x = x x2 = x x a ε x [a ε;a+ε] F AB = G m Am B d 2

Transcription

1 ÄË ÇÆÌÁÇÆË ÄÁÅÁÌË Ì ÇÆÌÁÆÍÁÌ ÇØ ÓÒÒØÖ Ð ÖÐ º ÓÒÒØÖ Ø ÑÒÔÙÐÖ Ð ÚÐÙÖ ÓÐÙ ÓÒÒØÖ Ð ÒØÓÒ ÐÑØ ËÚÓÖ ÐÙÐÖ ÐÑØ ÓÒÒØÖ Ð ÒÓØÓÒ ÓÒØÒÙØ ½ Ä³Ò ÑÐ ÖÐ ½º½ ÜÑÔÐ ½º Ä ÓÙ ¹Ò ÑÐ R ÉÙ³ Ø ÕÙ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÒØÓÒ ½º ÇÒ ØÒÙ ÔÐÙ ÙÖ ÓÙ ¹Ò ÑÐ Ð³Ò ÑÐ ÖÐ º Ä³Ò ÑÐ ÒØÖ ÒØÙÖÐ ÒÓØ Nº Ä³Ò ÑÐ ÒØÖ ÖÐØ ÒÓØ Zº Ä³Ò ÑÐ ÒÓÑÖ ÑÙÜ ÆÓÑÖ Ò Ö ÔÖ Ð ÚÖÙÐ Ò Ð³ÖØÙÖ ÑÐµ Dº Ä³Ò ÑÐ ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÐ ÉÙÓØÒØ ÙÜ ÒØÖ ÖÐØ µ ÒÓØ Qº Ä ÔÖØ ÑÐ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÐ Ø ÔÖÓÕÙ ÔÖØÖ ³ÙÒ ÖØÒ ÖÒº Ä³Ò ÑÐ ÖÖØÓÒÒÐ Ä ÖÐ ÒÓÒ ÖØÓÒÒÐ µº ÜÑÔÐ ¾º ÓÒÒÖ ÙÒ ÖÐ ÙÒ Ò ÑÐ ÔÖÒØ Ø ØÖÑÒÖ ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÒÐÙ ÓÒ ÒØÖ Ò ÑÐ º ÁÐ Ø ÑÔÓÖØÒØ ØÒÙÖ ÙÒ Ò ÑÐ Ö ÙÒ ÔÔÐØÓÒ ÔÕÙ º ÈÖ ÜÑÔÐ Ò ÑÐ ÅØ ÈÝ ÕÙ ÜÑÔÐ N ÊÒ ³ÙÒ ÙØ ÈÒÓÑÒ ÖØ D ÎÐÙÖ ÔÔÖÓ ÎÐÙÖ ÔÔÖÓ Q ÎÐÙÖ ÔÔÖÓ ³ÙÒ ÖÖØÓÒÒÐ ÈÖÓÔÓÖØÓÒ R ÓÒØÓÒ R Ò R ÈÒÓÑÒ ÓÒØÒÙ ÎÐÙÖ ØÖÑ ³ÙÒ ÙØ ÉÙ ØÓÒ ½º ÓÑÔÐØÖ Ð ØÐÙ ÔÖÒØ Ò ÓÒÒÒØ ÙÒ ÜÑÔÐ ÔÒÓÑÒ ÔÝ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ò ÑÐ º ½

2 ½º¾ Ä ÚÐÙÖ ÓÐÙ ÒØÓÒ ¾º ËÓØ x ÙÒ ÖÐº Ä ÚÐÙÖ ÓÐÙ x Ø ÒÓØ x Ø Ð³ÓÒ x = x x Ø ÔÓ Ø x = x ÒÓÒº ÜÑÔÐ º 2 1 ÖÖ Ò ÚÐÙÖ ÓÐÙ º 2 3 ÈÖÓÔÖØ ½º x = x ÁÒÐØ ØÖÒÙÐÖ a b a+b a + b x2 = x ÜÑÔÐ º ÓÒÒÖ ÜÑÔÐ Ó Ð ÒÐØ ÓÒØ ØÖØ Ø Ó Ð³ÓÒ Ð³ÐØ Ò Ð ÒÐØ ØÖÒÙÐÖ º Ä ÚÐÙÖ ÓÐÙ Ø ÓÙÚÒØ ÙØÐ ÔÓÙÖ ÖØÖ Ö Ð ÖÐ ÔÔÖØÒÒØ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ Ö Ð ÔÖÓÔÖØ ÙÚÒØ ÈÖÓÔÖØ ¾º ËÓØ x a Ø ε ØÖÓ ÖÐ º x a = ØÒ(a;x) x a ε x [a ε;a+ε] ÜÑÔÐ º ÊÔÖ ÒØÖ ÙÖ ÙÒ Ü Ð ÖØÓÒ ÔÖÒØ º ¾ ¾º½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ð ÒÓØÓÒ ÐÑØ ÙÖ ÙÒ ÜÑÔÐ ÔÖÓÚ¹ ÒÒØ Ð ÔÝ ÕÙ Ä³ÜÑÔÐ Ð ÓÖ ³ØØÖØÓÒ ÖÚØØÓÒÒÐÐ Ò Ð ØÓÖ ÆÛØÓÒÒÒ Ð ÚÐÙÖ Ð ÓÖ ³ØØÖØÓÒ ÖÚØØÓÒÒÐÐ ÒØÖ ÙÜ ÔÓÒØ A Ø B ÔÓÙÖ ÚÐÙÖ F AB = G m Am B d 2 Ó m A Ø m B ÓÒØ Ö ÔØÚÑÒØ Ð Ñ ÔÓÒØ A Ø B d Ø Ð ØÒ ÒØÖ Ð ÔÓÒØ A Ø B Ø Ó G Ø ÙÒ ÓÒ ØÒØº ¾º¾ ÖÒÙÖ ÚÖÐ Ø ÓÒØÓÒ ÆÓÙ ÚÓÝÓÒ Ò Ð³ÐØ Ð³ÜÑÔÐ ÔÖÒØ ÔÐÙ ÙÖ ÐØØÖ ÕÙ ÔÙÚÒØ ØÖ ÒØÖÔÖØ ÔÐÙ ÙÖ ÓÒ ÙÚÒØ Ð ÓÒØÜØº ÇÒ ÔÙØ ÔÖ ÜÑÔÐ ÙØÐ Ö ØØ ÓÖÑÙÐ ÙÒÕÙÑÒØ ³ÙÒ ÔÓÒØ ÚÙ ÒÙÑÖÕÙ ³ Ø Ö ÕÙ Ð³ÓÒ ÐÙÐ ÙÒ ÚÐÙÖ ÔÖØÖ ÙØÖ ¾

