n = n + 1 u n+1 Montrer que l on peut retrouver le résultat de la question précédente en utilisant ces relations d applications. 3- Étude des opérateurs X et P x. 3.a- Calculer X et P x en fonction de a et a. Calculer X u n et P x u n. 3.b- Déterminer les valeurs moyennes de X, de X et de P x lorsque le système se trouve dans un état propre de H. 4- A l instant t = 0, l état de cet oscillateur est donné par : ϕ(0) = n C n u n

3 4.a- Donner ϕ(t). Déterminer, à un instant t quelconque, la probabilité P (E n ) d obtenir E n lors de la mesure de l énergie de cet oscillateur. 4.b- Quelle est la probabilité P (E > ω) pour qu une mesure de l énergie de l oscillateur à un instant t > 0 quelconque donne un résultat supérieur à ω. Quels sont les coefficients C n non nuls lorsque P = 0? 4.c- On suppose à partir de maintenant que seuls C 0 et C 1 sont différents de zéro. Écrire en fonction de C 0 et C 1 la condition de normalisation de ϕ(0) et la valeur moyenne de H. On impose de plus < H >= ω. Calculer C 0 et C 1. 4.d- Le vecteur d état ϕ(0) étant défini à un facteur de phase près, on fixe ce facteur de phase en imposant C 0 réel et positif. On pose C 1 = C 1 e iθ ; de plus, < H >= ω et < x > t=0 = 1/(/mω) 1/. Calculer θ. 4.e- Déterminer ϕ(t) ainsi que la valeur moyenne de X en fonction du temps. 3

4 Physique quantique appliquée Travaux dirigés n 5. Evolution Oscillateur harmonique A- Evolution 1a- ψ 0 est un état propre de H pour la valeur propre E 1 = E (que nous posons égale à E). On en déduit ψ (t) = e iet/ ψ 0. A chaque instant ψ (t) et ψ 0 sont proportionnels ; ils décrivent donc le même état physique. L état ψ (t) est donc stationnaire. 1b- ψ (t) = e ie 1(t t 0 )/ ψ 1 +e ie (t t 0 )/ ψ = e ( ie 1(t t 0 )/ ψ 1 + e i(e E 1 )(t t 0 )/ ψ ). Le même état est décrit par ψ (t) et ϕ (t) = ( ψ 1 + e i(e E 1 )(t t 0 )/ ψ ). Cet état est périodique, de pulsation ω = E E 1 et de période T = π E E 1. 1c- On pose ψ (t) = ψ E1 + ψ E avec ψ E1 = e ie 1(t t 0 )/ ψ 1 et ψ E = e ie (t t 0 )/ ψ. Une mesure de l énergie à l instant t donne les résultats résumés dans le tableau ci-après résultat proba ψ + ψ E1 ψ E1 E 1 = ψ 1 ψ 1 ψ 1 ψ ψ ψ ψ E ψ E ψ E ψ ψ = ψ ψ ψ ψ On remarque que ces résultats sont indépendants du temps, que ce soit la valeur observée, la probabilité ou l état, ψ +, après la mesure. Exercice On considère l espace des états, E, dont une base orthonormée est constituée par les vecteurs u k,j qui dépendent de deux indices entiers non négatifs, k et j. Ces vecteurs sont des vecteurs propres de l hamiltonien H; ils satisfont la relation H u k, j = (k + j) ω u k, j. a- Le spectre de H est l ensemble des valeurs (k + j) ω. La mesure de l énergie conduit nécessairement à l une des valeurs E = nω avec n = k + j = 0, 1,, etc... Posons k + j = n. Une telle valeur de n peut être obtenue de diverses façons : n = 0 + n = 1 + (n 1) = + (n ) = = (n 1) + 1 = n + 0. Il y a donc n + 1 couples (k, j) différents qui conduisent à la même valeur E n. A chaque couple correspond le vecteur u k, j de la base. Le sous espace propre de E n est donc de dimension n + 1. La dégénérescence de E n est donc n + 1. ψ 4

