Séquence 6. Fonctions dérivées. Sommaire

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1 Séquence 6 Fonctions dérivées Sommaire Pré-requis Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivation et opérations algébriques Applications de la dérivation Synthèse de la séquence Eercices d approfondissement Séquence 6 MA

2 Pré-requis A Fonctions de référence Fonction «carré» f : À savoir Dans le plan muni d un repère, la fonction «carré» est définie par f( )= où est un nombre réel. La fonction «carré» est : ] ;] [ ; + [ y 4 y = f. f est paire : f( ) = f( ) Variation + f( ) Séquence 6 MA

3 Fonction «inverse» f : À savoir R* = ] ; [ ] ; + [. La fonction «inverse» est : ] ;[. ] ; + [. f R* f est impaire : f( ) = f( ) Variation + f( ) y y = asymptotes Fonction «racine carrée» f : La fonction f + Variation + f( ) 4 Séquence 6 MA

4 y y = 4 5 Fonction «cube» f : + y 8 y = + f( ) 8 Séquence 6 MA 5

5 B Nombre dérivé À savoir On donne une fonction f et un nombre a. f lim ( a + h ) f ( a ) eiste on l appelle nombre dérivé de h h f en a et on la note f'( a). On dit alors que f est dérivable en a. f est dérivable en a, le nombre dérivé f '( a) est le coefficient au point Aafa ). ( ) ( )) est donc : directeur de la tangente à f f au point Aa fa y f( a) = f ( a)( a). C Maimum et minimum d une fonction Définitions Soit f I. f atteint un maimum en a I tout I, f( ) f( a). f( a) a. f atteint un minimum en a I tout I, f( ) f( a). f( a) a. f( a)etremum M P 5 4 Q m m Séquence 6 MA

6 Eemple f 68 f m et m. fm. P et Q f 68 Séquence 6 MA 7

7 Définition A Dérivées des fonctions usuelles Activités Nombre dérivé d une fonction f en un point d abscisse a (a quelconque) Cas de la fonction «carré» f af( )= et a = 8, a f :. 6 5 Cf Séquence 6 MA

8 a 4 5 f'( a) f ( a)a? Cas d une fonction constante f R parf( ) =. C f C f a f'( a) =... Cas d une fonction affine a) f R parf( ) = 7 +. C f C f a f ( a) =... f( )f'( ) Si R par ( )= m + p (m et p sont a, on a ( ) =... B Cours f en = a. f'( a). Définition Définition fif Ifonction dérivée de f f If en : f': I R f'( ) Séquence 6 MA 9

9 Rappel Lorsqu on parle d un intervalle I cela signifie qu on est dans l un des sept cas suivants : I = a ; b, I = a ; b, I = a ; b, I = a ; b, I = [ a; + [, I = ] ; b], I = ] + ; [. Remarque C est en 797 qu apparait pour la première fois l écriture f'. Le mathématicien Joseph-Louis Lagrange l utilise pour désigner le nombre dérivé qu aujourd hui on note f'( ). Dérivées des fonctions usuelles f'( a) f'( ) f( ) tions f connaître. A savoir Fonction f Dérivée f Intervalle I () f( )= c (c f'( ) = () f( )= m + p f'( ) = m () (4) f( )= f'( ) = f( )= f'( ) = I = R (5) f( )= n, n N { } f'( ) = n n (6) f( )= f'( ) = I = + (7) f( )= f'( ) = I = I = + Séquence 6 MA

