Table des matières chapitre 3-Suites et limites Limite finie d une suite I Limite finie d une suite II Limites infinies d une suite

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1 Table des matières chapitre 3-Suites et limites I Limite finie d une suite 1 I.1 s et propriétés I.2 Un exemple II Limites infinies d une suite 2 II.1 s II.2 Un exemple III Limites usuelles 2 IV Opérations sur les limites 2 IV.1 Limite d une somme IV.2 Limite d un produit IV.3 Limite de l inverse et du quotient V s de comparaisons 4 V.1 de minoration et de majoration V.2 Les forces de l ordre à l œuvre V.3 Applications aux suites géométriques VI Suites monotones et limites 5 I Limite finie d une suite I.1 s et propriétés Soit un réel l. Dire qu une suite (u n) converge vers l signifie que : Tout intervalle ouvert contenant l finit par contenir tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On écrit : lim un = l ou parfois lim un = l Il est équivalent de dire : une suite (u n) converge vers l si,et seulement si, pour tout réel > 0, l intervalle ouvert ]l ; l + [ finit par contenir tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On dit qu une suite diverge lorsqu elle ne converge pas Une suite convergente est bornée. La limite d une suite si elle existe est unique. I.2 Un exemple chapitre 3-Suites et limites 1 M.Weislinger

2 Démontrons comme le suggère la figure que la suite (u n) définie pour tout entier naturel n 20 par u n = converge vers 2. Soit > 0. Démontrons alors qu il existe un rang N tel que pour tout entier n N, u n ]2 ; 2 + [. Cela revient à résoudre la double inéquation : mplifions les calculs : 2 < u n < < u n < 2 + < u n 2 < u n 2 < u n 2 = 20 2 = 20 2() = 8 comme n N ce résultat est toujours positif et par conséquent u n 2 = 8. u n 2 < 8 < 8 < () 8 < n + 8 < n 8 < n n > 8 Ainsi il suffit de prendre le premier entier N supérieur à 8. Il s agit de prendre la partie entière de 8 à laquelle on ajoute 1 c-à-d ( ) 8 N = E + 1 Ainsi, dès que n N alors u n ]2 ; 2 + [. On peut donc affirmer que lim u n = 2 n. II.2 III De manière équivalente cela signifie que pour tout réel A il existe un entier N tel que pour tout entier n N, u n > A. On dit que la suite tend vers + ou encore qu elle diverge vers +. On écrit : lim u n = + ou parfois lim u n = + Dire que la suite (u n) a pour limite signifie que tout intervalle du type ] ; A[ contient tous les termes à partir d un certain rang. De manière équivalente cela signifie que pour tout réel A il existe un entier N tel que pour tout entier n N, u n < A. On dit que la suite tend vers ou encore qu elle diverge vers. On écrit : lim un = ou parfois lim un = Un exemple Démontrer que lim n = +. lim u n = Limites usuelles Soit k N. lim n = + 1 lim n = 0 lim n = + n 2 = 0 lim u n = + lim n2 = + n k = 0 lim nk = + = 0 n II II.1 Limites infinies d une suite s Toutes les suites ont-elles une limite? Dire que la suite (u n) a pour limite + signifie que tout intervalle du type ]A; + [ contient tous les termes à partir d un certain rang. IV Opérations sur les limites Les théorèmes suivants sont admis et la plupart des résultats sont conformes à l intuition ;il faudra surtout bien retenir les quelques cas qui ne le sont pas. chapitre 3-Suites et limites 2 M.Weislinger

3 IV.1 Limite d une somme. lim u n =... lim v n =... lim(u n + v n) =... l L L + L l + + l Forme indéterminée alors lim u n =... lim( 1 ) =... u n L 0 1 L + ou 0 0 avec u n positive à partir d un certain rang + 0 avec u n négative à partir d un certain rang IV.2 Limite d un produit lim u n =... lim v n =... lim(u n v n) =... l L L L L > L > 0 L < 0 + L < ou + Forme indéterminée Dans le tableau suivant,dans les cases où le signe n est pas précisé il faudra dans la pratique connaître le signe des suites et appliquer la règle des signes lim u n =... lim v n =... lim( un ) =... v n l L 0 + ou L + ou selon le signe des suites L ou selon le signe des suites L + ou 0 ± ± Forme indéterminée 0 0 Forme indéterminée L L IV.3 Limite de l inverse et du quotient En remarquant que diviser c est multiplier par l inverse,on commence par le tableau de l inverse puis celui du quotient se déduit du produit On retiendra que parmi les 4 opérations tous les résultats sont conformes à l intuition sauf les 4 formes d indétermination du type suivant :, «0», et «0 0». Dans ces 4 cas il faudra donc changer la forme ( par exemple : factoriser, développer,... ) des expressions pour lever ces indéterminations. chapitre 3-Suites et limites 3 M.Weislinger

