Fonction dérivée et sens de variation

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1 Fonction dérivée et sens de variation I) Etude graphique de fonctions Exercice 1 Le ministère de la santé charge une agence de publicité de faire une campagne de promotion pour un nouveau remède. Une étude prouve que la fréquence f(t) de personnes connaissant le nom de ce remède après t semaines de publicité est donnée, pour t [0; 18], par : 1. a) Calculer f(2). f(t) = 3t 3t + 2 b) En déduire le pourcentage de personnes qui ignorent le nom de ce remède au bout de deux semaines. 2. Comment peut-on interpréter la valeur de l image de 0 par f? 3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront arrondis au centième). t f(t) 4. On note C la représentation graphique de la fonction f sur l intervalle [0; 18]. Tracer la courbe C dans un repère orthogonal. On prendra : 1 cm pour unité en abscisses et 10 cm pour unité en ordonnées. 5. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur [0; 18] 6. Déterminer graphiquement le nombre de semaines de campagne nécessaires pour que 90 % de la population connaisse le nom du remède. On laissera les traits de construction apparents. 7. Déterminer graphiquement combien de semaines sont nécessaires pour passer de 90 % à 95 %? On laissera les traits de construction apparents. Exercice 2 Partie A : Etude d une fonction On considère la fonction f définie sur [0; 10] par : f(t) = 4t + 3 t Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (les valeurs seront arrondis à 10 1 près). t 0 0,5 1 1,5 2 2, f(t) 2. Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormal d unité graphique 2 cm. 3. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur son ensemble de définition. 4. La fonction f admet-elle un minimum? un maximum? Partie B : Exploitation Un laboratoire étudie la durée d efficacité de ce produit. Pour cela, il a relevé la quantité de principe actif présent dans le sang d un malade au cours du temps. On admet que le nombre f(t) représente la quantité de principe actif dans le sang en µg.l 1 au bout d une durée t en heures. Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et ajouter les traits de construction nécessaires. 1

2 1. Quelle est la concentration au bout de 7 heures? 2. Quelle est la concentration maximale? A quelle moment est-elle atteinte? 3. Au bout de combien de temps la concentration est-elle inférieure à 1 µg.l 1? 4. Sur quel intervalle de temps la concentration est-elle supérieure à 3 µg.l On considère que le médicament est efficace si la concentration est supérieure à 0,5 µg.l 1. Quelle est la durée d efficacité du médicament? Exercice 3 L ozone est un polluant qui provient indirectement de la circulation automobile. Des études ont montré que, au cours d une journée, entre 9 h et 21 h, la concentration en ozone au centre d une ville est donnée (en µg.m 3 ) par f(x) = 0, 7x x 86 où x est le temps (en heures), x [9; 21]. 1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (les valeurs seront arrondis à 10 1 près). t f(t) 2. Construire la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan d unité graphique : 1 cm pour une unité en abscisses en commençant les graduations à 9 ; 1 cm pour deux unités en ordonnées en commençant les graduations à Dresser le tableau de variation de la fonction f sur son ensemble de définition. 4. La CEE impose, comme seuil de protection de la végétation, une concentration maximale en ozone de 65µg.l 1. Détermine graphiquement la plage horaire pour laquelle le seuil de protection de la végétation est dépassé. Exprimer le résultat à l aide d un intervalle. Laisser apparents les tracés utiles à la lecture. II) Tangente et nombre dérivé On considère la fonction f définie sur R et dont une courbe représentative C f est donnée ci-dessous. Le point A est le point de la courbe C f d abscisse En vous aidant de l animation sur GeoGebra, tracer la tangente à la courbe C f au point A. 2. Tracer les tangentes à la courbe C f aux points d abscisses 4 et 4,5. 2

3 Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I, C f sa courbe représentative et a un réel de l intervalle I. Si C f admet au point A(a; f(a)) une tangente T non parallèle à l axe des ordonnées, on dit que f est dérivable en a. On appelle alors nombre dérivé de f en a le coefficient directeur de cette tangente. On le note f (a). Exemple : On considère la fonction f définie par la courbe C f ci-dessous. Les tangentes T 1, T 2 et T 3 à la courbe C f aux points d abscisses 5, 0, 5 et 2 sont tracées. 1. Déterminer les coefficients directeurs a 1, a 2 et a 3 des tangentes T 1, T 2 et T En déduire f ( 5), f ( 0, 5) et f (2). Voir la fiche de révision sur le coefficient directeur d une droite Exercice 4 1. Que représente f ( 1)? 2. Déterminer le signe de f (3). 3. Déterminer la valeur de f(5). 4. Déterminer les valeurs de f (1), f (3), f (5) et f (6). 5. Tracer la tangente à la courbe C f au point d abscisse x = 7, 5. Quelle est la valeur de f (7, 5)? III) Fonction dérivée Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f admet un nombre dérivé en tout point de I, on dit que f est dérivable sur l intervalle I. On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction qui à tout réel a de I associe le nombre dérivé de f en a On la note f. 3

