I - MODEL 1 PAR ARBRE

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Armand Sylvain
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1 Obligation convertible (Vernimmen) L'obligation convertible est une obligation qui onne à son étenteur, penant la périoe e conversion, la possibilité e l'échanger contre une ou plusieurs actions e la société émettrice. C'est un prouit 'une grane souplesse 'utilisation puisque le taux 'intérêt peut être fixe, variable, inexé, flottant, révisable, etc., toute conition 'amortissement pouvant par ailleurs être envisagée. L'obligation convertible s'assimile à une obligation classique avec une option 'achat sur es actions nouvelles e l'émetteur. Valeur nue 'une obligation convertible (pour plus e étail voir page 559)La valeur 'une obligation convertible s'analyse comme la somme e la valeur 'une obligation classique et e la valeur 'une option 'achat 'actions. On appelle valeur nue 'une obligation convertible, ou plancher actuariel, la valeur e cette obligation classique. Elle se calcule en actualisant les flux futurs liés à l'obligation au taux u marché.

, toute conition 'amortissement pouvant par ailleurs être envisagée. L'obligation convertible s'assimile à une obligation classique avec une option 'achat sur es actions nouvelles e l'émetteur.

2 I - MODEL PAR ARBRE Moèle Binomial : Cox Ross Rubinstein (979) oit b le cost an carry exponentiel supposé constant b = r Donne la Formule e Black et choles (973) b r q = Donne la formule e Merton (973) : option européenne sur une action payant un iviene continu q. la valeur e l action initiale Pour une action e Cost an Carry b, la iffusion vaut : Pour la première périoe e l arbre : T T = + EXP bt σ T σ Wt ens e construction e l arbre : u avec la probabilité p avec la probabilité -p Dans l univers risque neutre, t E = e bt u = p + ( p) = ( u ) p + ( )( p) On en éuit bt e p = u

la valeur e l action initiale Pour une action e Cost an Carry b, la iffusion vaut : Pour la première périoe e l arbre : T T = + EXP bt σ T σ Wt

3 Dans l univers risque neutre : E(ln t ) = E bt σ t + σwt = σ t onc u σ t = Ln u σ t = Ln p + Ln p + Ln ( p) = ( p) = ( ln u) p (ln ) ( p) ( ln u) p (ln ) ( p) en générale on choisit u = σ t = ln = u ( ln u) p (ln ) ( p) = ( ln u) u σ t σ u = = e t Pour le call : Le call est une fonction u sous jacent, onc sa probabilité e hausse et e baisse est ientique (istribution un fonction une variable aléatoire) ens e construction e l arbre : C C U = Max(u - K, ) avec la probabilité p C = Max( - K, ) avec la probabilité -p rt DONC C e ( pc +( p) C ) = u AVEC p = bt e u 3

fonction u sous jacent, onc sa probabilité e hausse et e baisse est ientique (istribution un fonction une variable aléatoire) ens e

4 ARBRE A N PA ( DT = T/N ) OU JACENT EN DE CONTRUCTION DE L ARBRE U N- U N D U N U N- D U N- D. U N-I- D I U N-I D I U N-I- D I+ U D U UD.. D.. UD N- D N- U D N- UD N- D N DEBUT FIN (N+ BRANCHE) 4

5 ARBRE A N PA ( DT = T/N ) CALL EUROPEEN DE TRIKE K EN DE CONTRUCTION DE L ARBRE C U N =MAX(U N -K,) C U N- D=MAX(U N- D-K,) C U N- D =MAX(U N- D -K,) rt U = e ( pc + ( p C ) C ) u u rt = e ( pc +( p C ) C ) u C rt = e ( pc + ( p) C ) u CU D N- =MAX(U D N- -K,) CUD N- =MAX(UD N- -K,) CD N =MAX(D N -K,) FIN DEBUT (N+ BRANCHE) 5

+ ( p C ) C ) u u rt = e ( pc +( p C ) C ) u C rt = e ( pc + ( p) C ) u CU D N-

6 ARBRE A N PA ( DT = T/N ) CALL AMERICAIN DE TRIKE K EN DE CONTRUCTION DE L ARBRE C U N =MAX(U N -K,) C U N- D=MAX(U N- D-K,) C U N- D =MAX(U N- D -K,) C u n j j i = Max e rt pc u n j+ n j j + j i ( p) C, Max( u K) u n j j i+ CU D N- =MAX(U D N- -K,) CUD N- =MAX(UD N- -K,) CD N =MAX(D N -K,) FIN RANG J DEBUT (N+ BRANCHE) Dans notre exemple, il s agit e remplacer à chaque nœu Le strike K par le prix forwar e l obligation restant à vivre à ce nœu. 6

