Comparaison de normes

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1 [ édité le 3 novembre 27 Enoncés Comparaison de normes Exercice [ 466 ] [Correction] Soit E = C [ ; ], R). On dénit les normes, 2 et par : f = ft) dt, f 2 = /2 ft) dt) 2 et f = f. [;] a) Montrer que est plus ne que et 2 mais qu'elle n'équivaut ni à l'une, ni à l'autre. b) Comparer et 2. Exercice 2 [ 467 ] [Correction] Soit E = C [ ; ], R). On dénit N, N 2 et N 3 par N f) = f, N 2 f) = f) + f et N 3 f) = [ ;] [ ;] a) Montrer que N, N 2 et N 3 sont des normes sur E. b) Comparer N et N 2 d'une part, N et N 3 d'autre part. Exercice 3 [ 465 ] [Correction] Soient E = C [ ; ], R) et N : E R + dénie par Nf) = f 2 ) + a) Montrer que N dénit une norme sur E. b) Comparer N et. Exercice 4 [ 473 ] [Correction] Sur R[X] on dénit N et N 2 par : N P ) = k= f 2 t) dt. P k) ) et N2 P ) = P t). t [,] f. b) Étudier la convergence pour l'une et l'autre norme de la suite de terme général P n = n Xn. c) Les normes N et N 2 sont-elles équivalentes? Exercice 5 [ 468 ] [Correction] On note R N) l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang. On dénit des normes, 2 et sur R N) en posant u = a) Comparer et. b) Comparer et 2. u n, u 2 = + /2 un) 2 et u = u n. Exercice 6 [ 469 ] [Correction] On note l N, R) l'espace des suites réelles sommables. Cet espace est normé par u = u n. a) Soit u l N, R). Montrer que u est bornée. Cela permet d'introduire la norme dénie par Comparer et. u = u n. b) Soit u l N, R). Montrer que u est de carré sommable Cela permet d'introduire la norme 2 dénie par Comparer et 2. + /2 u 2 = un) 2. a) Montrer que N et N 2 sont deux normes sur R[X].

2 [ édité le 3 novembre 27 Enoncés 2 Exercice 7 [ 3265 ] [Correction] On note BN, R) l'espace des suites réelles bornées normé par. a) Soit a = a n ) une suite réelle. Former une condition nécessaire et susante sur la suite a pour que l'application dénit une norme sur BN, R). b) Comparer N a et. N a : x a n x n Exercice 8 [ 39 ] [Correction] On note E l'espace des suites réelles bornées u = u n ) telles que u =. a) Montrer que N u) = u n et Nu) = u n+ u n dénissent des normes sur l'espace E. b) Montrer que Nu) 2N u) pour tout u E. Déterminer une suite non nulle telle qu'il y ait égalité. c) Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.

3 [ édité le 3 novembre 27 Corrections 3 Corrections Exercice : [énoncé] a) et f f f /2 f 2 f ) 2 f. Posons f n x) = x n, f n = alors que f n = n+ et f n 2 = 2n+. Les normes ne sont donc pas équivalentes. b) Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : donc ft) dt ) /2 ) /2 dt ft) 2 dt f f 2. Pour f n x) = 2n + x n, f n 2 = et f n = 2n+ n+, les normes ne sont donc pas équivalentes. Exercice 2 : [énoncé] a) Sans dicultés. b) On a N f) N 2 f) car x fx) f) + f t) dt f) + x f et sans dicultés on a aussi N 3 f) 2N f). Posons f n x) = x n. [ ;] On a N f n ) =, N 2 f n ) = n et N 3 f n ) = 2 n+. On en déduit que les normes N et N 2 d'une part, N et N 3 d'autre part, ne sont pas équivalentes. a) Posons ϕf, g) = f)g) + f t)g t) dt. ϕ est une forme bilinéaire symétrique, ϕf, f) et si ϕf, f) = alors f) = et pour tout t [ ; ], f t) = donc f =. ϕ est donc un produit scalaire et N apparaît comme étant la norme associée. b) Pour tout x [ ; ], fx) f) x + f t) dt 2Nf), donc f 2Nf).Pour fx) = sinnxπ), f = et Nf) = nπ/ 2 +. Les deux normes ne sont donc pas équivalentes. Exercice 4 : [énoncé] a) N, N 2 : R[X] R. or N P + Q) = = N λp ) = k= k= k= P k) ) + Q k) ) + P k) ) + Q k) ) k= P k) ) + + Q k) ) = N P ) + N Q). k= λp k) ) = λ k= P k) ) = λ N P ). N P ) = = k Z, P k) ) = P = k= P k) ) X k k! et donc P =. Finalement, N est une norme. N 2 P + Q) = P t) + Qt) N 2 λp ) = λp t) = P t) + λ P t) = λ P t) + Qt) Qt) = N 2 P ) + N 2 Q). P t) = λ N2 P ). N 2 P ) = = t [ ; ], P t) = Exercice 3 : [énoncé] et par innité de racines P =.

