Notes de cours d électrostatique (classes préparatoires) Exercices et examens corrigés. Zouhaier HAFSIA. Saliha NOURI

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1 Insttut épaatoe au Etudes d Ingéneus El-ana Ecole Supéeue des Scences et Technque de Tuns Notes de cous d électostatque (classes pépaatoes) Eecces et eamens cogés Zouhae HAFSIA Insttut épaatoe au Etudes d Ingéneus El-ana Salha NUI Ecole Supéeue des Scences et Technque de Tuns Année unvestae 9-.

2 Tables des matèes Notes de cous Chapte I - CHAGE ET INTEACTINS ELECTSTATIQUES... Chapte II - CHA ET TENTIEL ELECTSTATIQUES....7 Chapte III- THEEE DE GAUSS 7 Chapte IV - LE DILE ELECTSTATIQUE.8 Eecces cogés Calcul de la foce et du champ électostatques cées pa des chages ponctuelles. 5 Calcul dect du potentel et du champ électostatque cées pa une dstbuton contnue de chages.9 Calcul du champ et du potentel électostatque cées pa une dstbuton contnue de chages à pat du théoème de Gauss.56 Eamens cogés Eamen ESSTT..68 Eamen IEI-El ana Eamen IEI-El ana 8..8 Annee : Systèmes des coodonnées à aes othogonau..88

3 Notes de cous d électostatque

4 Chapte I I- INTDUCTIN CHAGE ET INTEACTINS ELECTSTATIQUES L'électostatque est la banche de la physque qu étude les phénomènes (champ et potentel électostatque) céés pa des chages électques statques pou l'obsevateu. Les foces électostatques sont déctes pa la lo de Coulomb qu pésente une cetane analoge avec l nteacton gavtatonnelle. I- LA CHAGE ELECTIQUE I-. Défnton La chage électque d une patcule est une gandeu scalae (algébque) qu caactése les actons électomagnétques subes ou eecée pa la patcule. La chage électque joue dans l nteacton électostatque le même ôle que joue la masse (scalae postve) dans l nteacton gavtatonnelle. Les epéences d électsaton montent qu l este deu classes de patcules chagées : deu patcules chagées d une même classe se epoussent alos que deu patcules chagées appatenant à des classes dfféentes s attent. a conventon, l une des classes sea dte chagée postvement, l aute chagée négatvement. Ans, s le poton est affecté d une chage postve et l électon d une chage négatve, aucune consdéaton physque ne peut justfe ce cho qu n a aucune ncdence su la théoe de l électomagnétsme. I-. Quantfcaton de la chage A l échelle mcoscopque, l epéence monte (llkan, 9), monte que la chage électque vae de façon dscontnue et se pésente pa unté sous fome de quantté ben détemnée. n dt qu elle est quantfée. Sa valeu est un multple ente d une chage qu on peut pende comme chage élémentae, notée e. C est la valeu absolue de la chage de l électon e,69-9 C. Les patcules élémentaes, consttuants de la matèe, ont pou chages: - électon : q -e - l,6-9 C - poton : q + e l,6-9 C - neuton : la chage est nulle. L unté de la chage est le coulomb C dans le SI. (KSA). C est la quantté de chage tanspotée pa un couant de Ampèe pendant seconde (Q I t). C 6,5 8 e C est un nombe élevé de patcules. Dans la patque, on utlse le mc et le μc. Notons, qu à l échelle macoscopques (gand nombe de chage élémentaes) la natue dscontnue de la chage n a plus de sens : la chage électque paaît ête une gandeu susceptble de vaaton contnue. I-. Invaance de la chage électque Le pncpe de consevaton de la chage est des pncpes fondamentau de consevaton qu sont à la base de la physque, tels que la consevaton de l énege, de la quantté de mouvement, du moment cnétque,... La chage totale d un système n est pas modfée pa sute du mouvement des chages. La lo de consevaton de la chage est valable en elatvté, c est-à-de même s la chage se

5 déplace à une vtesse poche de celle de la lumèe. n dt que la chage électque est une gandeu qu est consevée : c est un nvaant elatvste. Des epéences ont pems de monte que la valeu de la chage d un électon ne dépend pas de sa vtesse : la valeu est donc la même pou un obsevateu en mouvement pa appot à la chage. Ce n est pas le cas de toutes les gandeus physques : l énege est consevée mas n est pas un nvaant elatvste. I- LI DE CULB U INCIE FNDAENTAL DE L ELECTSTATIQUE Nous commenceons pa analyse l nteacton électostatque (foces et champ) dans le cas de chages ponctuelles. a chages ponctuelles nous voulons sgnfe que les dmensons des chagées sont pettes pa appot à la dstance qu les sépae ; ce n est donc qu une déalsaton mathématque d un système physque. La généalsaton de ces notons au cas d une dstbuton contnue de chages sea fate dans le chapte II. I-. Enoncé de la lo de Coulomb Consdéons dans le vde, deu chages ponctuelles q et q, fées en et. Les deu chages statonnaes q et q eecent l une su l aute une foce popotonnelle à chacune des chages et nvesement popotonnelle au caé de la dstance qu les sépae. La foce électostatque est dgée suvant la dote qu jont les chages (fgue I-). Elle attactve s les chages sont de sgnes contaes (fgue I--a), épulsve losque les chages sont de même sgne (fgue I--b). F F F q F q u q q < q u q q > Fgue I--a Fgue I--b La foce F eecée pa q su la chage q s éct : qq F K u (I-) où est la dstance ente q et q et u le vecteu untae défn pa : u Confomément au pncpe de l acton et de la éacton, la foce F eecée pa q su la chage q est égale et opposée à F : F F Les foces F et F sont potées pa la dote qu jont les chages q et q. C est une caactéstque que l on peut eplque en évoquant le pncpe d sotope : dans un unves vde, aucune decton ne peut ête pvlégée pa appot à une aute, toutes les dectons sont équvalentes. La pésence de deu chages ponctuelles détut cette sotope en ntodusant une seule decton pvlégée, la dote jognant les chages.

6 La constante de popotonnalté est lée au untés choses pou epme la foce, la longueu et la chage. Dans le système d untés ntenatonal (S.I.), sous sa fome atonalsée, K s éct : 9 K 9 SI ( V m / C) où est la pemttvté du vde et a pou valeu : 8, 854 F m I-. Valdté de la lo de Coulomb La lo de Coulomb est valable pou des chages au epos où à la lmte en mouvement elatf lent. Elle est auss valable dans le vde et appomatvement dans l a. La lo de Coulomb este valable pou les tès gandes dstances dans le domane mcoscopque : jusqu à -5 m, ode de gandeu des dmensons du noyau atomque. Cette lo n est pas valable pou des dstances nféeues à -5 m (dmenson du noyau atomque). Dans ce dene cas, l sea nécessae d utlse la mécanque quantque pou l étude du compotement des patcules sous l effet des foces coulombennes. Dans d autes mleu lnéaes homogènes et sotopes (l.h..), l nteacton électostatque est ben décte pa la lo de Coulomb à condton de emplace pa une constante dfféente qu tent compte de l nfluence du mleu (ses caactéstques électques ). s appelle la pemttvté délectque du mleu et l on pose dans ce cas / où est la pemttvté délectque elatve du mleu (quantté sans dmenson). I-. Analoge avec l nteacton de gavtaton Deu ponts matéels de masse m et m, placées espectvement en et eecent l un su l aute une foce de gavtaton ; la foce F g eecée pa m su m est : u F g G mm (I-) ù G est la constante de gavtaton unveselle. La foce de gavtaton a la même fomulaton mathématque que la foce électostatque : elle est potée pa la dote qu jont les masses m et m et nvesement popotonnelle au caé de la dstance qu sépae les deu masses. Nous veons au chapte suvant les popétés qu découlent de ces deu caactéstques et qu seont donc applcables au foces de u gavtaton. C est pouquo on appelle les foces de la fome k, foces coulombennes. as elles sont toujous attactves. D apès le cous de mécanque du pont, la foce de gavtaton joue un ôle fondamental dans la mécanque des objets macoscopques et dans la dynamque céleste. Cependant, à l échelle atomque et subatomque, la foce de gavtaton est néglgeable. A tte d eemple, compaons la foce de gavtaton qu s eece ente l électon et le poton d un atome d hydogène à la foce électostatque s eeçant ente eu. La dstance qu sépae l électon de masse m e 9, - kg du poton de masse m p,7-7 kg est envon 5 - m. 9 e 9 (,6 ) 8 F e 9 9 N (5 ) 7 mem p (9, )(,7 ) 47 F g G 6,7 4 N (5 )

7 La foce électostatque est 9 fos supéeue à la foce de gavtaton. n peut alos s étonne du fat que dans note ve quotdenne, nous ne essentons pas de manfestatons de ces foces énomes d ogne électque. L estence de deu types de chages de sgne contae, mas de même valeu absolue condut à des foces de épulson et d attacton et la neutalté électque de la matèe assue une compensaton ente ces foces. a conte les foces gavtatonnelles ben que d ntensté fable, podusent des effets sgnfcatfs ca elles sont toujous attactves. n peut magne ce qu entaîneat un lége ecès d électons su deu pesonnes dstantes de un mète : s chacune d elle pote un pou cent de plus d électons que de potons, elles eeceaent ente elles une foce capable de souleve la tee toute entèe. I-4 INCIE DE SUESITIN Consdéons tos chages ponctuelles q, q et q fées espectvement en, et (Fgue I-). q F q > F F q < Fgue I- Quelle est la foce F que subt la chage q placée en pésence des chages q et q? La lo de Coulomb pemet de calcule la foce F sube pa la chage q losqu elle est unquement en pésence de q. n peut de la même manèe calcule F, foce sube pa q losque seule q est en pésence de la chage q. L epéence monte que la foce F subt pa q losqu elle est en pésence des deu chages q et q est la somme vectoelle des foces F et F : F q q q q F + F + (I-) 4 Π Ce ésultat est véfé quel que sot le nombe de chages en pésence. La foce F sube une chage q placée en, en pésence de n chagées q, q,..., q,...,q n fées en,,...,,..., n est la somme vectoelle des foces dues à l nteacton de chacune des chages avec q, calculées sépaément : F n F q n q Cette epesson epme le pncpe de supeposton. la foce totale F due à un ensemble de chages est la somme vectoelle de l effet de chaque chage pse ndvduellement. Ce qu suppose que la foce s eeçant ente deu chages n est pas modfée pa la pésence d une tosème chage. Il y a donc ndépendance des effets : la (I-4) 4

