CORRECTION FX 4. 4a 2 b )

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1 Lycée Thiers CORRECTION FX 4 Première Série Eercice. On considère f : R R, a + b + c, avec a, b, c) R 3 et a. Prouver que le graphe de f admet un ae de symétrie. Notons P la parabole d équation y = a + b + c. Le sommet de P a pour abscisse α = b a. Montrons que la droite d équation = α est ae de symétrie. Pour tout h R : f α + h) = a b ) a + h + b ba ) b + h + c = a 4a b ) a h + h b b + bh + c = c a 4a + ah Cette dernière epression est visiblement invariante lorsqu on remplace h par h; donc : ce qui prouve le résultat annoncé. h R, f α + h) = f α h) ) En supposant que l on ne devine pas d emblée la valeur de α, on peut tout de même chercher α R tel que la relation ) soit vraie, ce qui débouche facilement sur α = b a. Eercice. Soient a, c R avec a. Soit P la parabole d équation y = a + b + c. Quel est le lieu du sommet de P lorsque b varie? Notons S le sommet de P. Ses coordonnées sont : X = b a ; Y = c b. On dispose donc d une 4a représentation paramétrique du lieu de S lorsque b = le paramètre) varie. Il s agit d en trouver une équation cartésienne, ce qui consiste à éliminer b entre les deu équations paramétriques. On a tout d abord b = ax puis Y = c 4a ax) ; c est-à-dire : Y = c ax Réciproquement, si la relation encadrée est vraie, alors en posant b = ax, on constate que les équations paramétriques sont bien vérifiées. Finalement, le lieu de S est la parabole d équation Y = c ax. Ci-dessous, les paraboles d équation y = + b +, pour b variant de -6 à 6 par pas de,. L une d elles est tracée dans une couleur plus sombre et le lieu du sommet est dessiné en pointillé :

2 CORRECTION FX 4 Eercice 3. On considère f : R R, a 3 + b + c + d avec a, b, c, d) R 4 et a. Montrer que le graphe de f possède un centre de symétrie. La dérivée seconde f : 6a + b s annule et change de signe pour = b 3a Ceci établit l eistence et l unicité d un point d infleion : ) α A avec : α = b β 3a, β = f b ) 3a On vérifie que A est centre de symétrie en prouvant que : Or : f α + h) = a = b3 7a bc 3a + d h R, f α + h) + f α h) = β ) b 3a + h ) 3 + b b 3a + h ) + c = b3 7a bc 3a + d + ϕ h) où l on a posé : ) ϕ h) = c b h + ah 3 3a Visiblement, ϕ est impaire ) en découle aussitôt. b3a + h ) On pouvait aussi raisonner géométriquement en effectuant une translation de repère. Notons R = O, ı, j ) et R = A, ı, j ). Etant donné un point M de C), notons, y ses coordonnées dans R et, y ses coordonnées dans R. Alors : y = a 3 + b + c + d et formules de changement de repère, voir remarque ci-dessous) : { = α + donc : y = a b 3a) 3 + b b 3a) + c y = β + y b 3a ) + d + d b 3 7a bc ) ) 3a + d = a 3 + c b 3a de sorte qu en posant : ) g : a 3 + c b 3a l équation de C) dans R est y = g ). Comme g est visiblement impaire, l origine de R c est-à-dire le point A) est centre de symétrie pour C). Remarque - Ces formules s obtiennent très simplement. D une part : OM = ı + y j et d autre part : OM = ) OA + AM = α ı + β j + ı + y j ) = α + ) ı + β + y ) j Le résultat en découle par unicité de l écriture du vecteur OM dans la base ı, j ). Eercice 4. On suppose que f : R R est impaire et que F : R R est une primitive de f. Montrer que F est paire. Peut-on échanger, dans ce qui précède, les adjectifs paire et impaire? Considérons l application u : R R, F ) F )