4 [ édité le 3 novembre 27 Corrections 4 b) La suite n Xn ) diverge pour N. converge vers pour N 2 mais n'est pas bornée et donc c) Les normes ne peuvent être équivalentes car sinon les suites convergeant pour l'une des normes convergerait pour l'autre. Exercice 5 : [énoncé] a) Aisément Soit u N dénie par u N n = si n < N et u N n = sinon. = donc il n'existe pas de α > tel que α. et ne sont pas équivalentes. b) En introduisant N tel que n > N = u n = on a u 2 2 = u n 2 = N N 2 + ) 2 u n 2 u n ) = u n = u 2 Ainsi 2. Soit u N dénie par u N n = si n < N et u N n = sinon. 2 = N donc il n'existe pas de α > tel que α 2. et 2 ne sont pas équivalentes. Exercice 6 : [énoncé] a) La suite u étant sommable, elle converge vers et est par conséquent bornée. Pour tout n N, donc u n k= u k u u. Soit u N dénie par u N n = si n < N et u N n = sinon. u N l R). = donc il n'existe pas de α > tel que α. et ne sont pas équivalentes.. b) On a N u n 2 N u n ) 2 donc quand N + : u 2 2 = + ) 2 u n 2 u n = u 2 Ainsi 2. Soit u N dénie par u N n = si n < N et u N n = sinon. u N l R). 2 = N donc il n'existe pas de α > tel que α 2. et 2 ne sont pas équivalentes. Exercice 7 : [énoncé] a) Supposons que N a est une norme sur BN, R). Pour m N, la suite élémentaire e m = δ m,n ) est non nulle donc N a e m ) = a m >. De plus, pour la suite constante u = ), la quantité N a u) existe et donc la série a n converge. Inversement, si a n est une série convergente à termes strictement positifs alors on montre que l'application N a : BN, R) R + est bien dénie et que celle-ci est une norme sur l'espace BN, R). b) On a aisément N a k avec k = + a n. Inversement, posons k N a. Pour la suite élémentaire e m, on obtient e m k N a e m ) et donc a m /k pour tout m N. Cette propriété est incompatible avec la convergence de la série a n. Ainsi N a est dominée par mais ces deux normes ne sont pas équivalentes. Exercice 8 : [énoncé] a) N est bien connue pour être une norme sur l'ensemble des fonctions bornées, il en est de même sur l'ensemble des suites bornées dont le premier terme est nul. L'application N : E R + est bien dénie. On vérie aisément Nu + v) Nu) + Nv) et Nλu) = λ Nu). Si Nu) = alors pour tout n N, u n+ = u n et puisque u =, on obtient u =. Ainsi N est une norme sur E..

5 [ édité le 3 novembre 27 Corrections 5 b) Pour u E, on a, pour tout n N, u n+ u n u n+ + u n 2N u). On en déduit Nu) 2N u). La suite u dénie par u = et u n = ) n pour n est une suite non nulle pour laquelle il y a égalité. c) Considérons la suite u p) dénie par u p) n) = { n p si n p sinon. On a u p) E, N u p) ) = p et Nu p) ) =. On en déduit que les normes N et N ne sont pas équivalentes car N u p) ) Nu p) ) +.