8 soluton est smplement la somme des solutons calculées pou chaque couple de chages. Il en ésulte que les équatons de l électostatque sont des équatons lnéaes. Le pncpe de supeposton s applque au phénomènes électomagnétques : les équatons de awell, équatons de base de l électomagnétsme sont des équatons lnéaes. Cependant, l ne faut pas en dédue que c est un pncpe généal en physque. En effet, le pncpe de supeposton ne s applque pas toujous ; pa eemple, dans le domane atomque ou subatomque, des effets quantques de natue électomagnétque, non lnéaes peuvent appaaîte. I-5 LE CHA ELECTSTATIQUE Consdéons la foce F défne pa (I-4). Dvsons l epesson (I-4) pa la chage q. Nous obtenons une gandeu vectoelle qu dépend de la stuctue des n chages et de la poston du pont : cette gandeu est appelée le champ électostatque, E ( ), cée au pont pa le système de chagées q, q,..., q,..., q n fées en,,...,,..., n. E( ) F q u et n n q 4 q u Π Le champ électostatque E ( ) qu ésulte de F est la somme vectoelle des champs E ( ) cées pa les chages q : n (I-5) E( ) E ( ) (I-6) où E ( ) est le champ cée en pa la chage q ponctuelle placée en (Fgue I-) q q u E ( ) (I-7) Π 4 Nous venons de défn une gandeu vectoelle, foncton du pont, caactéstque du système de chages q, q,..., q,...,q n, souces du champ E. En chaque pont de l espace, on fat coesponde un vecteu E, foncton du pont consdéé (Fgue I-). E ( ''') E ( ) E ( '') q > E ( ') Fgue I- 5

9 L ensemble des vecteus E consttue un champ de vecteus. Le champ E étant détemné, la foce F que subt une chage q placée en un pont est donnée pa la elaton : F q E( ) (I-8) L ntoducton du champ E aboutt à une nouvelle descpton de l nteacton électostatque. Nous avons emplacée l acton à dstance contenue dans la lo de Coulomb pa la noton de champ électostatque, gandeu locale. Au leu de consdée les chages q et q en pésence nteagssant pa l ntemédae de la foce de Coulomb : Chage q en Chage q en soumse à F q n q n epme le champ E cée pa la chage q dans tout l espace entouant cette chage. Ce champ este ndépendamment du fat qu l este ou non une aute chage q en pésence de la chage q, souce du champ E. La foce F sube pa q placée en ésulte de l estence en ce pont d un champ électostatque : Chage q en : n souce du champ E( ) electostatque q Agt su la chage q : F q E I-6 CNCLUSIN Le champ électostatque cée en un pont pa une chage ponctuelle q placée en est : q q u E( ) où : u et Le champ E ( ) pésente deu caactéstques : La pemèe ésde dans le fat que E ( ) est de la fome f ( ) u, popété que nous eploteons dans le calcul de la cculaton de E et qu condua à la défnton du potentel électostatque. La deuème caactéstque est la fome de f(), en, popété que nous eploteons dans le calcul du flu de E et qu condua au théoème de Gauss. Les ésultats que nous u obtendons seont valables pou tout champ de la fome f ( ) u, en patcule le champ de gavtaton. 6

10 Chapte II CHA ET TENTIEL ELECTSTATIQUES II- INTDUCTIN Le potentel électostatque V() assocé au champ électostatque E ( ) est une foncton scalae contaement à E. Nous veons, dans beaucoup de cas, que le potentel sea un ntemédae commode dans le calcul du champ vectoel E ( ). Le potentel se attache physquement à la noton d énege potentelle, d où son appellaton. II- CICULATIN DU CHA ELECTSTATIQUE : LE TENTIEL ELECTSTATIQUE II-. otentel électostatque a) Cas d une seule chage ponctuelle Consdéons une chage ponctuelle q (>) fée en et un pont de l espace (fgue II-) : A E( ) q u d B Fgue II- La chage ponctuelle q fée en cée en tout pont de l espace un champ électostatque donné pa : q q u E( ) avec u : vecteu untae dgé de ves. La cculaton élémentae dc du champ E coespondant à un déplacement élémentae d du pont su la coube AB est : q dc E. d u. d (II-), d d( ) d( u) d u + du et d. u ( d u + du). u d + du. u usque : d ( u. u) u. du ; on a : d. u d La cculaton élémentae dc s éct alos : 7

11 dc q d q d( ) (II-) osons alos, dc E. d dv ( ) V est le potentel électostatque V() cée pa la chage q fée en : q V ( ) V ( ) + cste (II-) Nous venons de défn un nouveau champ, le potentel électostatque ; c est un champ scalae défn à une constante pès. n chost en généal la valeu de la constante de telle sote que le potentel sot nul losque le pont est nfnment élogné de la chage : V ( ). Dans ce cas, la constante est nulle et le potentel s éct : q V ( ) V ( ) (II-4) Comme le champ E, le potentel V n est pas défn au ponts : E ( ) et V( ) ne sont pas défns. b) Cas d une dstbuton de n chages ponctuelles Soent n chages ponctuelles q, q,..., q,...,q n fés au ponts,,...,,..., n. Sot un pont de l espace. (fgue II-). A E n d B q n q q q Calculons la cculaton élémentae dc du champ dc E. d dv ( ) q q u Avec E ( ) et u Ans, le potentel électostatque V () dû à la chage q. q V ( ) avec: Fgue II- E cée pa la chage q seule : Le potentel V() dû à l ensemble des n chages est la somme des potentels en applcaton du pncpe de supeposton : 8

12 V ( ) n V ( ) n q (II-5) Dans cette elaton, nous avons chos la constante nulle pou chaque potentel V cée pa la chage q ; cec n est pas valable que s les chages q sont épates dans un volume fn. II-. elaton ente champ et potentel électostatque Le potentel électostatque a été défn à pat de la cculaton élémentae du champ E : dc E. d dv, dv gadv. d d où la elaton ente E et V : E( ) gadv ( ) : elaton locale (II-6) Le champ électostatque E déve du potentel scalae V. a l ntemédae de cette elaton locale, qu le le champ électostatque E et le potentel électostatque V, la connassance de V en un pont de l espace sufft pou la détemnaton de E ( ). Cette elaton mplque des condtons de contnuté et de dévablté su la foncton V(). Unté : l unté du potentel électostatque dans le système KSA est le Volt (V). D apès la elaton qu le le champ électostatque E et le potentel électostatque V, l unté du champ électostatque est le Volt pa mète (V/m). II-. opétés La cculaton C AB du champ E le long du contou AB est B B C AB E. d dv V ( A) V ( B) A A q (II-7) A B La cculaton du champ de vecteu E, le long de AB, est donc égale à la dfféence de potentel V A V B. Ans, la connassance de E ne défnt que les dfféences de potentel. ou avo le potentel en un pont, l fauda défn une ogne abtae des potentels. Il est commode de chos le potentel nul à l nfn quand la dstbuton de chages est lmtée à un domane fn. La cculaton du champ de vecteu E, le long de AB est ndépendante de la fome du contou AB ; elle ne dépend pas du chemn suv (la cculaton élémentae dc est dfféentelle totale eacte). En conséquence la cculaton de E est nulle le long de tout contou femé. Le champ E est un champ de vecteus à cculaton consevatve qu déve d une foncton scalae appelée potentel électostatque. En ésumé : B C AB E. d dv V ( A) V ( B) E. d E gadv (II-8) AB A 9

13 II-.4 Topogaphe d un champ électque a) Lgnes de champ ou avo une dée su l allue du champ E, on tace les lgnes de champ, c est à de les coubes tangentes en chaque pont au vecteu E défn en ce pont. Ces coubes sont oentées pa conventon dans le sens du vecteu E (fgue II-). Sot un pont d une lgne de champ et d le vecteu déplacement élémentae su une lgne de champ (Fgue II-). E usque E et d sont colnéaes, on a : E d E (II-9) d Cette elaton pemet d obten les équatons des lgnes de champ. Dans le système de coodonnées catésennes, posons : E E + E j E k et d d + dy j + dk d E y + La elaton (II-9) condut à : dy d (II-) E E y Fgue II- Eemple de lgnes de champ Sot une chage ponctuelle en. les lgnes du champ cée pa la chage ponctuelle sont des dem-dotes concouantes en, dvegentes s q > (fgue II-4-a) et convegentes s q < (fgue II-4-b). (a) (b) q > q < Notons que dans une égon où le champ E est un vecteu ben défn et non nul, on peut suve de façon contnue une lgne de champ Deu lgnes de champ ne peuvent se cose : la fgue II-4 monte que les lgnes de champ commencent (fgue II-4-a) ou s aêtent (fgue II-4-b) su les chages qu sont des ponts sngules. b) Tube de champ Fgue II-4 L ensemble des lgnes de champ s appuyant su un contou femé consttue un tube de champ (Fgue II-5). Fgue II-5

14 c) Suface équpotentelles Ce sont des sufaces d équaton V cste, c est à de d égal potentel (Fgue II-6). D apès la elaton E gadv, le champ E est nomal au sufaces équpotentelles et dgé ves les potentels décossants (sans le sgne mons dans cette elaton, E est dgé ves les potentels cossants). Nous avons epésenté su la fgue II-6 les sufaces équpotentelles et les lgnes du champ E cée pa une chage ponctuelle postve. Les sufaces équpotentelles sont des sphèes centées en, pont où se touve la chage. La decton de E, c est à de du gadent de V est la decton de la nomale au sufaces équpotentelles, celle où V vae le plus apdement ; l est cla que pou passe de la valeu V à la valeu V, le chemn le plus cout est le segment AB. C B V < V A V (q > ) Lgnes de champ Sufaces équpotentelles Fgue II-6 emaque Losqu on a un système de pluseus chages, on ne peut pas obten les lgnes de champ pa supeposton des lgnes du champ de chacune des chages. Il faut calcule le champ total E et ensute tace les lgnes de champ. II-.5 Sgnfcaton physque du potentel électostatque Concédeons une chage q en soumse à un champ électostatque E ( ) due à une cetane dstbuton de chages dscontnue (fgue II-7). La foce électostatque F qe entaîne un déplacement de la chage q (placée en ) d un pont à un pont. Fgue II-7 La foce électostatque est consevatve. Elle déve donc d une énege potentelle U telle que : du dw ( F) F. d osons : F op F q d E