3 ÜÑÔÐ º ÐÙÐÖ Ð ÓÖ ³ÒØÖØÓÒ ÖÚØØÓÒÒÐÐ ÒØÖ ÙÜ ÔÖÓØÓÒ ÒØ ÕÙ m A = m B = 1, G = 6, ÆºÑ 2. 2 Ø d = 2, Ñº ÇÒ ÔÙØ Ù ÓÒ ÖÖ ÕÙ Ð ÓÖ F ÔÒ ØÖÓ ÙØÖ ÖÒÙÖ º Ò ÑØÑØÕÙ ÓÒ Ö ÕÙ F Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ ØÖÓ ÚÖÐ m A m B Ø dº ÇÒ ÔÙØ Ù ÜÖ ÙÜ ØÖÓ ÖÒÙÖ ÔÖ ÜÑÔÐ m A Ø m B º F Ö ÐÓÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÙÒ ÚÖÐ Ð ÚÖÐ d Ø m A Ø m B ÖÓÒØ ÔÔÐ ÓÒ ØÒØ º ÜÑÔÐ º ÓÑÑÒØ ÒÓØ¹ÓÒ Ò ÑØÑØÕÙ Ð³Ñ d ÔÖ F ÓÑÑÒØ ³ÔÔÐÐ d ÔÖ ÖÔÔÓÖØ G m Am B d 2 ¾º Ò ÑÐ ÒØÓÒ ÈÙ ÕÙ Ð³ÓÒ ÚÙØ ØÙÖ Ð ÓÑÔÓÖØÑÒØ F Ò ÓÒØÓÒ d Ð ÙØ ÓÒÒØÖ Ð ÚÐÙÖ ÔÓ Ð ÔÓÙÖ dº Ø Ò ÑÐ Ø ÔÔÐ Ò ÑÐ ÒØÓÒ Ð ÓÒØÓÒ F º Á d ÔÙØ ÔÖÒÖ Ò³ÑÔÓÖØ ÕÙÐÐ ÚÐÙÖ ØÖØÑÒØ ÔÓ ØÚ Ð³Ò ÑÐ ÒØÓÒ Ð ÓÒØÓÒ F Ø ÓÒ Ð ]0;+ [º ÊÑÖÕÙ ½º Ë Ð ÓÒØÓÒ F ØØ ÓÒÒ Ò ÓÖ Ù ÓÒØÜØ ÔÝ ÕÙ ÔÖ F(x) = G m Am B Ð ÓÑÒ ÒØÓÒ F ÖØ R º Ä ÓÑÒ ÒØÓÒ Ø ÓÒ ÖÒØ ÐÓÒ ÕÙ Ð³ÓÒ ÓÒ Ö Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÒ ÓÒØÜØ ÔÝ ÕÙ ÓÙ Ò ÑØÑØÕÙ º ÜÑÔÐ º ÓÒÒÖ Ð ÓÑÒ ÒØÓÒ Ð ÓÒØÓÒ f Ò ÔÖ f(x) = x2 +2x 3 x 2 1 x 2 ¾º ÄÑØ F ÐÓÖ ÕÙ Ð ÚÖÐ ØÒ ÚÖ ÙÒ ÖÐ ÇÒ Ò ÔÙØ Ô ÐÙÐÖ F ÔÓÙÖ d = 0 Ñ ÓÒ ÔÙØ ÐÙÐÖ F ÔÓÙÖ ÚÐÙÖ d ØÖ ÔÖÓ ¼º Ò ÑØÑØÕÙ d ÔÙØ ØÖ Ù ÔÖÓ ÕÙ Ð³ÓÒ ÚÙØ ¼º ÜÑÔÐ º ÉÙ ÔÙØ¹ÓÒ Ö F(d) ÐÓÖ ÕÙ d ³ÔÔÖÓ Ù ÔÖ ÕÙ Ð³ÓÒ ÚÙØ 0 ÉÙ ÔÒ Þ ÚÓÙ Ù Ö ÙÐØØ Ù ÔÓÒØ ÚÙ ÔÝ ÕÙ ¾º ÄÑØ F ÐÓÖ ÕÙ Ð ÚÖÐ ØÒ ÚÖ + ÇÒ ÔÙØ Ù ÖÖÖ Ð ÚÐÙÖ F(d) ÐÓÖ ÕÙ d ÔÖÒ ÚÐÙÖ Ù ÖÒ ÕÙ Ð³ÓÒ ÚÙØº ÜÑÔÐ ½¼º ÉÙ ÔÙØ¹ÓÒ Ö F(d) ÐÓÖ ÕÙ d ÔÖÒ ÚÐÙÖ Ù ÖÒ ÕÙ Ð³ÓÒ ÚÙØ ÉÙ ÔÒ Þ ÚÓÙ Ù Ö ÙÐØØ Ù ÔÓÒØ ÚÙ ÔÝ ÕÙ

