Géométrie dans l espace

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1 Géométrie ans l espace Table es matières I I ositions relatives ans l espace I.1 osition relative e eux roites I.2 osition relative e eux plans I.3 osition relative une roite et un plan II Règles incience II.1 ropriété fonamentale II.2 Théorème u «toit» III Orthogonalité ans l espace III.1 Droite perpeniculaire à un plan III.2 Théorème IV rouit scalaire IV.1 rouit scalaire IV.2 Différentes façons e calculer le prouit scalaire IV.3 Vecteur normal à un plan, équation cartésienne un plan IV.4 lans sécants IV.5 Droite IV.6 Équation paramétrique un roite ositions relatives ans l espace I.1 osition relative e eux roites ropriétés Deux roites 1 et 2 peuvent être coplanaires ou non coplanaires. Si elles sont coplanaires (contenues ans le même plan), elles peuvent être sécantes en un point, strictement parallèles ou confonues. Si elles ne sont pas coplanaires, aucun plan ne contient les eux roites. (exemple : certains arêtes un cube) = (a) : = parallèles, coplanaires. (b) : et sécantes, un unique plan. (c) : et parallèles strictes, ans un unique plan. () : et non coplanaires et ni sécantes, ni parallèles 1

2 I.2 osition relative e eux plans ropriétés Deux plans 1 et 2 e l espace sont soit sécants, soit parallèles. S ils sont sécants, l intersection est une roite. S ils sont parallèles, ils sont istincts ou confonus. lans sécants : une roite intersection lans strictement parallèles : aucun point intersection lans parallèles confonus : un plan intersection = 2 I.3 osition relative une roite et un plan ropriétés Une roite D et un plan sont soit sécants, soit parallèles. S ils sont sécants, ils n ont qu un point commun. S ils sont parallèles, D est incluse ans ou ils n ont aucun point commun. Droite et plan sécants : un point intersection Droite et plan parallèles : roite incluse ans le plan Droite et plan parallèles : aucun point intersection + A 1 1 Remarques : our éfinir un plan, il faut trois points istincts, ou une roite et un point extérieur à la roite, ou eux roites sécantes ou strictement parallèles. II Règles incience II.1 ropriété fonamentale Dans un plan e l espace, toutes les propriétés fonamentales e la géométrie plane s appliquent. age 2/6

3 ropriétés Deux roites e l espace sont parallèles si elles sont coplanaires et non sécantes, Deux plans e l espace sont parallèles lorsqu ils ne sont pas sécants, Une roite et un plan e l espace sont parallèles lorsqu ils ne sont pas sécants. ropriété Si eux roites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles,. Si eux roites sécantes un plan sont respectivement parallèles à eux roites sécantes un plan alors les plans et sont parallèles, Si eux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles, Si eux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les roites intersection sont parallèles. δ 2 δ 2 1 δ 1 II.2 Théorème u «toit» R Théorème Si on a : eux roites parallèles et ; un plan contenant ; un plan contenant ; et sécants selon une roite δ. Alors, l intersection δ es eux plans est parallèle aux roites et. R δ 1 2 age 3/6

4 III III.1 Orthogonalité ans l espace Droite perpeniculaire à un plan ropriété Dans un plan, soient eux roites 1 et 2 sécantes en A et une roite. On suppose que la roite est perpeniculaire en A à 1 et en A à 2. Alors, la roite est perpeniculaire au plan. III.2 Théorème Théorème Si une roite est perpeniculaire à un plan en un point A, alors elle est perpeniculaire à toutes les roites e ce plan qui passent par A. IV IV.1 rouit scalaire ans l espace rouit scalaire Définition Soient u et v eux vecteurs e l espace. A, B et C sont trois points e l espace tels que u = AB et v = AC. Il existe au moins un plan contenant ces trois points A, B et C (unique si les points ne sont pas alignés). Le prouit scalaire es vecteurs u et v u. v est le prouit scalaire AB. AC calculé ans le plan. Remarque : il ne épen pas u choix es points : en effet, ans, on a : AB. AC = 1 2 (AB2 +AC 2 BC 2 ). Si l on choisit trois autres points A, B et C tels que u = A B et v = A C, alors : A B. A C = 1 2 (A B 2 +A C 2 B C 2 ) = 1 2 (AB2 +AC 2 BC 2 ) = AB. AC. Autrement it : u. v = 1 2 ( u 2 + v 2 u v 2 ) IV.2 Différentes façons e calculer le prouit scalaire ropriétés 1. u. v = u v cos( u, v ). 2. Si u = AB et v = AC, alors u. v = AB. AH où H est le projeté orthogonal e C sur la roite (AB). 3. Un repère orthonormal ans l espace étant choisi, si a u b ; a v b, alors : c c u. v = aa +bb +cc. age 4/6

5 Les propriétés u prouit scalaire e eux vecteurs e l espace sont les mêmes que celles e eux vecteurs u plan. En particulier : u. v = 0 u v. IV.3 Vecteur normal à un plan, équation cartésienne un plan Définition Un vecteur n est orthogonal à un plan si n est orthogonal à tout vecteur u plan. ropriété Soit a n b un vecteur et A(x A ;y A ;z A ) un point. c Une équation cartésienne u plan passant par A et ayant n comme vecteur normal est : a(x x A )+b(y y A )+c(z z A ) = 0 Réciproquement : ax+by +cz + = 0 est une équation cartésienne un plan ayant pour vecteur normal n(a;b;c). Démonstration : M(x;y;s) AM. n = 0 il suffit e calculer le prouit scalaire. IV.4 lans sécants ropriété our montrer que eux plans sont sécants, onc non parallèles, il suffit e montrer que ces eux plans ont es vecteurs normaux non colinéaires. IV.5 Droite Définition Une roite est l intersection e eux plans. Les cooronnées un point une roite vérifient les équations e eux plans et vérifient onc un système e eux équations. Une roite peut onc être représentée par un système e eux équations cartésiennes e plans age 5/6

6 IV.6 Équation paramétrique un roite ropriété Soit une roite passant par A(x A ;y A,z A ) et e vecteur irecteur u Les cooronnées (x;y;z) e tout point M e sont e la forme : x = x A +ka y = y A +kb. z = z A +kc Réciproque : éviente a b. c Démonstration : on utilise le prouit scalaire. age 6/6