15 Nous avons ntodut la foce F op pou avo un moyen d amene la chage q du pont au pont, qu n entaîne pas de poducton d énege cnétque. L opéateu déplace tès lentement la chage q avec une foce telle qu elle équlbe la foce électostatque qu s applque à la chage : F op F. Ans, un tel déplacement appelé quas-statque n entaîne aucune poducton d énege cnétque. Dans une telle stuaton, le taval podut en amenant la chage de à se pésente sous fome d énege potentelle. Ans, du epésente le taval qu un opéateu dot applque à la chage q conte la foce électostatque F pou déplace la chage q de d. du F op. d qe. d dw op (II-) ou amene la chage du pont au pont, on a : ΔU q E). d q dv q( V ( ) V ( )) U ( ) U ( ) ( Le taval de la foce F op ne dépend pas du chemn suv, l ne dépend que de la poston ntale et de la poston fnale. Il s ensut que le taval de F op losque la chage q est déplacée le long d un contou femé est nul, ésultat que nous avons obtenu pou la cculaton de E. W op q E. d consevaton de l énege le champ E est consevatf. op Epmons le taval W que l opéateu dot foun pou amene la chage q de l nfn au pont. Sachant que V ( ) : op W qe. d qv ( ) qv ( ) U ( ) (II-) U() est l énege potentelle de la chage q placée au pont où le potentel est V(), d où le nom potentel et la justfcaton du cho du sgne mons dans la elaton de défnton : E gadv. U ( ) qv ( ) : énege potentelle de la chage q placée en un pont où le potentel est égal à V(). L énege potentelle est défne à une constante pès. Il en est de même pou le potentel. Il faut donc un pont de éféence. Epémentalement, seules les dfféences de potentel sont accessbles. II- DISTIBUTIN CNTINUE DE CHAGES - DENSITE A l échelle macoscopque, le nombe de chages élémentaes est s mpotant que la natue dscontnue de la chage n a plus de sens; l en est de même pou la masse pusqu l ne nous est pas possble de décele les potons et les électons à l échelle macoscopque. Cec nous pemet de consdée que la épatton de chages dans la matèe est contnue. II-. Densté lnéque de chage S la chage est concentée su un système flfome, on défnt une densté lnéque de chages λ(), à pat de la chage dq poté pa un élément dl du fl, entouant le pont : (Γ) dl Fgue II-8

16 dq λ dl (II-) La chage totale du fl est donnée pa l ntégale cuvlgne : Q λ dl Γ II-. Densté sufacque de chage Losque les chages sont épates su une couche d épasseu tès fable pa appot au dmensons de la couche, on défnt une densté sufacque de chages () à pat de la chage dq potée pa un élément ds de la suface de la couche, entouant le pont : (Σ) () Fgue II-9 (II-4) dq ds Dans ce cas, la chage totale d une suface (S) est donnée pa s obtent à pat de l ntégale de suface : Q ds S II-. Densté volumque de chage ou déce une dstbuton volumque de chage, on défnt la densté volumque de chages ρ() à pat de la chage dq contenue dans un élément de volume dτ entouant le pont : v ρ() Fgue II- dq ρ dτ (II-5) La densté de chages ρ() est une foncton de pont scalae qu peut sub de gandes vaatons d un pont à l aute de la dstbuton. En effet, la chage est nulle dans l espace vde ente un noyau et un électon et pend une valeu dfféente de éo en un pont stué su le noyau ou l électon. En conséquence ρ() pouat avo des valeus tès dfféentes suvant le cho du volume élémentae dτ. ou que la défnton de ρ() at un sens, c est à de qu elle sot ndépendante de la fome eacte de dτ, l faut consdée un élément de volume dτ qu sot gand pa appot au dmensons atomques, mas tès pett pa appot au dmensons de la dstbuton de chages. Celle-c coespond alos à un système macoscopque et ρ() poua ête consdéé comme une densté volumque de chages, moyennée su le volume dτ. Cette descpton est valable tant que l on s ntéesse à une descpton macoscopque (en opposton à mcoscopque) du système de chages. ou un volume τ, la chage totale s obtent à pat de l ntégale de volume : Q ρdτ τ

17 II-4 CHA ET TENTIEL D UNE DISTIBUTIN CNTINUE DE CHAGES II-4. Intoducton Nous savons détemne le champ et le potentel électostatque cée pa une dstbuton de chages ponctuelles : E( ) q n n E ( ) u n n et V ( ) V ( ) q analogue à l ntégaton numéque Comment calcule le champ et le potentel cées pa une dstbuton contnue? La dstbuton de chages peut ête découpée en éléments de volume ou de suface ou de coube qu potent une chage élémentae dq. Chacune de ces chages élémentaes cée un champ et un potentel électostatques appelés élémentaes. Le champ (ou le potentel) cée pa toute la dstbuton est, pa applcaton du pncpe de supeposton, la somme des chages (ou des potentels) élémentaes cées pa les chages dq. II-4. Dstbuton lnéque n consdèe une poton de coube Γ AB potant une densté lnéque de chage λ (fgue II-8). (Γ) dl u Fgue II-8 Un élément dl entouant un pont pote une chage : dq λ dl Cette chage cée en un champ et un potentel donné pa les epessons suvantes : d dq λ( ) dl dq λ( ) dl E( ) u et dv ( ) avec, u u D où le champ total E ( ) et le potentel V() céés en pa toute la dstbuton lnéque de chage s écvent : dl dl E λ( ) λ( ) ( ) u Π Γ Π (II-6) 4 Γ 4 V ( ) Γ λ( ) dl Γ λ( ) dl Cette denèe elaton n est valable que s le fl est de dmenson fne. (II-7) 4

18 emaque n peut monte que le champ E ( ) et le potentel V() ne sont pas défns en un pont stué su le fl chagé. II-4. Dstbuton sufacque Dans le cas d une dstbuton sufacque de chages, on consdèe une chage dq potée pa un élément de suface ds (fgue II-9). (Σ) () u Fgue II-9 Le champ et le potentel cées en pa dq sont donnés pa : ( ) ds ( ) ds d E( ) u et dv ( ) avec, u u D où le champ total E ( ) et le potentel V() céés pa les chages épates su la suface Σ : ds ds E ( ) ( ) ( ) u Π Σ Π (II-8) 4 Σ 4 V ( ) Σ ( ) ds Σ ( ) ds (II-9) Cette elaton suppose que la dstbuton de chages s étend su une suface de dmenson fn. Dans le cas contae, on chosa comme ogne des potentels un pont à dstance fne. emaque n peut monte que le potentel est défn su la suface chagée et contnue à la tavesée de la suface chagée. Il n en est pas de même pou le champ E qu n est pas défn su une suface chagée. Il subt une dscontnuté à la tavesée de la face chagée. Nous étudeons le compotement du champ E à la tavesée d une suface chagée au chapte III. 5

19 II-4.4 Dstbuton volumque Sot une dstbuton volumque de chages contenue dans le volume v ; ρ() est la densté volumque de chages en un pont du volume v (fgue II-). v u ρ() Fgue II- La chage contenue dans l élément de volume entouant le pont dτ est : dq ρ ( ) dτ Cette chage cée en un champ d E et un potentel dv comme le feat une chage ponctuelle dq placée en (Fgue II-) : dq dq d E( ) u et dv ( ) avec, u u et dq ρ ( ) dτ D apès le pncpe de supeposton, le champ total E ( ) céé pa la dstbuton est la somme des contbutons d E( ) : d d E ρ( ) τ ρ( ) τ ( ) u Π v 4 Π (II-) v 4 Il faut donc calcule une ntégale de volume pou obten le champ E ( ) alos que le potentel est obtenu à pat de l ntégale de volume : ρ( ) dτ ρ( ) dτ V ( ) v (II-) v Cette elaton suppose que l on a chos le potentel nul à l nfn, donc que la dstbuton de chages s étend su un volume fn. S ce n est pas le cas, l faut chos une aute ogne des potentels. emaque n peut monte que le potentel V et le champ E sont défns en un pont ntéeu à la dstbuton de chages. II-5 Concluson Le champ électostatque peut ête caactésé smplement à l ade d une foncton que nous appelleons potentel électostatque. Cette foncton scalae est souvent plus smple à détemne que le champ électostatque. Cette appellaton sea justfée pa l ntepétaton de cette foncton en teme d énege potentelle d une chage soumse au effets d un champ électostatque. 6

20 Chapte III III- INTDUCTIN THEEE DE GAUSS Dans le calcul de la cculaton du champ électostatque E, nous avons utlsé le fat que E est de la fome f ( ) u et nous avons en dédut la elaton ente le champ E et le potentel V. Nous allons mantenant dédue une équaton du champ E qu dépend spécfquement du fat que f() est en /. Les développements qu suvent s applquent donc au champ de la fome u /. III- FLUX DU CHA ELECTSTATIQUE III-- Cas d une chage ponctuelle a) Flu élémentae Sot une chage ponctuelle q> placée en et un pont de l espace (fgue III-). n u α d S q > ) dω Fgue III- ds Le champ E ( ) céé pa q en est : q u E( ) avec, u / et Sot ds un élément de suface entouant le pont ; oentons la suface ds (fgue III- ). Le flu élémentae de E à taves la suface oentée est : q u. d S q dφ E. d S dω (III-) Π 4 u. d S u. n où, dω ds : angle solde élémentae sous lequel du pont on vot la suface élémentae. Le sgne de dω dépend de l oentaton de la suface : dω > s α ( u, n) < Π/ dω < s α > Π / 7

