BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES

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1 Collège Anne De Bretagne BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES CLASSE : NOM : PRENOM : Activités numériques / 1 Activités géométriques / 1 Problème / 1 Présentation Rédaction / 4 Total /40 DUREE DE L EPREUVE : heures La calculatrice est autorisée Le sujet sera rendu avec les copies Chaque partie sera traitée sur une copie séparée

2 1 ère PARTIE : Activités numériques 1 Points EXERCICE 1 : Pour chaque question, il n y a qu une seule bonne réponse. Entourer celle-ci. Questions Réponse A Réponse B Réponse C Une solution de 3x² x + = 0 est 1 3 Les solutions de (x 1)(x + ) = 0 sont et 1 et et 1 Les solutions de x + 1 < 4x sont Tous les nombres inférieurs à 1, Tous les nombres inférieurs à 1, Tous les nombres supérieurs à 1, La forme factorisée de : (x + 1)(x +3) (x 1)(x + 1) est 4(x + 1) (x + 1) (x + 1)(4x + ) La factorisation de x² 16 est (x 4)² (x + 4)² (x 4)(x + 4) 3 La fraction irréductible égale à 7 7 est L écriture sous forme scientifique de : est ,4 10 1, ,4 10² L écriture sous la forme a de : est La partie hachurée qui représente les solutions de l inéquation : 7x 4x + 1 est EXERCICE : Le graphique ci-contre est celui d une fonction f. 1. Donner l image de 0 puis celle de 1.. Lire f(). 3. Donner l ordonnée du point de la courbe d abscisse. 4. Donner les abscisses des points de la courbe d ordonnée 0.. Lire les antécédents de Citer un nombre qui n a pas d antécédent. 7. Un nombre a trois antécédent, citer une valeur possible.

3 EXERCICE 3 : Un commerçant augmente les prix de tous ses articles de 8%. Un objet coûtait x euros. Après avoir subi cette augmentation, il coûte y euros. 1. Exprimer y en fonction de x.. Un lecteur de DVD coûtait, avant augmentation, 39. Combien coûte-t-il après? 3. Un téléviseur coûte, après augmentation, 40. Combien coûtait-t-il avant? ème PARTIE : Activités géométriques 1 points EXERCICE 1 : L unité est le cm. Sur la figure ci-contre, qui n est pas à l échelle, on donne : AB =, AC =, BC = et CD = 0 et les droites (AB) et (ED) sont parallèles. 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.. Calculer la valeur arrondie au degré près de l angle ABC. 3. Calculer les distances CE et DE. On donnera DE sous la forme k où k est un entier. EXERCICE : 1. Construire un triangle ABC rectangle en C tel que : AC = cm et BAC = 40. Calculer la longueur BC. (On donnera une valeur arrondie au millimètre) 3. a. Où se trouve le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC? Justifier. b. Tracer ce cercle. 4. En déduire la mesure de l angle BOC. EXERCICE 3 : La figure ci-dessous n est pas en vraie grandeur ; on ne demande pas de la reproduire. Les droites (AM) et (BN) sont sécantes en O. Les dimensions sont en centimètres. On donne : OA = 3 ; OB =, ; OM =,4 ; ON = 4, 1. Montrer que les droites (AB) et (MN) sont parallèles.. On suppose que AB = 1, a. Le triangle AOB est-il rectangle? Justifier. b. Calculer la distance MN.

4 3 ème PARTIE : Problème 1 points On dispose d un séjour rectangulaire dans lequel on veut réaliser un petit cagibi triangulaire. Pour cela on veut installer une cloison. Voici ci-contre une représentation de la pièce. La partie est le cagibi et la partie 1 représente le séjour 1 après création du cagibi. La cloison est représentée par le segment [DH]. Dans l exercice, on considèrera que la cloison a une épaisseur négligeable. Les deux parties sont indépendantes. Partie I : On considère uniquement dans cette partie que x = 3 m. 1. Quelle est la longueur HD de la cloison?. Calculer la valeur (à 1 près) de l angle HDC. 3. Calculer la valeur (à 1 près) de l angle DHB. Partie II : 1. Montrer que la surface au sol du cagibi est donnée par l expression x et que celle du séjour 1 est donnée par l expression 48 x.. On pose f(x) = x et g(x) = 48 x. La représentation graphique de g est donnée dans la page suivante. a. Quelle est la nature de la fonction f? b. Tracer, dans le repère ci-après, la représentation graphique de f pour x compris entre 0 et 1. Pour les deux questions suivantes, on fera apparaître sur le graphique tous les traits nécessaires à la lecture des réponses. c. A l aide du graphique, déterminer l aire de chacune des pièces pour x = 3 m. d. A l aide du graphique, déterminer la valeur de x pour laquelle la surface du séjour 1 vaut 36 m². 3. On veut que le séjour 1 ait une surface d au moins 36 m². a. Ecrire une inéquation qui traduise que la surface du séjour 1 doit être supérieure ou égale à 36 m². b. Résoudre cette inéquation.

