ÉLECTROCINÉTIQUE. Exercices

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1 MP ours d physiqu ÉETOINÉTIQUE Exrcics. Princip d uri Un ds princips ls plus généraux d la physiqu, connu sous l appllation d «princip d uri» affirm qu un symétri ds causs impliqu un symétri au moins égal ds ffts. ans l cadr d l approximation ds régims quasi stationnairs (QS), nous pouvons énoncr la règl suivant : si un résau élctriqu présnt un symétri topologiqu, alors ls composants symétriqus sont parcourus par ds courants idntiqus t sont soumis aux mêms tnsions. s nœuds symétriqus sont à ds potntils élctriqus idntiqus.. Prmir théorèm : on n chang pas la situation élctrocinétiqu d un résau n court-circuitant ds nœuds symétriqus, c st-à-dir n ls rliant par un fil non résistif pour qu ils n formnt plus qu un sul nœud. éciproqumnt, on n chang pas la situation élctrocinétiqu d un résau n défaisant un connxion situé sur un plan d symétri. pplication : détrminr ls courants i t i dans ls résistancs t pour l circuit rprésnté par la figur. i i i i i i i figur figur figur 3. uxièm théorèm : nous dirons qu un résau présnt un plan d antisymétri lorsqu c plan st un plan d symétri ds connxions mais qu ls élémnts élctromoturs associés dans ctt symétri ont ds signs opposés. s courants dans ds branchs antisymétriqus sont opposés t l courant dans un branch appartnant au plan d antisymétri st nul. pplication : détrminr ls courants i t i dans ls résistancs t pour l circuit rprésnté par la figur. 3. Théorèm d suprposition : orsqu il xist un dépndanc linéair ntr ls causs t ls ffts, l fft résultant d plusiurs causs st égal à la somm ds ffts partils corrspondant à chacun ds causs. ans l cas d l élctrocinétiqu, ls «causs» sont ls forcs élctromotrics t ls courants élctromoturs. pplication : détrminr ls courants i t i dans ls résistancs t pour l circuit rprésnté par la figur 3 par application du théorèm d suprposition d un part t par application ds lois d Kirchhoff d autr part. Jan Hir, 3 sptmbr 5 Pag sur 6

2 ÉETOINÉTIQUE Exrcics. égims transitoirs quasi stationnairs On réalis l montag élctriqu suivant : ug u m T t génératur «.F.» ug u u u m Un génératur bass fréqunc délivrant un signal triangulair «n moins cosinus» alimnt un cllul pass-haut. On obsrv à l oscilloscop l signal d sorti, à savoir la tnsion aux borns d la résistanc. a résistanc st très grand par rapport à la résistanc intrn du génératur si bin qu clui-ci put êtr assimilé à un génératur idéal d tnsion. - Écrir ls équations différntills auxqulls satisfait la tnsion u ( ) T T dans chacun ds intrvalls d tmps t. - étrminr ls solutions générals d cs équations. t aux borns du condnsatur 3- En écrivant ls conditions d continuité adéquats, détrminr ls fonctions u ( ) intrvall d tmps. - En déduir l xprssion d la tnsion u ( ) possibl? t dans chaqu t. tt fonction st-ll continu? ommnt st-c 5- À l aid d un calcultt graphiqu, rprésntr ls fonctions u t u ( ) 3. égim sinusoïdal prmannt t sur un périod. À l aid ds élémnts t, on réalis l circuit d la figur ci-dssous t l on s intérss particulièrmnt à la tnsion u ( ω) E cos( ω t ϕ( ω )) indiqué sur l schéma. E cos ω t u - étrminr l amplitud complx d la tnsion u : - onnr l xprssion littéral n fonction d t, d ( ω ) t ( ) ω d la pulsation, l factur d amplification ( ) 3 - Pour un valur ϕ ω. - étrminr ls valurs numériqus ds pulsations ω t ω pour lsqulls déphasags ϕ ϕ( ω ) t ( ) ϕ ϕ ω. ω pass par un maximum ( ω ) t calculr ls JH 8// Pag sur 6

3 ÉETOINÉTIQUE Exrcics. Établissmnt d un régim continu Toujours à l aid ds élémnts t, on réalis l montag d la figur ci-dssous. On frm l intrruptur à l instant t, l condnsatur d gauch étant chargé sous un tnsion initial U t l condnsatur d droit étant déchargé. U u - À partir d considérations physiqus, précisr ls valurs d la tnsion u lorsqu t t lorsqu t. - Établir l équation différntill du scond ordr dont la tnsion u st solution. 3 - émontrr qu, dans l cas l plus général, qulls qu soint ls valurs d t, la fonction u st un combinaison linéair d dux xponntills décroissants. - étrminr l xprssion littéral d u n fonction d U t d la constant d tmps τ. 5 - Pour ls valurs kω t, µf, calculr l tmps au bout duqul u pass par un maximum t calculr c maximum. 6 - Pour cs mêms valurs d t, rprésntr l graph d la fonction u. 5. Pont d Whatston n régim sinusoïdal Un pont d Whatston st alimnté par un génératur bass fréqunc produisant un tnsion sinusoïdal E cos ω t. Z Z galvanomètr altrnatif Z 3 Z. étrminr ls conditions d équilibr du pont n régim sinusoïdal JH 8// Pag 3 sur 6