21 b) Flu sotant à taves une suface femée Sot une suface femée Σ. n se popose de calcule le flu du champ électostatque E céé pa une chage ponctuelle q à taves la suface femée Σ. lus pécsément on s ntéesse au flu sotant, donc on a chos d oente le vecteu n dans le sens de la nomale sotante à Σ. Deu cas seont envsagés : le cas où la chage q est stuée à l etéeue de la suface Σ et celu où la chage q est stuée à l ntéeu de la suface Σ Nous désgnons pa l ndce les chages stuées à l ntéeu de Σ et pa l ndce e les chages etéeues à Σ. Sot E le champ céé pa q et E e le champ céé pa q e. è Cas : La chage est stuée à l etéeu de Σ Nous pouvons calcule le flu sotant de la suface femée Σ (fgue III-) à pat des flu élémentaes. En effet, taçons un cône élémentae de sommet (où se touve la chage etéeu à Σ, q e ) et d angle solde d Ω. Ce cône découpe su la suface Σ deu sufaces élémentaes ds en et ds et. Soent n et n ' les vecteus sotant des sufaces ds et ds. L angle solde sous lequel du pont on vot les sufaces élémentaes oentées ds et ds, a la même valeu absolue, mas de sgnes opposés à cause de l oentaton du vecteu nomal n pa appot à u (fgue III-) : u n' E e n u ds ds q e dω (Σ) Fgue III- u. n u. n' d Ω (III-) ds dω' ds' ' S on consdèe le flu du champ E e céé pa la chage q e stuée en, sotant des sufaces ds et ds, d apès (III-) et (III-), on obtent : ' qe qe dφ + dφ dω + dω' ou obten le flu de E e sotant de la suface Σ, Φ e E e. d S, on peut balaye toute la suface Σ à l ade de cônes élémentaes tels que celu de la fgue III-. Chacun de Σ 8

22 ces cônes ntecepte su la suface Σ une pae de sufaces élémentaes ds et ds telles que leu contbuton au flu total, d Φ + dφ'. n en conclut que le flu du champ électostatque cée pa une chage ponctuelle stuée à l etéeu d une suface femée Σ, sotant de la suface Σ est nul : Φ e E e. d S (III-) Σ ème Cas : La chage est stuée à l ntéeu de Σ Sot (C) le cône élémentae de sommet et d angle solde dω (fgue III-). (C) u n E ds q n' u' dω ds dω (Σ) Fgue III- Dans ce cas, l angle solde sous lequel du pont on vot ds est égal à l angle solde sous lequel de on vot ds : d Ω dω' d où dφ dφ' dφ. Ans, la pae de suface élémentae ds et ds découpées pa un cône élémentae de sommet (ou se touve la chage q ) donne une contbuton d Φ + dφ' au flu total, non nulle. Le flu élémentae dφ cée pa E à taves une suface élémentae ds (fgue III- 4) est donnée pa : u n ds q dφ E. d S dω Le flu total sotant de Σ est la somme des flu élémentaes dφ : q Φ dω Σ q dω (Σ) Fgue III-4 9

23 Σ Ω d est l angle solde sous lequel du pont, on vot la suface femée Σ ; Ω est donc l angle solde sous lequel du pont on vot tout l espace : Ω 4Π d où : q Φ Le flu du champ électostatque céé pa une chage ponctuelle stuée à l ntéeu d une suface femée Σ, sotant de la suface Σ est égal à : q Φ E. d S (III-4) Σ Ans, le flu total du champ électostatque céé pa une chage ponctuelle est : q Φ Φ + Φ Φ e Cette elaton ele le flu à taves une suface femée (Σ) et les échanges à l ntéeue de cette suface. III-- Cas de n chages ponctuelles Consdéons n chages à l ntéeue d une suface femée (Σ) et n e chages stuées à l etéeue de cette suface. Le champ E céé pa les n chages (n n + n e ) est la somme vectoelle des champs céées pa chacune des chages : E n n e E + E e e Le flu du champ E sotant de la suface Σ est : Φ E. d S E + E e. d S Φ + Σ Σ e D apès (III-) et (III-4), on a : q Φ et Φ e d où : n Qnt Φ q avec, Q nt q Le flu sotant de la suface femée Σ est égal à la somme, dvsée pa, des chages ntéeues à la suface Σ : Qnt Φ E. d S q (III-5) Σ avec, Q nt : chage totale ntéeue à Σ Ce ésultat consttue le théoème de Gauss. e Φ e

24 III-- Cas d une dstbuton contnue de chage n peut éce le théoème de Gauss dans le cas où la dstbuton de chages est contnue et décte pa une densté volumque de chages ρ. La chage totale ntéeue à Σ, c est à de contenue dans le volume v lmté pa la suface femée Σ est : Q nt v ρ dτ ù v est le volume délmtée pa (Σ). Dans ce cas le théoème de Gauss s éct, v étant le volume lmté pa la suface (Σ) : Φ E. d S ρ dτ (III-6) Σ v C est l epesson du théoème de Gauss sous la fome ntégale. III--4 Valdté du théoème de Gauss écsons que ce théoème est obtenu à pat de la lo de Coulomb (lo fondamentale de l électostatque). Ce théoème este valable quand les chages sont en mouvement. Le théoème de Gauss est une conséquence : ) de la lo en / égssant les nteactons ente les chages électques ) du caactèe cental des foces électostatques ) du pncpe de supeposton Nous pésentons dans le tableau c-dessous la fomulaton du théoème de Gauss pou le champ électostatque. Souces du champ Champ céé en pa une q u souce ponctuelle placée en E ( ) Flu élémentae Théoème de Gauss dφ Φ Chages q Σ dω E. d S Cependant, ce théoème est également valable pou tous les champs de vecteus de la fome u /, en patcule pou le champ de gavtaton g. q q ou Φ v ρ dτ IIL- SYETIE ET INVAIANCE DE LA DISTIBUTIN DE CHAGE ET CAACTEISATIN DU CHA ET DU TENTIEL n appelle que le calcul du champ électostatque E, cée pa une dstbuton de chage de densté volumque ρ peut ête mené, sot à pat : de la lo de Coulomb : ρdτ E u Π τ 4 du potentel V :

25 V τ ρdτ avec, C E gadv ou E. d où τ est le volume de la dstbuton de chage, et C est un contou femé. du théoème de Gauss sous sa fome ntégale: q E. nds S ù n est la nomale à la suface femée englobant la chage q. III-- Symétes des souces ( causes) et des effets cées : ncpe de Cue Les effets pésentent les mêmes symétes que leus causes. Les éléments de syméte des causes (dstbutons D ou souces) dovent donc se etouve dans les effets ( E et V) poduts. a) Dstbuton de chage pésentant un plan de syméte pa (Π) n dt qu une dstbuton de chage (D) est symétque pa appot à un plan Π, s pou deu ponts et symétques pa appot à Π, on a (fgue III-5) : ρ '( ') ρ( ). ρ() Π I ρ( ) Fgue III-5 ou lluste ce cas, nous penons deu chages dentques q placées en et, où est le symétque de pa appot au plan Π. Sot le symétque du pont pa appot au plan Π. n peut constate su la fgue III-6 que le champ en est le symétque du champ en : E ( ') syme( ) et V ( ') symv ( )

26 E( ) E( ') E ( ) E ' ( ') E ' ( ) E ( ') + + q Π q Fgue III-6 n emaque que les composantes du champ paallèles au plan de syméte E // sont consevées alos que celles pependculaes au plan E sont nvesées : E // ( ') E // ( ) et E ( ') E ( ) En patcule, en un pont du plan de syméte ( ) on a (fgue III-7): E( ) + + q Π q Fgue III-7 E ( ) d où : E ( ) E // ( ) + E ( ) E // ( ) Le champ électque est contenu dans le plan de syméte pae. Dune façon généale tout vecteu polae est contenu dans le plan de syméte pae (fgue III-7). b) Dstbuton de chage pésentant un plan de syméte mpa (Π ) Une dstbuton de chage possède un plan de syméte mpae Π, s pou deu ponts et symétques pa appot à Π, on a

27 ρ' ( ') ρ( ) ou lluste ce cas, nous penons deu chages q et q placées en et, où est le symétque de pa appot au plan Π. E ( ) E( ) E ' ( ) E ( ') E( ') E ' ( ') + - q Π -q Fgue III-8 Sot un pont symétque de pa appot à Π, n peut constate su la fgue III- 8 que le champ en est l opposé du symétque du champ en : E( ') syme( ) et V ( ') symv ( ) A l nvese du cas pécèdent, on emaque su la fgue III-8 que les composantes du champ paallèles au plan de syméte mpa Π sont opposées alos que celles pependculaes au plan sont consevées : E // ( ') E // ( ) et E ( ') E ( ) S appatent au plan de syméte mpae ( ), on aua (fgue III-9) : E( ) + + q Π -q Fgue III-9 n a donc, E // ( ) et E( ) E // ( ) + E ( ) E ( ) Tout vecteu polae est pependculae à un plan de syméte mpae. 4

28 c) Conséquences Los d une opéaton de syméte applquée à la dstbuton de chages (D), le champ électostatque E subt la même opéaton. n dt que le vecteu champ électque est un vecteu polae ou va vecteu. Ce vecteu a les mêmes popétés de syméte que ses souces. Les plans de syméte nous pemettent souvent de touve la decton du champ en un pont. ou touve la decton du champ E en un pont, l sufft de touve : * Sot deu plans de syméte passant pa. Le champ E appatenant à ces deu plans. Il est donc poté pa la dote fomée pa leu ntesecton. * Sot un plan de syméte mpa passant pa. La decton du champ E au pont est donnée pa la nomale au plan de syméte mpae. Les plans de syméte pemettent d obten les composantes du champ E. III-- Invaance de la dstbuton de chage a) Invaance pa tanslaton le long d un ae Les vaables dont dépendent ces composantes sont obtenues en étudant les nvaances de la dstbuton de chages. Dans la plupat des cas nous utlsons des dstbutons déalsées, pa eemple pou calcule le champ E cée pa un fl en un pont de l espace homogène et sotope, tès poche du fl, on peut consdée que le fl est nfn. Consdéons l eemple d un fl ectlgne caactésé pa une densté lnéque λ unfome. S on tanslate le fl paallèlement à lu même d un vecteu T, la nouvelle dstbuton D coïncde avec D (pusque le fl est consdéé nfn et la dstbuton de chage est unfome). (fgue III--a). D Fl tanslaté T T E( ') E '( ) E( ) E( ) D D Fl Fgue III--b Fgue III--a n a : λ '( ) λ( ) D apès le pncpe de Cue, le champ E( ) et le potentel V() sont nchangés en un pont quelconque de l espace homogène et sotope : E '( ) E( ) ou un aute pont quelconque tel que: ' T, on a auss (fgue III--b) : 5