4 ÉÙÒØØÙÖ º½ ÉÙÒØØÙÖ ÙÒÚÖ Ð x E Ò ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÐÑÒØ x Eº ÜÑÔÐ ½½º ÖÖ Ú ÝÑÓÐ ÑØÑØÕÙ Ð ÖÖ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÖÐ Ø ØÓÙÓÙÖ ÔÓ Øº º¾ ÉÙÒØØÙÖ Ü ØÒØÐ Ø! x E Ò Ð Ü Ø Ù ÑÓÒ ÙÒ ÐÑÒØ Ü Eº» ÓÙ Ò ØÐ ÕÙº! Ò Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒÕÙºººº ÜÑÔÐ ½¾º ÖÖ ÙÒÕÙÑÒØ Ú ÝÑÓÐ ÑØÑØÕÙ Ä³ÕÙØÓÒ 2x 2 x = 0 ÑØ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÒØÖº ½ ÑØ ÙÒ ÙÒÕÙ ÒØÒØ ÔÖ Ð ÓÒØÓÒ lnº º ÆØÓÒ ÕÙÒØØÙÖ ÌÓÖÑ ½º ½º non ( x E P(x)) ( x E/ ÒÓÒ P(x) ) ¾º non ( x E/P(x)) ( x E non P(x) ) ÜÑÔÐ ½ º ÖÖ Ð ÒØÓÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÙÚÒØ È x R f(x) = 3º É y R f(y) Ø ÙÒ ÒØÖ Ê y F x E / f (x) = y ÒØÓÒ Ð ÒÓØÓÒ ÐÑØ Ò ØÓÙØ ÔÖÖÔ ÓÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÓÒØÓÒ f ³ÙÒ ÒØÖÚÐÐ I Ò Rº a R {,+ } º½ ÄÑØ Ò Ò ÒØÓÒ º ËÓØ l Rº ÆÓØØÓÒ limf(x) = l ÓÙ f(x) l ÐØ f ÑØ l ÔÓÙÖ ÐÑØ Ò aº ½º Ó a R ÓÒ Ø ÕÙ f ÑØ l ÔÓÙÖ ÐÑØ Ò a Ø ÙÐÑÒØ ε > 0, α > 0, x I\{a}, x a α f(x) l ε

5 ÜÑÔÐ ½º ÖÖ Ò ÝÑÓÐ ÑØÑØÕÙ ÕÙ lim f(x) lº ¾º Ó a = + ÓÒ Ø ÕÙ f ÑØ l ÔÓÙÖ ÐÑØ Ò + Ø ÙÐÑÒØ ε > 0, A R, x I,x A f(x) l ε º Ó a = ÓÒ Ø ÕÙ f ÑØ l ÔÓÙÖ ÐÑØ Ò Ø ÙÐÑÒØ ε > 0, A R, x I,x A f(x) l ε

6 ÁÒØÙØÚÑÒØ Ð³ ÖØÓÒ lim f(x) = l Ð ÒØÓÒ ÙÚÒØ ÕÙÐÕÙ ÓØ ε > 0 ÔÓÙÖ ÕÙ f(x) ÓØ ØÒ ε l Ð ÙØ ÕÙ x ÓØ Ù ÑÑÒØ ÚÓ Ò aº ÌÓÙØÓ Ð ÙØ Ö ØØÒØÓÒ ØØ ÓÖÑÙÐØÓÒ ÑÙÐ Ð³ ÑÔÓÖØÒØ Ð ÒØÓÒ ÚÓÖ ÕÙ Ð ÚÓ Ò Ò ÕÙ ØÓÒ ÔÒ εº ÌÓÖÑ ¾º ÍÒØ Ð ÐÑØ ËÓÒØ f : I R ÙÒ ÓÒØÓÒ Ø ÓØ l Ø l ÙÜ ÖÐ º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ lim f(x) = l Ø lim f(x) = l º ÐÓÖ l = l º ÊÑÖÕÙ ¾º Ä ÐÑØ Ò ÙÒ ÖÐ a Ø ÙÒÕÙ Ñ ÐÐ Ò³ Ø Ô ÓÖÑÒØ Ð f(a)º º¾ ÄÑØ ÒÒ Ò Ò ÔÖÖÔ a Ø ÙÒ ÜØÖÑØ Ò ÓÙ ÒÒ Ð³ÒØÖÚÐÐ Iº ÒØÓÒ º ËÓÒØ f : I R ÙÒ ÓÒØÓÒº ½º Ó a R ÓÒ Ø ÕÙ f ÑØ + Ö ÔØÚÑÒØ µ ÔÓÙÖ ÐÑØ Ò a Ø ÙÐÑÒØ B R, α > 0, x I\{a}, x a α f(x) B (respectivement,f(x) B) ¾º Ó a = + ÓÒ Ø ÕÙ f ÑØ + Ö ÔØÚÑÒØ µ ÔÓÙÖ ÐÑØ Ò + Ø ÙÐÑÒØ B R, A R, x I,x A f(x) B (respectivement,f(x) B) º Ó a = ÓÒ Ø ÕÙ f ÑØ + Ö ÔØÚÑÒØ µ ÔÓÙÖ ÐÑØ Ò Ø ÙÐÑÒØ B R, A R, x I,x A f(x) B (respectivement,f(x) B) ÇÒ ÒÓØ lim f(x) = + Ö ÔØÚÑÒØ lim f(x) = ÜÑÔÐ ½º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ R Ø ÓØ a ÙÒ ÖÐº ÊÔÖ ÒØÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÚÖÒØ Ð ÔÖÓÔÖØ ÙÚÒØ α R : ε > 0, x a < α = f(x) l ε

