1Bac SM I Etude des fonctions A.KARMIM ETUDE DES FONCTIONS

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1 ETUDE DES FONCTIONS I) CONCAVITE ; CONVEXITE ; POINTS D INFLEXION 1) Activités : Activité 1 : Soit la fonction définie sur R par : = 2 + ; Soit A(a, f(a)) un point de sa courbe représentative. 1. Déterminer l équation de la tangente (T A ) en A. (En fonction de a) 2. Soit P et M deu points qui ont la même abscisse et qui appartiennent respectivement à C f et (T A ), Montrer que le signe de PM est positif quel que soit la valeur de. 3. Déterminer la dérivée seconde de f. Activité 2 : Soit la fonction g définie sur R par : g() = Déterminer les dérivées première et seconde de la fonction g. 2. Dresser le tableau de signe de g (). 3. La courbe représentative de g est représentée ci-contre, étudier graphiquement La position relative de la courbe c g par rapport à ses tangentes. 4. Que peut-on conclure? Activité 3 : Soit la fonction h définie sur R par : h() = Déterminer le domaine de définition de h et étudier sa parité. 2. Etudier les ites en + et 3. Déterminer la fonction dérivée de la fonction h et dresser le T.V 4. Déterminer l équation de la tangente T en O(0,0) 5. Etudier les positions relatives de T et la courbe C f 6. Tracer la courbe C f 2) Définition et propriétés. 2.1 Définitions : Soit f une fonction dont la courbe représentative est C f. On dit que la courbe est convee si elle se trouve au-dessus de toutes ses tangentes On dit que la courbe est concave si elle se trouve au-dessous de toutes ses tangentes. Un point d'infleion est un point où s'opère un changement de concavité de la courbe C f Page 1 sur 9

2 Graphe d une fonction convee Graphe d une fonction concave Point d infleion en A Remarque : Si f est dérivable en a et C f traverse sa tangente en A alors le point A est un point d infleion 2.2 Dérivée seconde et concavité. Soit f une fonction deu fois dérivable sur un intervalle I et C f sa courbe représentative. Soient a un élément de I, A(a, f(a)) et (T A ) la tangente en A, Soient P et M deu points qui ont le même abscisse et qui appartiennent respectivement à C f et (T A ), On a : y P = f (a)( a) + f(a). Soit : φ() = PM = y P = f (a)( a) f(a) φ est dérivable sur I ( I)(φ () = f () f (a)) (car (f(a)) = 0 ; f(a) est une constante) φ est deu fois dérivable sur I ( I)(φ () = f ()) Si f est positive sur I, il en est de même pour φ et on aboutit au tableau suivant : a φ () + φ () 0 Signe de φ 0 + On voit bien que si f est deu fois dérivable et que f 0 sur I alors φ() = PM = y p est positif ce qui signifie que C f est au-dessus de sa tangente en A(a, f(a)) et ceci pour tout a dans I d où : C f est convee sur I. De même si on suppose que f est négative sur I on conclut que C f est φ() 0 concave sur I. Page 2 sur 9

3 Théorème : Soit f une fonction deu fois dérivable sur un intervallei. Si f est positive sur I alors C f est convee sur I. Si f est négative sur I alors C f est concave sur I. Si f s annule en a en changeant de signe alors C f admet un point d infleion en A(a, f(a)) Remarque : Les conditions du théorème précèdent sont suffisantes ; on peut avoir une courbe convee, concave ou un point d infleion sans l eistence même de la dérivée seconde. Eercice : ², < 0 = ², 0 1. Montrer que f est dérivable en Déterminer la fonction dérivée de la fonction f sur R. 3. Etudier la dérivabilité de f en 0 ; f est-elle deu fois dérivable en Tracer la courbe C f et remarquer qu elle admet un point d infleion en O(0,0). II) BRANCHES INFINIES. 1) Asymptote verticale (rappelle) Si la fonction f vérifie l une des ites suivantes : = + ; = ; = ou = + a + a a + a Alors, on dit que la droite (Δ): = a est une asymptote verticale. Interprétations géométriques : = + a + 2) Asymptote horizontale. = a = + a Si la fonction f vérifie l une des ites suivantes : = l ou = l Alors, on dit que la droite (Δ): y = l est une asymptote horizontale. Page 3 sur 9

4 Interprétation géométrique : = l Remarque : La position de la courbe C f par rapport à son asymptote horizontale se détermine par le signe de l : Si l 0 alors C f est au-dessus de (Δ): y = l Si l 0 alors C f est au-dessous de (Δ): y = l Eercice : Soit f la fonction définie par : = 2² Déterminer l ensemble de définition de f. 2. Déterminer les ites de f au bornes de D f. 3. Interpréter géométriquement les résultats obtenues. 3) Asymptote oblique. Activité : Soit g la fonction définie par : g() = Déterminer l ensemble de définition D g. 2. Déterminer les ites au bornes de D g 3. Effectuer la division de P() = 2 2 sur ( 1) puis en déduire que ( D g ) (g() = Déterminer g() (2 + 1) On dit que la droite (Δ): y = est une asymptote oblique à la courbe C f au voisinage de + Soit f une fonction définie au voisinage de +, on dit que la droite (Δ): y = a + b où a 0 est une asymptote oblique à la courbe C f au voisinage de + si : (a + b) = 0 1 ) Eemple : La courbe de la fonction : g() = 22 1 a pour asymptote oblique au voisinage de +, la droite (Δ): y = Remarque : Si la courbe C f admet la droite (Δ): y = a + b comme Page 4 sur 9

