2. Soit λ un nombre réel. On considère le plan P λ d équation : ( λ )( x y z ) λ ( x y z ) a. Vérifier que le vecteur n( 1 + λ ;1 + 2 λ ;1 )
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- Édouard Crépeau
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1 Pondichéry Inde Avril 2008 exercice 3 4 points On considère un tétraèdre ABCD. On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB],[CD],[BC],[AD],[AC] et B [BD]. On désigne par G l isobarycentre des points A, B, C et D.. Montrer que les droites (IJ),(KL) et (MN) sont concourantes en G. Dans la suite de l exercice on suppose que AB = CD, BC = AD et AC = BD. (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial car ses faces sont isométriques). A C 2. a. Quelle est la nature du quadrilatère IKJL? Préciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM. b. En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales. 3. a. Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN). b. Quelle est la valeur du produit scalaire IJ. MK? En déduire que (IJ) est orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (IJ) est orthogonale à la droite (CD). c. Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD]. d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD? D La Réunion septembre 200 Exercice (5 points) L espace est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i, j, k ). On considère les plans P et Q d équations respectives : x + y + z = 0 et 2x + 3y + z 4 = 0.. Montrer que l intersection des plans P et Q est la droite D dont une représentation paramétrique est : x = 4 2t y = 4 + t où t est un nombre réel. z = t 2. Soit λ un nombre réel. On considère le plan P λ d équation : ( λ )( x y z ) λ ( x y z ) a. Vérifier que le vecteur n( + λ ; + 2 λ ; ) = 0. est un vecteur normal du plan P λ. b. Donner une valeur du nombre réel λ pour laquelle les plans P et P λ sont confondus. c. Existe-t-il un nombre réel λ pour lequel les plans P et P λ sont perpendiculaires? 3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D, intersection des plans P et P. Montrer que les droites D et D sont confondues. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On considère le point A( ; ; ). Déterminer la distance du point A à la droite D, c est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite D. Liban Juin 2006 Exercice 2 (4 points) L espace est muni d un repère orthonormal ( O ; i, j, k ). On note (D) la droite passant par les points A( ; 2 ; ) et B(3 ; 5 ; 2).
2 x = + 2t. Montrer qu une représentation paramétrique de la droite (D) est : y = 2 3 t, t R. z = t x = 2 k 2. On note (D ) la droite ayant pour représentation paramétrique : y = + 2 k, k R. z = k Montrer que les droites (D) et (D ) ne sont pas coplanaires. 3. On considère le plan (P) d équation 4x + y + 5z + 3 = 0. a. Montrer que le plan (P) contient la droite (D). b. Montrer que le plan (P) et la droite (D ) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées. w ; ;. 4. On considère la droite ( ) passant par le point C et de vecteur directeur ( ) a. Montrer que les droites ( ) et (D ) sont perpendiculaires. b. Montrer que la droite ( ) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées. Pondichéry Inde Avril 2008 exercice 3. G est le barycentre de {(A, ), (B, ), (C, ), (D, )} ; I est le milieu de [ AB], c est-à-dire l isobarycentre des points A et B J est le milieu de [ CD], c est-à-dire l isobarycentre des points C et D En appliquant le théorème d associativité, on déduit G barycentre de {(I, 2), (J, 2)}, Donc () De même G barycentre de {(K, 2), (L, 2)} et de {(M, 2), (N, 2)} en utilisant les barycentres partiels. Donc G est sur chacune des droites (IJ), (KL) et (MN) qui sont bien concourantes en G. 2. Nature de IKJL I est le milieu de [ AB] et K est le milieu de [ BC] donc d après le théorème de Thalès, on a : = J est le milieu de [ CD] et L est le milieu de [ AD] donc d après le théorème de Thalès, on a : = On en déduit que : = =.. = ainsi IKJL est un parallélogramme. I est le milieu de [ AB] et L est le milieu de [ AD] donc = donc = or dans ce tétraèdre, on a = et on a prouvé = on en déduit que = le parallélogramme a deux cotés consécutifs de même longueur, ainsi est un losange. Par le même raisonnement, on a : sont des losanges. On dispose des égalités : =, =, =, =, = 2b) Dans un losange les diagonales sont orthogonales donc (IJ) et (KL) sont orthogonales. De même (IJ) et (MN) sont orthogonales et (KL) et (MN) sont orthogonales. 3a ) Pour prouver qu une droite est orthogonale à un plan, il suffit de prouver qu elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.
