Chapitre 6. La demande d assurance

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1 Chaitre 6

2 Introduction Réduire le risque Plusieurs manière de réduire le risque: a diversification Une firme eut réduire son risque en diversifiant ses activités dans des domaines eu liés entre eux Ventes de roduits économiquement oosés Activités dans des zones géograhiques et des devises différentes obtention de lus d information Valeur de l information comlète : Différence entre la valeur attendue d un choix avec information comlète, et la valeur attendue avec information incomlète Exemle : Soit le atron de Zara Combien de costumes d automne commander? Commande 1 costumes 18 /ièce Commande 5 costumes 2 /ièce e rix de vente est de 3 Invendus remboursables à 1/2 rix Probabilité subjective de vente de chaque quantité : 5%

3 Introduction Réduire le risque assurance Des individus averses au risque sont rêts à ayer our éviter un risque Si le coût de l assurance égale la erte attendue, alors les individus averses ou neutres au risque : s assureront, en cas d assurance à termes fixes; achèteront suffisamment d assurance our couvrir totalement leur erte otentielle, en cas d assurance à termes flexibles

4 Introduction Réduire le risque Mécanismes de l assurance: Un assureur agit en qualité d intermédiaire aurès de nombreuses ersonnes exosées au même risque assureur erçoit une somme aelée rime ou cotisation es fonds recueillis servent à constituer une caisse commune ermettant d indemniser les victimes du sinistre Pour honorer ses engagements l assureur doit tenir comte de trois éléments essentiels : a fréquence : c-à-d le raort existant entre les sinistres déclarés et le nombre d assurés e coût moyen d un sinistre : c-à-d le coût obtenu en raortant le montant total des indemnités au nombre de sinistres a tendance : c-à-d la mesure de l évolution d une année sur l autre de la fréquence et du coût moyen du sinistre

5 Partie 1 Mutualisation des risques

6 Mutualisation des risques Présentation Considérons un individu ayant une richesse initiale w comortant un bien d une valeur h ouvant être détruit avec la robabilité a richesse finale de l agent est donc : w f = w h, w ;, 1 soit: w f = w + h, ;, 1 = w + x Exemle: Suosons que Florian ossède une maison d une valeur 8 Il ne ossède rien en dehors Il y a une chance sur 4 que cette maison brûle l année rochaine (Florian a reçu des menaces) Si le feu survient, la valeur de sa maison tombera à 4 a fonction d utilité de Florian est égale à : u = ln(w)

7 Mutualisation des risques Présentation équivalent certain est déterminé ar : u w = Eu w f a rime de risque est déterminée ar : Π w, x = w + E x w Donc l individu sera rêt our obtenir un contrat de leine assurance à ayer au maximum de : E x + Π w, x

8 Mutualisation des risques Création d un ool Suosons maintenant que deux individus identiques fassent un «ool» Trois cas se résentent : soit il n y a as de sinistre et la richesse des membres du «ool» reste identique w Cet état survient avec la robabilité : 1 2 soit il n y a qu un seul sinistre Chaque agent devra donc ayer la moitié du montant du sinistre (y comris le sinistré) a richesse finale de chaque agent est donc égale à w h/2 Cet état survient avec la robabilité: 2 (1 ) soit il y a deux sinistres Chacun des deux agents devra donc ayer la moitié du montant total des sinistres a richesse finale de chaque agent est donc égale à w 2h/2 Cet état survient avec la robabilité : 2

9 Mutualisation des risques Création d un ool Donc lorsque les agents font un «ool» leur richesse finale devient : w f = w + h, h 2, ; 2, 2 1, (1 ) 2

10 Mutualisation des risques Extension du ool Suosons qu il y ait n agents identiques qui décident de former un «ool» a richesse finale de chaque agent est : w~ f w w w w - -k avec h n -h h n avec avec la avec la robabilité la la robabilité robabilité 1 robabilité C C n 1 n 1 k n, n n, k aucun 1 n1, nk sinistres sinistre 1, sinistre k sinistres

11 Mutualisation des risques Caractéristiques du ool e fait d intégrer le «ool» : réduit les robabilités des états extrêmes ne modifie as la richesse moyenne réduit la rime de risque réduit la variance augmente l utilité

12 Mutualisation des risques Exemle Soit deux agents identiques ayant les caractéristiques suivantes : u w = ln (w) w = 5 x = 5, ; 1 5, Déterminez dans le cas ou un agent est seul la richesse finale, la richesse moyenne, la rime de risque, la rime maximale de leine assurance 2 Même question dans le cas où le «ool» est formé de deux agents