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6 3 ème CORRECTION DU BREVET BLANC N 1 ère Partie : Activités numériques EXERCICE 1 : Si x = 1 alors 3x² x + = 3 ( 1)² ( 1) + = = 10 Si x = 3 alors 3x² x + = 3 3 ² 3 + = = 0 est une solution de l équation 3x² x + = 0 3 (x 1)(x + ) = 0 Si a b = 0 alors a = 0 ou b = 0 x 1 = 0 ou x + = 0 x = 1 x = x = 1 et 1 sont les solutions de l équation (x 1)(x + ) = 0 x + 1 < 4x x + 1 4x 1 < 4x 4x 1 x < 3 x > 3 x > 1, Les solutions de l inéquation x + 1 < 4x sont tous les nombres supérieurs à 1,. (x + 1)(x +3) (x 1)(x + 1) = (x + 1) [(x + 3) (x 1)] = (x + 1) (x + 3 x +1 ] = (x + 1) 4 4(x + 1) est la forme factorisée de l expression (x + 1)(x +3) (x 1)(x + 1) x² 16 = (x)² 4² = (x 4)(x + 4) La factorisation de x² 16 est : (x 4)(x + 4) = = = = 7 4 = La fraction irréductible égale à 7 7 est : 7 4

7 = = ² = = 1, = 1,4 10 L écriture sous forme scientifique de est : 1, = = = = 9 L écriture sous la forme a de est : 9 7x 4x + 1 7x 4x + 4x + 1 4x + 3x 6 x 6 3 x La partie hachurée qui représente les solutions de l inéquation 7x 4x + 1 est : EXERCICE : 1. L image de 0 par f est : 1, L image de 1 par f est : 1. f() = 0 3. L ordonnée du point de la courbe d abscisse est : 0 4. les abscisses des points de la courbe d ordonnée 0 sont : 3 ; 1 et. Les antécédents de 1 par f sont : et, 6. n a pas d antécédent par f 7. 0 a trois antécédents par f : 3 ; 1 et

8 EXERCICE 3 : Un commerçant augmente les prix de tous ses articles de 8%. Un objet coûtait x euros. Après avoir subi cette augmentation, il coûte y euros. 1. y = x = 1,08x. y = 1,08 39 = 3,3 Le lecteur de DVD coûte, après augmentation de 8%, 3,3. 3. Soit x le prix du téléviseur avant l augmentation. 40 = 1,08x x = 40 1,08 = 00 Le téléviseur coûtait 00 avant l augmentation. ème Partie : Activités géométriques EXERCICE 1 : 1. Dans le triangle ABC, BC² = ² = AB² + AC² = ( )² + ( )² = 0 + = BC² = AB² + AC² Donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en A.. Dans le triangle ABC, rectangle en A, sin ABC = AC BC = ABC = sin (AD) et (BE) sont sécantes en C, (AB) // (DE), donc d après le théorème de Thalès, on a : CA CD = CB CE = AB DE Calcul de CE : 0 = CE = DE 0 = CE CE = 0 = 4 = 4 = 10 Calcul de DE : 0 = DE DE = 0 = 4 = 4 = 4

9 EXERCICE : 1. figure. Dans le triangle ABC, rectangle en C, tan BAC = BC AC tan 40 = BC BC = tan 40 4, cm 3. a. ABC est un triangle rectangle en C, donc le centre O de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse [AB]. b. voir figure 4. Dans le cercle, BOC est l angle au centre associé à l angle inscrit BAC et BAC = 40 Or, dans un cercle la mesure d un angle inscrit est égale à la moitié de l angle au centre associé. Donc : BAC = BOC D où : BOC = BAC = 40 = 80 EXERCICE 3 : 1. (AM) et (BN) sont sécantes en O Les points A, O, M sont alignés dans le même ordre que les points B, O, N. OA OM = 3,4 = 30 4 = = 9 OB ON =, 4, = 4 = 9 = 9 OA OM = OB donc d après la réciproque du théorème de Thalès, ON les droites (AB) et (MN) sont parallèles.. AB = 1, Dans le triangle AOB, OA² = 3² = 9 OB² + AB² =,² + 1,² = 6, +, = 8, OA² OB² + AB² Si ABC était un triangle rectangle, alors d après le théorème de Pythagore, on aurait : OA² = OB² + AB², ce n est pas la cas donc ABC n est pas un triangle rectangle. 3. (AM) et (BN) sont sécantes en O et (AB) // (MN) Donc d après le théorème de Thalès on a : OA OM = OB ON = AB MN 9 = 1, MN = 9 1, =,7 cm MN

