2) Pour calculer A un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches suivantes :

Transcription

1 NOM : Prénom : Classe : Observations : Durée 2 heures Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie. Exercice 1 (4 points) On donne A = ,5 1) Calculer A 2) Pour calculer A un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches suivantes : = Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat. 1

2 Exercice 2 (7 points) On donne 4 fractions : A = 15 7 B = C = 2 3 D = a) Les ranger par ordre croissant b) Calculer en détaillant les calculs : (Donner le résultat sous la forme d'une fraction la plus simplifiée possible) B + C = A D = B A = C : D = C + D A = 2

3 Exercice 3 (5 points) 1) Calculer A = A = 2) Donner l'écriture scientifique de A. A = 3) On donne B = (2-4 ) (3-1 2) 3 Ecrire B sous la forme 2 a 3 b ; a et b étant deux entiers relatifs. B = Exercice 4 (9 points) On considère la fonction f définie par f(x) = -2x² ) Calculer les images de -3 et de - 5 par la fonction f. 2 2) Compléter le tableau de valeurs suivant : x f(x) 3

4 3) En déduire les antécédents de -5 et 3 par la fonction f. 4) Tracer la courbe représentant la fonction f dans le repère suivant pour x compris entre -3 et 3. 4

5 Problème : (14 points) On considère un triangle ABC rectangle en C tel que : AB = 17,5 cm ; BC = 14 cm ; AC = 10,5 cm. PARTIE A Soit P un point du segment [BC]. La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB] en R. La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC] en S. La figure n est pas en vraie grandeur. 1. Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle. 2. Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B. a. Calculer la longueur PR. 5

6 b. Calculer l aire du rectangle PRSC. PARTIE B Dans cette partie, on pose BP = x. On déplace le point P sur le segment [BC] et on souhaite savoir quelle est la position du point P pour laquelle l aire du rectangle PRSC est maximale. 1. a. Exprimer PC en fonction de x. b. Démontrer que PR est égale à 0,75 x. c. En déduire l aire du rectangle PRSC en fonction de x. 2. On note f la fonction qui, au nombre x, associe l aire du rectangle PRSC. a. Quelle est l image par la fonction f du nombre 10? 6

7 b. A quoi correspond cette image? 3. Un logiciel a permis d obtenir la représentation graphique suivante : Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BP A l aide d une lecture graphique, donner : a. Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm². b. La valeur de BP pour laquelle l aire du rectangle semble maximale. c. Un encadrement à 1 cm² près de l aire maximale du rectangle PRSC. 7

8 Exercice 1 (3 points) On donne A = ,5 1) Calculer A CORRECTION A = A = 20 4 A = 5 2 points 2) Pour calculer A un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches suivantes : = Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat. Le résultat n'est pas le bon car il manque des parenthèses pou encadrer le numérateur et le dénominateur. Le calcul effectué par l'élève est le suivant : / ,5 dont le résultat est : = = 11,75 Exercice 2 (8 points) On donne 4 fractions : A = 15 7 B = C = 2 3 D = a) Les ranger par ordre croissant < < 2 3 < 15 7 Soit : D < B < C < A 8

9 CORRECTION b) Calculer en détaillant les calculs : (Donner le résultat sous la forme d'une fraction la plus simplifiée possible) B + C = A D = B + C = B + C = B + C = A D = A D = A D = B A = C : D = 2 3 : B A = ,5 point C : D = ,5 point B A = C : D = C + D A = C + D A = C + D A = C + D A = = = points Exercice 3 (5 points) 1) Calculer A = A = = (-3) = = points 2) Donner l'écriture scientifique de A. A = 2 10² est l'écriture scientifique de A. 9

10 3) On donne B = (2-4 ) (3-1 2) 3 CORRECTION Ecrire B sous la forme 2 a 3 b ; a et b étant deux entiers relatifs. B = 2 (-4) B = B = De la forme 2 a 2 b avec a = -1 et b = -5 2 points Exercice 4 (9 points) On considère la fonction f définie par f(x) = -2x² ) Calculer les images de -3 et de - 5 par la fonction f. 2 f(-3) = -2 (-3)² + 3 = = = ,5 point f 5 2 = = = = ,5 point 2) Compléter le tableau de valeurs suivant : x f(x) points 3) En déduire les antécédents de -5 et 3 par la fonction f. Les antécédents de -5 par f sont -2 et 2. 3 a un seul antécédent par f : 0. 1,5 point 10

11 CORRECTION 4) Tracer la courbe représentant la fonction f dans le repère suivant pour x compris entre -3 et 3. 2,5 points Problème : (15 points) On considère un triangle ABC rectangle en C tel que : AB = 17,5 cm ; BC = 14 cm ; AC = 10,5 cm. PARTIE A Soit P un point du segment [BC]. La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB] en R. La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC] en S. La figure n est pas en vraie grandeur. 11

12 CORRECTION 1. Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle. PRSC est un parallélogramme (car ses côtés opposés sont parallèles) avec un ange droit (en C) : c'est donc un rectangle. 2 points 2. Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B. a. Calculer la longueur PR. Les droites (PR) et (SC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles BPR et BCA : BP BC = BR BA = PR CA On a donc : 5 14 = PR 10,5 On en déduit que : PR = 5 10,5 = 3,75 cm points b. Calculer l aire du rectangle PRSC. A PRSC = PR PC = 3,75 (14 5) = 3,75 9 = 33,75 cm² L'aire du rectangle PRSC est de 33,75 cm². PARTIE B Dans cette partie, on pose BP = x. On déplace le point P sur le segment [BC] et on souhaite savoir quelle est la position du point P pour laquelle l aire du rectangle PRSC est maximale. 2. a. Exprimer PC en fonction de x. PC = BC BP = 14 -x b. Démontrer que PR est égale à 0,75 x. La relation issue du théorème de Thalès de la question 2) a) donne : x 14 = PR 10,5 D'où : PR = 10,5 x = 0,75 x 14 c. En déduire l aire du rectangle PRSC en fonction de x. A PRSC = PR PC = 0,75x (14 x) 2 points 12

13 CORRECTION 2. On note f la fonction qui, au nombre x, associe l aire du rectangle PRSC. a. Quelle est l image par la fonction f du nombre 10? On a donc f(x) = 0,75x(14 x) f(10) = 0,75 10 (14 10) = 7,5 4 = 30 L'image par la fonction f du nombre 10 est donc 30. b. A quoi correspond cette image? Cette image correspond à l'aire du rectangle PRSC pour une longueur BP égale à 10 cm. 3. Un logiciel a permis d obtenir la représentation graphique suivante : Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BP A l aide d une lecture graphique, donner : a. Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm². On lit les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à 18. On trouve deux valeurs : 2 et 12 Le rectangle PRSC a donc une aire de 18 cm² pour BP = 2 cm ou BP = 12 cm. 13

14 CORRECTION b. La valeur de BP pour laquelle l aire du rectangle semble maximale. L'aire du rectangle semble maximale pour BP = 7 cm. c. Un encadrement à 1 cm² près de l aire maximale du rectangle PRSC. Un encadrement à 1 cm² près de l'aire maximale du rectangle PRSC est : 36 < A max < 37 14