j i+ CU D N- =MAX(U D N- -K,) CUD N- =MAX(UD N- -K,) CD N =MAX(D N -K,) FIN RANG J DEBUT (N+ BRANCHE) Dans notre

7 II - MODEL PAR FORMULE EXPLICITE APPROCHEE OC = Obligation + Call sur action Obligation = somme es flux obligataires actualisés aux taux e marché en tenant compte éventuellement u risque e éfaut. Pr ixpleincoupon = nbrcoupon i= tauxcoupon + No min al ZC t + TauxRecovery No min al base( ti ti ) ZC( ti )( Pr obadefautt ) I ( nbrcoupon ) ( Pr obadefautnbrcoupon ) No min al ZC( tnbrcoupon ) Pr obadefautnbrcoupon Call (américain ou européen selon les circonstances) sur action par CoxRossRobinstein (CF Chap. I) Comparaison Valorisation OC trike tock ( ) PRIX OC CP PRIX OC ACTION 7

Pr ixpleincoupon = nbrcoupon i= tauxcoupon + No min al ZC t + TauxRecovery No min al base( ti ti ) ZC( ti )( Pr obadefautt ) I ( nbrcoupon ) ( Pr

8 Zoom comparaison Valorisation OC OC CP OC Blackcholes 8

9 III - MODELE D AUGRO On envisage une entreprise qui, jusqu à ce jour t, n était financée que par es actions orinaires. oit V la capitalisation boursière e la firme, V = N, ésignant le cours e l action et N le nombre actions orinaires émises. On amet que V suit un processus brownien géométrique caractérisé par son écart type (volatilité) σ V. En t, la firme émet m obligations convertibles au prix Q, telle que l émission es obligations laisse inchangé le cours es actions. On suppose que le prouit e l émission est imméiatement investi ans es actifs assimilables à ceux e la firme existants avant l émission. oit V la valeur totale e la capitalisation boursière aussitôt après l émission. V = V + mq = N + mq. On postule que chaque obligation convertible peut être convertie en w actions et ce, à chaque instant, penant toute la urée τ es obligations. i elles ne sont pas convertis à l échéance, les obligations sont alors remboursées par l émetteur au prix K par obligation, sauf s il y a éfaillance e l entreprise. En cas e éfaillance, les obligations sont prioritaires sur la capitalisation boursière par rapport aux actions. avant l'émission V N après l'émission V +Mq N +Mq V 9

On amet que V suit un processus brownien géométrique caractérisé par son écart type (volatilité) σ V.

10 A une ate quelconque t* entre t et τ Premier cas : w * > K (seuil e conversion atteint avant l échéance) Les titulaires es obligations convertibles ont intérêt à convertir leur titre. ils convertissent tous ensembles, ils reçoivent aussitôt après la conversion V* * = N + mw Ils exercent onc les OC ès lors que V* w * > K c est à ire w * = w > K N + mw * > K w soit V ( N + mw) euxième cas : w * < K (seuil e conversion non atteint avant l échéance) et V > mk * Les titulaires es obligations convertibles emanent à l échéance le remboursement e leur emprunt. Il est intégralement remboursée si la capitalisation boursière e la firme est supérieur à mk, la valeur es remboursement prévue. troisième cas : w * < K (seuil e conversion non atteint avant l échéance) et V * < mk Il y a éfaillance e l émetteur et les valeurs es actions sont alors nulles.

euxième cas : w * < K (seuil e conversion non atteint avant l échéance) et V > mk * Les titulaires es obligations convertibles emanent à l échéance le remboursement e leur emprunt.

11 Grâce à black-choles en utilisant σ V = σ en t. On a mw mw N = C C et mq = V C + C N + mw N + mw Avec rτ ( ) mke N( ) C = VN ln = V mk + r + σ τ σ τ V = σ V τ N + mw C = VN w rτ ( ) Ke N ( ) V ln + r + σ τ N + mw K = w σ τ V = σ V τ Comparaison Moèles OC tock ( ) PRIX OC CP PRIX OC ACTION Prix OC Augros