10 Remarques On dit souvent «la dérivée de la fonction f» à la place de «la fonction dérivée de la fonction f». La fonction «racine carrée» f : est définie sur + alors que sa dérivée f': n est définie que sur + Autrement dit, la fonction «racine carrée» est définie en zéro (et = ) mais sa dérivée n est définie pour =. Graphiquement, ceci se traduit par une tangente verticale au point d abscisse = ; c est-à-dire par une tangente dont on ne peut pas calculer le coefficient directeur. Dire que n N { } signifie que n est un entier naturel différent de zéro. Ainsi la formule de la dérivée de la fonction «puissance n-ième» f : n (donnée ligne (5)) généralise les formules des dérivées des fonctions «carré» et «cube» (données lignes () et (4)). Conclusion (avec m= et p= c ). f( )= m + p f ( ) = m. f '( f ) ( + ) = ( ). f( + ) ( ) m ( + ) m + m = = = = m, f ( + ) ( ) = m f m ( + ) ( ) = m. f'( ) = m. C Eercices d apprentissage Eercice f : On posef( )= Séquence 6 MA

11 , f ( + ) ( ). f m ( + ) ( ) =. f'( ) =. Eercice Eercice Eercice 4 f : On posef( )=, f ( + ) ( ) f m ( + ) ( ) =. f'( ) =. f : On posef( )=, f ( + ) ( ) f m ( + ) ( ) =. f'( ) =. f : On posef( )=, f ( + ) ( ) f m ( + ) ( ) =. f '( ) =. Séquence 6 MA

12 Dérivation et opérations algébriques A Activités En somme, c est simple! et v R par ( )= 7 + et v( ) =. Les fonctions et v R. '( ) etv '( ). f R, et v : = + v. f en a fonction f a =. f '( ) Un produit dérivé pas si docile! et v R par ( )= 4 et v ( ) = 5,. et v R. '( ) et v '( ). f + tions et v : = v. f '( ) B Cours,,, «) Séquence 6 MA

13 Dérivée d une somme Propriété Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel. La fonction k u est dérivable sur I et ( k u) = k u. La fonction u+ v est dérivable sur I et ( u+ v) = u + v. Eemple ff( ) = + 7. f( ) = + ( 7 )= ( ) + v ( ) où( )= etv( ) = 7. '( ) = etv'( ) =. ( + )'( ) = '( ) + v'( ) = + f'( ) = +. Remarque On peut résumer la propriété en disant que «la dérivée de la somme est la somme des dérivées». De même pour la multiplication par un réel. L activité soulevait le problème : nous allons voir que la dérivation (c est-à-dire le calcul de la dérivée) ne se comporte pas aussi agréablement que l addition vis-à-vis de la multiplication et de la division entre fonctions. Dérivée d un produit Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I. La fonctionu v est dérivable sur I et ( u v ) = u v + u v. Eemple ff( ) = ( + ). f( ) = ( ) v ( ) où( )= etv( ) = +. '( ) = ( ) ( ) = ( ) v( ) + ( ) v ( ) = ( + ) + et v ( ) =. 9 soitf'( ) = +. = = f'( ). 4 Séquence 6 MA

14 ne pas commettre à' '. Dérivée d un quotient Propriété Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I telles que v ne s annule pas sur I. La fonction u ' v est dérivable sur I et u u v u v v = ' '. v Eemple + ff( ) =. 4 + Posons( )= + etv( ) = 4+. I = + v I). 4 ( ) f( ) =. v ( ) ( ) = 6 + et v ( ) = 4. '( ) v ( ) v ( ) '( ) ( 6+ 4 )( + ) ( + ) 4 ( ) = = v v ( ) ( 4 + ) ( ) Soit f'( ) = ( 4 + ) Donc f'( ) =. ( 4 + ) Remarque Un cas particulier important est celui de =. Il s agit alors de calculer la dérivée de l inverse de v. Dans ce cas = et la formule de la propriété précédente devient ' v v v v = ' ' =. v v Ce résultat mérite d être signalé en tant que tel. Propriété Soit u une fonction dérivable et ne s annulant pas sur un intervalle I. La fonction ' u est dérivable sur I et u u = '. u Séquence 6 MA 5