7 º¾º½ ÄÑØ ÖÓØ ÐÑØ Ù ÒØÓÒ º ÄÑØ Ù ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ x 0 Ò³ Ø Ô Ð ÓÖÒ Ù Iº Ë ÓÒ ØÙ Ð ÚÐÙÖ f(x) ÙÒÕÙÑÒØ ÔÓÙÖ x < x 0 Ø x I ÐÓÖ ÓÒ Ø ÕÙ³ÓÒ ØÙ Ð ÐÑØ Ù f Ò x 0 Ø ÓÒ ÒÓØ lim f(x) ÓÙ lim f(x) x x 0 x<x 0 x x 0 1 ÜÑÔÐ ½º ØÖÑÒÖ lim x 0 x ÒØÓÒ º ÄÑØ ÖÓØ ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ x 0 Ò³ Ø Ô Ð ÓÖÒ ÖÓØ Iº Ë ÓÒ ØÙ Ð ÚÐÙÖ f(x) ÙÒÕÙÑÒØ ÔÓÙÖ x > x 0 Ø x I ÐÓÖ ÓÒ Ø ÕÙ³ÓÒ ØÙ Ð ÐÑØ ÖÓØ f Ò x 0 Ø ÓÒ ÒÓØ x x0 lim f(x) x>x 0 ÓÙ lim f(x) x x ÜÑÔÐ ½º ØÖÑÒÖ lim x 0 + x ÈÖÓÔÖØ º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ x 0 Ø ÙÒ ÐÑÒØ I ØÒØ ÓÖÒ Iº ÐÓÖ f ÑØ ÙÒ ÐÑØ Ò x 0 Ø ÙÐÑÒØ Ð ÐÑØ ÖÓØ Ø Ð Ð ÐÑØ Ùº Ä ÐÑØ f Ò x 0 Ø ÐÓÖ Ð Ð ÐÑØ ÖÓØ ÓÙ Ù Ò x 0 º ÊÑÖÕÙ º Ë x 0 Ø ÙÒ ÓÖÒ I ÐÓÖ Ë I =]x 0 ;... ÓÙ I = [x 0 ;.. ÐÓÖ lim f(x) = lim f(x)º x x0 x x + 0 Ë I =...;x 0 [ ÓÙ I =...;x 0 ] ÐÓÖ lim f(x) = lim f(x)º x x0 x x 0 ÜÑÔÐ ½º ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÓÒØÓÒ δ : δ ÑØ¹ÐÐ ÙÒ ÐÑØ Ò ¼ R R { 1 si x = 0 x x x si x 0 ÇÔÖØÓÒ ÙÖ Ð ÐÑØ a Ø ÙÒ ÖÐ ÓÙ Ð³ÒÒº º½ ÄÑØ ³ÙÒ ÓÑÑ lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) = lim g(x) = l R ¹ m R ¹ ¼º Á ÓÖÑ ÁÒØÖÑÒ ³ Ø Ö ÕÙ Ð³ÓÒ Ò ÔÙØ ÖÒ Ö Ð³ÚÒ ØÓÙ Ð ÓÒØ ÔÓ Ð

8 º¾ ÄÑØ ³ÙÒ ÔÖÓÙØ lim (f(x).g(x)) = lim f(x) = lim g(x) = l > 0 l < 0 ¼ ¹ m > 0 m < 0 0 ¹ º f(x) lim g(x) = ÄÑØ ³ÙÒ ÕÙÓØÒØ limf(x) = lim g(x) = l > 0 l < 0 ¼ ¹ m > 0 m < ± ÜÑÔÐ ½º ÓÒÒÖ ÙÒ ÜÑÔÐ ÓÖÑ ÒØÖÑÒ Ò ÙÒ ÔÖÒØ º º ÄÑØ ³ÙÒ ÓÑÔÓ ÓÒØÓÒ ÒØÓÒ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ Ò ÑÐ I Ø g ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ f(i)º ÐÓÖ g f Ø Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ I ÔÖ g f(x) = g(f(x)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ x Iº ÜÑÔÐ ¾¼º ½º ØÖÑÒÖ f g Ø g f Ú f(x) = x+3 Ø g(x) = x 2 1º ¾º ØÖÑÒÖ ÙÜ ÓÒØÓÒ f Ø g ØÐÐ ÕÙ h = f g Ú h(x) = x 4 +2x 2 +1º ÌÓÖÑ º ËÓÒØ f : I R Ø g : J R ØÐÐ ÕÙ f(i) J ÓÖØ ÕÙ Ð ÓÑÔÓ g f Ø ÙÒ Ò º ½º Ë f ÔÓ ÙÒ ÐÑØ Ò ÓÙ ÒÒµ b Ò a ÐÓÖ b Ø ÙÒ ÐÑÒØ ÓÙ ÙÒ ÓÖÒ J

9 ¾º Ë ÔÐÙ g ÔÓ ÙÒ ÐÑØ Ò ÓÙ ÒÒµ l Ò b ÐÓÖ g f ÑØ Ð ÐÑØ l Ò a ÜÑÔÐ ¾½º ÐÙÐÖ º lim ln x + ( 1+ 1 ) x f(x) b g(x) l x b g(f(x)) l ÄÑØ ³ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ø ³ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Ò Ð³ÒÒ ÌÓÖÑ º Ä ÐÑØ Ò ± ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÔÓÐÝÒÑÐ P ³ Ø Ö ÙÒ ÓÒØÓÒ ÕÙ ØÓÙØ x Ó ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ÓØ P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Ø Ð Ð ÐÑØ Ò ± Ù ØÖÑ ÔÐÙ ÙØ Ö P ÓØ a n x n ³ Ø Ö ÕÙ Ð³ÓÒ lim a nx n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = lim a nx n x ± x ± ÜÑÔÐ ¾¾º ØÖÑÒÖ Ð ÐÑØ f(x) = 2x 2 +3x 1 Ò º ÌÓÖÑ º Ä ÐÑØ Ò ± ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Q ³ Ø Ö ÙÒ ÓÒØÓÒ ÕÙ ØÓÙØ x Ó Ð ÕÙÓØÒØ ¾ ÔÓÐÝÒÑ ÓØ Q(x) = a nx n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 b m x m +b m 1 x m 1 + +b 1 x+b 0 Ø Ð Ð ÐÑØ Ò ± Ù ÕÙÓØÒØ ØÖÑ ÔÐÙ ÙØ Ö Ù ÒÙÑÖØÙÖ Ø Ù ÒÓÑÒØÙÖ Q ³ Ø Ö ÕÙ Ð³ÓÒ lim x ± a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 b m x m +b m 1 x m 1 + +b 1 x+b 0 = lim x ± a n x n b m x m ÜÑÔÐ ¾ º ØÖÑÒÖ Ð ÐÑØ f(x) = 2x2 +3x 1 5x 2 x+3 Ò º º ÄÑØ Ú Ð ÓÒØÓÒ ÖÒ ÖÖ ÁÐ Ý ÙÜ ÜÑÔÐ ØÝÔ ÓÒÒØÖ ÓÖÑ ÒØÖÑÒ Ò Ð ÓÖÑ x+3 x 4 ÓÒ ØÓÖ ÔÖ x Ð ÒÙÑÖØÙÖ Ø Ð ÒÓÑÒØÙÖº ÓÖÑ ÒØÖÑÒ Ð ÓÖÑ x+3 2x+3 ÓÒ ÑÙÐØÔÐ Ø ÓÒ Ú ÔÖ Ð ÕÙÒØØ ÓÒÙÙ x+3+ 2x+3º ÜÑÔÐ ¾º ÂÙ ØÖ ÕÙ Ð ÙÜ ÜÑÔÐ ØÝÔ ÔÖÒØ ÓÒØ Ò ÓÖÑ ÒØÖÑÒ ÔÙ ÐÙÐÖ Ð ÐÑØ Ò + Ð³ Ð ÑØÓ ÔÖÓÔÓ º

