Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011

Transcription

1 Corrigé Bac ES Spécialité Maths Antilles Guyane 2011 Christian CYRILLE A quoi servent les mathématiques? : C est pour l honneur de l esprit humain? Jacobi 1 Exercice 1-5 points - Commun à tous les candidats Dans chaque programme de construction proposé par un grand promoteur immobilier, les acquéreurs doivent choisir entre la pose de moquette, de carrelage ou de sol plastifié pour revêtir le sol du salon. Pour le revêtement des murs du salon, ils ont le choix entre peinture ou papier peint. Le recueil des choix des acquéreurs par l entreprise donne les résultats suivants : 20% ont choisi la moquette 50% ont choisi le carrelage les autres acquéreurs ont choisi la pose de sol plastifié. Parmi les acquéreurs ayant choisi la moquette, 46% choisissent le papier peint pour le revêtement des murs. Parmi les acquéreurs ayant choisi le carrelage, 52% choisissent le papier peint pour le revêtement des murs. 42, 7% des acquéreurs ont choisi le papier peint pour le revêtement des murs. On interroge au hasard un acquéreur de logement construit par cette entreprise. On considère les événements suivants : M l événement : L acquéreur a choisi la pose de moquette. C l événement : L acquéreur a choisi la pose de carrelage. S l événement : L acquéreur a choisi la pose de sol plastifié. P l événement : L acquéreur a choisi la pose de papier peint. P l événement contraire de P, correspondant à : L acquéreur a choisi la peinture. Les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième. 1. Représenter la situation à l aide d un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l exercice. 2. (a) Décrire l événement M P (b) Calculer la probabilité p(m P ) 3. (a) Montrer que la probabilité que l acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est égale à 0, 075 (b) L acquéreur a choisi le sol plastifié. Calculer la probabilité qu il ait choisi le papier peint. 1

2 4. On interroge au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs parmi tous les clients du constructeur. (a) Calculer la probabilité, notée p 1, qu au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint. (b) Calculer la probabilité, notée p 2, qu exactement deux des trois acquéreurs ait choisi le papier peint. 2 Exercice 2-5 points - Commun à tous les candidats Partie A : Etude d une fonction Soit f la fonction dérivable définie sur l intervalle [0; + [ par f(x) = e 0,3x Dans un repère orthogonal, on note C F la courbe représentative de la fonction f et D la droite d équation y = 7x. On admet que la courbe C f et la droite D se coupent en un seul point d abscisse x 0 et on donne x 0 9, Calculer f(0) et la valeur arrondie au centième de f(20) 2. Démontrer que la fonction f est croissante sur l intervalle [0; + [ 3. (a) Calculer la limite de f en +. En déduire que la courbe C f admet une asymptote horiozntale au voisinage de + et en donner une équation. (b) Montrer que pour tout x appartenant à [0; + [ on a f(x) < 80. En déduire la position relative de la courbe C f par rapport à la droite d équation y = 80 sur l intervalle [0; + [. (c) A l aide du graphique, déterminer, selon les valeurs de x le signe de 7x f(x) pour x appartenant à l intervalle [0; + [ Partie B : Interprétation économique Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On utilisera les 2

3 résultats de la partie A Une entreprise peut produire chaque jour au maximum 2000 thermomètres de bain pour bébé. On note x le nombre de centaines de thermomètres produits chaque jour travaillé, x appartenant à l intervalle [0; 20]. On suppose que le coût total de production par jour, exprimé en centaines d euros, est égal à f(x) où f est la fonction définie dans la partie A. 1. Déterminer le montant des coûts fixes c est-à-dire le montant des coûts lorsque la quantité produite est nulle. 2. Le coût total de production des thermomètres peut-il atteindre 8100 euros par jour? Justifier. 3. Le prix de vente d un thermomètre est fixé à 7 euros. La recette journalière, exprimée en centaines d euros, est donc donnée par R(x) = 7x. Pour quelles productions journalières de thermomètres l entreprise réaliset-elle un bénéfice? Justifier. 3 Exercice 3-5 points - Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Une entreprise du secteur Bâtiments et Travaux Publics doit réduire la quantité de déchets qu elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s engage, à terme, à rejetter moins de tonnes de déchets par an. En 2007, l entreprise rejettait tonnes de déchets. Depuis cette date, l entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu elle rejette de 5% par rapport à la quantité rejettée l année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités. Pour tout entier naturel n, on note r n la quantité, en tonnes, de déchets pour l année ( n). On a donc r 0 = (a) Calculer r 1 et r 2 (b) justifier que pour tout entier naturel n on a : r n+1 = 0, 95r n Soit (s n ) la suite définie pour tout entier naturel n par s n = r n 4000 (a) Démontrer que la suite (s n ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme. (b) Pour tout entier naturel n, exprimer s n en fonction de n. En déduire, que pour tout entier naturel n, l on a : r n = (0, 95) n (c) La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d une année sur l autre? Justifier. (d) Déterminer la limite de la suite (r n ) quand n tend vers l infini. (e) Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. A partir de quelle année, le contexte restant le même, l entreprise réussira -t-elle à respecter son engagement? 3