3 La droite (IJ) est orthogonale à (MN) et (KL), qui sont deux droites sécantes du plan (MKN), ainsi (IJ) est orthogonale au plan (MKN). 3b ) On rappelle qu une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan. (IJ) est orthogonale au plan (MKN), donc à toutes les droites de (MKN), en particulier (IJ) est orthogonale à (MK) d où. =0, or = donc.! " =0, donc. =0, ainsi (IJ) est orthogonale à (AB). aux droites (ML) et (NK) et donc à la droite (CD). par un raisonnement analogue : (IJ) est orthogonale à (MKN) et L (MKN) Donc (IJ) est orthogonale à (ML) Or =, donc (ML) est parallèle à (CD) Ainsi (IJ) est orthogonale à (CD). 3c) Le plan médiateur de [ AB] est le plan orthogonal à [ AB], passant par le milieu I de [ AB], il contient toutes les droites orthogonales à (AB) passant par I donc il contient (IJ) De plus G (IJ) Donc G est dans le plan médiateur de [AB]. De même (IJ) est contenue dans le plan médiateur de [CD], (plan orthogonal à (CD) passant par J) Donc G est dans le plan médiateur de [CD]. 3d) Pour démontrer que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD, il suffit de montrer que = = = ; on a déjà = et =, car G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [ CD]. il reste à montrer que =, en procédant comme précédemment, on a : (KL) est dans le plan médiateur de [BC] Or () Donc G est dans le plan médiateur de [ BC] Donc = Ainsi = = =, c est-à-dire est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre.
4 B I N K G D A L M J C La Réunion septembre 200 Exercice (5 points). intersection des plans ( #;%;&) ' ) #+%+& = 0 + 2#+3%+& 4 = 0 # = % & 0 2( % &)+3%+& 4 = 0 0 # = % & % = &+4 + # = 2& 4 % = &+4 # = 2 4 % = 4+ & = Ainsi l intersection des plans P et Q est la droite D dont une représentation paramétrique # = 2 4 est % =4+ & = 2. Soit λ un nombre réel. On considère le plan ' 2 d équation : ' 2 :( 5)(#+%+&)+5(2#+3%+& 4) =0 a. Vecteur normal du plan : ' 2 ( 5)(#+%+&)+5(2#+3%+& 4)=0 #+%+& 5# 5% 5&+25#+35%+5& 45 =0 (+5)#+(+25)%+& 45 = 0 +5 Ainsi est un vecteur normal à ' 2 b. Donner une valeur du nombre réel λ pour laquelle les plans P et P λ sont confondus. Pour 5 =0, on constate que ' et ' 2 ont la même équation, ils sont donc confondus. c. Existe-t-il un nombre réel λ pour lequel les plans P et P λ sont perpendiculaires?