12 IV - MODELE DE ZHOU AND ALL ource: MPRA Paper No 74 Zhou an Alls Hypothèses u moèle Moèle e Black-choles pour l action Le marché est parfait et efficient (chaque intervenant possèe toutes les informations et trouve toujours un acquéreur ou un veneur) L effet ilution e l action est éjà ans les cours e celle-ci. Notations CCB : Callable convertible Bon B F : Nominal e l obligation B C : prix exercice e l option P : Prix e conversion Ratio e conversion = B F, P τ i, R i : respectivement ates e tombée e coupon et taux e coupon T : ate échéance = τ N ( T C) ( T C) Pv, : la valeur présente e tous les coupons tombée jusqu à l échéance T Fv, : la valeur future en T e tous les coupons tombée jusqu à l échéance T * τ : Date émission es obligations convertibles t : valeur e l action à la ate t ( T C) B, : valeur e l obligation orinaire B c P = τ * = P BF

Notations CCB : Callable convertible Bon B F : Nominal e l obligation B C : prix exercice e l option P : Prix e conversion Ratio e conversion = B F, P τ i, R i : respectivement ates e tombée e coupon

13 Théorème CCB (, T, C) = i ( B / P ) ABC (, T, P P, P ) + ( B / P ) F + + ABC i F C UOC, T, + B i ABC (, T, BF, P ) ABC (, T, BF, P ) (, T, Fv( τ *, C), P ) ABC (, T, Fv( T, C), P ) + B(, T, C) N F P, P Avec P = BC * P / BF ABC i [ ] (,,, ) ( )( / ) 3) é ( ) ( / ) 3) é ( MU+ MU / σ ( MU MU / σ T P P P = P P P N a + P N( ) ( (P / ) -( (P / ) a C UOC T,, + B N F ( MU / (σ ) ( MU / (σ ) P, P = ( N() - ( -( N( ) - ( N(- 3) - ( N(- 4 ) - ( + R) P Exp(-r T) N( - σ- σ T ) + R) P Exp(-r T) N( - σ- σ T ) + R)PExp(-r T)(P / ) + R)PExp(-r T)(P / ) ( * MU / (σ ) ( * MU / (σ ) N(-3 N(- 4 + σ T )) + σ T )) ABC i ( T, B, P ) F BF ((P / ) = + (P / ) ((MU + MU 3 ) / (σ, ((MU - MU 3 ) / (σ )) )) * N(-A ) * N(-A )) ABC ABC i ABC ( MU / (σ )) (, T, B, P ) = BF Exp(-rT)((P / ) * N(-A3 ) N(-A4 )) F + + = N ( MU / (σ )) (P / ) * N(-A3 ) N(-A4 ), * RBFExp( r i ) ( MU / (σ )) i= (P / ) * N(-A5( i) ) + N(-A6( i) ) ( T, Fv( τ, C), P ) τ (* MU/ ( σ )) (, T, Fv( T, C), P ) = Pv(T,C) *((P / ) * N(-A3) + N(-A4)) 3

- ( -( N( ) - ( N(- 3) - ( N(- 4 ) - ( + R) P Exp(-r T) N( - σ- σ T ) + R) P Exp(-r T) N( - σ- σ T ) + R)PExp(-r T)(P / ) + R)PExp(-r T)(P / ) ( * MU / (σ ) ( * MU / (σ ) N(-3 N(- 4 + σ T )) + σ T ))

14 MU = r - sigma / MU = r + sigma / MU3 = qr(mu + * r * sigma ) A = (Log(P / ) + MU3 * T) / (sigma * qr(t)) A = (Log(P / ) - MU3 * T) / (sigma * qr(t)) A3 = (Log(P / ) + MU * T) / (sigma * qr(t)) A4 = (Log(P / ) - MU * T) / (sigma * qr(t)) A5(i) = (Log(P / ) + MU * τ i ) / (sigma * A6(i) = (Log(P / ) - MU * τ i ) / (sigma * τ i ) τ i ) = (Log( / (( + tauxfacial) * P)) + MU * T) / (sigma * qr(t)) = (Log( / P) + MU * T) / (sigma * qr(t)) 3 = (Log(P * P / (( + tauxfacial) * * P)) + MU * T) / (sigma * qr(t)) 4 = (Log(P / ) + MU * T) / (sigma * qr(t)) Comparaison Valorisation OC tock ( ) PRIX OC CP Prix OC Augros PRIX OC ACTION Prix OC Zhou 4

(( + tauxfacial) * P)) + MU * T) / (sigma * qr(t)) = (Log( / P) + MU * T) / (sigma * qr(t)) 3 = (Log(P * P / (( + tauxfacial) * * P)) + MU * T) / (sigma * qr(t)) 4 = (Log(P

15 Comparaison Valorisation OC Temporelle Durée Call en jour PRIX OC CP PRIX OC ACTION Prix OC Augros Prix OC Zhou 5

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