10 º½ ÄÑØ Ø ÒÐØ ÌÓÖÑ a Ø ÓØ ÙÒ ÖÐ ÓØ Ð³ÒÒº ÌÓÖÑ º È ÒÐØ ÐÖ Ð ÐÑØ ËÓÒØ f,g ÙÜ ÓÒØÓÒ I Ò Rº ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ f Ø g ÑØØÒØ ØÓÙØ ÙÜ ÐÑØ Ò l Ø m Ò a Ø ÕÙ f g Ù ÚÓ Ò a ÐÓÖ l m ÜÑÔÐ ¾º Ë Ð³ÓÒ f,g ÙÜ ÓÒØÓÒ I Ò R ØÐÐ ÕÙ f Ø g ÑØØÒØ ØÓÙØ ÙÜ ÐÑØ Ò l Ø m Ò a Ø ÕÙ f < g Ù ÚÓ Ò a ÐÓÖ Ø¹ÓÒ l < m ÌÓÖÑ º ÌÓÖÑ ÒÖÑ ËÓÒØ f,g,h ØÖÓ ÓÒØÓÒ I Ò Rº ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ ÚÓ Ò a ÐÓÖ g(x) l ÜÑÔÐ ¾º ØÖÑÒÖ Ð ÐÑØ Ò + cosx x ÈÖÓÔÖØ º f(x) l h(x) l Ø f g h Ù ½º ËÓÒØ f,g ÙÜ ÓÒØÓÒ I Ò Rº ÇÒ ÙÔÔÓ f(x) + Ø f g Ù ÚÓ Ò a ÐÓÖ g(x) + ¾º ËÓÒØ f,g ÙÜ ÓÒØÓÒ I Ò Rº ÇÒ ÙÔÔÓ g(x) Ø f g Ù ÚÓ Ò a ÐÓÖ f(x) ÜÑÔÐ ¾º ËÓØ f : R R,x x+cosxº ÉÙ ÚÙØ lim f(x) Ø lim x + x f(x) ÌÓÖÑ Ð ÐÑØ ÑÓÒÓØÓÒ ÌÓÖÑ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ I =]a;b[ Ú a Ø b Ò R { ;+ }º Ë f Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÙÖ I ÐÓÖ ÐÐ ÑØ ÙÒ ÐÑØ Ò ÓÙ ÒÒ Ò a Ø Ò bº ÜÑÔÐ ¾º ½º ÉÙ ÔÙØ¹ÓÒ Ö Ð ÐÑØ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f Ò Ð ÙÚÒØ µ f Ø ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ µ f Ø ÑÓÖ ¾º ÉÙÐÐ µ ÓÒØÓÒ µ Ù ÒØ µ ÓØ¹ÓÒ ÚÓÖ ÙÖ f ÔÓÙÖ ÕÙ f ÑØØ ÙÒ ÐÑØ Ò ÓÒØÓÒ ÓÒØ¹ÐÐ ÓÒØÓÒ Ò Ö ½¼

11 º½ ÓÒØÒÙØ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÇÒ ØÙ Ð ÐÑØ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÒ ÔÓÒØ Ó ÐÐ Ø Ò ÒØÓÒ º ËÓÒØ f : I R ÙÒ ÓÒØÓÒº ½º ËÓØ x 0 Iº f Ø ÓÒØÒÙ Ò x 0 Ò ÕÙ f ÑØ ÙÒ ÐÑØ Ò Ò x 0 lim f(x) = f(x 0 ) x x0 Ë ÙÒ ÙÜ ÓÒØÓÒ Ò³ Ø Ô ÖÐ ÓÒ Ø ÕÙ f Ø ÓÒØÒÙ Ò x 0 º ¾º ÇÒ Ø ÕÙ f Ø ÓÒØÒÙ ÙÖ I Ø ÙÐÑÒØ ÐÐ Ø ÓÒØÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓÒØ x 0 Iº ÜÑÔÐ ¾º Ä ÓÒØÓÒ δ Ò Ò Ð³ÜÑÔÐ ½ Ø ÐÐ ÓÒØÒÙ Ò ¼ ÈÖÓÔÖØ º Ë f Ø ÓÒØÒÙ Ò a Ø g Ø ÓÒØÒÙ Ò f(a) ÐÓÖ g f Ø ÓÒØÒÙ Ò a ÜÑÔÐ ¼º ËÓØ f Ð ÓÒØÓÒ Ò ÔÖ f(x) = ln( x+1)º f Ø¹ÐÐ ÓÒØÒÙ Ò ¼ ÈÖÓÔÖØ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÓÑÑ ÓÔÖØÓÒ ÓÒØÓÒ Ù ÙÐÐ sin cos ÓÒØÓÒ ÖØÓÒ¹ ÒÐÐ ºººµº ÐÓÖ f Ø ÓÒØÒÙ ÙÖ ÓÒ ÓÑÒ ÒØÓÒº ÊÑÖÕÙ º ÈÓÙÖ ØÙÖ Ð ÓÒØÒÙØ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÙÖ ÙÒ Ò ÑÐ ÓÒ ÙØÐ Ð ÔÖÓÔÖØ ÔÖÒØ ÙÖ Ð³Ò ÑÐ Ó f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÓÑÑ ÓÔÖØÓÒ ÓÒØÓÒ Ù ÙÐÐ Ø ÓÒ ÙØÐ Ð ÒØÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÙØÖ ÖÐ º ÜÑÔÐ ½º ËÓØ f Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ R ÔÖ Ä ÓÒØÓÒ f Ø¹ÐÐ ÓÒØÒÙ ÙÖ R { f(0) = 2 f(x) = sin(x) x ½½

