3 = 0 = 3 d où =? Chapitre 8 :

Transcription

1 Chapitre 8 : I ) Définition et notation : 1 ) Activités : *Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = AC = 1. Quelle est la longueur du coté BC? ABC est un triangle rectangle en A D après le théorème de Pythagore on a : = + = = = 2 = =? * Résoudre l équation 3 = 0 : 3 = 0 = 3 d où =? Il n est pas toujours aisé de déterminer l inconnu tel que = ( 0) 2 ) Définition et notation : Soit un nombre positif ou nul ( 0), on désigne par le nombre positif dont le carré est : Le symbole est le radical. Le nombre est le radicande ( 0). Le nombre est la racine carrée de. Conséquences : Si et sont deux nombres positifs alors : 4 = 2 ; 49 = 7 ; #0,25 = 0,5 * 1 = 1 ; 0 = 0 ; = & ' *La racine carrée d un nombre négatif n existe pas : " 3 " n existe pas 54

2 3 ) Nombres irrationnels : La racine carrée d un nombre ne donne pas toujours un décimal ; c est un nombres irrationnels. Les nombres 2 et 3 sont des nombres irrationnels. ) est aussi un nombre irrationnel. Les nombres irrationnels complètent les nombres rationnels pour former l ensemble R des nombres réels. est l ensemble des nombres réels : R + est l ensemble des nombres réels positifs. R, est l ensemble des nombres réels négatifs R est l ensemble des nombres réels privé de zéro R + est l ensemble des nombres réels strictement positifs R, est l ensemble des nombres réels strictement négatifs Les ensembles R + ; R, ; R ; R + et R, sont des sous ensembles de l ensemble R. R = R + R, II ) Propriétés : 1 ) Racine carrée d un produit : Si et sont deux nombres positifs ou nul alors : * Simplifier l écriture 44 : 44 = 44 = 2 11 * Calculer 20 5 : 20 5 = 10 Si et sont deux nombres strictement positifs alors :

3 2 ) Racine carrée d un quotient : Si et sont deux nombres positifs ( 0) ; on a : * Simplifier les écritures de = 3 = = 6 68 = 3 * Calculer 4: ;< = 3 3 )Exercice d application : Calculer les expressions suivantes : 45 et : ;< = 7 ; = = = > =? 11 2@ A =? @ A = ; B = Solution : On trouve : = 12 2 ; = ; = > = ; A = ; B = III ) Racine carrée et puissance : D ) Comparaison des carrées de deux nombres : Soit et deux réels positifs : 5 > 3 5 > 3 25 > 9 Comparer 5 et 7 7 > 5 7 > 5 2 ) Racine carrée d un carré : 56

4 Si est un nombre réel alors nous avons : = avec = NB: #(3) = 3 = 3 #( 2) = 2 = ( 2) = 2 2?3 + 2@ = J3 + 2J = FG 0 FG < 0 2?2 5@ = J2 5J Recherche du signe de J2 5J 2 = 4? 5@ = 5 D où 4 < 5 2 < < 0 3 ) Racine carrée d une puissance : Soit un réel positif et K un entier relatif non nul, nous avons : * L = #( L ) = L L = L L =? = L M NO = M O * L+4 = L = L = L = L 3 6 = #(3 ) = 3 3 = 3 3 =? = 3 = = = = = #(10 7 ) 10 =? = = IV ) Rapport d expressions : On appelle rapport d expressions le quotient de deux expressions littérales. Ce rapport est défini si et seulement si le dénominateur est différent de zéro (o). Il faut donc toujours commencer par donner la condition d existence du rapport. Le rapport d expressions est nul si le numérateur est nul. 57

5 On donne () = (2 1)(3 2) et () = ( + 3)(2 1) On pose P() = Q(R) S(R) a Donner la condition d existence de P() puis simplifier P(). b Résoudre les équations P() = 1 ; P=0 et P= 7 Solution : On a : P= QR SR P= R,47R, R+7R,4 a *Condition d existence : P existe si et seulement si et et et 4 P existe si et seulement si 3 et 4 *Simplifions Q(x) : Quel que soit P avec 3 et 4 P= 7R, R+7 on a P= R,47R, R+7R,4 = 7R, R+7 (On simplifie par le facteur commun entre le numérateur et le dénominateur) b *Résolution de l équation P=1. 7R, P=1 R+7 = = +3 3 =+2+3 2=5 = ; U=V 5 2 W *Résolution de l équation P=0. P= 3 2 7R, R+7 = = =9+4 3=13 = 47 U=X 13 3 Y 7 6 4=3+9 58

6 V ) Ecriture d un quotient sans radical au dénominateur : 1 ) Expressions conjuguées : Soit et deux réelles, + et sont réciprouement des expressions conjugués.s et 2 #5 sont conjuguées car?2 + 5@?2 5@ = (2)? 5@ = 4-5 = et sont conjuguées car? 7 1@? 7 + 1@ =? 7@ 1 = 7 1 = 6 2 ) Rendre rationnel le dénominateur d un quotient : Pour rendre rationnel le dénominateur d un quotient on multiplie le numérateur et le dénominateur par l expression conjuguée du dénominateur. Rendre rationnel le dénominateur des fractions = 7 = ; 7 7,4 Z 7+4, 3 VI ) Equations du type : Si est un nombre strictement positif, une variable réelle ; on a : = 0 si et seulement si = = ou = Résoudre dans l équation 7 = 0 7 = 0 si et seulement si = 7 U = [ 7; 7\ = 7 ou = 7 L expression peut être écrite sous la ce qui est une différence des carrés de deux nombres. On a alors les égalités suivantes : 59

7 Factoriser l expression 5. On a : 5 =? 5@ =? 5@? + 5@ VII ) Encadrement : Dans R, si nous avons, on dit que : x est encadré par les réels a et b. l amplitude de l encadrement est : b a. 1,414 < 2 < 1,415 l amplitude est 10,7 1,732 < 3 < 1,733 l amplitude est 10,7 L encadrement de s obtient en faisant la somme membre à membre ci dessous : 1,414 < 2 < 1,415 1,732 < 3 < 1,733 1, ,732 < < 1, ,733 Ce qui donne : 3,146 < < 3,148 l amplitude est alors 0,002 = 2. 10,7. L encadrement de 3 2 s obtient en faisant la somme membre à membre ci dessous : 1,414 > 2 > 1,415 1,415 < 2 < 1,414 Ce qui donne : 0,317 < 3 2 < 0,319 1,732 < 3 < 1,733 1,732 1,415 < 3 2 < 1,733 1,414 Exercice 1: 60