4 4 Exercice 4-5 points - Commun à tous les candidats Soit f une fonction f définie et dérivable sur R. On appelle (C) la courbe représentive de la fonction f dans un repère du plan. On donne ci-dessus le tableau de variations de la fonction f sur R. x f(x) 1 On donne de plus : f( 2) = 0 ; f(5) = 0 et f(0) = 3 A l aide des informations fournies ci-dessus, répondre aux questions suivantes. 1. Dresser sans justification le tableau donnant le signe de f(x) suivant les valeurs du nombre réel x. Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées. 2. (a) La courbe (C) admet-elle une asymptote horizontale? Si oui, préciser une équation de cette droite. (b) Montrer que l équation f(x) = 2 admet une unique solution sur l intervalle [3; 10] (c) On appelle F une primitive de la fonction f dur R. Déterminer les variations de la fonction F sur R 3. On note g la fonction définie sur ] ; 2[ ]5; + [ par g(x) = ln(f(x)) où ln désigne la fonction logarithme népérien. (a) Expliquer pourquoi la fonction g n est pas définie sur l intervalle [ 2; 5] (b) Déterminer lim g(x) et lim g(x) x + x 5 + (c) Préciser le sens de variation de la fonction g sur son ensemble de définition. 4

5 5 Corrigé Exercice 1 1. Nous pouvons représenter la situation à l aide d un arbre pondéré : 2. (a) M P est l événement suivant l acquéreur a choisi la pose de moquette et a choisi la pose de papier peint (b) pr(m P ) = pr(m)pr(p/m) = 0, 2 0, 46 = 0, (a) Comme le système {M, C, S} est un système complet d événements, d après la formule des probabilités totales, si l on note x = pr(p/s) on a : pr(p ) = pr(m P ) + pr(c P ) + pr(s P ) = pr(m)pr(p/m) + pr(c)pr(p/c) + pr(s)pr(p/s) = 0, 2 0, , 5 0, , 3x Or pr(p ) = 0, 427. Donc 0, 2 0, , 5 0, , 3x = 0, 427 d où 0, 3x = 0, 427 0, 092 0, 26 donc 0, 3x = 0, 427 0, 352 d où 0, 3x = 0, 075. Par conséquent, x = 0, 25 La probabilité que l acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est pr(s P ) = pr(s)pr(p/s) = 0, 3 0, 25 = 0, 075 pr(p S) 0, 075 (b) pr(p/s) = = = 0, 25 pr(s) 0, 3 4. On interroge au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs parmi tous les clients du constructeur. On est donc en présence d un schéma de Bernoulli : n = 3 épreuves répétées, identiques et indépendantes.au cours de chacune d elles on a soit un succès : choisir le papier peint avec comme probabilité p = pr(p ) = 0, 427 soit un échec : choisir la peinture avec comme probabilité q = 1 p = 1 pr(p ) = 1 0, 427 = 0, 573 alors la variable aléatoire X : le nombre de succès suit la loi binomiale B(n, p) = B(3; 0, 427) alors l ensemble des valeurs prises ( par X est X < Ω >= {0; 1; 2; 3} et n k X < Ω > ona : pr([x = k] = p k) k (1 p) n k ( n On rappelle que est le nombre de sous-ensembles (ou de parties ou k) 5