12 º¾ ÈÖÓÐÓÒÑÒØ ÔÖ ÓÒØÒÙØ ÒØÓÒ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÓÙÚÖØ Á Ø ÓØ ÙÒ ÓÖÒ Áº Ë f ÑØ ÙÒ ÐÑØ l Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ð³ÓÒ ÔÖÓÐÓÒ f ÔÖ ÓÒØÒÙØ Ò Ò ÔÓ ÒØ f(a) = lº ÜÑÔÐ ¾º ËÓØ f Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ]0;+ [ ÔÖ ÈÙØ¹ÓÒ ÔÖÓÐÓÒÖ f Ò ¼ f(x) = sin(x) x º ÁÑ ³ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÔÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÒØÓÒ ½¼º ËÓØ I ÙÒ ÓÙ Ò ÑÐ Rº Ä³Ñ I ÔÖ f Ø Ð³Ò ÑÐ ØÓÙ Ð ÖÐ f(x) Ó x Iº ÇÒ ÒÓØ Ø Ò ÑÐ f(i) Ø ÓÒ ÓÒ f(i) = {f(x)/x I} ÜÑÔÐ º ØÖÑÒÖ f(i) Ú I = [ 5;2,5] Ø f Ð ÓÒØÓÒ ÔÖØ ÒØÖº ÈÖÓÔÖØ º Ä³Ñ ³ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÔÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ Ø ÙÒ ÒØÖÚÐÐº ÜÑÔÐ º ÓÒÒÖ Ð³Ñ [ π 4 ; 7π 4 ] ÔÖ Ð ÓÒØÓÒ ÒÙ º ÈÖÓÔÖØ º Ä³Ñ [a,b] ÔÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ Ø ÖÓ ÒØ Ø [f(a);f(b)]º Ä³Ñ ]a,b] ÔÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ Ø ÖÓ ÒØ Ø [f(b);f(a)[º ÜÑÔÐ º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ f Ø ÓÒØÒÙ Ø ÒÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ð ÔÖÓÔÖØ ÔÖÒØ Ø Ù º ÊÑÖÕÙ º Ä ÔÖÓÔÖØ ÔÖÒØ ÔÙØ Ù ØÖ ÔÔÐÕÙ ØÓÙØ ØÝÔ ³ÒØÖÚÐÐº ÜÖ Ì Ò½ ÜÖ ½º ËÓØ A Ø B ÙÜ Ò ÑÐ º ÇÒ ÒÓØ A B Ð³Ò ÑÐ {x A Ø x / B}º ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ò ÑÐ ÙÚÒØ N,Z N,D Z,Q D Ø R Qº Ò Ð ÙÚÒØ c ÔÙØ¹Ð ÔÔÖØÒÖ ÙÜ Ò ÑÐ ÔÖÒØ ½º c = a b Ó a Ø b ÓÒØ ÙÜ ÖÐ ÔÓ Ø º ¾º c = a Ó a Ø ÙÒ ÖÐ ÔÓ Øº º c = a+bc c 2 Ú a b Ø c ØÖÓ ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÐ ÒÓÒ ÒÙÐ º +a2 ½¾

13 ÜÖ ¾º Ä ÖÑØÓÒ ÙÚÒØ ÓÒØ¹ÐÐ ÚÖ ÓÙ Ù ½º Ä ÕÙÓØÒØ ÙÜ ÒÓÑÖ ÖÖØÓÒÒÐ Ø ØÓÙÓÙÖ ÙÒ ÖÖØÓÒÒÐ º ¾º Ò ÔÝ ÕÙ Ð ÔÔÐØÓÒ ÒÙÑÖÕÙ ÓÒØ Ú ÒÓÑÖ ÑÙÜº º ÌÓÙØ ÖÐ ÙÒ ÖØÙÖ ÒØÕÙº ÜÖ º ËÓØ a Ø b ÙÜ ÖÐ ÔÓ Ø Ú a < bº ½º ÓÒÒÖ ÙÒ ÖÐ ÓÑÔÖ ÒØÖ a Ø bº ¾º b a a+ ÔÔÖØÒØ¹Ð [ a; b] 3 º ÈÓÙÚÞ ÚÓÙ ÓÒÒÖ ÙÒ ÒÒØ ÖÐ ÔÔÖØÒÒØ [ a, b] ÜÖ º ÇÒ Ø ÕÙ³ÒØÖ ÙÜ ÖÐ ØÒØ Ð Ü Ø ÙÒ ÒÒØ ÖÐ º Ä ÙØ Ø ÜÖ Ø ÖÔÓÒÖ Ð ÕÙ ØÓÒ ÙÚÒØ Ò Ð³ÒØÖÚÐÐ [1;+ [ Ý Ø¹Ð ÔÐÙ ÖÐ ÕÙ Ò Ð³ÒØÖÚÐÐ ]1;2] ½º ÊÔÓÒÖ ÒØÙØÚÑÒØ Ð ÕÙ ØÓÒ ÔÖÒØº ¾º ÈÓÙÖ ÝÖ ÓÑÔÖÖ Ð ÒÓÑÖ ³ÐÑÒØ ÙÜ Ò ÑÐ ÓÒ ÒØ Ð ÖÐØÓÒ Ð Ý ÙØÒØ ³ÐÑÒØ Ò Ð Ò ÑÐ A Ø B ÔÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ f A Ò B ØÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x A f(x) B Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ y B Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒÕÙ x A ØÐ ÕÙ f(x) = yº ÇÒ Ø ÕÙ Ø ØÚº µ y ØÒØ ÓÒÒ ÓÑÑÒØ ³ÔÔÐÐ Ð³ÐÑÒØ x ØÐ ÕÙ f(x) = y µ ËÓØ P = {1;2;3} Ø Q = {4,5,6}º ÅÓÒØÖÖ Ð³ Ð ÒØÓÒ ÕÙ A ÙØÒØ ³ÐÑÒØ ÕÙ B Ø Ù ØÖ ÕÙ³ ÔÖÓÖ ØØ ÒØÓÒ ÑÐ ÒØÙÖÐÐ ÔÓÙÖ ÓÑÔÖÖ Ò ÑÐ ÝÒØ ÙÒ ÒÒØ ³ÐÑÒØ º µ ÅÓÒØÖÖ ÑÑ ÕÙ A =]0;1] ÙØÒØ ÖÐ ÕÙ B = [1;+ [ º µ ÅÓÒØÖÖ ÕÙ A ÙØÒØ ÖÐ ÕÙ C =]1;2] º µ Ò ÙÖ ÕÙ C ÙØÒØ ÖÐ ÕÙ Bº µ ÓÑÔÖÖ Ú ÚÓØÖ ÔÖÑÖ ÖÔÓÒ º º ÉÙ ÔÒ Þ ÚÓÙ Ð³ÖÑØÓÒ ÙÚÒØ C Ø ÒÐÙ Ò B Ø C ÙØÒØ ³ÐÑÒØ ÕÙ B ÓÒ B = C ÓÒÐÙ ÓÒ Ð³Ü ØÒ ³ÙÒ ØÓÒ ³ÙÒ Ò ÑÐ ÒÒ ÚÖ ÙÒ ÙØÖ Ò ÑÐ ÒÒ Ò ÔÖÑØ Ô ÓÑÔÖÖ Ð ÒÓÑÖ ³ÐÑÒØ ÙÒ Ò ÑÐ Ø Ð³ÜÑÔÐ ÔÖÒØ ÐÐÙ ØÖ Ð ÓÑÔÐÜØ Ð ÒÓØÓÒ ³ÒÒ ÙÖ Rº ÜÖ º ØÖÑÒÖ Ð ÖÐ x ØÐ ÕÙ ½º x 2 < 3 ¾º x+4 < 1 º x+5 3 º x+2 5 º x+5 1 º x 2 < 5 Ø x 3 4 ½