5 asymptote oblique alors la position de la courbe C f se déduit par le signe de PM = (a + b). Si PM = (a + b) > 0 alors C f est au-dessus de (Δ) Si PM = (a + b) < 0 alors C f est au-dessous de (Δ). Si PM = (a + b) = 0 alors C f est coupe (Δ). Soit f une fonction définie au voisinage de +. La courbe C f admet la droite (Δ): y = a + b (a 0 ) comme asymptote oblique au voisinage de + si et seulement s il eiste une fonction h tel que : Preuve : Il suffit de poser : h() = (a + b). = a + b + h() h() = 0 Eercice : En utilisant la division euclidienne montrer que ( R /1}) ( En déduire que la fonction = = ) admet une asymptote oblique au voisinage de + et au voisinage de Soit f une fonction définie au voisinage de +. La droite (Δ): y = a + b (a 0 ) est une asymptote oblique au voisinage de + si et seulement si : Preuve : = a (a 0) a = b D après la propriété précédente : On peut écrire = a + b + h() où h() = 0 Donc : = a + b + h() et donc = a (car : (b + h() ) = 0 ) D autre part : a = b + h() où h() = 0 donc a = b 4) Branches paraboliques. 4.1) Vers l ae (Oy) Soit la fonction définie par : = ² On a : D f = R ; ² = + et = ² = + On dit que la courbe C f admet une branche parabolique vers l ae (Oy) au voisinage de + Soit f une fonction définie au voisinage de + ; on dit que la courbe C f admet une branche parabolique vers l ae (Oy) au voisinage de + si = ±. Page 5 sur 9

6 Interprétations géométriques : = + = = + = + = = + = = 4.2) Vers l ae (O) Soit la fonction définie par : = On a : D f = R + ; = + et = = 0 On dit que la courbe C f admet une branche parabolique vers l ae (O) au voisinage de + Soit f une fonction définie au voisinage de + ; on dit que la courbe C f admet une branche parabolique vers l ae (O) au voisinage de + si = ± Interprétations géométriques. = 0. = = 0 = + = 0 = = 0 = = 0 Page 6 sur 9

7 4.3) Vers l ae (Δ): y = a Activité : Soit f la fonction définie sur R + par : = + On a : = + Mais = = + = + = = 1 On dit que la courbe de la fonction admet une branche parabolique vers la droite (Δ): y =. Soit f une fonction définie au voisinage de + ; si = ±, = a (a 0) et a = ± alors on dit que : la courbe de la fonction admet une branche parabolique vers la droite (Δ): y = a. = + a = + = + a = = a = + = a = III) DEMI-TANGENTE VERTICALE Introduction : Soit f la fonction définie sur R + par : ( R + )( = ) 0 On a : = 1 = + ; la fonction f n est pas dérivable à droite de 0. Soient 0 et M(, ) un point de la courbe C f la droite (OM) à pour coefficient directeur m = donc elle a pour vecteur directeur u ( 1 ) = ( 1 1 ) le vecteur v ( ) est aussi 1 vecteur directeur de la droite (OM) si on fait tendre vers 0 (à droite) La droite (OM) "tend" pour une position ite vers une droite (T) de vecteur directeur j ( 0 1 ) donc sera parallèle à l ae (Oy). Page 7 sur 9

8 Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a, a + r[ Si f est continue à droite de a et a + à droite de a. f(a) a Eercice : Soit f la fonction définie sur R par : = E() 1. Tracer la courbe de la fonction f sur [0,2[. 2. Etudier la ite 1 3. Que remarquer vous?. Interprétation géométriques f(1) 1 = ± alors la courbe C f admet une demi-tangente verticale f(a) f(a) f(a) f(a) = + = = = + a + a a a a + a a a IV) LES ELEMENTS DE SYMETRIE D UNE COURBE. 1) Ae de symétrie : Activité : Soit la fonction f: R R Déterminer D f ensemble de définition de la fonction f. 2. Montrer que ( D f )(2 D f ) 3. Montrer que ( D f )(f(2 ) = ) Soit f une fonction numérique dont l ensemble de définition est D f. ( D f )(2a D f ) La droite (Δ): = a est un ae de symétrie de la courbe C f si et seulement si : ( D f )(f(2a ) = ) Preuve : Soit un élément de D f et A(, 0), si A (, 0) est le symétrique de A par rapport à (Δ) = a alors + 2 l intervalle de bornes et ) d où : = 2a et puisque (Δ) (AA ) alors = f( ) ce que signifie : f(2a ) = = a (a est le centre de Page 8 sur 9

9 2) Centre de symétrie. Soit f une fonction numérique dont l ensemble de définition est D f. ( D f )(2a D f ) Le point Ω(a, b) est un centre de symétrie de la courbe C f si et seulement si : ( D f )(f(2a ) = 2b ) Preuve : Ω(a, b) étant centre de symétrie de la courbe C f, si M(, ) est un point de C f alors sont symétrique M par rapport à Ω est un point de C f. soit M (, f ()) on a : + 2 = a et +f( ) 2 = b car a est le centre de l intervalles de bornes et et b est le centre de l intervalles de bornes et f( ) Par suite : = 2a et f( ) = 2b et finalement : f(2a ) = 2b Eercice : Soit f la fonction définie sur R par : = a 3 + b 2 + c + d Montrer que le point d infleion de C f est son centre de symétrie. (c est valable uniquement pour ces fonctions) Page 9 sur 9