5 ' et ' 2 sont perpendiculaires si et seulement si ils ont des vecteurs normaux orthogonaux est un vecteur normal à ' est un vecteur normal à ' 6.6 = (+5) +(+25) + = = =0 5= Ainsi, il existe une unique valeur de 5 telle que ' et ' 2 sont perpendiculaires, c est 5 = 3. intersection de plans ' #+%+& =0 ' < : ( ( ))(#+%+&)+( )(2#+3%+& 4) =0 0# %+&+4=0 ( #;%;&) ' ' < + #+%+& = 0 %+&+4=0 + # = (&+4) & % =&+4 # = 2= 4 % = =+4 (= ) & == Ainsi l intersection des plans P et ' < est la droite D dont une représentation paramétrique # = 2= 4 est % =4+= = & = = On constate que et > admettent la même représentation paramétrique, elles sont confondues Distance de A à D, soit? 7 8 un vecteur directeur de D Soit H le projeté orthogonal de A sur = 0 (# B ) ( 2)+(% B ) +(& B ) =0 2# B +% B +& B =0 # B = 2 % B =4+ & B = D où 2( 2 4)+(4+)+ =0 = 2 On en 8 = C@C=D( ) + +( 3) = 3 Ainsi la distance de A à D est?.l. Autre méthode : on applique le théorème de Pythagore
6 G>(,)H =G>(,')H +G>(,' < )H Or >(,') = # J+% J +& J + + = 3 3 = 3 >(,' < )= % J+& J = 4 2 =2 2 D où G>(,)H = = Autre méthode : La distance de A à D est la valeur minimale de la distance entre A et un point de D Soit ( 2 4 ;+4;) un point de D =D( 2 5) +(3+) +( ) = On pose N() = et O()=6² N et O ont les mêmes variations O Q () =2+24 La fonction O admet un minimum pour = 2, ce minimum est O( 2) Donc le minimum de N est N( 2) Liban Juin 200 Corrigé : 2. passe par ( ; 2;) et a pour vecteur directeur donc une représentation paramétrique de D est : # =+2 % = 2 3 (t ) & = # =2 = 2. D a pour représentation paramétrique % =+2= (k ) & == donc un vecteur directeur? de D est? Les vecteurs? ont des coordonnées non proportionnelles! S ", donc ils ne sont pas colinéaires donc < les droites D et D ne sont pas parallèles. Montrons que leur intersection est vide.
7 (#;%;&) Q [ # =+2 % = 2 3 Y & = Z # =2 = Z Y % =+2= Y X & == X Le système n a pas de solution, donc Q = Les droites ne sont ni parallèles, ni sécantes, ainsi elles sont non coplanaires. #^ =+2 3. a. pour tout point M de D, on a : %^ = 2 3 &^ = Montrons que ' 2 = =+2 2 ( ) =+2 [ +2= = 2 3 [ +2( )= 2+3 [ =2 =/5 Y Y Y = = & = & = # =2 = Z # =2 = Z# =2 = % =+2= Y % =+2= Y% =+2= & == X & == X & == avec (t ) 4#^+%^ +5&^+3=4(+2)+( 2 3)+5( )+3= =0 Ainsi tout point M de D appartient au plan P On a '. 3.b. 4#+%+5&+3=0 4(2 =)+(+2=)+5=+3=0 = = 4 (#;%;&) ' Q # =2 = # =2 = # =6 a a a % =+2= % =+2= % = 7 & == & == & = 4 Ainsi P coupe la droite D en (6 ; 7; 4). 4.a. D perpendiculaire à Δ? 7 2 8et c7 8 sont vecteurs directeurs de D et Δ?.c Q = +2 + ( )=0 donc? Q c sont orthogonaux donc D et Δ sont orthogonales, de plus C est un point commun à D et Δ, ainsi D et Δ sont perpendiculaires. 4.b et c7 8 sont vecteurs directeurs de D et Δ.c = =0 donc c sont orthogonaux donc D et Δ sont orthogonales. Montrons qu elles ont un point commun [ # =+2 6+e =+2 e = 5+2 % = 2 3 [ 7+e = 2 3 [ = 2 3 [ e = =2 Y Y Y Y & = & = & = & = 3 (#;%;&) Δ Z # =6+e Z # =6+e Z # =6+e Z # =5 Y% = 7+e Y % = 7+e Y % = 7+e Y% = 8 X& = 4 e X & = 4 e X & = 4 e X& = 3 Ainsi les droites D et Δ sont perpendiculaires en f(5 ; 8; 3).
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