15 Eemple C ff( ) =. Posons( )= f( ) = ( ). ( ) = '( ) f'( ) = = =. ( ( )) ( ) f'( ) =. Eercices d apprentissage Eercice Eercice Eercice f ( )f f( )= f( )= f( ) =, f( )= 7 + f( ) = f( )= + 7 f ( )f f( )= f( )= 5 f ( ) = 4 + ( + ) f et R 6 + Eercice 4 ff( ) f( ) = ( )( 4 ) f( ) = ( )( + ) f( )= Eercice 5 Eercice 6 f ( )f 5 + f( )= f( )= f( )= f ( )ff( )= + f( ) = Séquence 6 MA

16 4 Applications A de la dérivation Activités Des tangentes horizontales f C f C f =..., =..., =... f'( ) =..., f '( ) =..., f'( ) =... 4 f f 4f 45f Séquence 6 MA 7

17 Variations et signe de la dérivée f «Sif'( ) » «Sif'( ) » B Cours Dérivée et sens de variations Théorèmes Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si f est constante sur I alors pour tout réel I, f'( ) =. Si f est croissante sur I alors pour tout réel I, f'( ). Si f est décroissante sur I alors pour tout réel I, f'( ). Eemple f + par f( ) =. ff est croissante +. 8 Séquence 6 MA

18 4 + f'( ) f'( ). f'( ) =. = + f +, + > +. f +, f'( ). f ' 5 C f 4 f f est croissante. f ' est positive. 4 f ' f '( ) =. f a f traverse. 4 5 Séquence 6 MA 9

19 Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si pour tout réel I, f( )= alors f est constante sur I. Si pour tout réel I, f( ) alors f est croissante sur I. Si pour tout réel I, f( ) alors f est décroissante sur I. Logique réciproque fi I, f( ).». Sialors On note ceci A B Sialors On note ceci B A A B et oùb A on écrit A B Attention donc Sialors Eemple f : f':. R, f'( ). f est croissante. R. f R parf( ) = +. f R, f'( ) = + = +., + > f'( ) >. f R. 8 + par ( ) = , '( ) = '( ): '( ) = ( ) Séquence 6 MA

20 '( ) = ( ). +,. '( ). Tableau de variations Eemple R par f( ) = +. f R R, f'( ) = + Comme + = =, f ' =. + en f'( ) < f. f'( ) > + f +. f + f ' + f 4 f ( ) = ( ) + ( ) = 4 Remarque Cet eemple a mis en évidence la propriété suivante : L abscisse a du sommet de la parabole est solution de l équation f'( ) =. Cette propriété est vraie plus généralement pour tous les polynômes du nd degré. Séquence 6 MA

21 Etremum d une fonction Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I. Si f a un etremum en un point d abscisse a alorsf'( a) =. Remarque Autrement dit, un etremum est à prendre parmi les points où la dérivée s annule. Cependant, la dérivée peut s annuler en a I sans que la fonction f n atteigne d etremum en a. L eemple suivant en est une illustration. Mais d abord, dans l eemple suivant, voyons une application du théorème. Eemple f + parf( ) = ( ). + (attention, pas en = ). +, f'( ) = ( ) + = ( ) =. Comme f'( ) = = =, si f f f +, f( ) f( ) f( ) f( ). f( ) f( ) = ( ) ( ) = + = ( ). +, ( ) f( ) f( ). Séquence 6 MA

22 La fonction f =, ( ). f R parf( ) = ( ) +. f f'( ) = ( ), f '( ) =. f =, > ( ) > ( ) + > + f( ) > f( ). <, ( ) < ( ) + < + f( ) < f( ). C f C f «traverse» cette tan nées ) point d infleion.,5 Cf,5,5,,5,5,5,5,5 Une fonction peut atteindre un etremum en plusieurs points comme l illustre la courbe de fonction définie sur l intervalle 68ci-dessous : Remarque Une fonction peut aussi ne pas avoir d etremum sur un intervalle. C est le cas par eemple de la fonction «inverse» sur l intervalle + (définie parf( )= ), dont les valeurs sont aussi grandes que voulues puisque f (, ) =, f (, ) = 6,... (elle n a donc pas de maimum) et dont les valeurs sont aussi proche de zéro que voulues mais positives puisque f( ) =,, f( ) =,,... (elle n a donc pas de 6 minimum puisque la valeur zéro n est jamais atteinte). Séquence 6 MA

