Produit scalaire. VECTEURS POINTS ( u = AC = AB. avec H le projeté orthogonal de C sur (AB). [= ± AB AH car AB sont colinéaires] AC = AB AC cos BAC

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1 Produit scalaire I. Produit scalaire dans le plan (rappels de 1 ère S). def : 4 définitions équivalentes du produit scalaire : 1 u. v = u. v avec v le projeté orthogonal de v sur u. [= ± u v car u et v sont colinéaires] VECTEURS POINTS ( u = AB et v = AC ) AB. AC = AB. AH avec H le projeté orthogonal de C sur (AB). [= ± ABAH car AB et AH sont colinéaires] u. v = u v cos( u, v) AB. AC = AB AC cos BAC 3 4 u. v = 1 ( u+ v u v ) u. v = 1 ( u + v u v ) u. v = xx' + yy' dans un repère orthonormal avec u( x, y) et v( x' ; y' ) AB. AC = 1 (AD² AB² AC²) car AB + AC = AD AB. AC = 1 ( AB² + AC² CB² ) car AB AC = AB + CA = CB AB. AC = x AB x AC + y AB y AC (repère orthonormal) orthogonalité et colinéarité : *orthogonalité : u et v sont orthogonaux u. v = 0 xx' + yy = 0 dans un repère orthonormal * colinéarité : 1) si u et v sont colinéaires et de même sens alors u. v = u v car cos( u, v) = 1 ou AB. AC = AB AC ) si u et v sont colinéaires de sens contraire alors u. v = u v car cos( u, v)= -1 formules : formule d AL-KASHI : a² = b² + c² bc cos A idem : b² = a² + c² ac cos B et c² =. formule de la médiane : MA² + MB² = MI² + 1 AB² avec I milieu de [AB] a b c = = sin A sin B sin C AB. AC = AB AC notation : u ² = u. u = u et AB ² = AB. AB = AB² (car u et lui-même sont colinéaires de même sens) prop : a ) u.( v + w) = u. v + u. w b ) kir, (k u). v = k ( u. v) = u.(k v) u. ( v + w) = u. v + u. w (le produit scalaire est bilinéaire) identités remarquables : ( u + v) = u + u. v + v ( u v) = u u. v + v ( u + v). ( u v) = u v Cours de TS (obligatoire) : 6/11/017 1

2 ex : A(-4 ; 3) B(0 ; 5) C(4 ;1) dans RON du plan. Déterminer au degré près une mesure de A. ( 41 ) Puis, donner une valeur approchée de l'aire du triangle ABC. (1 u.a.) II. Produit scalaire dans l'espace. def : Pour tous vecteurs u et v dans l espace, il existe trois points A, B et C tels que u = AB et v = AC. Il existe (au moins) un plan (P) contenant les trois points A, B et C. Le produit scalaire de u et v dans l espace est alors le produit scalaire des vecteurs AB et AC dans le plan (P). question : Si on choisit d autres points A, B et C (tq u = A'B' et v = A'C' ), le résultat sera-t-il le même? Dans le plan, la définition u. v = 1 ( u + v u v ) = 1 ( AB² + AC² BC² ) nécessite uniquement une unité de longueur, donc le choix des points A, B et C ( u = AB et v = AC ) n influence pas le résultat. On dit que le produit scalaire dans l espace est indépendant du plan (P) choisi : il dépend uniquemt d une unité de longueur. prop : TOUTES LES PROPRIETES DU PRODUIT SCALAIRE vues dans le plan S APPLIQUENT AUX VECTEURS DE L ESPACE avec cette particularité : Dans une base (ou repère) orthonormale de l espace : u. v = x x' + y y' + z z' avec u(x ; y ; z) et v(x' ;y'; z') dt : u. v = (x i + y j + z k ).( x' i + y' j + z' k ) = xx' i. i + xy' i. j + xz' i. k + yx' j. i + yy' j. j + yz' j. k + = xx' + yy' + zz' car i. i = 1 i. j = 0 i. k = 0 prop : u et v sont orthogonaux dans l espace ssi u. v = 0 ssi x x' + yy + zz = 0 (dans RON). Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs. (On dit aussi que le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.) prop : Dans un RON de l espace : u = x + y + z et AB = (x B x A) +(y B y A ) + (z B z A) ex : Déterminer une équation de la sphère de centre A( ; 5 ; -3) et de rayon 5 dans un RON. III. Applications. 1 ) Vecteur normal à un plan. def : Un vecteur n est normal à un plan s il est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. cqce : Un vecteur normal d un plan est alors orthogonal à tous les vecteurs du plan. (dans ROC sujet D p88) prop: Toute droite de vecteur directeur n est perpendiculaire au plan. prop: Il suffit d un point A et d un vecteur normal n pour caractériser un plan. En effet, le plan est alors l ensemble des points M de l espace tels que AM et n sont orthogonaux. Cours de TS (obligatoire) : 6/11/017

