Seconde - Chapitre 3: Configurations & triangles

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1 Seconde - Chapitre 3: Configurations & triangles 1 Droites remarquables du triangle. 1.1 Les médiatrices. On définit la médiatrice d un segment [AB] : C est la droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu. Rappel de la construction au compas : Propriété 1.1 Soient A et B deux points du plan. Si un point M est sur la médiatrice d un segment [AB], alors MA = MB. Réciproquement, si M est un point tel que MA = MB, alors, M est sur la médiatrice de [AB]. Théorème 1.2 Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point qui est, de plus, le centre du cercle circonscrit au triangle. démonstration :

2 2 Soient 1, 2, 3 les médiatrices respectives des côtés [BC], [AC]et[AB] du triangle. 1 et 2 ne sont pas parallèles (sinon, le triangle serait plat). Elles sont donc sécantes en un point que l on note O. Comme O est sur 1, on a OB = OC, et comme O est sur 2, on a OA = OC. Donc OA = OB, et O est sur la médiatrice de [AB], c est à dire Les hauteurs. Dans un triangle, la hauteur issue d un sommet passe par ce sommet et est perpendiculaire au côté opposé. Rappel de la construction au compas : Propriété 1.3 A(ABC) = BC AP 2. Idée de la démonstration : Proposition 1.4 Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point que l on appelle orthocentre du triangle. démonstration : Exercice : On se propose de démontrer que les hauteurs d un triangle sont concourantes. On considère un triangle A B C.

3 3 1. Sur la figure ci-dessous, construire la parallèle (d 1 ) à (A B ) passant par C, puis la parallèle (d 2 ) à (A C ) passant par B, et enfin, la parallèle (d 3 ) à (B C ) passant par A. (d 1 ) et (d 2 ) se coupent en A, (d 1 ) et (d 3 ) se coupent en B et (d 2 ) et (d 3 ) se coupent en C. 2. (a) Montrer que C est le milieu de [AB]. (b) En déduire que la médiatrice de [AB] est la hauteur issue de C dans le triangle A B C. 3. Enoncer une propriété analogue concernant les médiatrices des segments [BC] et [AC]. 4. Montrer que les hauteurs du triangle A B C sont concourantes. 1.3 Les médianes. Dans un triangle, la médiane issue d un sommet passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé. Rappel de la construction au compas : (voir la construction des médiatrices pour le milieu). Propriété 1.5 A(ABA ) = A(ACA ) = 1 2 A(ABC). Idée de la démonstration :Les deux triangles en question ont la même hauteur. Proposition 1.6 Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point que l on appelle centre de gravité du triangle; Il est situé, sur chaque médiane aux deux tiers du sommet correspondant. démonstration : Voir exercice 28 p.244 (corrigé DM 2). Exercice 1.1 Les six triangles formés par les médianes ont tous la même aire.

4 4 1.4 Les bissectrices. La bissectrice (intérieure) d un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Rappel de la construction au compas : Propriété 1.7 Si M est sur la bissectrice [BM), alors MP = MQ (P et Q sont respectivement les projetés orthogonaux de M sur [AB] et sur [BC]). Réciproquement, si MP = MQ, alors M est sur la bissectrice [BM). Théorème 1.8 Dans un triangle, les bissectrices des trois angles sont concourantes en un point qui est, de plus, le centre du cercle inscrit dans le triangle. démonstration : Voir exercice 29 p.244 (corrigé DM 2). 2 Triangles isométriques. 2.1 Rappels sur les transformations du plan. 1. Exercice : RSTU est un carré et E, F, G et H sont les milieux des côtés.

5 5 2. Quelle est l image du triangle OLG par la symétrie orthogonale d axe (RT)? Définir la transformation qui envoie GTK sur REI. Quelle est l image de HIL par la translation de vecteur ES? Quelle est l image de SJF par la rotation de centre O et d angle 90 o dans le sens inverse des aiguilles d une montre? 3. Une symtrie axiale (ou orthogonale)est dfinie par son axe (une droite). 4. Une rotation est définie par : Son centre Son angle Son sens 5. L image d une figure F par : Une symétrie axiale Une symétrie centrale Une translation Une rotation est une figure F superposable à F. Les quatre transformations prcdentes conservent les distances : on dit que ce sont des isométries. Elles conservent aussi les angles et les aires. 2.2 Triangles isométriques. Définition 2.1 Dire que deux triangles sont isométriques (ou égaux) signifie que l un est l image de l autre par une isomtrie. Exemple : ABC et ABD sont isométriques :