6 de combinaisons) à( k éléments que l on peut extraire d un ensemble à n n! n éléments et que = k) k!(n k)! (a) L événement contraire de au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint est aucun des trois acquéreurs n a chois le papier peint donc p 1 = pr( au moins un des ( trois ) acquéreurs ait choisi le papier peint ) 3 = 1 pr(x = 0) = 1 p 0 0 (1 p) 3 0 = 1p 0 (1 p) 3 = (1 p) 3 = 0, = 0, 188 (b) p 2 = pr( exactement deux des( trois acquéreurs ait choisi le papier peint ) = pr(x = 2) = p 3 2) 2 (1 p) 3 2 = 3p 2 (1 p) = 3(0, 427) 2 (0, 573) = 0, Corrigé Exercice 2 Partie A : Etude d une fonction Soit f la fonction dérivable définie sur l intervalle [0; + [ par f(x) = e 0,3x Dans un repère orthogonal, on note C F la courbe représentative de la fonction f et D la droite d équation y = 7x. On admet que la courbe C f et la droite D se coupent en un seul point d abscisse x 0 et on donne x 0 9, f(0) = = 1 + 4e 0, e 0 = = 80 5 = f(20) = 1 + 4e 0,3 20 = 80 79, e 6 2. f est le quotient de x 80 et de x 1 + 4e 0,3x x 80 est constante donc dérivable sur R donc sur [0; + [ x 1 + 4e 0,3x ne s annule jamais sur R donc sur [0; + [ car e 0,3x > 0 x R 6

7 x 1 + 4e 0,3x qui est dérivable sur R donc sur [0; + [ Par conséquent f est dérivable sur [0; + [ Alors en utilisant les formules suivantes ( 1 u ) = u u 2 et (eu ) = u e u donc x [0; + [ on a : f (x) = 80 4( 0, 3e 0,3x ) 96e 0,3x (1 + 4e 0,3x ) 2 = (1 + 4e 0,3x ) 2 > 0 puisque car e 0,3x > 0 x R et que (1 + 4e 0,3x ) 2 > 0 donc la fonction f est croissante sur l intervalle [0; + [ 3. (a) f(x) = N(x) D(x) lim N(x) = 80 x + lim x + et D(x) = 1 puisque lim x + e 0,3x = 0 car lim X ex = 0 donc lim x + f(x) = 80 lim 0, 3x = X + On en déduit que la courbe C f admet une asymptote horizontale au voisinage de +, la droite d équation y = 80 (b) e 0,3x > 0 donc 4e 0,3x > 0 d où 1 + 4e 0,3x > 1. Par conséquent e 0,3x < 1 donc 80 < e 0,3x On a donc démontré que pour tout x appartenant à [0; + [ on a f(x) < 80. On en déduit que la courbe C f reste toujours en dessous de la droite d équation y = 80 sur l intervalle [0; + [. (c) A l aide du graphique, on peut déterminer, selon les valeurs de x le signe de 7x f(x) pour x appartenant à l intervalle [0; + [ x 0 x 0 + D est en dessous de C f coupe C f est au dessus de C f 7x f(x) 0 + Partie B : Interprétation économique 1. Le montant des coûts fixes c est-à-dire le montant des coûts lorsque la quantité produite est nulle est f(0) = 16 centaines d euros = 1600 euros 2. Le coût total de production des thermomètres ne peut atteindre 8100 euros par jour car pour tout x appartenant à [0; + [ on a f(x) < 80 centaines d euros. 3. Le prix de vente d un thermomètre est fixé à 7 euros. La recette journalière, exprimée en centaines d euros, est donc donnée par R(x) = 7x. L entreprise réalise un bénéfice lorsque 7x > f(x) c est-à-dire 7x f(x) > 0 c est-à-dire x > x 0 9, 02 centaines de thermomètres c est-à-dire x > 902 thermomètres 7