29 E '( ') E( ') Comme une opéaton de tanslaton ne modfe pas le vecteu E ', l vent : E '( ') T ( E( )) E( ) n obtent fnalement E ( ') E( ) et V ( ') V ( ) S une dstbuton de chage admet une syméte de tanslaton, les gandeus physques ne dépendent pas de la vaable décvant ae de tanslaton. S pa eemple, on epèe le pont pa ses coodonnées catésennes (, y, ) et que u (annee ), les elatons pécédentes de E et V s écvent : E (, y, + ) E(, y, ) et V (, y, + ) V (, y, ) Ces elatons dovent ête nvaantes quelque sot : T E ( ) E(, y) et V ( ) V (, y) L estence de cet élément de tanslaton a pems de lmte le nombe de vaables ndépendantes (, y, ) au deu coodonnées et y. b) Invaance pa otaton autou d un ae Consdéons une épatton de chage D de densté volumque unfome ρ pésentant un ae de évoluton, c est à de s on fat sub à cette dstbuton une otaton d angle θ autou de cet ae, la nouvelle dstbuton D coïncde avec la pécédente (la dstbuton este nvaante) (fgue III--a). D D D E' ( ') θ θ E '( ) E( ) E( ) Fgue III--a Fgue III--b n a : ρ '( ) ρ( ) D apès le pncpe de Cue, cette opéaton de syméte pou D l est auss en un pont de l espace homogène et sotope, pou E. S on consdèe un pont quelconque obtenu pa otaton du pont d un angle θ on aua (fgue III--b) : E '( ') E( ') S nous chosssons les coodonnées cylndques (ρ, θ, ) (annee ) et l ae de syméte de otaton de la dstbuton le potentel et le champ électques ne dovent pas dépende de θ ca le système est nvaant los de la otaton : E( ) E( ρ, ) et V ( ) V ( ρ, ) n vot que l estence d un ae de évoluton et le cho appopé du système de coodonnées, ont pems de lmte le nombe de vaables ndépendantes dont dépendent E et V (c a deu ρ et ). 6

30 III-4 CNCLUSIN Le théoème de Gauss établt une elaton ente le flu du champ électque à taves une suface femée et la chage à l'ntéeu de cette suface. Cette elaton a les popétés suvantes : - elle eflète les popétés généales des champs électques et ne se lmte pas au champs électostatques (contaement à la lo de Coulomb); - elle pemet de détemne plus smplement l epesson du champ électostatque céé pa les dstbutons de chages qu pésentent une syméte appopée (sphéque, cylndque, plan, etc.). 7

31 Chapte IV LE DILE ELECTSTATIQUE IV- INTDUCTIN Un dpôle électostatque se défnt pa une épatton patculèe de chages électques telles que le baycente des chages postves ne coïncde pas avec celu des chages négatves (le système est globalement neute). Le dpôle le plus smple est donc un couple de deu chages de sgne opposé dstantes d'une longueu a non nulle. Cette noton est pncpalement utlsée en électomagnétsme et pa sute en chme où cetanes lasons ente molécules peuvent ête eplquées en modélsant ces molécules pa un dpôle (lason hydogène pa eemple). En physque, on s'ntéesse au champ électostatque E () céé en un pont élogné du dpôle (on pale alos de dpôle actf). as on peut auss étude le compotement du dpôle losqu'l est placé dans un champ etéeu (on pale alos de dpôle passf). IV. TENTIEL ET CHA ELECTSTATIQUES CEES A UN DILE ISLE IV-. Défnton Le dpôle électostatque est l ensemble de deu chages électques égales et de sgnes contaes (-q) et (+q) (q > ), (fgue IV-). Ces deu chages sont fées espectvement en deu ponts A et B sépaées d une dstance ( a AB ). n se popose d étude les caactéstques du champ et du potentel électostatque cées pa ces deu chages en un pont tès élognés des chages : a << : appomaton dpolae. u uθ A B A θ B -q u +q p IV-. oment dpolaes électques Soent deu chages ponctuelles q, +q fées espectvement en A et B (q > ). Le moment dpolae électque (ou moment du dpôle) est une gandeu vectoelle défne pa (fgue IV-): p qa + qb q AB Fgue IV- 8

32 p p En désgnant pa a la dstance sépaant A et B, la nome du moment dpolae vaut : qa Le moment dpolae déct la chage et sa géométe. Il pemet de caactése le dpôle. Son unté dans le système Intenatonal (SI) est le Coulomb-mète (C m). IV-. Calcul du potentel électostatque Soent deu chages ponctuelles q, +q fées espectvement en A et B (fgue IV-) dstant de (a). Consdéons un pont tès élognés des chages, ce qu event à consdée la dstance a tès nféeue à celle qu sépae de l une ou l aute chage (la dstance a est agande pou des asons de claté). La poston de est epéé dans le système des coodonnées polaes (, θ). Nous chosssons de pende pou ae (), la dote qu jont les deu chages tel que l ogne sot au mleu du segment AB qu jont les chages ( es l ae de évoluton de la dstbuton). D apès le pncpe de supeposton, le potentel V() céé pa le dpôle en un pont epéé pa ses coodonnées polaes (, θ) est donnée pa : q A qb q q V ( ) V ( ) + ( ) + ( ) A VB B A Π A Π B Π B A avec, * B B B B + B B ( B + ) B + B. + où, ; a a a B et B. cos( π θ ) cosθ on a : a a a B B a cosθ + ( cosθ + ) 4 4 * A A A A + A A ( A + ) +. A + A a a où,. A cosθ et A Ans, a a a A A + a cosθ + ( + cosθ + ) 4 4 Nous avons donc, A A / a a cos 4 a a + θ + et cos A + θ + 4 B B / a a cos 4 a a θ + et cos B θ + 4 / / 9

33 usque a / <<, on a : a /(4 ) << a /, on peut néglge les temes en (a/) devant le teme en (a/) : A + a cos θ / / a B cos θ Etant donné que a <<, on peut développe A et eten que le teme du peme ode ( + ) / +...: a A cosθ B en pussance de (a/) et ne et a + B cosθ d où : a a a B A + cosθ cosθ cosθ Le potentel V() est donc donné pa : qa cosθ p cosθ V ( ) Sot le vecteu poston du pont pa appot au pont (mleu de [A, B]) et p le moment dpolae (fgue IV-). A u θ p B n a : p. p cosθ Le potentel V() s éct donc : p. p. u V ( ) (IV-) Π 4 Fgue IV- Cette epesson qu fat nteven un podut scalae est ndépendante de tout système de coodonnées Il faut emaque que la décossance du potentel en cée pa un dpôle (/ ) est plus apde que dans le cas d une chage ponctuelle qu est en (/).

34 IV-.4 Calcul du champ électostatque IV-.4. Composantes du champ en coodonnées polaes Le dpôle pésente une syméte de évoluton autou de (AB). Le champ électostatque E ( ) est donc contenu dans le plan (, AB) (fgue IV-). E Eθ α E A -q uθ u θ u B +q Fgue IV- D apès le pncpe de supeposton, le champ en est donné pa : E( ) E A ( ) + E B ( ) E u + E θ uθ ( E ) ou calcule les composantes du champ, utlsons la elaton : E( ) gadv ( ) V V avec, gadv ( ) u + θ θ u p cosθ et V ( ) Les composantes du champ dévant du potentel V() s écvent dans le système de coodonnées cylndques : V p cosθ E u u V psnθ Eθ uθ u θ θ θ Π/ Π Π/ E p u E E E E E E E θ E θ p u E E E / θ E θ E 4 E Il faut emaque que la décossance du champ en (/ ) céés pa un dpôle est plus apde que dans le cas d une chage ponctuelle qu est en (/ ). Le module de E ( ) est : p E + cos θ

35 Sot α l angle que fat E avec la adale : α ( E, u ) Eθ tgθ tgα E Notons que les composantes catésennes du champ suvant et y (du plan AB) s écvent : u cos θ + snθ j et uθ sn θ + cosθ j p cosθ psnθ E E + Eθ (cosθ + snθ j) + ( snθ + cosθ j) p p E E + E y (cos θ ) + (snθ cosθ ) j IV-.4. Fomulaton globale du champ E Nous pouvons epme E unquement en foncton de p et de en calculant le gadent de V() : p. p. E( ) gadv ( ) gad gad( p. ) gad Π Π 4 4, En posant : p p + p j p k et + y j + k y + * gad( p. ) gad( p + p y + p ) p + p j + p k p y y * gad 5 D où l epesson ntnsèque de E en foncton de p et de : ( p. ) p E( ) Π 5 4 (IV-5) Les effets électques E et V poduts pa le dpôle sont entèement détemnés pa son moment dpolae p. Il faut emaque que la décossance du potentel en (/ ) et du champ en (/ ) céés pa un dpôle est plus apde que dans le cas d une chage ponctuelle. Notons que les composantes catésennes du champ suvant et y (du plan AB) peuvent ête également obtenues en écvant : p. p cosθ ; cos θ + snθ j et p p Ce qu donne d apès l epesson ntnsèque du champ ndépendante du système de coodonnées : p cosθ p E E + E y ( cosθ + snθ j) ) 5 n etouve donc les composantes calcule à pat des composantes polaes du champ : p p E (cos θ ) et E y (snθ cosθ ) j

36 IV. ACTIN D UN CHA EXTEIEU UNIFE SU UN DILE Consdéons un dpôle A(-q) et B( +q) de moment p placé dans un champ unfome E et tel que ( p, E ) α (fgue IV-4). F B E A Γ α B p -q +q F A u Fgue IV-4 IV-. Foces et moment du couple eecés pa un dpôle Chacune des chages subt une foce donnée pa : F A qe et F B qe usque le champ etéeu est unfome, la ésultante des foces est évdemment nulle (on ne tenda pas compte de la foce eecée pa q su q et écpoquement) : F F A + F B a conte, le dpôle subt un couple de foce ( F A et F B ) dont le moment est : Γ A F A + B F B A ( F B ) + B F B AB F B q AB E Ce qu donne : Γ p E p E snα u (IV-6) avec, u est un vecteu untae de la decton ( ) du epèe (y). Γ est un vecteu pependculae au plan fomé pa p et E. S on lbèe le dpôle, l tend sous l acton de Γ à toune pou attende une poston d équlbe ( Γ ) dans laquelle p et E sont colnéaes : α ( p, E ) ou Π. ou α ( p a le même sens que E ). S on écate légèement le dpôle de sa poston d équlbe, le couple de foce tend à le amene à cette poston (fgue IV-5-a). L équlbe est stable. ou α Π ( p est antpaallèle à E ). S on écate légèement le dpôle de sa poston d équlbe, le couple de foce tend à l élogne de cette poston (fgue IV-5-b). L équlbe est nstable.