3 Comme F est dérivable, alors u aussi et l on a : CORRECTION FX 4 3 R, u ) = F ) + F ) = f ) + f ) = ce qui prouve que u est constante. Mais u ) =, et donc u est nulle. Finalement, F est paire. En échangeant les adjectifs paire et impaire, l énoncé obtenu est fau : la fonction nulle est paire et ses primitives autres que la fonction nulle ne sont pas impaires. Eercice 5. On pose f : R R, ) ). Montrer que f est périodique et tracer son graphe. Il est clair que f est définie sur R. Posons u ) = : c est la partie fractionnaire de. Montrons que u est périodique ; on a : < + donc + + < + ) + ce qui prouve que + = +. Ainsi : u + ) = + + ) = u ) Du coup : f + ) = ) + u + ) = f ) et donc f + ) = f ). On a montré que f est périodique. Il suffit alors de tracer le graphe de la restriction de f à [, ] et, pour cela, de construire seulement le graphe de sa restriction à [,] puis de compléter la figure en tenant compte de f + ) = f ) ce qui revient à appliquer une symétrie glissée). On obtient : Eercice 6. Montrer que l application ϕ : R R, + ) est continue. En quels points est-elle dérivable? Par quelle transformation plane très simple le graphe de ϕ est-il invariant? Pour chaque n Z, l application ϕ coïncide sur ]n, n + [ avec t n + t n) qui est polynomiale. Il en résulte que ϕ est dérivable donc continue) sur R Z. Eaminons maintenant la continuité de ϕ en n Z. Pour tout t ]n, n[ : et pour tout t ]n, n + [ : ϕ t) = n + t n + ) ϕ t) = n + t n)

4 CORRECTION FX 4 4 donc, comme ϕ n) = n : lim ϕ t) = ϕ n) = lim ϕ t) t n t n + ce qui montre la continuité de ϕ en n. Finalement, ϕ est continue sur R. Passons à l étude de la dérivabilité de ϕ en n Z. Pour t ]n, n[ : ϕ t) ϕ n) t n = t n + ) t n = t n + t n et pour t ]n, n + [ : ϕ t) ϕ n) t n) = t n t n = t n t n + Ceci montre que ϕ est dérivable à gauche et à droite en n, puisque T ϕ,n possède en ce point des limites à gauche et à droite finies. Toutefois, ϕ n est pas dérivable en ce point puisque ces limites sont distinctes. La dérivabilité à gauche et à droite en un point entraîne la continuité en ce point, ce qui rend superflue l étude préliminaire de la continuité en n Z. Soit t R et soit n = t. Alors ϕ t) = n + t n), et comme t + = n + : ϕ t + ) = n + + t + ) n + )) = ϕ t) + Le graphe de ϕ est donc invariant par la translation de vecteur ı + j. 3 K K 3 K K K3 Eercice 7. Montrer que : puis, de manière plus générale, que : R, + + =, n) R N, n k= + k n = n Partageons l intervalle [, + [ en n tranches de longueur n : n [ [, + [ = + p n, + p + [ n p=

5 CORRECTION FX 4 5 Pour connaître n, il suffit de savoir à quelle tranche appartient. En effet, si l on note p l unique élément de {,, n } pour lequel : on a en multipliant par n) : et donc n = n + p. Posons maintenant : + p n < + p + n n + p n < n + p + S n ) = Pour tout k {,, n }, de deu choses l une : Ainsi : n k= + k n si k n p, alors + k n < +, d où + k n =. si k n p, alors + + k n < +, d où + k n = +. soit finalement : S n ) = n p k= + k n + n k=n p n k= + k n + k n = n p ) + p + ) = n + p = n Eercice 8. Etablir, pour R et n N : n = n Soit p l unique entier tel que : Alors : donc n = n + p. Il en résulte que : et donc : + p n < + p + n n + p n < n + p + n n = + p n n = n Deuième Série Eercice 7. Comparer, pour tout ], + [, les réels ln + ) et. Etudions les variations de Pour tout > : g : ], + [ R, ln + ) + g ) = + + = +