4 Fonctions dérivées des fonctions usuelles : Si f(x) =... Alors f (x) =... Ensemble de dérivabilité k (constante) x x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 1 2 x Opérations sur les fonctions dérivables : Soit U et V deux fonctions définies sur I Si f(x) =... Alors f (x) =... Somme U(x) + V (x) Différence U(x) V (x) Produit par un nombre réel k ku(x) Exercice 5 1. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur R : a) f(x) = 3x 2 ; b) g(x) = x 2 + 3x + 2 ; c) h(x) = 5x 2 + 3x + 4 ; d) l(x) = 2x 3 + 7x 2 5x + 3 ; e) m(x) = x 2 4x + 5 ; f) p(x) = 3x x Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur [1; 40] : a) f(x) = 5 x ; b) g(x) = 2x3 + 5x + 3 x ; 4

5 c) h(x) = 3x + 4 x ; d) l(x) = 6x2 + 12x + 3 ; 3x e) m(x) = 2 + x ; f) p(x) = 2 x + 5. IV) Utilisation de la dérivée dans l étude de certains phénomènes On a représenté ci-dessous la fonction f qui modélise l évolution du nombre de bactéries au cours des six premières heures après l administration d un antibiotique. f(t) est exprimé en millions de bactéries par unité de volume ; t est exprimé en heure. La fonction f est définie sur [0; 6]. 1. a) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur [0; 6]. b) A quel instant cet antibiotique ne semble-t-il plus efficace? c) Recopier et compléter le tableau suivant : t f (t) d) Quel lien peut-on faire entre le signe des nombres dérivés et le sens de variation de la fonction f? 2. La fonction f est en fait défini sur [0; 6] par f(t) = 0, 5t 2 3t + 5. a) Calculer f (t). b) Etudier son signe sur [0; 6]? c) Recopier et compléter le tableau suivant : t 0 6 Signedef (t) Variations de f d) Quel lien peut-on faire entre le sens de variation de la fonction f et le signe de sa fonction dérivée f? Théorème 1 (admis) : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Pour tout x de I, f (x) 0 équivaut à f est croissante sur I. Pour tout x de I, f (x) 0 équivaut à f est décroissante sur I. 5

6 Théorème 2 (admis) : Soient f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un réel de l intervallei. Si f admet un extremum relatif en a, alors f (a) = 0. Si f (a) = 0 et si f (x) change de signe en a, alors f admet un extremum relatif en a. Exercice 6 Partie A : Etude d une fonction Soit f la fonction définie sur l intervalle I = [0; 45] par f(t) = 45t 2 t a) Montrer que f (t) = 3t(30 t). b) Donner le tableau de signes de f (t) pour t dans l intervalle I. c) Donner le tableau de variation de f sur l intervalle I. 2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : t f(t) 3. Le plan est muni d un repère orthogonal. Pour le graphique, on prendra : 2 cm pour 10 unités en abscisse et 1 cm pour 2000 unités en ordonnées. a) Tracer la courbe représentative de la fonction f. b) Tracer les tangentes aux points d abscisses t = 0 et t = 30. Partie B : Exploitation A la suite d une épidémie, on a constaté que le nombre de personnes malades t jours après l apparition des premiers cas est donné par : f(t) = 45t 2 t Déterminer le jour où le nombre de malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de malades ce jour là. 2. Déterminer graphiquement la période pendant laquelle le nombre de personnes malades est supérieur ou égal à Laisser apparents les traits de constructions utiles. Exercice 7 Partie A : Lectures graphiques Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un médicament pour injection. Ce laboratoire peut produire entre 0 et 50 litres de ce médicament par mois. Le bénéfice mensuel (en euros) réalisé par ce laboratoire en fonction du volume x (en litres) de médicament produit est donné par la courbe suivante : Par lecture graphique, déterminer : 1. à partir de quel volume mensuel produit, le laboratoire va être bénéficiaire ; 2. pour quel volume produit, le bénéfice mensuel est supérieur ou égal à 6000 euros. 6