37 (a) (b) F A -q A Γ B α # E +q p F B E -q A F B Γ α # π F A B +q p Ans, l acton mécanque pncpale d un champ unfome est qu l tend à oente le dpôle suvant les lgnes du champ E. IV-. Enege potentelle d nteacton du dpôle C est l énege nécessae pou amene +q et q de l nfn à leu poston en B et A. Les chages q et +q fées en A et B ont des éneges potentelles égales à q ( V ' A ) et q ( V ' B ) ). Ans, l énege potentelle d nteacton W assocé au champ etéeu E est : W q ( V ' V B ' A ) Sot V le potentel dont déve le champ E. dv ' E. d B B B V ' A V ' B dv ' E. d E cos d E cos a E. AB A A α α A Ans, W p E pe cosα (IV-7). Fgue IV-5 Cette epesson epésente l énege d nteacton du dpôle assocée au champ E et n a en à vo avec l énege de ntene du dpôle (énege nécessae pou amene une chage de l nfn à une dstance a de l aute). Nous etouvons les postons d équlbe : ou α ( p a le même sens que E ), W pe L énege potentelle est mnmale et l équlbe est stable. ou α Π ( p est antpaallèle à E ), W pe L énege potentelle est mamale et l équlbe nstable. IV-4 Concluson Le champ céé pa un dpôle dans le cade de l appomaton dpolae est popotonnel à / et le potentel à /, alos que pou une chage ponctuelle, le champ céé est popotonnel à / et le potentel à /. 4

38 Eecces cogés

39 Calcul de la foce et du champ électostatques cées pa des chages ponctuelles - Foce électostatque cée pa des chages ponctuelles dentques au sommets d un caé en chaque sommet du caé - Enoncé Quate chages ponctuelles dentques q (q > ) sont fées au sommets A, B, C et D d un caé de côté a. Une cnquème chage q > est mantenue fe au cente du caé. Détemne la valeu de q en foncton de q pou que la foce électostatque totale qu s eece su chacune des cnq chages sot nulle. - Soluton La foce électostatque F () eecée pa les quate chages dentques q su la chage q est nulle quelle que sot la valeu de q. Il este à évalue la foce totale eecée su chacune des chages q, pa eemple la chage placée en A (fgue ). F B F D -q F C A F q B -q -q C D -q D apès le pncpe de supeposton : Fgue 4 q BA CA DA qq F( A) F F B + F C + F D + F + + 4Π BA CA DA 4, * BA CA a Π A A * DA AB + BD a asn, DA a DA * A a Ans, q qq F( A) BA + CA + DA a, et 4 ( ) A q qq F( A) BA CA DA A 4 a + + Π 4 5

40 usque : B C BA + CA ( B + A) + ( C + A) A ; DA A ; q q q A a ( + ) 4 q q q A a ( + ) La foce F (A) est nulle losque : q ( + ) q Ans, + + q q q 4 - Champ électostatque cée pa des chages ponctuelles dentques au sommets d un tangle au cente géométque du tangle - Enoncé Détemne le champ électostatque cée pa tos chages ponctuelles dentques q > placées au sommets d un tangle équlatéal, en son cente géométque G. - Soluton D apès le pncpe de supeposton, on a (fgue ): E ( G) E E A + E B + q AG BG CG + + AG BG CG E C a E C A G q E B, AG BG CG ( AG + BG CG) q E ( G) + BG B q E A Fgue q C Sot, étant un pont quelconque de l espace. AG + BG + CG A + B + C + G ca G A E ( G) 6

41 - Champ électostatque cée pa des chages ponctuelles dentques au sommets d un caé en un pont de l ae passant pa le cente du caé - Enoncé Détemne le champ électostatque céé pa quate chage ponctuelle dentques q placées au sommets d un caé de côté a, en un pont d abscsse de l ae passant pa son cente et pependculae à son plan (fgue ). B a A D α () C - Soluton D apès le pncpe de supeposton, on a : 4 E ( ) E E A + E B + E C + q A B C D A B C D a / A B C D ( + ) q A + B + C + D E( ) A E D Fgue La dstbuton de chages pésente une syméte de évoluton autou de la dote (). Le champ ésultant en n a donc de composante non nulle que suvant cette dote, pa eemple la decton de vecteu untae. q q E ( ) 4 A cosα 4 A 4Π A sot, 4q E( ) a ( + / ) - Cas lmte A l ogne ( ), le champ est nul. En effet, d apès la syméte pa appot à ce pont les champs céés pa les chages s annulent deu à deu. En un pont élogné de l ogne ( >> a), on a : 7

42 8 Fgue 4 a E 4 a q Π q a q E / 4 4 ) ( 4 4 ) ( Π + Π C est le champ équvalent à celu céé en pa une chage Q 4 q concentée en. Son module vae en (fgue 4).

43 Calcul dect du potentel et du champ électostatque cées pa une dstbuton contnue de chages - Segment de dote unfomément chagé avec la densté lnéque - Enoncé Sot un segment AB unfomément chagé avec une densté lnéque λ > (fgue ). n désgne pa le mleu du segment AB. Calcule le champ E cée pa cette dstbuton en tout pont su une dstance a de la médatce de AB et en un pont appatenant au segment AB. (a) j α A B Fgue - Soluton ) Le pont est su la médatce de AB Consdéons les ponts A et B su l ae tel que l ogne sot le mleu de AB (fgue ). Deu éléments de chages dq et dq, centés en deu ponts et symétques pa appot à, céent en des champs électostatques élémentaes espectvement d E et d E. La ésultante de ces champs est potée pa la médatce (), pa eemple l ae y y de vecteu j. d E d E d E (a) α α j A dl B Fgue Le champ électostatque E céé pa l ensemble de la chage potée pa le segment AB est donc, pa ason de syméte, dgé suvant l ae des y. Sot, 9

44 d E dq λd u λ L u E + cosα j Π L 4 E avec, S on chost α comme vaable d ntégaton, on aua : λ + α cosα dα j Π α a 4 tg α a a d a( + tg α) dα dα cos α cos α a ou - L, α α et pou + L, α α Sot, λ λ L E snα j j Π a a Π L + a - Cas lmte S le pont est tès élogné de l ogne (a >> L), on a : L L snα α L + a a et donc, λl E j Π a C est le champ équvalent à celu céé en pa une chage Q λl concentée en. S le pont est tès poche du segment (L >> a), on a : Π α et λ E j Π a C est le champ équvalent à celu céé en pa un fl de longueu nfne unfomément chagé. ) Le pont appatent à (AB) Un élément de chage poté pa (fgue ) : dq λd centé en cée en un champ élémentae d E λ> () (a) d E A d B Fgue 4

45 d dq λd λ d E a ( ) λ + L d λ + L d( a ) λ E 4 ( a ) 4 L Π Π ( a ) Π ( a sot, λ L E Π ( a L ) L L L ) -4 Cas lmte * S le pont est tès élogné du segment [AB] (a >> L), on a : λl E a C est équvalent du champ céé en pa une chage Q λl concentée en. - épatton lnéque de chages non unfome - Enoncé Un fl de secton néglgeable en fome d un cecle de cente et de ayon placé dans le plan y, pote une chage électque épate avec une densté lnéque λ : λ λ snθ où λ est une constante postve et θ (, ), étant un pont quelconque du cecle (fgue 4). y j q θ Fgue Calculons les composantes de la foce F eecée su une chage ponctuelle q (>), placée en, pa l ensemble de la chage potée pa le cecle. - Soluton La chage est épate postvement su le dem-cecle supéeu (y > ) et négatvement su le dem-cecle nféeu (y < ) (fgue 5), avec des valeus mamale et Π Π mnmale espectvement en θ et θ. 4

46 y dl d F d F j q θ d F y Un élément de chage dq λ snθdl (avec dl dθ ), poté pa un élément de longueu dl centé en un pont moyen, eece su la chage q placée en une foce électostatque élémentae donnée pa : qdq d F Fgue 5 avec, Les deu composantes de la foce d F d F cosθ et d F y d F cosθ j d F, potées pa et j (fgue 5) s écvent : Dans ce cas le sgne (-) coespond à θ Π /. a ntégaton, on obtent : Π q Π Π λ qλ sn θ qλ F snθ cosθdθ 4Π Π dθ cos 4 8 θ Π Π q Π Π λ qλ cos θ qλ qλ F y sn θdθ 4Π Π dθ θ sn θ 4 8 Π Sot, qλ F F y j 8Π y La foce totale eecée su q en pa l ensemble de la chage potée pa le cecle est dgée suvant ( j ) (fgue 6). Elle est épulsve d un côté ( θ Π ), attactve de l aute j ( Π θ Π ). F q Fgue 6 4

47 - Boucle cculae potant une chage lnéque unfome - Enoncé Sot une boucle cculae de cente, de ayon, unfomément chagée avec une densté lnéque λ λ (fgue 7). Calcule le champ E cée pa cette dstbuton de chages, en un pont de l ae ' de la boucle : a) A pat du potentel électostatque b) Dectement k α θ y - Soluton a) Calcul du champ électostatque à pat du potentel Le potentel dv() céé en un pont (,, ) pa la chage dq λ dl potée pa un élément dl de la boucle entouant (fgue 8) est : La chage dq λ dl λ dθ cée en le potentel V() : dq λ dl dv ( ) avec, dl dθ et + / ( ) Le potentel V() est obtenu pa ntégaton su le contou C de la boucle : λ Π V ( ) dv ( ) / 4Π + dθ C ( ) Ce qu donne : ( λ V ) V (,, ) V (,, ) / ( + ) Le champ E ( ) est dédut du potentel pa dévaton : dv λ E ) gadv ( ) k d ( + ( / ) d E Fgue 7 k k E(,, ) E(,, ) θ α Fgue 8 b) Calcul dect du champ en un pont (,,) Eamnons d abod la syméte du poblème : la dstbuton pésente une syméte de évoluton autou de '. Tout plan contenant l ae ' est un plan de syméte pae de la dstbuton. Donc le champ E en un pont de l ae ' est poté pa k : E ( ) E(,, ) E( ) k La chage dq λ dl λ dθ cée en le champ d E : dl y 4