6 donc g est croissante ; et comme g ) =, on conclut que : CORRECTION FX 4 6 [, + [, ln + ) et ], ], ln + ) Eercice 73. On suppose que < a < b. Comparer, pour tout > les réels a e b b e a et a b. Fions a, b tels que < a < b et posons pour tout : f ) = a e b b e a Alors : f ) = ab e a e b), l inégalité étant stricte pour >. Ainsi, f est strictement croissante sur [, + [. Mais f ) = a b et donc >, a b < a e b b e a. Eercice 74. On pose, pour tout R : f ) = ln e + e ) ) Justifier brièvement que f est bien définie sur R et que l on peut limiter son étude à [, + [. ) Calculer f ) pour tout. En déduire les variations de f. 3) Montrer qu il eiste des réels a, b ainsi qu une fonction ɛ tels que : et lim ɛ ) =. Que peut-on en déduire? + R, f ) = a + b + ɛ ) 4) Tracer alors le graphe Γ de f, en repère orthonormé. On rappelle que, 7 est une valeur approchée de ln ) à près. 5) Etablir la majoration suivante : R, f ) ) ln est définie sur ], + [ et t R, e t >. Il est donc évident que f est définie sur R. En outre, on a f ) = f ) pour tout R; autrement dit, f est paire. ) f est dérivable composée d applications dérivables) et : R, f ) = e e e + e # e e Or e e = e e ) #. On voit donc que f est croissante sur R + et décroissante sur R. 3) Pour tout R : e + e ) f ) = ln = ln ) + ln + e ) epression de la forme voulue, avec : a = b = ln ) ɛ ) = ln + e ) + Ceci montre que la droite d équation y = ln ) est asymptote à Γ en +. De plus, Γ est au-dessus de puisque f ) ln )) = ln + e ). 4) Graphe de f :

7 CORRECTION FX 4 7 5) Posons pour tout R : u ) = e ln + e ) Alors u ) = e e e + e # v ), où l on a posé v ) = e + e ) e + e. On constate que v ) = e e ) et donc v est croissante. Comme v ) =, on en déduit que v ) #. Ainsi u décroît sur R et croît sur R +. Comme u ) =, on peut conclure que u ) pour tout. Autrement dit : e + e ) R, ln Compte tenu de la parité de u, on pouvait bien sûr limiter son étude à R +. Eercice 75. On pose, pour tout R : ainsi que : ) Etudier le signe de g. f ) = e ln + e ) g ) = e + e ln + e ) ) En déduire le sens de variation de f. Préciser ses limites en ±. 3) Retrouver le sens de variation de f, en observant que : où l on a posé : R, f ) = ϕ e ) t [, + [, ϕ t) = ln + t) t ) Pour tout R : g ) = e + e ) e + e ) e + e = e e + e ) + e ) = e + e ) < donc g est strictement décroissante. Comme lim g ) =, il s ensuit que R, g ) <.

8 CORRECTION FX 4 8 On sait que ln + t) t pour tout t >, avec égalité seulement si t =. Par conséquent, pour tout R : ) ) ln + e ) = ln + e = ln e + e < e + e ce qui prouve que g ) <. ) On observe que : R, f ) = e g ) < ln + h) Il en résulte que f est strictement décroissante. On sait que lim =, par conséquent h h ln + e ) lim f ) = lim e =. Par ailleurs, on peut écrire : f ) = e ln e e + )) = e + e ln e + ) et comme lim + e =,alors lim f ) =. + 3) Etudions les variations de ϕ. On a pour tout t : mais : ϕ t) = ψ t) t avec : ψ t) = t ln + t) + t ψ t) = + t) + t = t + t) Ainsi ψ est décroissante, et comme ψ ) = alors t [, + [, ψ t). Donc ϕ est décroissante. Finalement, f apparaît comme la composée de l eponentielle qui est croissante) et de ϕ qui est décroissante) : f est donc décroissante. A titre indicatif, voici l allure du graphe de f. On devine l eistence d un point d infleion, d abscisse positive : Eercice 76. Trouver les couples, y ) d entiers naturels non nuls tels que y = y. Considérons l application : ln ) u : ], + [ R, Si, y vérifient < < y et y = y, alors y ln ) = ln y ), c est-à-dire u ) = u y ). Comme u est injective sur chacun des intervalles ], e[ et ]e, + [, comme ], e[ N = {, } et comme u est à valeurs strictement positives sur ]e, + [, la seule solution éventuelle hormis les solutions évidentes a, a), avec a N ) est de la forme, b), avec b 3. Réciproquement, on constate que b = 4 convient. Ainsi : {, ) ) } y N ; y = y = { n, n) ; n N } {, 4) ; 4, )}

