NOMBRES COMPLEXES. On se place dans le plan muni d un repère orthonormé direct (O; u; v).
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- Valentin Renaud
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1 NOMBRES COMPLEXES I. Forme algébrique d un nombre complexe : 1. Ensemble IC des nombres complexes Théorème et définition : Il existe un ensemble noté IC, contenant IR, tel que : - IC possède un élément noté i dont le carré i 2 est égal à -1 ; -tout élément de IC s écrit de manière unique a+bi avec a et b réels. Les éléments de IC sont appelés les nombres complexes. L écriture d un nombre complexe z sous la forme a+bi avec a et b réels, est appelée forme algébrique de z ; a est la partie réelle de z et b sa partie imaginaire Notation a=re(z) et b=im(z) Exemples : z=4-2i z=-2i z=-3 On définit sur IC une addition et une multiplication dont on admet qu elles possèdent les mêmes propriétés que celles de IR. En pratique, il suffit d appliquer le propriétés de calcul usuelles dans IR en remplaçant i 2 par -1. Par exemple : (1-i)(2+3i) =2+3i-2i-3i 2 =2+i+3=5+i. Définition : Si z=a+bi et z =a +b i avec a,b,a,b réels, on définit : z+z =(a+a )+(b+b )i et zz = (aa -bb )+(ab +a b)i 2. Représentation graphique On se place dans le plan muni d un repère orthonormé direct (O; u; v). Définition : A tout nombre complexe a+bi où a et b sont réels, on associe le point M(a ;b) appelé point image de z. Réciproquement, à tout point M(a ;b), on associe le nombre complexe a+bi appelé affixe de M. Notation : Si M a pour affixe z, on note M(z) Propriété : Deux nombres complexes sont égaux : -si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire -si et seulement si ils ont le même point image.
2 Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle ce qui revient à dire que son point image est situé sur l axe des abscisses. Un nombre complexe est dit «imaginaire pur» si et seulement si sa partie réelle est nulle ce qui revient à dire que son point image est situé sur l axe des ordonnées II. Forme trigonométrique : 1. Module et argument : Définition: Soit z un nombre complexe et M son point image. On appelle module de z et on note z le nombre réel positif égal à la distance OM. Si z 0, on appelle argument de z et on note arg(z) tout nombre θ, mesure en radians de l angle ( u, OM). exemples : Deux nombres complexes z et z sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument. Remarques : 0 n a pas d argument ; z =0 si et seulement si OM=0 c est-à-dire M=O ou encore z=0 Si z est un réel, le module de z est égal à la valeur absolue du réel z (ce qui justifie la notation employée) un argument d un réel positif est 0, un argument d un réel négatif est π
3 Cas particuliers : - z est un réel non nul si et seulement si arg(z) = kπ ( k Z) - z est un imaginaire pur non nul si et seulement si arg(z) = π +kπ ( k Z) 2 Soit z= a+bi ( a et b réels) Son module est r = a 2 +b 2. Si z est non nul, un argument θ de z est tel que : a= r cosθ et b= r sinθ 2. Forme trigonométrique : Propriété et définition: Pour tout nombre complexe non nul z, z = r (cos θ + i sin θ ) avec r = z et θ = arg(z) (2 π) Cette écriture est appelée la forme trigonométrique de z. Réciproquement, si z = r (cos θ + i sin θ ) avec r et θ réels et r >0, alors r = z et θ = arg(z) (2π) Corollaire: Pour tous nombres complexes z et z, zz = z z Si z et z sont non nuls, arg (zz )= arg(z) + arg(z ) ( 2 π ) Remarque : z 2 = z 2 et, si z 0 arg(z 2 ) = 2 arg (z) (2 π ) De manière générale, pour n IN, z n = z n et arg(z n )= n arg(z), si z 0 III. Conjugué, inverse et quotient : 1. Conjugué : Définition: Soit z= a+bi avec a et b réels. Le nombre complexe conjugué de z, noté! est le nombre complexe a- bi. Exemples
4 Un nombre complexe est réel si et seulement si z=! Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si z +! =0 Pour tout nombre complexe z, les points d affixes z et! sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. Par conséquent! = z et arg(!)= - arg(z) (2π) si z 0 Pour tous complexes z et z : z! = z 2 z +! = 2 Re(z) z -! = 2Im(z)! +! =! +!!! =!! 2. Inverse: Théorème et définition: Si z est un nombre complexe non nul, il existe un unique complexe z tel que zz =1.Ce nombre complexe z est appelé inverse de z et est noté 1 z. En pratique, pour écrire 1 sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le z dénominateur par le conjugué du dénominateur i = Si z est non nul, (!! )=!! 1 z = 1 z, arg ( 1 )= - arg(z) (2 π ) z 3. Quotient : Définition: Si z est non nul, on définit le quotient z z par z z = z. 1 z Pour rendre réel le dénominateur d un quotient, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. 3+i 2-i =
