Matrices d applications linéaires

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1 Elément de cours des exercices Matrices d applications linéaires (a) Définition (b) Multiplication par un scalaire (c) Somme de deux matrices (d) Produit de deux matrices Définition Soient E et F deux espaces vectoriels sur R tels que dim(e) = n et dim(f) = m, B et C des bases de E et de F et f une application linéaire de E dans F. Définition - On appelle matrice de f dans les bases B et C le tableau à m lignes et n colonnes obtenu en placant dans la jème colonne les composantes dans la base C de l image par f du jème vecteur de la base B. On parlera dans ce cas de matrice m n. L élément m i,j de cette matrice, situé dans la ième ligne et la jème colonne, est donc la ième composante de l image du jème vecteur de la base B. On notera (m i,j ) cette matrice. Soit x = (x j ) un élément de E, alors la ième composante de f(x) est : m i,j x j. j Exemple - Si f est l application linéaire de R 2 dans R 3 définie par f((1, 0)) = (5, 4, 1) et f((0, 1)) = (7, 2, 9), la matrice de f dans les bases canoniques de R 2 et de R 3 est : M 1 = La matrice de f dépend des bases choisies. Par exemple, choisissons comme base de R 2 les vecteurs (1, 0) et (1, 1) et comme base de R 3 la base canonique; on a f((1, 1)) = (12, 6, 8); la matrice de f dans ces bases est donc : M 2 = Propriété et notation - Si, dans la définition précédente, E = F et B = C (et donc m = n), la matrice associée à l application identique est le tableau comportant des 1 dans la diagonale et des 0 ailleurs. On appelle cette matrice la matrice unité et 1..

2 on la note souvent I n, ou I si aucune confusion n est possible. Retour au début 2

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4 Multiplication par un scalaire Soient E et F deux espaces vectoriels sur R, B et C des bases de E et de F et f une application linéaire de E dans F. Soit M = (m i,j ) la matrice de f dans ces bases. Soit λ un scalaire. La matrice de λf est alors (λm i,j ). Il est donc naturel de donner la définition suivante : Définition - La multiplication de la matrice M par le scalaire λ est la matrice dont les éléments sont ceux de M multiplié par λ : si M = (m i,j ), alors λm = (λm i,j ). Retour au début 4

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6 Somme de deux matrices Soient E et F deux espaces vectoriels sur R, B et C des bases de E et de F, f et g deux applications linéaires de E dans F. On connaît l application linéaire f + g qui est définie par (f + g)(x) = f(x) + g(x). Dans les bases données, les éléments de la matrice de f +g s obtiennent en additionnant les éléments correspondants des matrices de f et de g. Il est donc naturel de donner la définition suivante : Définition - Soient M et M deux matrices ayant le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes, on appelle somme de ces deux matrices et on désigne par M + M la matrice dont les éléments sont obtenus en additionnant les éléments correspondants des matrices M et M : si M = (m i,j ) et M = (m i,j ), alors M +M = (m i,j + m i,j). Retour au début 6

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8 Produit des matrices Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur R, B, C et D des bases de E, F et G, f une application linéaire de E dans F et g une application linéaire de F dans G. On connaît l application linéaire gof qui est définie par (gof)(x) = g(f(x)). Dans les bases données, les matrices de g et de f sont M = (m i,j ) et M = (m i,j). On choisit de définir le produit de ces matrices comme la matrice de gof. Les composantes de l image par f du jème vecteur de base de E sont les m i,j. On en déduit que l image par gof de ce vecteur a comme kème composante : i m k,i m i,j. On obtient alors la définition suivante : Définition - Soient M = (m i,j ) et M = (m i,j ) deux matrices telles que le nombre de lignes de M soit égal au nombre de colonnes de M. On appelle produit de M par M et on note M M la matrice : M M = ( i m k,i m i,j). Cette matrice a le même nombre de lignes que M et le même nombre de colonnes que M. Des propriétés de la composition et de la somme des applications, on déduit immédiatement que le produit des matrices est associatif, qu il est distributif par rapport à l addition et qu il permute avec la multiplication par un scalaire. En revanche, il n est pas commutatif. Comme la fonction identique est un élément neutre pour la composition des applications, la matrice unité est un élément neutre pour le produit des matrices. Soit M une matrice m n; M I m = I n M = M. Définition - Soit f une application linéaire bijective d un espace vectoriel E dans lui-même, B une base de E et M la matrice de f dans cette base. On peut définir l application linéaire f 1. La matrice associée à cette application s appelle l inverse de la matrice M et se note M 1. On a M M 1 = M 1 M = I. Remarque Soient E et F deux espaces vectoriels sur R, B et C des bases de E et de F et f une application linéaire de E dans F. Soit M = (m i,j ) la matrice de f dans ces bases. Soit x un vecteur de E et x j ses composantes dans la base B. Si on considère la matrice X à une seule colonne, dont les éléments sont les composantes x j disposées en colonne, M X est une matrice colonne dont les éléments sont les composantes, dans la base C, de f(x) disposées en colonne. Retour au début 8