9 CORRECTION FX 4 9 Eercice 77. Etudier et représenter graphiquement la fonction t + t ) t. On considère que l epression + t ) t désigne par définition ep t ln + t )). Elle est définie lorsque : t et + t > c est-à-dire pour t D = ], [ ], + [. On étudie l application dérivable : f : D R, t e t ln+ t ) Pour tout t D : où l on a posé : f t) = f t) ln + ) + t t t + [ln = f t) + ) ] # g t) t t + t g t) = ln + ) t t + On calcule : d où l on tire les variations de g. Comme g t) = t t + ) + t + ) = t t + ) # t lim t ± strictement sur chacun des intervalles ], [ et ], + [. g t) =, il vient t D, g t) >. Ainsi, f croît On pouvait aussi utiliser la majoration classique ], + [, ln + ), ce qui permet d écrire : Calcul des limites : ln f t) ) = ln + t ln + ) = ln ) t t + t + t ) donc lim t ± ln f t) ) = puis lim f t) = e t ± lim ln f t) ) = + donc t lim f t) = + t ln f t) ) = t ln t + ) t ln t) donc lim t + ln f t) ) = puis lim t + f t) = t + g t) gt) f t) ft) e + e 8

10 CORRECTION FX 4 Enfin, f est prolongeable par continuité à droite) en. Notons F le prolongement : ) + t t si t ], [ ], + [ t ], [ [, + [, F t) = si t = Se pose alors la question de la dérivabilité à droite) en de F. On a, pour tout t > : t) = F t) = ep t ln )) + t t t ln ) ln + ) + t t or : e h et donc, d après lim =, il vient : h h lim t ln + ) = t + t lim t) = + t + ce qui entraîne la non-dérivabilité de F en. Le graphe de F présente une demi-tangente verticale au point de coordonnées, ). Eercice 78. Montrer que : n N, n! e n n + ) n Posons, pour tout n N : n! en u n = n + ) n On observe que u =. Il suffit donc, pour conclure, de montrer que la suite u n ) n est croissante. Pour tout n N : ) u n ne n n = u n n + ) n nn = e = e + ) n n + n On souhaite comparer cette quantité à, ce qui revient à trouver le signe de : ) un ln = n ln + ) u n n ) un Or, d après t ], + [, ln + t) t, on a : ln, ce qui établit le résultat. u n

11 CORRECTION FX 4 Eercice 79. Etablir : ], + [, + ) ln + ) Posons, pour tout > : f ) = + ) ln + ) et montrons que f. On calcule, pour tout > : f ) = ln + ) + ln + ) puis : f ln + ) ) = + ln + ) ) = Ainsi f est décroissante. Comme f ) =, il en résulte que f ) pour ], ] et f ) pour. On en déduit que f est croissante sur ], ] et décroissante sur [, + [. Pour finir, f ) = et donc f ) pour tout >. Eercice 8. ) Prouver que : R, + + >. ) Etablir, pour tout, l encadrement : 3 6 ln + + ) 3) Montrer que ϕ : R R, ln + + ) est impaire. En déduire ce que devient l encadrement ci-dessus pour. 4) On pose désormais f ) = + + ) / pour tout R. 4.a) f est-elle paire? impaire? ni l un ni l autre? 4.b) Préciser la limite de f en +. 4.c) Montrer que f est prolongeable par continuité en. On notera F le prolongement. 4.d) Prouver que F est dérivable en et préciser F ). ) Pour tout R : + > = et donc + + > ) Pour tout R +, posons u ) = ln + + ). Alors u ) = croissance de u. Comme u ) =, alors R +, u ). Posons maintenant, d où la + v ) = ln + + ) Alors : v ) = + + v ) = + ) 3/ + = + ) 3/ et donc v est croissante, mais v ) = et donc R +, v ). Ainsi v est croissante à son tour, et comme v ) =, il vient R +, v ). Finalement, on a bien : R +, 3 6 ln + + ) 3) 3) L application ϕ : ln + + ) est impaire ; en effet : R, ϕ ) = ln + + ) = ln + + ) = ϕ )