23 Optimisation Eemple X X premier temps. V( ). V( ) = ( ) V( ) = La fonction V etv'( ) = V'( ) V'( )= 4+ 9 = = ( 8) 4 4 = 6= 4 4 Séquence 6 MA

24 > est 4( )( ) 8 où = ( ) 8 = 4 = ( ) + = 4 V'( ) = 4( )( ), V'( ) = ( )( ). ( )( ) R,5, ( )( ) + + V,5,5 V ' + V V ( ) = =, V ( 5, ) = 4 5, 5, + 9 5, = et V (, 5) = 4 5, 5, + 9 5, =. m, f f ' f'( ) Séquence 6 MA 5

25 C Eercices d apprentissage Eercice Soit f 4 parf( ) = + +. f ' f. f'( ). f 4 f a.? 4? f( )= Eercice Soit f 4 4 parf( ) = + 4. f ' f. f'( ). f 44 Eercice Soit f + parf( ) =. + f ' f. f'( ). f + Eercice 4 f et f( )= et + ( ) =.. a. A, ce point). PP est P A, Eercice 5 6 Séquence 6 MA

26 «Si f'( ) I M C f I C f f est croissante». f C f f'( )». Eercice 6 «Si f ( a) = a)». «Si f ( a) = a». Eercice 7 f + f f( ) f( )? f( ) > f( )? Eercice 8 C, C, C f, et C C C Séquence 6 MA 7

27 La fonction f fonction. f, et 8 Séquence 6 MA

28 5 Synthèse de la séquence Dérivées des fonctions usuelles Fonction f Dérivée f Intervalle I f( )= c (c f'( ) = I = R f( )= m + p f'( ) = m f( )= f'( ) = f( )= f'( ) = f( )= n, n N { } f'( ) = n n f( )= f'( ) = f( )= f'( ) = I = + I = I = + Dérivation et opérations sur les fonctions Soient et vi ' etv '. Fonction Dérivée + ( + )' = ' + ' où k R. ( )' = ' ( )' = ' + ' ( )' = ' ( )' = ' n où n N { } n n ( )' = ' Séquence 6 MA 9

29 (I) ' = ' v (vi) ' v = ' ' v Applications de la dérivation fi. Théorèmes et Théorème «fi I, f'( ) =». «fi I, f'( )». «fi I, f'( )». fi. Si faf'( a) =. Séquence 6 MA

30 5 Eercices d approfondissement Eercice I I Démontrons d abord le premier point du théorème à savoir : Si fi I, f'( ). f f I, f'( ). a I. f'( a). a) >, f( a+ ) ( a). >, fa ( + ) ( a ). a) <, f( a+ ) ( a). <, fa ( + ) ( a ). f'( a). I, f'( ). II Démontrons ensuite le second point du théorème, à savoir : Si f I, f'( ). f f Eercice II ff( ) = ( + ) +. 4 a)f. f '( ). Séquence 6 MA

31 c) a f'( a). f est croissante. f '. f'( ) a)f'( ) = +. a+ vraie + +. Eercice III er poste. f et ) et C f S R C g La fonction f parf( ) = + 5. La fonction 5 par ( ) = ( ). 7 ( SR ) a)c f S Séquence 6 MA

32 C R a)f et. Fonction[f,a,b] ( SR ). c) Eercice IV Eercice V, est V = π où. Déterminer 4t + ft ()= où tf() t est t + 8 f'( t) a) t Année 98 +t 8 9 f a)f '( 8) f '( 9 ). Eercice VI Séquence 6 MA

33 er G( ) = 5, 5, où. G. Déterminer G ( ) G ( ) G. 4 Séquence 6 MA

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