48 d E dq λ dθ E k Le champ E ( ) étant poté pa k, seule la composante de est à consdée : λ dθ. k de d E. k ( + ) ( ) θ Π λ de k θ Π ( + ) / E / λ dθ ( + ) ( + k / cosα avec, cosα / ) ( + ) / 4- Boucle cculae potant une chagée non unfome 4- Enoncé n consdèe à nouveau la boucle cculae de cente, de ayon, cette fos chagée avec une densté lnéque de chage λ( ) λ snθ où θ (, ), fgue 7. Détemne le potentel et le champ électostatque cées pa cette épatton de chages en tout pont de l ae de la boucle. 4- Soluton ) Calcul du potentel Le potentel V() en un pont de l ae θ Π ( λ snθ ) dθ V ( ) θ / Π ( + ) ' de la boucle : Le potentel V() V(,,) en tout pont de l ae ' est constant et a une valeu nulle. D apès la elaton dv E. d, on en dédut que le champ E ( ) est nomal à l ae '. ) Champ électostatque cée pa la boucle Le plan (, ) passant pa l ae ' de la boucle est un plan de syméte mpae (fgue 9) : y θ λ( ') λ( ) Fgue 9 44

49 Le champ E ( ) E(,, ) est nomal à ce plan : E ( ) E( ) j Le champ d E( ) céé pa la chage dq λ snθdl entouant le pont (fgue ) est : d E (C) k θ j dl u y λ snθ dl d E( ) Fgue Calculons la composante d E y ( ) :. j ( u + k). j snθ ( ) λ j sn d / 4Π ( + ) Π λ θ θ 4 ( + E / ) λ E ) 4 ( + ( / ) j E(,, ) E(,, ) j 4- emaque Le plan y est un plan de syméte (plan où se touve la boucle chagée). Nous avons obtenu, comme on s y attend, que le potentel en, V() V(,,) est égal au potentel en (,,-) symétque de pa appot au plan (y) (fgue ). (a) E( ) (b) E( ) y y E( ') E( ') Fgue Quant au champ électostatque, on obtent ben : * E( ) E( ') quant le champ est nomal au plan de syméte (fgue -a). 45

50 * E ( ) E( ') quant le champ est paallèle au plan de syméte (fgue -b). 5- Dsque unfomément chagé avec la densté supefcelle unfome 5- Enoncé Sot un dsque de cente, de ayon, unfomément chagé avec une densté sufacque de chage > (fgue ). Calcule le champ E céé pa cette dstbuton de chages en un pont de l ae du dsque : a) A pat du potentel électostatque b) dectement ' > () α k y 5- Soluton a) Calcul du champ électostatque à pat du potentel Le potentel dv() cée en un pont (,,) pa la chage (fgue ) est : La chage dq ds cée en le potentel V() s éct : dq ds dv ( ) Π 4 Fgue dq ds entouant le pont d E d E () avec, ds ddθ et + / ( ) Ce qu donne : ddθ dv ( ) / ( + ) Le potentel V() est obtenu pa ntégaton su la suface du dsque : > k α ds dq ds Fgue V ( ) V ( ) Π θ [( + ) ] / ddθ / ( + ) / [( + ) ] V (,, ) V (,, ) Le champ E ( ) est dédut du potentel pa dévaton : dv E( ) gadv ( ) k d Ans, E( ) k E(,, ) E(,, ) + 46

51 c) Calcul dect du champ en un pont (,,) Eamnons d abod la syméte du poblème : la dstbuton pésente une syméte de évoluton autou de '. Tout plan contenant l ae ' est un plan de syméte pae de la dstbuton. Donc le champ E en un pont de l ae ' est poté pa k : E ( ) E(,, ) E( ) k Un élément de chage dq ds, centé en (fgue ), cée en un pont de l ae du dsque un champ élémentae d E donné pa : d E dq ds ρdρdθ ; ρ + ; u Le dsque chagé pésente une syméte de évoluton autou de son ae, pa eemple l ae, le champ est alos poté pa cet ae. n a : ρdρdθ d E u ( ρ + ) avec, ρ vaable adale cylndque ρdρdθ E u Π cosα S 4 ( ρ + ) ρdρdθ u Π S 4 + ( ρ ) E ρ + ρdρ d u ( Π θ ) Π / 4 + ( ρ ) u + sot, E( ) u + Fgue 4 Lon du dsque ( gand), le champ s affablt (fgue 4). 5- Cas lmtes S le pont est tès élogné du dsque, c est à de : >>, on aua alos : E / ( ) u / + ( / ) ( ) u Π u u 4 C est l epesson du champ céé en pa une chage S le pont est tès poche du dsque, c est à de <<, on aua : Q Π placée en. 47

52 E( ) u C est l epesson du champ céé en pa un plan (nfn) unfomément chagé (chap III) : u E u du côté des postfs du côté des négatfs 5-4 Conséquence A la tavesée du dsque, le champ nomal au dsque subt une dscontnuté égale à : E > E< Ce ésultat est valable pou n mpote quelle dstbuton de chages en suface, unfome ou non : s est la densté locale d une dstbuton sufacque quelconque de chages, l y a en ce pont un changement butal (dscontnuté égale à ) de la composante du champ électostatque pependculae à la suface. 6- Cylnde unfomément chagé en suface latéale avec une densté supefcelle unfome 6- Enoncé Consdéons un cylnde d ae et tel que l ogne sot confondu avec son cente (fgue 5). Ce cylnde est unfomément chagé su sa suface latéale avec une densté supefcelle unfome >. Calcule le champ électostatque en un pont de l ae du cylnde. h α α α h Fgue 5 48

53 49 6- Soluton Un élément de chage dq poté pa un élément de suface d d ds θ, centé en de cote ( h h ), cée en un champ électostatque élémentae E d s écvant (fgue 6) : u d d ds d E ) ) ( ( Π Π θ avec, u La syméte de évoluton pa appot à l ae mpose que le champ E sot poté pa cet ae : u d d E d α θ cos ) ) ( ( 4 ) ( + Π u d d / ) ) ( ( ) ( 4 + Π θ h h u d d E ) ( ) ) ( ( ) ( 4 ) ( / / / + Π + Π θ h h u d + + / / / ) ) ( ( ) ( h h u / / ) ( + + sot, u h h E ) / ( ) / ( ) ( h d E α d dθ Fgue 6 h α α

54 6- Cas lmtes S le pont est tès élogné du cylnde ( >> h, >> ), le champ E sea appomatvement donné pa : E( ) u + ( h / ) + ( + h / ) / / h h u h h u h u Πh u C est le champ équvalent à celu céé en pa une chage Q Πh concentée en. S le pont est au cente géométque du cylnde ( ), ou encoe s le cylnde est nfnment long (h >> ), E. Ce ésultat est pévsble d apès la syméte, pa appot à ce pont, pésenté pa le cylnde chagé. 7- Sphèe unfomément chagée en suface 7- Enoncé Consdéons une sphèe de cente, de ayon et unfomément chagée en suface avec la densté supefcelle ( > ). Chosssons le système d aes (y) tel que l ae sot confondu avec () (fgue 7). Calcule le champ électostatque en un pont de l ae. β θ ϕ y Fgue 7 5

55 7- Soluton Dans ce cas, deu éléments de chages dq et dq symétques pa appot à l ae céent en deu champs élémentaes dont la ésultante est potée pa cet ae (fgue 8) : E E k d E β ϕ θ ds y Fgue 8 dq cos β snθdθdϕ de de cos β cos β d aute pat, + cosθ + cosθ Π Π Π snθdθ snθdθ E ( ) + Π / + / 8 ( cosθ ) ( + cosθ ) on a : Π Π snθdθ / / ( + cosθ ) ( + cosθ ) + Π snθdθ / Π [( + cosθ ) ] (( + ) ) / ( + cosθ ) Il ésulte que : E S est à l ntéeu de la sphèe ( < ) : E 5

56 S est à l etéeu de la sphèe ( > ) : E n constate que le champ E est nul à l ntéeu de la sphèe et qu l pésente une dscontnuté égale à à la tavesée de la sphèe chagée en suface. A l etéeu de la sphèe le champ est équvalent à celu céé en pa une chage Q. 8- Calotte sphéque chagée unfomément en suface 4Π concentée en 8- Enoncé n consdèe la suface (S) découpée su une sphèe de cente et de ayon pa un cône de sommet et de dem-angle au sommet θ (calotte sphéque). Cette suface est unfomément chagée avec la densté sufacque > (fgue 9). > (S) θ θ q y Calcule la chage totale Q potée pa cette suface (S) et de détemne la foce électostatque F qu elle eece su une chage ponctuelle q postve placée en. 8- Soluton ) Chage totale d une calotte sphéque chagée en suface La chage totale Q de la épatton est donnée pa : Q dq ds ( S ) ( S ) ds est epmée en coodonnées sphéques ds snθdθdϕ Q ( S ) Sot, θ snθdθdϕ snθdθ Π Fgue 9 dϕ 5

57 Q Π ( cosθ ) > θ ds (S) ) Foce eecée pa la calotte chagée en suface su une chage ponctuelle La chage élémentae dq ds, potée pa un élément de suface ds centé en (fgue ) eece su la chage q placée en la foce : qdq d F d F q θ d F' y avec, Fgue Un aute élément de chage dq de pont, symétque de pa appot à l ae (ae de évoluton), eece su q une foce élémentae d F'. La ésultante des foces d F et d F' n a de composante non nulle que suvant l ae. Donc, toutes les contbutons des éléments de chage, consttuent la chage totale de la suface (S) et consdéés deu à deu, donnent une foce totale F potée pa l ae de vecteu untae k. d F F qds ans, q cosθ θ snθ cosθdθ q sn θ F k 4 ou encoe : qq cos ( θ / ) F k Π dϕ 8- emaques ) la dstbuton de chages pésente une syméte de évoluton d ae, donc tous les plans contenant cet ae sont de syméte pae. F est alos contenue dans ces plans, c est à de potée pa leu ntesecton : l ae. ) Dans le cas d une sphèe unfomément chagée ( θ Π ), la foce eecée su q est nulle. En effet, la dstbuton de chages su la sphèe pésente la syméte sphéque pa appot au cente. Donc les contbutons de tous les éléments de chages, consttuant la chage totale de la sphèe et consdéés deu à deu symétquement pa appot à (fgue ), s annulent mutuellement et donnent ans une foce totale nulle en. 5