13 Partie 2 es contrats d assurance

14 es contrats d assurances Tyologie des contrats e contrat de leine assurance est un contrat où l intégralité du sinistre est remboursée ar l assurance roblème d aléa moral e contrat de co-assurance est un contrat ou seulement une art du sinistre est remboursée ar l assurance e contrat d assurance avec franchise est un contrat où l assuré rend à sa charge le sinistre jusqu à un certain montant fixé Au delà de ce montant, la différence entre la erte et la franchise est à la charge de l assurance

15 es contrats d assurances Raels Par ailleurs on sait que: P v ~ w, x w* w ~ ~ w x Ex P w, x, v ~ D où: w, ~ x E ~ x w * w w w E ~ ~ x w, x * Équivalent certain = Richesse moyenne Prime de risque

16 es contrats d assurances e contrat de leine assurance Soit un agent tel que la richesse finale est donnée ar : 1 w w ~ f w e degré de satisfaction en l absence d assurance est mesuré ar : w ~ uw 1 u w Eu f

17 es contrats d assurances e contrat de leine assurance Suosons qu une comagnie d assurance roose un contrat de leine assurance à l agent Moyennant le aiement d une rime d assurance P l assurance verse une indemnité I égal au montant du sinistre w ~ f 1 w P w I P w P a richesse finale n est lus risquée Elle est sûre et certaine

18 es contrats d assurances e contrat de leine assurance a rime d assurance P vérifie la relation suivante : Eu w ~ avec assurance Euw~ s ans assurance f f Soit: u w P uw 1 uw Comme la rime est ositive, il faut que la fonction d utilité soit concave our que l inégalité récédente tienne U > a rime maximum que l individu accetera de ayer est telle que : u w P uw 1 uw max

19 es contrats d assurances e contrat de leine assurance indemnité moyenne du sinistre coïncide avec l esérance mathématique du sinistre quand l assurance fait jouer la loi des grands nombres u w 1 u w P u w w w P max w w On remarque que : P max

20 es contrats d assurances e contrat de co-assurance Soit un agent tel que la richesse finale est donnée ar : 1 w ~ f w w e degré de satisfaction en l absence d assurance est mesuré ar : Eu ~ w f w uw 1 u

21 es contrats d assurances e contrat de co-assurance Suosons qu une comagnie d assurance roose un contrat de co-assurance à l agent Moyennant le aiement d une rime d assurance P l assurance verse une indemnité I égal au montant du sinistre ondéré ar un coefficient b ositif mais strictement inférieur à 1 : I=b w ~ f 1 w P w I P w 1 b P a rime d assurance est déterminée ar l esérance de l indemnité P E ~ I b

22 individu choisira le ourcentage b maximisant son esérance d utilité: En dérivant ar raort à b on obtient : es contrats d assurances e contrat de co-assurance w u w u b b b b 1 1 max w u w u b b b 1 1 max arg ' 1 1 ' 1 w u w u b b w u w u b b ' 1 ' w w b b 1 1 b

23 es contrats d assurances e contrat de co-assurance Donc l individu choisirait toujours un contrat de leine assurance a comagnie d assurance doit nécessairement aliquer un facteur de chargement l our que l individu accete un contrat de co-assurance our lequel il accetera de rendre à sa charge une artie du risque a rime d assurance sera alors : ~ P 1 lei 1 l b

24 es contrats d assurances e contrat de co-assurance Dans le cas d un contrat de co-asurance, la richesse finale est donnée ar : w ~ f 1 1 l w b 1 w b l b

25 es contrats d assurances e contrat avec franchise a décision d assurance consiste donc à déterminer un montant D qui corresond au montant en dessous duquel le risque incombe à l assuré et non à l assureur Pour les même raisons que la co-assurance la rime d assurance P est de la forme : P ~ l 1 1 EI 1 le max ~ x D, l D

26 es contrats d assurances e contrat avec franchise Dans le cas d un contrat avec franchise, la richesse finale est donnée ar: 1 w 1 l D w ~ f w D 1 l D individu choisira le montant de la franchise otimale qui maximisera l esérance de son utilité finale : w 1 l D D 1 uw 1 l D Darg max u

27 es contrats d assurances Exercice Un roriétaire de chevaux de course ossède un cheval acheter 15 Sa richesse initiale est de 1 et sa fonction d utilité est logarithmique a comagnie d assurance lui roose 2 contrats : Contrat 1- co-assurance avec un coefficient de chargement de 2% Contrat 2- Franchise avec chargement de 2% Pendant la ériode de réaration, le cheval a une chance sur 1 d avoir un accident le rendant inutilisable 1- Calculez le taux de couverture b du contrat 1-2- Calculez la franchise D du contrat 2-, concluez?