5 b- A l instant t = t 0 le système est décrit par le vecteur état ψ 0 : ψ 0 = u 0,0 + (1 + i) u 0,1 + i u 1,0 + (1 i) ( u 0, + u 1,1 ) + u,0 On regroupe les divers vecteurs propres de H associés à la même valeur propre : ψ 0 = ψ (0) + ψ (1) + ψ () avec valeur propre ψ (0) = u 0,0 E 0 = 0 ψ (1) = (1 + i) u 0,1 + i u 1,0 E 1 = ω ψ () = (1 i) ( u 0, + u 1,1 ) + u,0 E = ω Cet état évolue, à l instant t le système est décrit par le vecteur ψ (t) = ψ (0) (t) + ψ (1) (t) + ψ () (t) avec soit valeur propre ψ (0) (t) = e ie 0(t t 0 )/ ψ (0) E 0 = 0 ψ (1) (t) = e ie 1(t t 0 )/ ψ (1) E 1 = ω ψ () (t) = e ie (t t 0 )/ ψ () E = ω ψ (t) = u 0,0 + e iω(t t 0) ((1 + i) u 0,1 + i u 1,0 )+e iω(t t 0) ( (1 i) ( u 0, + u 1,1 ) + u,0 ) c- Remarquons la relation ψ (k) (t) ψ (k) (t) = ψ (k) ψ (k). On en déduit les valeurs suivantes ψ (0) ψ (0) = 1 ψ (1) ψ (1) = 1 + i + i = 3 ψ () ψ () = 1 i + 1 = 5 Les vecteurs ψ (k) (t), vecteurs propres de l observable H associés à des valeurs propres différentes, sont orthogonaux. Par conséquent ψ (t) = ψ (k) (t) ψ (k) (t) = ψ (k) ψ (k), soit ψ (t) ψ (t) = = 9 k=0 k=0 k=0 ψ (k) (t) ψ (t) ψ (t) = Les résultats possibles d une mesure d énergie sont présentés dans le tableau ci-après résultat Proba ψ + E 0 = 0 ψ (0) (t) ψ (0) (t) = 1 ψ (t) ψ (t) 9 u 0,0 E 1 = ω ψ (1) (t) ψ (1) (t) = 3 ψ (t) ψ (t) 9 (1 + i) u 0,1 + i u 1,0 E = ω ψ() (t)vertψ () (t) = 5 ψ (t) ψ (t) 9 (1 i) ( u 0, + u 1,1 ) + u,0 B- Autour de l oscillateur harmonique 1- H = P x m + 1 mω X 5

6 .a- a et a ne sont pas hermitiques (X et P x le sont cependant), ils sont l adjoints l un de l autre..b- [a, a ] = I N = H ω 1 ; donc N u n = n u n.d- N u n = a a u n = a n u n 1 = n u n X = mω (a + a ) P x = i mω(a a ) ( n X u n = un 1 + n + 1 u n+1 ) mω P x u n = i ( n mω un 1 ) n + 1 u n+1.c- 3.a- 3.b- D où < X >= 0 < P x >= 0 < X >= 1 mω (n + 1) < P x >= 1 mω(n + 1) < E p >= 1 mω < X >= 1 ( n + 1 ) ω = E n < E c >= < P x > m = 1 ( n + 1 ) ω = E n 4.a- φ(t) = n C n e ient u n = n C n e i(n+ 1 )ωt u n P(E n ) = P(E n ) ne dépend pas du temps. C n e ient C p e iept = C n p C p p 4.b- E n > ω n P(E > ω) = n= C n n C n = 1 C 0 + C 1 n C n Si P(E > ω) est nul alors tous les C n sont nuls pour n et au moins un des coefficients C 0 et C 1 est non nul. 6

7 4.c- On suppose que seuls C 0 et C 1 sont différents de zéro. On a donc ϕ(0) = C 0 u 0 + C 1 u 1. La condition de normalisation de ϕ(0) donne ( C 0 + C 1 ) = 1. Et la valeur moyenne de H : < H >= P 0 E 0 + P 1 E 1 = C0 + 3 C 1 ω On impose de plus < H >= ω. Donc C 0 = C 1 = 1. 4.d- C 0 est réel et positif donc : C 0 = 1. On pose C 1 = eiθ. a t=0 = < X > t=0 = 1 ( a t=0 + a mω t=0) ( ) ( ) 1 u 0 + e iθ 1 u 1 a u 0 + eiθ a u 1 = 1 eiθ et Au final : ( ) ( ) a 1 = t=0 u 0 + e iθ 1 u 1 a u 0 + eiθ a u 1 = 1 e iθ < X > t=0 = 1 ( 1 mω eiθ + 1 ) e iθ = 1 mω cos θ < X > t=0 = 1 mω cos θ = 1 θ = ± π 4 + kπ. On choisit θ = π. 4 ϕ(t) = 1 e iωt u ωt e i( π 4 ) u1 4.e- X t = ϕ(t) X ϕ(t) = X t = 1 ( 1 e iωt mω ϕ(t) 1 mω 1 3ωt e i( π 4 ) + e iωt X t = 1 (ωt mω cos π ) 4 ( a + a ) ϕ(t) ) 1 3ωt e i( π 4 ) 7