14 º x+1 < 1 ÓÙ x+2 4 º x 5 < 2 Ø x+1 1 º x 2 < 4 ÓÙ x+2 2 ÜÖ º ËÓØ a Ø b ÙÜ ÖÐ º ØÖÑÒÖ Ò ÓÒØÓÒ a Ø b Ð ÖÐ α Ø β ØÐ ÕÙ x [a;b] x α βº ÜÖ º ØÖÑÒÖ Ð ÔÓÒØ M(x;y) Ù ÔÐÒ ØÐ ÕÙ ½º x+y = 2 ¾º x+y 2 º x + y 3 ÜÖ º ÓÒÒÖ Ð ÓÑÒ ÒØÓÒ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ ½º f(x) = 1 x+2 ¾º f(x) = sinx x º f(x) = 2x+3 ÜÖ º ÖÖ Ð ÜÔÖ ÓÒ ¹ ÓÙ Ú Ð ÒÓØØÓÒ ÑØÑØÕÙ Ù ÙÐÐ f ÔÓÙÖ Ð ÓÒØÓÒ Ø x ÔÓÙÖ Ð ÚÖÐµ ÔÙ ÓÒÒÖ Ð ÓÑÒ ÒØÓÒ ÙÒ ÓÒØÓÒ º r +ω ½º H = H λω(1 ω 2 Ø ÔÔÐ ÓÒØÓÒ ØÖÒ ÖØµº ) ¾º z = 5t 2 z Ø Ð ØÒ ÔÖÓÙÖÙ ÔÖ ÙÒ ÐÐ Ò ÙÒ ÙØ ÐÖµº º P = nrt P Ø Ð ÔÖ ÓÒ Ò ØÖÑÓÝÒÑÕÙµº V º F = 1 q 1 q 2 F 4πε 0 r 2 Ø Ð ÑÔ ÐØÖÓ ØØÕÙ Ö ÔÖ ÙÜ Ö µº ÜÖ Ì Ò¾ ÜÖ ½¼º Ò ÙÒ ÙÚÒØ ÖÔÖ ÒØÖ Ð³ÐÐÙÖ Ð ÓÙÖ ÒØ ÕÙ ½º limf = 3 lim ¾º lim 1 +f = lim 1 + f = lim f = 0 lim f = 5 Ø lim f = + º f = 0 Ø lim f = º + ÜÖ ½½º Ò Ð ÜÑÔÐ ÙÚÒØ ÓÒØÙÖÞ Ð ÐÑØ f ÜÔÐÕÙÞ ÔÓÙÖÕÙÓ Ò ÓÒØ ÕÙ ÓÒØÙÖ ½

15 ÜÖ ½¾º ÊÐÖ Ð ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ ÓÐÓÒÒ ÔÓ Ðº ε > 0, α > 0 ØÐ ÕÙ x ]5 α;5+α[ f(x) 5 ε lim ε > 0, α > 0 ØÐ ÕÙ x ]3 α;3+α[ f(x) 5 ε f(x) = 5 x 5 lim f(x) = 5 x + f(x) = + lim x 5 lim f(x) = 5 x ε > 0, α > 0 ØÐ ÕÙ x ]5 α;5+α[ f(x) f(5) ε ε > 0, M R ØÐ ÕÙ x > M f(x) f(5) ε ε > 0, M R ØÐ ÕÙ x > M f(x) 5 ε ε > 0, α > 0 ØÐ ÕÙ x ]5 α;5+α[ f(x) f(5) ε ÜÖ ½ º ÖÖ Ð³ ÝÑÓÐ ÑØÑØÕÙ ÕÙ³ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò³ÑØ Ô ÐÑØº ÇÒ ØÙÖ ØÓÙ Ð º ÜÖ ½º Ò ÙÒ ÖÔÖ ÒØÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÚÖÒØ Ð ÔÖÓÔÓ ØÓÒº ½º l R : (a,b) R 2 x [a,b] : f(x) = l ¾º (a,b) R 2 l R x [a,b] : f(x) = l ÜÖ ½º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØ Ð ÖÔ Ø Ð ÙÚÒØ ½º ÓÒØÙÖÞ Ð ÐÑØ f Ò ¼º ¾º Ä³ÜÔÖ ÓÒ Ð ÓÒØÓÒ f Ø f(x) = 10 2 (10+x 2 )sin 1+x2 º x ÌÖÖ ØØ ÓÒØÓÒ Ð³ ÚÓØÖ ÐÙÐØÖº ÇØÒÞ ÚÓÙ Ð ÑÑ ÓÙÖ ½

