Physique des ondes. Module 1,3 SUPERPOSITIONS DE MHS

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1 Physique des ondes Module 1, SUPERPOSITIONS DE MHS

2 Condiions idéales d un MHS - ω = ce - mv. Unidirecionnel - E (énergie oal) = ce Condiions réelles d une vibraion - mv. Mulidirecionnel - ω variable - E (énergie oal) variable (Gain ou (e) pere d énergie de l exérieur)

3 Une vibraion réelle peu êre représenée par une superposiion de MHS. x 1 () = A 1 cos (ω 1 +φ 1 ) x () = A cos (ω +φ ) x () = A cos (ω +φ ) x n () = A n cos (ω n +φ n ) Objecif: Trouver x R () = Σ x i () i = n

4 Les cas possibles: 1- MHS de même fréquence - Même direcion - De direcion perpendiculaire - De direcion quelconque x R () = Σ x i () - MHS de fréquences différene Séries de Fourrier

5 Nombres complexes z = a + i b b Im A φ a z z* = a - i b Complexe conjugué Re z = A ( cos φ + i sin φ ) a b = = Où Acosφ Asinφ A = a + b φ = Séries de Taylor an 1 b a i = 1 z = A e iφ

6 Opéraion sur les nombres complexes Addiion Muliplicaion Division

7 Addiion de nombres complexes: Soi: z 1 = a 1 + i b 1 e z = a + i b z = z 1 + z = (a 1 + a ) + i (b 1 + b ) z = a + i b Soi: z 1 = A 1 e iφ 1 e z = A e iφ z = z 1 + z

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9 Muliplicaion de nombres complexes: Soi: z 1 = a 1 + i b 1 e z = a + i b z = z 1 z = (a 1 a b 1 b ) + i (a 1 b + a b 1 ) Soi: z 1 = A 1 e iφ 1 e z = A e iφ z = z 1 z = A 1 e iφ 1 A e iφ z = A 1 A e i(φ 1+ φ ) z = A e iφ

10 Division de nombres complexes: z = z z 1 Soi: z 1 = a 1 + i b 1 e z = a + i b z = a a + b b + i b a a b ( ) ( ) a + b Soi: z 1 = A 1 e iφ 1 e z = A e iφ z = z z z 1 = = A1 e A e A A 1 e iφ 1 iφ i( φ φ ) 1

11 Le phaseur Soi le MHS x() = A cos (ω+φ) Soi le phaseur X() de x() de la forme z = a + i b Alors: X() = A cos (ω + φ) + i A sin (ω + φ) = A e Où x() = Re [ X() ] Objecif: Trouver x R () = Σ x j () Où x R () = Re [ Σ X R () ] i (ω + φ)

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14 Superposiion de MHS ( Même fréquence e même direcion) Soi plusieurs MHS x 1 () = A 1 cos (ω+φ 1 ) x () = A cos (ω+φ ) x () = A cos (ω+φ ) x n () = A n cos (ω+φ n ) Objecif: x R () = Σ x i () i = n ( ) A = a + b R R R φ = an R 1 b a R R a b = n cos ( φ ) R i i i= 1 = n A A sin ( φ ) R i i i= 1 ( ) = cos( + φ ) x A ω R R R

15 Superposiion de MHS ( Même fréquence ) ( mêmes direcions ) Données: ( Soluion quelconque pour dix MHS ) fréquence: ω 4 Ampliudes: A ( ) Phases ( muliple de π ) : P ar i A. 0, i cos P. 0, i π br i i 0.. A. 0, i sin P. 0, i π AR ar br φa aan br ar φ if( ( ar< 0), φa π, φa) φ if( ( ar> 0). ( br< 0), π φa, φ) x( ) AR. cos( ω. φ) ar = 4.4 br = 0.4 AR = 4.57 φ =. x( )

16 Superposiion de MHS ( Même fréquence ) ( mêmes direcions ) Données: ( Soluion quelconque pour dix MHS ) fréquence: ω Ampliudes: A ( ) Phases ( muliple de π ) : P ar i A. 0, i cos P. 0, i π br i i 0.. A. 0, i sin P. 0, i π AR ar br φa aan br ar φ if( ( ar< 0), φa π, φa) φ if( ( ar> 0). ( br< 0), π φa, φ) x( ) AR. cos( ω. φ) ar =.48 br = 0. AR =.44 φ = 0.05 x( ) Correcion de la phase correspondan au sinus π AA 8 ωω φ1 0 φ MHS 1 x1( ) AA. sin( ωω. φ1) MHS x( ) AA. cos( ωω. φ1 φ) x1( ) x( )