10 3 ème Partie : Problème Partie I : 1. Dans le triangle HCD, rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : 1 HD² = DC² + HC² HD² = 4² + 3² = = HD = = m. Dans le triangle HDC, rectangle en C, tan HDC = HC DC = 3 4 HDC = tan Dans le triangle HDC, rectangle en C, les angles HDC et DHC sont complémentaires. Partie II : HDC + DHC = 90 DHC = 90 HDC = 90 tan = 3 4 DHB et DHC sont deux angles supplémentaires car H [BC] DHB + DHC = 180 DHB = 180 DHC = tan DHB = 17 = 90 + tan Surface au sol du cagibi = DC HC = 4 x = x 1 Surface au sol du séjour 1 = Aire ABCD Aire HDC = AD DC x = 1 4 x = 48 x. f(x) = x a. f(x) est de la forme ax donc f est une fonction linéaire de coefficient b. f est linéaire, donc, dans un repère, elle est représentée par une droite (d) passant par l origine. x 1 f(x) 4 A(1 ; 4) (d)

11 c. Graphiquement, pour x = 3m, l aire du cagibi est égale à 6 m² et l aire du séjour 1 est égale à 4 m². d. Graphiquement, l aire du séjour 1 vaut 36 m² pour x = 6 m 3. La surface du séjour 1 est supérieure ou égale à 36 m² a. 48 x 36 b. 48 x x x 1 x 1 x 6 Pour que la surface du séjour 1 soit supérieure à 36 m², il faut que x soit compris entre 0 et 6 m.

12 1 ère Partie : Activités numériques EXERCICE 1 : (4, points) BAREME BREVET BLANC N Réponse A Réponse B Réponse C 3 et 1 4(x + 1) 1,4 10 Tous les nombres supérieurs à 1, (x 4)(x + 4) , pt par bonne réponse EXERCICE : (4, points) 1. f(0) = 1, 0, pt f(1) = 1 0, pt. f() = 0 0, pt , pt 4. 3 ; 1 et 0, pt. et, 1 pt 6. 0, pt , pt EXERCICE 3 : (3 points) 1. y = 1,08x 1 pt. 3,3 1 pt pt

13 ème Partie : Activités géométriques EXERCICE 1 : (4 points) 1. ABC rectangle en A 1 pt (* si rédaction parfaite). ABC 7 1 pt (0, pt si erreur d arrondi, * si le triangle est cité) 3. Egalité de Thalès 0, pt (* si rédaction parfaite) CE = 10 0, pt DE = 4 1 pt (0, pt si DE n est pas écrit sous la forme k ) EXERCICE : ( 3 points) 1. Construction du triangle 0, pt. BC = tan 40 4, cm 1 pt (* si le triangle est cité) 3. a. position de O 0, pt b. cercle (compris dans la figure) 4. BOC = 80 1 pt (* si rédaction parfaite) EXERCICE 3 : ( points) 1. (AB) // (MN) pts (0, pt pour les données, 1, pt pour les calculs séparés des deux quotients) 0 pt si les calculs ne sont pas séparés 1 pt si les quotients sont des valeurs arrondies. a. AOB n est pas rectangle 1, pts (0, pt pour chaque calcul séparé, 0, pt pour la conclusion, 0 pt si les calculs ne sont pas séparés). b. MN =,7 cm 1, pts (0, pt pour les données, 0, pt pour l égalité de Thalès, 0, pt pour le calcul de MN)

14 3 ème Partie : Problème Partie I : 1. HD = m 1 pt (* si rédaction parfaite). HDC 37 1 pt (* si le triangle est cité) 3. DHC 3 1 pt DHB 17 Partie II : 1 pt 1. Surface du cagibi = x 1 pt Surface du séjour = 48 x 1 pt. a. f linéaire de coefficient 0, pt. b. représentation graphique de f pts (1 pt pour l explication de la construction, 1 pt pour le tracé). c. Aire CAGJBJ = 6 m² 0, pt Aire SEJOUR = 4 m² 0, pt. d. x = 6 m 0, pt 0, pt si absence de pointillés 3. a. 48 x 36 0, pt 3. b. x 6 1, pt Présentation Rédaction 1 pt pour la présentation * 0, pt 3* 1 pt 4* 1, pts * pts 6*, pts 7* 3pts