3 ) Equation cartésienne d un plan. prop : Tout plan de vecteur normal n (a,b,c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0 (uniquement dans un RON) et réciproquement. dt ROC : 1 / Soit A(x 0, y 0, z 0) un point de P. n est normal à P. Déterminons une équation de (P). M(x, y, z) P n. AM = 0 a(x x 0) + b(y y 0) + c(z z 0) = 0 ax + by + cz + (-ax 0 by 0 cz 0) = 0 ax + by + cz + d = 0 / Soit n (a, b, c) un vecteur. Montrer que n est normal au plan (P) d équation ax + by + cz + d = 0. Soit A(x 0, y 0, z 0) un point de P ax0 + by0 + cz0 + d = 0 Donc pour tout point M(x, y, z) de P on a : ax + by + cz + d = 0 donc par soustraction : a(x x 0) + b(y y 0) + c(z z 0) = 0 donc n. AM = 0 donc n est orthogonal à tout vecteur de P donc n est normal à P Remarque : Les trois plans de base sont : * plan (xoy) qui a pour équation z = 0 et pour vecteur normal k * plan (yoz)... x = 0... i * plan (xoz)... y = 0... j ex : Déterminer une équation du plan passant par A(, 1, -3) de vecteur normal n (1, 1, ) (dans RON). ex : a ) Montrer que A(, -1, 3) B(4, 0, ) C(0, 0, ) définissent un plan (dans repère orthonormal). b ) Déterminer une équation du plan (ABC). prop : incidence de plans : Soient (P) et (P ' ) deux plans ayant pour vecteurs normaux n et n ' plans parallèles plans sécants cas particulier : plans orthogonaux (P) et (P ' ) sont parallèles n et n ' sont colinéaires kir tel que n = k n ' (P) et (P ' ) sont sécants n et n '... (P) et (P ' ) sont perpendiculaires n et n ' sont orthogonaux n. n '= 0. Cours de TS (obligatoire) : 6/11/017 3

4 ex : P : x 4y + 9 = 0 et P : 5x y + z = 0 P et P sont ils sécants? incidence d un plan (P) et une droite (d) : n est un vecteur normal de (P) et u est un vecteur directeur de (d). plan et droite parallèles plan et droite sécants cas particulier : plan et droite orthogonaux (P) et (d ) sont parallèles (P) et (d ) sont sécants... (P) et (d ) sont perpendiculaires def : 3 ) Plan médiateur. Le plan médiateur d un segment [AB] est le plan perpendiculaire à (AB) passant par le milieu I de [AB]. prop : Le plan médiateur d un segment [AB] est l ensemble des points M tels que MA = MB. dt : On note I le milieu de [AB]. * si M appartient au plan médiateur (MI) (AB) (MI) est médiane et hauteur dans le triangle MAB le triangle MAB isocèle en M MA = MB * si MA = MB le triangle MAB est isocèle (MI) est médiane et hauteur (MI) (AB) M appartient au plan médiateur ex : Soient A(1, 0, 1) et B(3, -, 5). Donner une équation cartésienne du plan médiateur (P) au segment [AB]. 4 ) Equations cartésiennes d une droite. prop : Soient deux plans (P) : ax + by + cz + d = 0 et (P ) : a x + b y + c z + d = 0. Si (P) et (P ) sont sécants alors la droite d intersection est caractérisée par le système d équations ax + by + cz + d = 0 cartésiennes a x + b y + c z + d = 0 ex : Donner une représentation paramétrique de (d) : x 4y + 7 = 0 x + y z + 1 = 0 ex : Soit P le plan d équation z = 4. Donner une représentation paramétrique de (d) perpendiculaire à (P) passant par A(1, 0, 1). Cours de TS (obligatoire) : 6/11/017 4

5 Exercices sur «sphère et plan tangent» exercice 1 : 1 ) Déterminer le centre et le rayon de la sphère (S) d équation x² + y² + z² 8x y + 4z 4 = 0. ) Montrer que le plan d équation x = 9 est tangent à la sphère en A(9 ; 1 ;-). 3 ) Démontrer que l intersection entre le plan d équation z = 4 et la sphère est vide. QCM : Dans un RON de l espace, soit (S) la sphère d équation x² + y² + z² + x 6y + 1 = 0. a le centre est (1 ; 3 ; 0) b (S) et l axe des abscisses ont exactement un point d intersection c l intersection de (S) et du plan d équation y = -1 est non vide. d le rayon est 9 exercice 3 : Bac juin 011 : L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct (O, i, j, k). On considère les points A (- ; 0 ; 1) ; B(1 ; ; 1) et C(- ; ; ). 1. a. Calculer le produit scalaire AB. AC, puis les longueurs AB et AC. b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle BAC. c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est x y + z + = Soit (Pl) et (P) les plans d'équations respectives x + y 3z + 3 = 0 et x y + 6z = 0. Montrer que les plans (P1) et (P) sont sécants selon une droite (D) de système d'équations x = paramétriques : y = t t IR z = t 4. Démontrer que la droite (D) et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. 5. Soit S la sphère de centre (1 ; 3 ; 1) et de rayon r = 3. a. Donner une équation cartésienne de la sphère S. b. Etudier l'intersection de la sphère S et de la droite (D). c. Question Ouverte : Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère en déterminant la distance entre le point et le plan (ABC). Cours de TS (obligatoire) : 6/11/017 5