12 L encadrement 3) est donc renversé pour : CORRECTION FX 4 R, 3 6 ln + + ) Détail : si A, B : R R sont impaires et si R +, A ) B ), alors R, A ) B ). En effet, étant donné <, l hypothèse appliquée à donne A ) B ) c est-à-dire A ) B ) et donc A ) B ). 4) Propriétés de f : 4.a) L application f est définie sur R qui est une partie de R symétrique par rapport à et, pour tout R : f ) = + + ) ) / / = + = + + ) / = f ) + Ainsi, f est paire. 4.b) On observe que, pour tout > : ln f ) ) = ln + + ) = ln ) + ln + Ainsi lim + ln f ) ) = et donc, par continuité de l eponentielle : 4.c) L encadrement 3) donne, pour tout > : ) ep f ) e 6 + lim f ) = + d où aussitôt lim f ) = e. Vue la parité de f, on a lim f ) = e et donc lim f ) = e. + On pouvait aussi remarquer que, pour tout : ln f ) ) = ln + + ) ϕ ) ϕ ) = et donc par définition du nombre dérivé) : lim ln f ) ) = ϕ ). Or : R, ϕ ) = + d où ϕ ) = et donc par continuité de l eponentielle) : lim f ) = e. D une façon ou d une autre, ceci montre que f est prolongeable par continuité en. Son prolongement F est défini par : F : R R, + + ) / e si sinon 4.d) Eaminons la dérivabilité de F en. Pour tout > : e e /6 ) F ) F ) e t Or on sait que lim = et donc : t t e /6 = 6 e /6 6 +

13 CORRECTION FX 4 3 Vue la parité de f et donc de) F, on obtient la même valeur pour la limite à gauche en. Ainsi, F est dérivable en et : F ) = Correction du mini-problème On considère, pour tout α R, la fonction g α définie sur R par : e g α ) = e + ) α On note C α son graphe. ) Montrer que C possède un ae vertical de symétrie. ) Montrer que C présente un point d infleion et préciser ses coordonnées. 3) Montrer que le point de coordonnées, ) est centre de symétrie pour C. 4) Etudier g et g et tracer leurs courbes représentatives dans un même repère. 5) Calculer : puis lim a + g ) d lim g ) d a + 6) Montrer que si α >, alors g α possède un maimum et le calculer. 7) Montrer que si α < 3, alors g α est convee. ) Pour tout R : e g ) = e + ) = e e [e e + )] = e + e ) = g ) Ainsi, g est paire et C présente donc une symétrie par rapport à l ae des ordonnées. ) Calculons la dérivée seconde de g. Pour tout R : puis : g ) = e e + ) e e + ) = e e + ) g ) = e e + ) e e + ) e + ) 4 = e e ) e + ) 3 On constate que g s annule et change de signe en =. Comme g ) =, on conclut que le point de coordonnées, ) est un point d infleion pour C. 3) On a pour tout R : g ) + g ) = e e + + e e + = e e + + e + = Le point de coordonnées, ) est donc centre de symétrie pour C. 4) Pour tout R : g ) = e e + ) > Ainsi g est croissante on remarque au passage que g = g ). g ) = + e +

14 Comme g = g, on a : Ainsi g est décroissante sur [, + [ et : CORRECTION FX 4 4 g ) = g ) = e e ) + e ) 3 < pour > g ) = e + e ) + Enfin, C est au-dessus de C car, pour tout R : g ) g ) = e e + e e + ) = e e + ) > Voici les graphes de g et g en trait plein pour C et en pointillés pour C ) : C C K3 K K 3 5) Pour tout a > : et donc : et : g ) d = e + e d = [ ln + e )] ) a = ln + e a lim a + g ) d = ln ) e [ g ) d = e + ) d = ] a e = + e a + d où : lim g ) d = a + 6) Etant donné α >, la dérivée de g α est donnée par : g α ) = e e + ) α α e e + ) α e + ) α = e [ α ) e ] e + ) α+ Elle s annule, en passant du positif au négatif, pour tel que α ) e =, soit : ) = ln = ln α ) α L ordonnée correspondante, qui est donc le maimum de g α, est : )) g α ln α = α α + ) α = α 7) Calculons la dérivée seconde de g α. On repart de l epression : α g α ) = e α ) e e + ) α+ ) α α = ) α α α

15 CORRECTION FX 4 5 e α ) e ) e + ) α+ e α ) e ) α + ) e + ) α e avec : g α ) = = e e + ) α+ W α ) e + ) α+ W α ) = α ) e ) e + ) α + ) e α ) e ) = α ) e + 3α) e + Il est alors clair que, si α < 3, alors R, W α ) > et donc R, g α ) >. Finalement : α < 3 g α convee Remarque - En traçant sur ordinateur le graphe de g α pour diverses valeurs du paramètre α, on peut d ailleurs conjecturer que la condition α < 3 n est pas nécessaire. Il semble que g α soit convee si, et seulement si, α < α avec α, 8.