17 Superposiion de MHS ( Même fréquence e direcions perpendiculaires ) Soi les MHS suivan: Soluion: x() = A x cos (ω+φ x ) y() = A y cos (ω+φ y ) x y x y + cos = A x A y Ax A y Inclinaison Y α X an ( ) φ sin ( ) y φx φ y φx Forme: ellipse A A ( α x y ) = cos( φ φ ) y x A A x y

18 Superposiion de MHS ( Même fréquence ) ( Direcions perpendiculaires ) Données: ( Mouvemen circulaire ) ( Ax = Ay ) ( φy - φx = π/, π/,...) ω 1 Ax φx 0 Ay φy 0.5 π MHS X MHS Y Inervale de emps: 0, x( ) Ax. cos( ω. φx) y( ) Ay. cos( ω. φy) Courbe de superposiion: x( ) y( ) y( ) x( )

19 Superposiion de MHS ( Même fréquence ) ( Direcions perpendiculaires ) Données: ( Ellipse avec axes confondus ) ( Ax diff de Ay ) ( φy - φx = π/, π/,...) ω 1 Ax φx 0 Ay φy 0.5 π MHS X MHS Y Inervale de emps: 0, x( ) Ax. cos( ω. φx) y( ) Ay. cos( ω. φy) Courbe de superposiion: x( ) y( ) y( ) x( )

20 Superposiion de MHS ( Même fréquence ) ( Direcions perpendiculaires ) Données: ( Mouvemen linéaire ) ( φy - φx = 0, π, 4π,...) ω 1 Ax 8 φx 0 Ay φy π MHS X MHS Y Inervale de emps: 0, x( ) Ax. cos( ω. φx) y( ) Ay. cos( ω. φy) Courbe de superposiion: x( ) y( ) y( ) x( )

21 Superposiion de MHS ( Même fréquence ) ( Direcions perpendiculaires ) Données: ( Mouvemen linéaire ) ( φy - φx = π, π,...) ω 1 Ax φx 0 Ay 8 φy π MHS X MHS Y Inervale de emps: 0, x( ) Ax. cos( ω. φx) y( ) Ay. cos( ω. φy) Courbe de superposiion: x( ) y( ) y( ) x( )

22 Superposiion de MHS ( Même fréquence ) ( Direcions perpendiculaires ) Inervale de emps: Données: ( Soluion quelconque ) 0, ω 1 Ax φx 0 Ay 7 φy 0.8 π MHS X MHS Y x( ) Ax. cos( ω. φx) y( ) Ay. cos( ω. φy) Courbe de superposiion: x( ) y( ) y( ) x( )

23 Superposiion de MHS ( Même fréquence e de direcions quelconques) 1- Il fau décomposer le MHS selon X e Y. y() = [ A sin θ, φ ] θ x() = [ A cos θ, φ ] - Il fau addiionner oues les composanes de MHS selon X e Y. Y MHS v() = [ A, φ ] v() = A cos (ω + φ ) - Il fau combiner les MHS résulans perpendiculaires. X

24 Superposiion de MHS (Fréquences différenes e direcions perpendiculaires ) Soi les MHS suivan: Soluion: x() = A x cos (ω x +φ x ) y() = A y cos (ω y +φ y ) A A x Dépend de:, y ω x ω y e φ = φ φ y x La superposiion produi une figure de Lissajou. On résou ce genre d équaion par analyse de Fourier.

25 Superposiion de MHS ( Fréquences différenes ) ( Direcions perpendiculaires ) Inervale de emps: Données: ( Soluion quelconque ) 0, ωx 1 Ax 8 φx 0 ωy Ay φy 0.75 π MHS X MHS Y x( ) Ax. cos( ωx. φx) y( ) Ay. cos( ωy. φy) Courbe de superposiion: x( ) y( ) y( ) x( )

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