28 Partie 3 Assurances climatiques

29 Assurances climatiques Exosition aux risques climatiques dans les ays en déveloement exosition aux risques climatiques rovoquent de faibles récoltes, un ralentissement de la croissance et la ersistance de la auvreté es risques climatiques n imliquent as seulement les agriculteurs mais aussi toutes les ersonnes dont les activités sont indirectement reliées à l agriculture (=la luart des ersonnes en milieu rural dans les ays en déveloement) Chocs covariés: erçus ar une communauté entière à un niveau local, es mécanismes d assurances informelles, fondées sur le artage du risque offre donc eu de rotection

30 Assurances climatiques Barrière à l assurance climatique Plusieurs barrières à l instauration d une assurance climatique our des chocs communs Chocs eu fréquents mais sévères, ce qui rend difficile un lissage à travers le tems grâce ar exemle à l éargne de récaution ou du crédit Aléa moral: les agriculteurs qui erçoivent l assurance ont moins d incitation à travailler dur our rotéger leur cultures; ou euvent faire de fausse déclarations our toucher la rime Sélection adverse: seules les agriculteurs qui ont des risques élevés rendront l assurance Ainsi, les assurances conventionnelles ne fonctionnent as our les agriculteurs des ays en déveloement Confirmé emiriquement uisque seul 1% des agriculteurs en Afrique, 2% en A et 18% en Asie Une solution: assurance basée sur des indices climatiques Vision objective des risques qui annule les asymétries d information Suose que le risque mesuré objectivement soit le même que celui erçu ar les ménages

31 Assurances climatiques Un modèle de demande d assurance climatique Plusieurs raisons euvent exliquer le fait que eu d agriculteurs désirent rendre des assurances climatiques Ce modèle cherche à exrimer la volonté de ayer (WTP- willingness to ay) d un agriculteur our une assurance climatique indexée Une seule année de récolte les achats se font en saison 1 et les récoltes en saison 2 On se concentre sur la décision d acheter l assurance cette année-là en articulier ignore les effets de sillover: acheter une année influence forcément les récoltes futures) Autre hyothèse: as d effet sur les décisions de roduction

32 Assurances climatiques Un modèle de demande d assurance climatique e choix otimal de consommation (roblème classique d otimisation temorelle sous incertitude) c y t = ct + β y t y t y t : flux de revenus exogène en ériode t y t :le revenu eséré et c t la consommation ermanente comatible avec ce revenu eséré β: le niveau de lissage du ménage à chaque ériode, qui est fonction des caractéristiques du ménage Si β =, lissage arfait: la consommation courante est indéendante des revenus courants Si β =1, aucun lissage et la consommation courante déend entièrement des revenus courants

33 Assurances climatiques Un modèle de demande d assurance climatique Considérons maintenant que l agriculteur contracte une assurance en ériode 1 e contrat rend la forme d une romesse d être ayé automatiquement un certain montant z si un choc indésirable aaraît On suose que l on observe arfaitement cet évènement climatique non désirée (grâce ar exemle aux assurances basées sur les index climatiques) Ainsi z est lié à la fonction de distribution des robabilités de l indice climatique On eut ainsi définir le bénéfice B (ou le WTP) de ce contrat comme le montant qui doit être soustrait des revenus de la remière ériode, our que l utilité des deux ériodes avec contrat soit égale à l utilité des deux ériodes sans: u c y 1 B + δeu c y 2 + z = u c y 1 + δeu c y 2

34 Assurances climatiques Un modèle de demande d assurance climatique Si nous suosons que la consommation ermanente des ménages est la même our les deux ériodes de l année, alors un déveloement limité de Taylor d ordre 2 nous donne: u c y 1 B = u c + β y 1 B = u + β y 1 B u β2 y 1 B ²u u c y 2 + z = u c + β y 2 + z = u + β y 2 + z u β2 y 2 + z ²u Où y i = y i yi rerésente le choc de revenu vécu en ériode i, et u l utilité ar raort à la consommation équation eut donc se réécrire: 1 2 βρb² + 1 βρ y 1 B δez δβρ Ez2 + 2E z y 2 = Où ρ = u u d Arrow-Pratt) rerésente le coefficient d aversion au risque (cf aroximation

35 Assurances climatiques Un modèle de demande d assurance climatique Si β= ou si ρ=, alors B= δez valeur esérée du rendement du contrat Si on effectue une différentiation totale ar raort de cette dernière équation, alors on s aerçoit que B est fonction de βρ, δ, y 1 et Ez Ou en d autres termes: Plus l aversion au risque est imortante (ρ grand) et/ou lus le degré de lissage est faible (β est large), lus le bénéfice de l assurance sera élevé Mais il déend aussi du taux de rendement (lus Ez est élevé, lus le bénéfice en seconde ériode sera large) et de la réalisation du revenu en remière ériode (le bénéfice est moins imortant si l agriculteur a déjà connu un choc en remière ériode) Utake=1 si B rime= coût (1+m) Utake= sinon