ELECTROSTATIQUE. div E = Q EdS= rot E = 0. div B = 0 rot B = μ

Transcription

1 LCTROSTATIQU Le cas statique est celui où toutes les sources sont stationnaires. Toutes les charges sont fixes dans l'espace, ou bien si elles bougent, elles forment des courants continus, de sorte que ρ et J sont constants dans le temps. Électrostatique ρ div Q ds S rot. dl c Magnétostatique div B rot B μ J LC-H- / CHAP T

2 Le champ électrique produit par une charge ponctuelle isolée q est : q 4 π R R et pour une charge répartie en volume : 4 π τ ρ R R dτ La force sur une charge, en électrostatique, est F q et donc le champ électrique est une force par unité de charge.. dl c La relation exprime que la circulation de le long de tout parcours fermé est nulle. Par conséquent la circulation de entre deux points a et b (cela représente un travail par unité de charge) ne dépend pas du trajet suivi mais seulement des extrémités. On peut donc écrire et b V ( b) V ( a) dl a grad V La fonction scalaire V est le potentiel électrique. LC-H- / CHAP T

3 Le potentiel d'une charge ponctuelle est V et pour une charge répartie en volume 4 π q R V ρ d τ 4 π (A) τ R Aussi bien le champ que le potentiel respectent le principe de superposition quation du potentiel ρ div ( grad V ) ρ Δ V équation de Poisson V V V ρ Δ V + + x y z n un point où il n'y a pas de charge, ρ, et l'équation de Poisson se réduit à l'équation de Laplace Δ V L'expression (A) pour le potentiel est donc la solution de l'équation de Poisson dans le cas général. Résoudre un problème d'électrostatique consiste à trouver le champ électrique pour une certaine configuration ) Si les positions de toutes les charges sont connues ) Dans d'autres problèmes, la position des charges n'est pas connue a priori. Dans ce cas il faut résoudre l'équation de Poisson pour trouver le potentiel en tout point. Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles qui doit être résolue avec des conditions aux limites adéquates qui imposent la valeur du potentiel sur certaines surfaces. On peut démontrer que la solution est alors unique. LC-H- / CHAP T3

4 Variation du champ électrique au travers d'une surface chargée Q σ Sb. ds σ Sb ( ).n Sb σ n n. dl c b ( ). dl a t t n est le vecteur unité dirigé de vers. σ n LC-H- / CHAP T4

5 V V dl V b. a V σ V V σ n n V grad V. n n La gradient de V est cependant discontinu : ( grad V ) ( grad V ) qui est la dérivée normale du potentiel (c'est-à-dire le taux de variation dans la direction perpendiculaire à la surface). n Remarque Si l' espace est un conducteur parfait, σ n V n σ LC-H- / CHAP T5

6 Énergie électrostatique Travail à fournir pour déplacer une charge b f. dl a f q b q. dl q V( b) V( a) a [ ] Si on fixe le zéro de potentiel à l'infini charge test depuis l'infini jusqu'au point b sera : ( V ( ) ), le travail nécessaire pour amener la qv( b) Ce travail correspond à un accroissement de l'énergie potentielle du système, c'est-à-dire de l'énergie que l'on pourra récupérer si on laisse toutes les charges retourner à l'infini. LC-H- / CHAP T6

7 nergie électrostatique d'un ensemble de charges q 3 3 q 4π r q q q + 4π r r q π r4 r4 r34 q q q q q q q q q q q q q q q π r r3 r4 r3 r4 r De manière générale pour n charges : 4 n π i j ij j > i n qq i r j LC-H- / CHAP T7

8 symétriser cette relation 8 n π i j ij j i n 4 q n n j qi i j π rij j i qq i r j n i q V( R) i i V( R ) où est le potentiel produit au point (la position de ) par toutes les autres charges. i R i q i LC-H- / CHAP T8

9 nergie électrostatique d'une distribution continue de charges V d ρ τ τ ρ div V div dτ τ div ( V ) V div +. grad V. grad V d τ + div ( V ) d τ τ théorème d'ostrogradsky pour la ème intégrale, et en remplaçant dans la ère : d + V. ds τ we τ S d τ tout l'espace τ grad V LC-H- / CHAP T9

10 Condensateurs A l'équilibre électrostatique : Le champ électrique sera nul à l'intérieur de chaque conducteur; Toute la charge se répartira à la surface des conducteurs sous forme d'une densité superficielle σ; Tous les points à l'intérieur et sur la surface d'un conducteur seront au même potentiel; Le champ électrique à l'extérieur, et au voisinage immédiat du conducteur, est normal à la surface du conducteur : σ n où σ est la densité superficielle locale de charge. V V V V dl ( est le potentiel du conducteur chargé positivement) Q CV LC-H- / CHAP T