6 6 Activité (1 heure maxi). But : Reconnaître les cas d égalité de triangles. Matériel : Règle, compas, rapporteur. 1. Rappeler oralement la définition de deux triangles isométriques. 2. Dessiner un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 6 cm, BC = 2 cm. Combien peut-on tracer de triangles différents? En quel sens sont-ils différents? Dessiner alors les autres possibilités. Comment pourrait-on les superposer? 3. Mesurer les angles des triangles pécédents. Que constate-t-on? 4. Dessiner un triangle EDF tel que ED = 5 cm, EF = 6 cm, Ê = 20o. Combien peut-on tracer de triangles différents? En quel sens sont-ils différents? Dessiner alors les autres possibilités. Comment pourrait-on les superposer? Mesurer DF. Comparer avec le triangle ABC. 5. Dessiner un triangle PSG tel que PS = 5 cm, ˆP = 20 o, Ŝ = 105o. Combien peut-on tracer de triangles différents? En quel sens sont-ils différents? Dessiner alors les autres possibilités. Comment pourrait-on les superposer? Mesurer SG et PS. Comparer avec les triangles ABC et EDF. Théorème 2.1 (Cas d égalité ou d isomtrie de triangles) Deux triangles qui leurs cts deux deux gaux sont isomtriques. Si deux triangles ABC et DEF ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement isométriques alors, ils sont isométriques :

7 7 Si deux triangles ABC et DEF ont un côté isométrique commun à deux angles respectivement égaux alors, ils sont isométriques : Propriété 2.2 Si deux triangles sont isométriques, alors, leurs angles sont deux à deux égaux. Attention! Peut-on dire que deux triangles qui ont leurs angles deux à deux égaux sont isométriques? Trouver un contre-exemple (triangles équilatéraux). Remarque : Les propriétés et théorèmes de ce paragraphe sont admis (et constatés dans l activité précédente) mais ils pourraient se démontrer... Exemple des triangles rectangles isométriques. Exercice 2.1 Exercices 25 et 26 page Triangles semblables. Exercice Dessiner un triangle ABC tel que AB = 8 cm, BC = 6 cm, et AC = 4 cm. Mesurer ses angles. 2. Dessiner un triangle A B C tel que A B = 4 cm, B C = 3 cm, et A C = 2 cm. Mesurer ses angles. 3. Comparer les rapports AB A B, BC B C et AC A C. Définition 3.1 On dit que les triangles ABC et DEF sont semblables (ou de même forme) si leurs angles sont égaux deux à deux. (Voir exercice précédent : ABC et A B C sont semblables)

8 8 Exemples : Deux triangles équilatéraux sont semblables, deux triangles rectangles-isocèles sont semblables. Les triangles apparaissant dans une configuration de Thalès sont semblables. Application : Exercice (page 265) : Deux règles de 4 cm et 12 cm sont placées verticalement sur un plan horizontal. Chaque règle est reliée à l autre par un élastique qui joint son sommet au pied de l autre. A quelle hauteur se croisent les deux élastiques? Méthode Thalès : IH AB = HC CA IH CD = HA AC CH = CA AC et IH CD = HA CA, donc = 1 IH AB, donc IH( 1 CD + 1 AB CD ) = 1, et IH = AB AB + CD. Le résultat ne dépend pas des positions de [AB] et [CD]. Méthode triangles semblables : Voir page 265. Remarque : Pour que deux triangles soient semblables, il suffit qu ils aient deux angles égaux. Théorème 3.1 Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs côtés sont proportionnels. Le coefficient de proportionnalité s appelle le rapport d agrandissement-réduction, ou rapport de similitude. Propriété 3.2 Si le rapport de similitude entre deux triangles est égal à k, alors le rapport des aires de ces triangles est k 2.

9 9 démonstration : Soient ABC et DEF deux triangles semblables. 0n appelle P et Q les deux pieds des hauteurs issues de A et D. On a : AB DE = AC DF = BC EF = k. De plus, ACP et DFQ sont semblables (deux angles égaux), donc, donc, AP DQ = CP QD = AC DF = k, AP = k.dh, et BC AP k.ef k.dh A(ABC) = = = k 2.A(DEF). 2 2 Application : Une démonstration du théorème de Pythagore : Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. 1. Prouver que AHB et AHC sont semblables à ABC. 2. Déterminer les rapports A(AHB) A(ABC) BC. et A(AHC) A(ABC) en fonction de AB, AC et 3. Montrer que la somme de ces deux rapports vaut 1 et en déduire le théorème de Pythagore.

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