7 Partie B : Etude du bénéfice mensuel Ce bénéfice mensuel est modélisé par la fonction B définie pour tout x appartenant à l intervalle [0; 50] par : B(x) = 1 3 x3 + 22x 2 160x a) Calculer, pour tout x de l intervalle [0; 50], B (x) où B désigne la fonction dérivée de B. b) Vérifier que, pour tout x de l intervalle [0; 50], on a : B (x) = (x 4)(40 x). c) Etudier le signe de B (x) pour tout x dans l intervalle [0; 50]. d) En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l intervalle [0; 50]. On donnera les valeurs arrondies à l euro près. 2. En déduire le volume mensuel à produire pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant du bénéfice mensuel maximal arrondi à l euro près? Travail maison - Exercice 8 Travail à rendre le : Suite à une augmentation du nombre de personnes malades dans un village, une organisation a mis en place une campagne de vaccination en janvier Partie A La courbe ci-dessous représente le pourcentage de personnes malades en fonction du temps t, exprimé en mois, écoulé depuis janvier Déterminer graphiquement le pourcentage de malades au début de la campagne de vaccination. 2. Déterminer graphiquement durant combien de mois le pourcentage de personnes malades sera supérieur à 40 % (laisser apparents les traits de construction). 3. Déterminer graphiquement au bout de combien de mois après le début de la campagne de vaccination le pourcentage de malades a été maximal. Quel était alors ce maximum (laisser apparents les traits de construction)? Partie B Pour prévoir l évolution de la maladie dans les mois à venir, on modélise le pourcentage de personnes malades en fonction du temps t, exprimé en mois, écoulé depuis janvier 2011, par la fonction p, définie et dérivable sur l intervalle [0; 25] par : p(t) = 0, 2t 2 + 4t Calculer p(0). 2. Soit p la fonction dérivée de la fonction p sur l intervalle [0; 25]. Calculer p (t). 3. Déterminer le signe de p (t) en fonction de t sur l intervalle [0; 25]. En déduire le tableau de variations de la fonction p sur l intervalle [0; 25]. 7

8 4. Reproduire te compléter le tableau suivant : t p(t) 5. Compléter le graphique de la partie A (à rendre) en traçant la courbe représentative de la fonction p sur l intervalle [17; 25]. 6. Déterminer l année et le mois durant lequel la maladie aura disparu du village. Voir la fiche de révision sur les tableaux de signes V) Position de la courbe par rapport à une tangente Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On distingue trois cas de position relative de C par rapport à ses tangentes : La courbe est au-dessus de ses tangentes. La courbe est en dessous de ces tangentes. La courbe traverse une de ses tangentes. Cas d une fonction croissante Si la courbe est au-dessus de ses tangentes, cela signifie qu elle croît de plus en plus vite. Si la courbe est en dessous de ses tangentes, cela signifie qu elle croît de moins en moins vite. Si la courbe traverse sa tangente au point d abscisse a, il faut regarder les positions relatives de la courbe par rapport à ses tangentes avant et après a. Cas d une fonction décroissante Si la courbe est au-dessus de ses tangentes, cela signifie qu elle décroît de moins en moins vite. Si la courbe est en dessous de ses tangentes, cela signifie qu elle décroît de plus en plus vite. Si la courbe traverse sa tangente au point d abscisse a, il faut regarder les positions relatives de la courbe par rapport à ses tangentes avant et après a. Exercice 9 On étudie la quantité de substance active d un médicament présente dans le sang d un patient pendant les sept premières heures après son absorption. Cette quantité (exprimée en cm 3 ) est donnée en fonction du temps (exprimé en heures) par la courbe ci-après. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. 8

9 1. La quantité de substance active est maximale au bout de... a) 3 heures b) 5 heures c) 6 heures 2. La quantité de substance active est supérieure à 4 cm 3 pendant environ... a) 1 heure 30 minutes b) 4 heures c) 5 heures et 30 minutes 3. Au bout de 2 heures, la quantité de substance active... a) augmente b) augmente c) augmente à vitesse constante de moins en moins vite de plus en plus vite 4. La vitesse de diminution de la quantité de substance active est maximale au bout de... Exercice 10 a) 3 heures b) 5 heures c) 6 heures Soit la fonction f définie sur l intervalle [1; 12] par f(x) = x. Cette fonction modélise l évolution du nombre de clients d un commerce pour une année. 1. Pour tout nombre réel x de l intervalle [1; 12], calculer f (x). Vérifier que f (x) est strictement positif. 2. Dresser le tableau de variation de f sur [1; 12]. 3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : x f(x) 4. Dans un repère orthogonal du plan d unités graphiques 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour 100 unités en ordonnées, tracer la courbe représentative de f. 5. a) Calculer f (1), f (2), f (5) et f (12). b) Tracer les tangentes à la courbe représentative de f aux points d abscisses 1, 2, 5 et 12. c) Donner la position de la courbe représentative de f par rapport à ses tangentes. d) Sachant que x représente le numéro du mois et f(x) le nombre de clients de ce mois, décrire l évolution du nombre de clients. VI) Algorithmique Exercice 11 VARIABLES x est un nombre entier y est un nombre réel DEBUT ALGORITHME Pour x allant de 1 à 500 y prend la valeur x x 2 Afficher y Fin Pour FIN ALGORITHME On considère l algorithme ci-contre. Que fait cet algorithme? Exercice 12 Ecrire un algorithme permettant de réaliser le tableau de valeurs de la fonction f définie sur [0; 12] par f(x) = 2x 2 + 3x 5 avec un pas de 1. 9