5 Si z 0, (!! ) =!!!! Si z 0 et z 0, arg(!!!!! =!!!! ) = arg(! ) - arg(!) (2 π ) IV. Racine carrée d un complexe : Définition : Soit Z un nombre complexe donné, on appelle racine carrée complexe de Z tout nombre complexe z, s il existe tel que z 2 = Z. Méthode permettant de déterminer les racines carrées d un nombre complexe Z = a + ib Il suffit de poser z = x + iy puis de résoudre le système d équation à deux inconnues qui en résulte : Déterminer les racines carrées de 3+4i V. Equations dans IC 1. Résolution dans IC d une équation du second degré à coefficients complexes : Forme canonique de az 2 +bz+c ( a IC *, b IC et c IC ) az 2 + bz + c = a ( z 2 + b a z + c a ) = a [ (z + b 2a )2 ( b 2a )2 + c a )]= a [ (z + b 2a )2 - b2-4ac 4a 2 ]
6 Résolution dans IC de az 2 +bz+c ( a IC *, b IC et c IC ) On pose D = b 2-4ac. Soit δ une racine carrée de D. az 2 + bz + c = 0 (z + b 2a )2 - δ2 4a 2 = 0 (z + b 2a + δ 2a )(z + b 2a - δ 2a ) = 0 az 2 + bz + c = 0 z = -b - δ 2a ou z = -b + δ 2a Résoudre dans IC : z 2 +( 3 i )z -3i = 0 Rappel : Cas où les coefficients a, b et c sont réels (étudié en 6 ème) Les solutions dans IC, d une équation du second degré à coefficients réels sont deux nombres complexes conjugués. Résoudre dans IC : z 2 +z+1=0 2. Autres équations Soit P(z) un polynôme à coefficients complexes. Théorème: z 0 est une racine de P on peut mettre (z z 0 ) en facteur dans P(z). Après avoir trouvé une racine évidente, déterminer toutes les racines du polynôme : P(z)= z 3 + 4z 2 +7z +4 VI. Notation exponentielle, puissances et racines n-ièmes d un complexe 1. Notation exponentielle Définition : Pour!tout!réel!!!!on! pose!e i! = cos! + isin! Tout nombre complexe z, non nul, dont θ est un argument s écrit :! =!!!" Cette écriture est appelée forme exponentielle de z.
7 Intérêt de cette notation : Cette notation facilite la mémorisation de certains résultats : Pour tous réels θ et θ, pour tous réels strictement positifs r et r, et pour tout entier naturel n : r!!" = r!!"! r = r et θ = θ ( 2 π ) r!!". r!!"! = rr!!(!!!! ) 1 re i! = 1 r e!i! re i! r'e i! ' = r r' ei(!!! ') ( r!!" ) n = r n!!"# Si z est le nombre complexe de module r et d argument θ alors z n est le complexe qui a pour module r n et dont un argument est nθ. (1+i) 3 = 2. Formule de Moivre : Pour tout réel θ et pour tout entier naturel n : ( cos θ + i sin θ ) n = cos nθ + i sin nθ. En effet (!!" ) n =!!"# 3. Racines n-ième d un complexe: Défintion : Si n IN *, on appelle racine n-ième de Z toute solution z de l équation z n = Z. Détermination des racines n-ième du nombre complexe Z : Si Z = 0 alors Z admet une racine n-ième unique z =0 Racines n-ièmes d un nombre complexe non nul : Si Z 0 alors Z et toute racine n-ième z de Z peut s écrire sous forme exponentielle.
8 Z = Re i!!!!!et!!z = re i" respectifs de Z et z. où R et r sont les modules respectifs de Z et z et φ et θ des arguments z n = Z ( r!!" ) n = R!!" r n!!"# = R!!" r n =R et nθ = φ + 2kπ où k Z or R>0 et r>0 donc l équation r n = R admet une solution unique : et l équation nθ = φ +2k π ( k Z ) θ = φ n + 2kπ n ( k Z ) On en déduit que les racines de Z sont les nombres : où k {0;1 ;2 ;3 ; ;n-1} il n y a que n racines n-ièmes distinctes de Z car à partir de k = n on retombe sur les mêmes racines par périodicité. Images des n racines n-ièmes d un nombre complexe non nul : Dans le plan complexe muni d un repère orthonormal direct (O ; u ; v ), considérons les points M 0, M 1,..M n-1 images des n racines n-ièmes. On a : OM 0 = OM 1 = OM n-1 Donc les points M 0, M 1,..M n-1 apprtiennent au cercle de centre O et de rayon. Pour tout réel k {0 ;1 ;2 ;3 ; ;n-1} : ( OM k-1 ; OM k ) = ( u ; OM k )- ( u ; OM k-1 ) (2 π ) = φ n + 2kπ n - ( φ n + ( 2(k-1)π n (2 π ) = 2π n ( 2 π ) donc M 0, M 1,..M n-1 sont les sommets d un polygone régulier à n côtés.
9 Déterminer les racines 4-ième du nombre complexe Z = 2 + 2i.
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