11 Condensateur plan σ Q A d V d Q A C d (F) A LC-H- / CHAP T

12 Énergie emmagasinée dans un condensateur L'énergie emmagasinée dans un condensateur est le travail accompli, par exemple par une pile, pour le charger. Il faut donc transférer des charges d'une armature à l'autre (la charge circulera dans les fils et non dans l'espace entre les armatures). Il s'agit donc de l'énergie nécessaire pour effectuer la séparation des charges. ) Le travail nécessaire pour déplacer une charge q d'un point A à un point B est : ( V ) q V B A Supposons qu'à un moment du processus la charge sur chaque armature soit q, et donc la tension soit q/c. Le travail nécessaire alors pour transférer une charge élémentaire dq est : d q C dq Le travail total pour faire passer toute la charge Q est donc Q q dq C Q C Ce travail est emmagasiné sous forme d'énergie potentielle, et on peut écrire : CV LC-H- / CHAP T

13 ) σv ds + σ V ds S S S S V V où et sont les surfaces des deux conducteurs. Comme les potentiels et sont constants sur les surfaces : V Q+ V Q QV CV [ ( )] 3) (pour le condensateur plan) we A dτ Ad V CV d τ LC-H- / CHAP T3

14 Forces électrostatiques Condensateur plan à charge constante Force entre les armatures d'un condensateur plan. Si nous imaginons que l'espacement entre les armatures est augmenté d'une petite quantité Δz, le travail mécanique accompli par l'extérieur pour déplacer les armatures est F m Δ Fm Δd où est la force mécanique. Ce travail doit être égal à la variation d'énergie du condensateur. L'énergie du condensateur est : Q C Si le condensateur est déconnecté de la pile qui a servi à le charger, la charge Q reste constante : C Δ Q Δ Fm Δ d Q Δ C LC-H- / CHAP T4

15 Pour le condensateur plan : d C A Δd Δ C A et la force mécanique entre les armatures est F m Q A Il existe donc une force électrique d'attraction entre les armatures qui tend à augmenter la valeur de la capacité. La mesure de la force F m permettrait de mesurer la charge Q, c'est le principe d'un électromètre. LC-H- / CHAP T5

16 Condensateur plan à potentiel constant Si le condensateur reste connecté à la pile pendant le déplacement virtuel, la différence de potentiel V restera constante, et c'est la charge qui va varier. Il faut donc tenir compte du travail fourni par la source pour garder le potentiel constant (nouvelle séparation des charges). Comme on a toujours Q CV, la variation de charge est Δ Q V ΔC et le travail fourni par la source est V Δ Q V ΔC La variation d'énergie potentielle est donnée par Le bilan donne : CV Δ V ΔC travail de la source + travail mécanique variation d'énergie potentielle V Δ C + Fm Δ z V ΔC A Fm Δ z V ΔC Δ C Δd d A Fm V d et donc ce qui donne bien le même résultat. On constate que la force est proportionnelle au carré de la différence de potentiel (en alternatif ce sera le carré de la valeur efficace). n mesurant cette force en aura donc un voltmètre (de type quadratique): c'est le principe du voltmètre électrostatique. LC-H- / CHAP T6

17 Force sur une charge de surface Le champ + autres local autres ne subit pas de discontinuité en P. La discontinuité est due seulement aux charges de la plage locale qui donnent un σ champ de part et d'autre de la surface (et s'éloignant de la surface). ext int σ autres + σ autres n n autres Par définition, la force sur la plage sera due exclusivement à (car en statique, une charge ne peut pas exercer de force sur elle-même). La force par unité de surface sera : f σ autres + autres ext int Surface chargée LC-H- / CHAP T7

18 LC-H- / CHAP T8 n particulier pour un conducteur, le champ est nul à l'intérieur et vaut à l'extérieur : σ int ext autres n n σ σ (dans le cas d'un conducteur, toutes les autres charges du conducteur "conspirent" pour produire un champ additionnel au point P égal en intensité au champ local) La force est donc n f σ

19 Moment dipolaire p : p qd (C.m) Le dipôle électrique C'est un vecteur orienté de la charge négative vers la charge positive. Le potentiel d'un dipôle est donné par : p.r V ( R) 4 π R où R représente le vecteur joignant le dipôle au point considéré. Le champ électrique d'un dipôle orienté suivant l'axe z est : LC-H- / CHAP Champ d'un dipôle T9

20 Couple sur un dipôle où r τ p p + F θ d τ r F -F est le vecteur position du point d'application de la force. Pour le dipôle, dans un champ uniforme : ( r F ) + ( r F ) F+ F q ( r r ) q d q p τ + + τ + _ θ nergie potentielle d'un dipôle qv+ qv V+ V. d p. p cosθ LC-H- / CHAP T

21 Force sur un dipôle Si le champ est non uniforme, le dipôle sera soumis, en plus du couple, à une force résultante non nulle. cas particulier : le moment champ p est parallèle au Fx Fx+ + Fx q( x+ x ) dx x+ x d dx F x d p dx x d Si x est positif, la force est dirigée dans le sens de x positif, c'est-à-dire vers la région où dx le champ est le plus grand. Dans le cas général, on a : F F+ + F q( + ) q Δ Δ d. grad x LC-H- / CHAP x x x x Fx p. grad x px + py + pz x y z F ( p. grad) T