8 7 Corrigé Exercice 3 Une entreprise du secteur Bâtiments et Travaux Publics doit réduire la quantité de déchets qu elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s engage, à terme, à rejetter moins de tonnes de déchets par an. En 2007, l entreprise rejettait tonnes de déchets. Depuis cette date, l entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu elle rejette de 5% par rapport à la quantité rejettée l année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités. Pour tout entier naturel n, on note r n la quantité, en tonnes, de déchets pour l année ( n). On a donc r 0 = (a) r 1 = r r = r = 0, 95r = 0, 95(40000)+ 200 = r 2 = r r = r = 0, 95r = (0, 95)(38200)+ 200 = (b) Comme l entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu elle rejette de 5% par rapport à la quantité rejettée l année précédente et qu elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an, alors pour tout entier naturel n on a : r n+1 = r n r n = 0, 95r n Soit (s n ) la suite définie pour tout entier naturel n par s n = r n 4000 (a) s n+1 = r n = 0, 95r n = 0, 95r n 3800 = 0, 95(r n 4000) = 0, 95s n donc la suite (s n ) est une suite géométrique de raison q = 0, 95 et de premier terme s 0 = r = = (b) Alors pour tout entier naturel n, s n = (0, 95) n s 0 = (0, 95) n. Donc r n = s n = (0, 95) n (c) r n+1 r n = (0, 95) n (36000 (0, 95) n ) = 36000(0, 95) n (0, 95 1) < 0 donc la suite (r n ) décroît. Par conséquent, la quantité de déchets rejetée diminue d une année sur l autre. (d) Comme 1 < 0, 95 < 1 alors lim (0, n + 95)n = 0 donc lim r n = 4000 n + (e) En 2011 = , une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets est r 4 = (0, 95) , tonnes 3. Résolvons l inéquation suivante d inconnue n N r n < (0, 95) n < (0, 95) n < (0, 95) n < (0, 95)n < ln((0, 95)n ) < ln( 26 ln( ) nln(0, 95) < ln( ) n > 36 ) car ln(0, 95) < 0 ln(0, 95) ln( 26 puisque 0 < 0, 95 < 1 Or 36 ) 6, 34 Donc à partir de l année ln(0, 95) = 2014 l entreprise réussira à respecter son engagement. 26 8

9 8 Corrigé Exercice 4 f une fonction f est dérivable sur R donc est définie sur R. On donne cidessus le tableau de variations de la fonction f sur R. x f(x) 1 On donne de plus : f( 2) = 0 ; f(5) = 0 et f(0) = 3 A l aide des informations fournies ci-dessus, répondre aux questions suivantes. 1. On peut donc compléter le tableau de variations de la fonction f sur R. x f(x) On en déduit le tableau de signe de f(x) : x f(x) (a) Comme lim f(x) = 1 alors la courbe (C) admet au voisinage de x une asymptote horizontale la droite d équation y = 1. (b) f est continue sur l intervalle [3; 10] car elle y est dérivable puisque f est dérivable sur R. f est strictement croissante sur l intervalle [3; 10] Donc f réalise une bijection de l intervalle I = [3; 10] sur l iage de cat intervalle par f qui est l intervalle J = [ 1; 3] Par conséquent, tout réel y de J admet un unique antécédent pour f dans l intervalle I Or 2 J donc 2 admet un unique antécédent pour f dans l intervalle I Par conséquent, l équation f(x) = 2 admet une unique solution sur l intervalle [3; 10] (c) Comme f est dérivable sur R alors f est continue sur R donc f y admet une primitive F. Donc x F (x) = f(x) donc F (x) 3. On note g la fonction définie sur ] ; 2[ ]5; + [ par g(x) = ln(f(x)) où ln désigne la fonction logarithme népérien. 9

10 (a) g(x) = ln(f(x)) existe lorsque f(x) existe etf(x) > 0 c est-à-dire lorsque x ] ; 2[ ]5; + [ donc la fonction g n est pas définie sur l intervalle [ 2; 5] (b) lim g(x) = + car x + f(x) = + lim x + lim X + ln(x) = + lim x 5 + g(x) = car lim x 5 + f(x) = 0 + lim ln(x) = X

11 (c) Comme ln est une fonction croissante alors sur ] ; 2[ g = ln o f décroît car f y est décroissante sur ]5; + [ g = ln o f croît car f y est croissante x f(x) ln(f(x)) ln(3) 11