16 º Ò ÖÖÒØ ÑÔÐÑÒØ Ð³ÜÔÖ ÓÒ f ÓÒÒÖ Ð³ÐÐÙÖ Ð ÖÔÖ ÒØØÓÒ f ÙÖ [ 1; 1]º º Ö ÔÔÖØÖ Ð ÓÙÖ ÔÖÒØ ÙÖ ÚÓØÖ ÐÙÐØÖº º ÍÒ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ Ø¹ÐÐ Ð ÔÓÙÖ ØÖÑÒÖ ÙÒ ÐÑØ ÜÖ ½º ÐÙÐÖ ÐÓÖ ÕÙ³ÐÐ Ü ØÒØ Ð ÐÑØ ÙÚÒØ a) lim x 0 x 2 +2 x x d) lim x Π sin 2 x 1+cosx x 2 +2 x b) lim x x 1+x 1+x 2 e) lim x 0 x x 2 4 c) lim x 2 x 2 3x+2 f) lim x+5 x 3 x + g) lim x x2 1 x 2 h) lim x 1 x 1 x n 1 ÜÖ ½º ÅÓÒØÖÖ Ð³ ÒØÓÒ ÔÖÒØ ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ cos Ò³ÑØ Ô ÐÑØ Ò Ò + º ÜÖ Ì Ò ÜÖ ½º ØÖÑÒÖ Ð ÐÑØ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ º Rt 2 +C ½º lim t + R 2 ωt 2 +C Rt 2 +C ¾º lim t 0 R 2 ωt 2 +C º lim N 0e kt º t + ÜÖ ½º ÐÙÐÖ Ð ÐÑØ ÖÒÙÖ ÙÚÒØ Ò a ÔÙ ÒØÖÔÖØÖ ÔÝ ÕÙÑÒØ Ð Ö ÙÐØØ r +ω ½º H = λω(1 ω 2 ) µ Ð ÚÖÐ Ø ω Ø a = + ÔÙ a = 1 + º µ Ð ÚÖÐ Ø r Ø a = + º ¾º z = 5t 2 a = + º P = nrt Ð ÚÖÐ Ø V Ø a = + ÔÙ a = 0 + º V º F = 1 q 1 q 2 4πε 0 r 2 Ð ÚÖÐ Ø r Ø a = + ÔÙ a = 0 + º ÜÖ ¾¼º ØÖÑÒÖ Ð ÐÑØ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ ½º lim x + 2x 3cosx ½

17 ¾º lim x x+sinx º lim x + x+cosx x sinx ÜÖ ¾½º Ä ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ ÓÒØ¹ÐÐ ÓÒØÒÙ Ò a ½º f(x) = x x ÔÓÙÖ x 0 Ø f(0) = 1 Ú a = 0º ¾º f(x) = x2 +x 2 x 2 +3x 4 ÔÓÙÖ x 1 Ø x 4 Ø f(1) = 10 Ú a = 1º ÜÖ ¾¾º ÓÒÒÖ ÙÒ ÜÑÔÐ ÓÒØÓÒ ÖÒØ ÙÜ ÚÙ ÑØØÒØ ÙÒ ÐÑØ Ò a Ñ ÒÓÒ ÓÒØÒÙ Ò aº ÜÖ ¾ º ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÖÙØ ÐØÖÕÙ ¹ ÓÙ º ÄÓÖ ÕÙ Ð ÖÙØ Ø ÖÑ ÓÒ U c = Ee t τ Ø Ur = U c Ú τ ÙÒ ÓÒ ØÒØ ÔÓ ØÚº ½º ÓÒÒÖ Ð ÓÑÒ ÒØÓÒ U c Ø U r º ¾º ØÙÖ Ð ÓÒØÒÙØ ÙÜ ÓÒØÓÒ ÙÖ ÐÙÖ ÓÑÒ ÒØÓÒº º ØÖÑÒÖ Ð ÐÑØ U C ÐÓÖ ÕÙtØÒ ÚÖ + Ø ÒØÖÔÖØÖ ÔÝ ÕÙÑÒØ Ð Ö ÙÐØØº ÜÖ Ì Ò ÜÖ ¾º ØÙÖ Ð ÔÓ ÐØ ÔÖÓÐÓÒÖ Ð ÓÒØÓÒ ÓÒÒ ÙÜ ÔÓÒØ ÓÒÒ ½º f(x) = x2 4 x 2 Ò x = 2 ¾º f(x) = x2 9 x+3 Ò x = 3 º f(x) = 3x x 1 Ò x = 1 ÜÖ ¾º ËÓØ f Ð ÓÒØÓÒ Ò ÔÖ f(x) = ( 1) E(x) (x E(x)) Ó E(x) ÖÔÖ ÒØ Ð ÔÖØ ÒØÖ x ³ Ø Ö Ð ÔÐÙ ÖÒ ÒØÖ ÒÖÙÖ ÓÙ Ð xº ØÙÖ Ð ÓÒØÒÙØ fº ½

18 ÜÖ ¾º ½º ØÖÑÒÖ Ð³Ñ ¹ ¼ ÔÖ Ð ÓÒØÓÒ f Ò ÔÖ f(x) = 1 x 1 º ¾º Ê ÓÙÖ Ò R Ð³ÒÕÙØÓÒ 3 x 2 < 7º º ØÖÑÒÖ Ð³Ò ÑÐ ÖÐ I ØÐ ÕÙ f(i) = J Ú Ð ÓÒØÓÒ f Ò ÔÖ f(x) = e x2 Ø J = [ 2;5]º ÜÖ ¾º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ Rº ½º ÈÙØ¹ÓÒ ÚÓÖf ÓÒØÒÙ Øf ÒÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ[a;b] Øf([a;b]) = [f(a);f(b)] ¾º ÈÙØ¹ÓÒ ÚÓÖ f ÒÓÒ ÓÒØÒÙ Ò c ]a;b[ Ø ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ [a;b] Ø f([a;b]) = [f(a);f(b)] º ÒÓÒÖ Ð ÖÔÖÓÕÙ Ð ÐÒ ½ Ð ÔÖÓÔÖØ º º ØØ ÖÔÖÓÕÙ Ø¹ÐÐ ÚÖ ½