4 Terminale S V s de comparaisons V.1 dit de majoration de minoration et de majoration Soient deux suites (un ) et (vn ) et K un entier tels que pour tout entier n K, vn un : dit de minoration Soient deux suites (un ) et (vn ) et K un entier tels que pour tout entier n K, vn un : lim un = +, alors lim vn =, alors lim un =. Exercice 1 lim vn = +. Montrer que la suite (vn ) définie par vn = 0, 2n2 30 cos(n) tend vers +. Exercice 2 La démonstration est à connaître : Montrer que la suite (vn ) définie par vn = 200( 1)n 5n tend vers. V.2 Les forces de l ordre à l œuvre... On admet le théorème suivant : Il s agit de prouver que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient tous les termes de la suite (vn ) à partir d un certain rang. Soit A un réel. Par hypothèses : pour tout entier n K, vn un, lim un = +, il existe donc un rang N tel que pour tout entier n N, dit des «gendarmes» Soient trois suites (un ), (vn ),(wn ) et K un entier tels que pour tout entier n K, un vn wn : un > A. En posant p = max(k, N ), les 2 hypothèses précédentes seront vérifiées dès que n p. Donc, pour tout entier n p, vn un > A par conséquent tous les termes de la suite (vn ) appartiennent à ]A; + [ à partir du rang p. les suites (un ) et (wn ) convergent vers un même réel ℓ alors la suite (vn ) converge aussi vers ℓ Illustration : Exercice 3 Démontrer que la suite (un ) est convergente sachant que un = n + 2 sin(n) 3 On démontre de la même manière : V.3 Applications aux suites géométriques Démontrer par récurrence la propriété suivante : chapitre 3-Suites et limites 4 M.Weislinger

5 Pour tout réel a > 0 et pour tout entier naturel n : (1 + a) n 1 + na (1) une suite (u n) est croissante et si elle converge vers un réel l alors pour tout entier naturel n,u n l. (2) une suite (u n) est décroissante et si elle converge vers un réel l alors pour tout entier naturel n,u n l. Cette propriété s appelle l inégalité de Bernoulli et elle est à retenir. On démontre alors le théorème suivant : Soit q un réel non nul. (1) q > 1 alors lim(q n ) = +. (2) q = 1 alors lim(q n ) = 1. (3) 1 < q < 1 alors lim(q n ) = 0. (4) q 1 alors la suite (q n ) n a pas de limite. Application avec suites arithmético-géométriques à voir en exercice. VI Suites monotones et limites (1) Toute suite croissante non majorée tend vers +. (2) Toute suite décroissante non minorée tend vers. On raisonne par l absurde : On rappelle que lim u n = l signifie que tout intervalle ouvert contenant l finit par contenir tous les termes de la suite (u n) à partir d un certain rang. (1) Supposons qu il existe un terme u p tel que u p > l donc l appartient à l intervalle ouvert ] ; u p[ Comme la suite (u n) est croissante alors u n u p pour tous les entiers n p. Autrement dit,l intervalle ouvert ] ; u p[ ne contient pas tous les termes de la suite (u n) à partir d un certain rang. Cela contredit la définition de la convergence de (u n) vers l :Par conséquent, il n existe pas d entier p tel que u p > l,donc u n l pour tout n N. (2) à faire en exercice. On admettra le théorème suivant : une suite est croissante et majorée par un réel M,alors elle converge vers un réel l M. une suite est décroissante et minorée par un réel m,alors elle converge vers un réel l m. (1) Soit (u n) une suite croissante non majorée. Il s agit de prouver que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient tous les termes de la suite (v n) à partir d un certain rang. Soit un réel A > 0. Comme (u n) n est pas majorée alors il existe un terme u p tel que u p > A,comme (u n) est croissante alors u n u p pour tout entier n p,donc pour tout entier n p, u n > A et donc lim u n = + (2) à faire en exercice. chapitre 3-Suites et limites 5 M.Weislinger