4 ÉETOINÉTIQUE Exrcics. pont d Maxwll st réalisé d la façon suivant : ls impédancs Z t Z sont purmnt résistivs. On ls notra t. impédanc Z st un bobin réll d inductanc t d résistanc t nfin l impédanc avc un résistanc. Qull put êtr l utilité d un tl pont? Z st un constitué d un condnsatur d capacité n parallèl 3 3. onsidérons l pont suivant. s impédancs Z t Z sont purmnt résistivs : Z Z. s impédancs Z t Z 3 sont purmnt capacitivs : Z Z3 jamais êtr équilibré.. Montrr qu un tl pont n put jω. Étud d un pont très particulir. s impédancs Z t Z sont purmnt inductivs : Z Z jω.. Montrr qu un tl pont n put jω jamais êtr équilibré. étrminr l xprssion du courant dans l galvanomètr à la résonanc, pour ω ω. s impédancs Z t Z 3 sont purmnt capacitivs : Z Z3 6. mplificatur opérationnl, montag suivur Un amplificatur opérationnl sra considéré comm un composant linéair conform au schéma équivalnt ci-contr. On notra, n particulir, qu ls courants ntrants sont toujours considérés comm nuls. E ε ε r S.O. st inclus dans un montag suivur alimnté par un tnsion sinusoïdal d amplitud complx u. s conditions d fonctionnmnt n régim linéair sont supposés rmplis. E u us. On prnd infini. Qull st alors la rlation ntr la tnsion d sorti u s complx t la tnsion d ntré complx u? 6. On prnd, valur fini très élvé ( à ).Qull st la nouvll rlation ntr la tnsion d sorti complx u s t la tnsion d ntré complx u? onclusion? 3. On prnd r non nul, d l ordr d grandur d qulqus ohms t, valur fini. suivur st alimnté par un génératur d tnsion sinusoïdal d f..m. fficac E g t d résistant intrn g. a sorti st conncté sur un résistanc u. Qulls sont alors ls résistancs d ntré t d sorti s du quadripôl? Qul st l intérêt principal du montag suivur?. On prnd r t complx : ( j ) ωτ. Qull typ d filtrag fréquntil st donc réalisé par l.o.? Qu rprésnt la grandur ω τ? JH 8// Pag sur 6

5 ÉETOINÉTIQUE Exrcics 5. Pour la plupart ds.o., ω a un valur très bass (qulqus dizains d radians par scond). étrminr la fonction d transfrt du suivur H ( jω ) us u l xprssion d son produit gain band. onclusion?. En déduir sa band passant t 6. On prnd r. orsqu I.O. fonctionn n mod linéair non sinusoïdal, qull st l équation ε t? montag différntill liant la tnsion d sorti ( ) s u t t la tnsion différntill d ntré ( ) suivur st-il stabl? a condition d stabilité st-ll un condition suffisant d linéarité? 7. Un xpérimntatur étourdi invrs ls dux ntrés d l.o. t réalis l montag ci-contr. émontrr qu l.o. n put pas fonctionnr d façon stabl. Qull obsrvation fra-t-on sur la sorti du montag? u us 7. égims transitoirs couplés Nous nous proposons d étudir un régim transitoir corrspondant à dux circuits séri idntiqus couplés par mutull induction. s condnsaturs étant initialmnt déchargés, on frm l intrruptur à l instant t. cofficint d couplag k st un nombr rél compris ntr t. t M k i i Nous pouvons rndr compt ds ffts d induction mutull n trm d sourcs d tnsion commandés n tnsion t établir l schéma équivalnt suivant : t u ( ) k u k u t u u u i i. Établir l systèm d équations différntills auxqulls obéissnt ls tnsions u t ( ) u t. JH 8// Pag 5 sur 6

6 ÉETOINÉTIQUE Exrcics. Étant donné la symétri du problèm, l changmnt d fonctions inconnus v u u v u u ls tnsions v t v. t s impos. Établir l systèm d équations différntills auxqulls obéissnt 3. étrminr ls conditions initials pour ls fonctions v, v. étrminr ls xprssions ds tnsions u t u ( ) ( ). On posra ω ( ) M t ω 5. Tracr l allur ds fonctions u t u ( ) c st-à-dir lorsqu M. On posra ω. ( ) M t lurs dérivés prmièrs. t dans l cas idéal d un amortissmnt nul. t dans l cas particulir d un couplag inductif faibl, 6. Qu put-on dir d l énrgi élctromagnétiqu dans un tll évolution? ommnt évolu l phénomèn dans l cas plus réalist où ls résistancs n sont pas nulls? JH 8// Pag 6 sur 6