58 > d F q d F' y Fgue 9- épatton volumque de chages compse ente deu calottes sphéques 9- Enoncé Un cône découpe su deu sphèes, de même cente et de ayon et ( < ), deu calottes (S ) et (S ). Le volume délmté pa (S ) et (S ) et le cône est unfomément chagé avec la densté volumque ρ postve (fgue ). (S ) (S ) ρ > θ θ q y Calcule la chage totale Q potée pa le volume consdéé et détemnons la foce électostatque F qu elle eece su une chage ponctuelle q postve placée en. 9- Soluton ) Chage totale compse ente deu calottes sphéques chagées en volume Q La chage totale Q de la épatton est donnée pa : dq ρdτ ( τ ) ( τ ) dτ est epmée en coodonnées sphéques Fgue 54

59 dτ Q ρ d snθdθdϕ d θ snθdθ Π dϕ Sot, Π Q ρ( )( cosθ ) Là encoe, d apès la syméte de évoluton autou de, pésentée pa la chage épate dans le volume consdéé (fgue ), la foce eecée su q, placée en, est potée pa : (S ) (S ) ρ > dτ θ q θ y ) Foce eecée pa une épatton volumque de chage compse ente deu calottes sphéques su une chage ponctuelle d F d F q ρdτ cosθ Fgue ans, F q Π ρ θ Π d snθ cosθdθ 4 dϕ sot, q ρ( )sn θ F k 4 ou encoe : qq F cos ( θ / ) k ( + + ) emaquons de même que dans le cas d une couche sphéque ( θ Π ), le même type de asonnement de syméte que celu applqué dans l eemple pécédent condut à une foce ésultante nulle en ( F ). 55

60 Calcul du champ et du potentel électostatque cées pa une dstbuton contnue de chages à pat du théoème de Gauss - Nappe chagée unfomément en suface - Enoncé Consdéons un plan unfomément avec une densté sufacque > (nappe chagée) de dmenson nfne et contenue dans le plan y. Calcule le champ électostatque pus le potentel en tout pont de l espace. - Soluton a) Vaable dont dépend E et sa decton La nappe chagée en suface est contenue dans le plan (y) comme le monte la fgue. ( > ) y Fgue * La plan chagé est nvaant pa tanslatons suvant et y. Le système des coodonnées le plus adapté au calcul de E est le système catésen de base (, j, k ). Le champ E est ndépendant de et y : E ( ) E( /, y/, ) E( ). * Le plan Π (, j, k) passant pa et pependculae à () est un psp (plan de syméte pa. E Π ans : E E y + E * Le plan Π (,, k) passant pa et pependculae à (y) est un psp (plan de syméte pa. E Π ans : E E + E Ans, E Π Π D où : E E( ) k De plus, le plan chagé y étant un plan de syméte pae, le champ E en un pont symétque de pa appot à ce plan est : E( ') E( ) avec, E ( ') E( ) E( ) k et E ( ) E( ) E( ) k Ans, E( ) E( ) b) Calcul du champ électostatque E ( ) Tenant compte de la syméte de la dstbuton plane de chage, nous chosssons comme suface femée Σ le paalléléppède dot, dont les généatces sont nomales au plan chagé, femé pa deu sectons dotes notées Σ et Σ d ae S, passant espectvement pa (, y, ) et pa (, y, -) le symétque de pa appot au plan y (fgue ). 56

61 (S) E( ) ( > ) y (Σ ) ( > ) k n (Σ l ) (Σ ) (Σ) E( ') n Fgue Le flu E sotant de la suface latéale Σ l du cylnde est nul, ca en tout pont de Σ l, E. dσl Le flu sotant de Σ se édut au flu sotant de Σ et Σ : Φ Σ Σ Σ E. dσ E( ). dσ + E( '). dσ Φ E ( )( k. n d S ) d S + E( )( k. n ) Σ Avec, ( k. n ) ; ( k. n ) et d S d S S Σ Σ Σ Φ [ E ( ) E( ) ]S avec E( ) E( ) Φ E ( ) S La chage à l ntéeue de la suface de Gauss est : Q d S nt S S D apès le théoème de Gauss : S E ( ) S D où le champ E pou > : E + k pou < : E k Ces deu ésultats peuvent ête condensés sous la fome : E( ) k ( ) Ce ésultat peut ête etouvé en chosssant comme suface de Gauss Σ la suface femée fomé pa le cylnde dot, dont les généatces sont nomales au plan chagé, femé pa deu sectons dotes d ae S, passant pa (, y, ) et pa (, y, -). Le champ E change de sens à la tavesée de la nappe chagée et subt une dscontnuté égale à / (fgue ). 57

62 E() En éalté, l n este pas de dstbuton plane de dmensons nfnes. Cependant, la dstbuton plane est consdéée comme nfne s on ne consdèe que des ponts placés lon des bods de la dstbuton, c est à de des ponts dont la dstance à la suface chagée est pette pa appot au dmensons de celle-c. c) Calcul du potentel électostatque V() En chosssant l ogne des potentels dans le plan y : V ( ) V() dv V ( ) E. dl avec, d l dk ou > ; V ( ) d ou < ; V ( ) + d + Sot, V ( ) Fgue 4 A la tavesée du plan chagé, le potentel y est contnu (fgue 4). - Cylnde chagé unfomément en suface - Enoncé Sot un cylnde (C) d ae ', de ayon, de longueu nfne, unfomément chagé avec une densté sufacque de chage >. Calcule le champ électostatque pus le potentel en tout pont de l espace. - Soluton a) Vaable dont dépend E et sa decton * Le cylnde chagé a un ae de évoluton (fgue 5). Le système de coodonnées le plus adapté est le système cylndque de base ( u, uθ, u ). Cette dstbuton de chage est nvaante pa tanslaton suvant et pa otaton d angle θ autou de. E ( ) E(, / θ, / ) E( ) * Le plan Π (, u, u ) passant pa et l ae () est un psp (plan de syméte pa. E Π ans : E E + E Fgue 58

63 * Le plan Π (, u, uθ ) passant pa et pependculae à () est un psp (plan de syméte pa. E Π ans : E E + E θ Ans, E Π Π D où, le champ est adal : E E( ) u ( > ) (C) u uθ u θ y Fgue 5 Le système possède une syméte de évoluton pa appot à l ae ' et de tanslaton paallèlement à cet ae : le champ E en un pont stué à la dstance de l ae est donc de la fome : E ( ) E( ) u a) Calcul du champ électostatque E ( ) La suface femée Σ que nous chosssons pou calcule le flu de E est une suface de même type que la suface chagée consttué d un cylnde d ae ', de ayon, de hauteu h (fgue 6). ( > ) (C) (Σ ) n h (Σ ) C u (Σ) (Σ l ) n n l u E Fgue 6 59

64 Φ Φ Σ Σ Le flu de E à taves la suface de Gauss s éct : E. dσ avec, dσ l dθdu et dσ dσ ddθ k Σ Σ E. dσ + E. dσ + E. dσ l Le flu de E ) ces sufaces, on a E( ) n et E( ) n ). Le flu sotant de Σ se édut à : Φ Σ l E( u à taves les sufaces planes Σ et Σ étant nul (en tout pont de ( E ( ) u ). dσl avec, dσ l dθdu avec, Σ : suface latéale de Σ usque E() et sont des constantes, on a : Φ E( ) Π dθ h d ΠhE( ) Le théoème de Gauss s éct : Qnt φ ΠhE ( ) * S est etéeu au cylnde chagé (C) : > La chage à l ntéeu du cylnde Σ de ayon > : S Qnt ds avec, ds dθd usque est unfome, on a : Π h Qnt dθ d Πh (suface latéale * ) Le théoème de Gauss s éct donc : φ ΠhE( ) Πh En smplfant pa ( Π h), la nome du champ électostatque E() : E( > ) a ason de syméte, on sat que E ( ) est poté pa u. n obtent fnalement : u E( > ) (-9) * S est ntéeu au cylnde chagé (C) : < Dans ce cas, la chage à l ntéeu du cylnde Σ de ayon < étant nulle, Q nt Il s ensut, d apès le théoème de Gauss, que la nome du champ est nulle : E ( ) Ce qu condut à : E ( < ) Le champ E nomal à la suface chagée, subt une dscontnuté égale à / (fgue 7). 6

65 E() ~ Fgue 7 b) Calcul du potentel électostatque V() V ( ) E. dl avec, d l du D où : V ( ) E( ) d * S est à l etéeu du cylnde : d V ( ) Log + cste Dans le cas d une dstbuton sufacque potée pa le cylnde nfnment long, on penda l ogne des potentels, à une dstance fne de l ae du cylnde (pa eemple > ; V( ) ) V ( ) Log + cste cste Log V ( ) Log * S est à l ntéeu du cylnde : V ( ) cste La constante est détemnée pa contnuté du potentel en : V ( ) V ( ) Log - Sphèe chagée unfomément en suface - Enoncé n consdèe une sphèe (S) de cente et de ayon, chagée en suface de densté sufacque de chage unfome. Calcule le champ électostatque pus le potentel en tout pont de l espace. - Soluton a) Vaable dont dépend E et sa decton 6

66 * La sphèe chagée est nvaante pa double otaton l une d angle θ autou de u et l aute d angle ϕ autou de u ϕ : on dt que la sphèe a le pont comme cente de syméte (fgue 8). Le système de coodonnées le plus adapté est le système sphéques de base ( u, uθ, uϕ ). E ( ) E(, / θ, / ϕ) E( ) * Le plan méden Π (, u, uθ ) est un psp (plan de syméte pa. E Π ans : E E + E θ * Le plan Π (, u, uθ ) passant pa et pependculae à () est un psp (plan de syméte pa. E Π ans : E E + E θ Ans, E Π Π D où, le champ est adal : θ ϕ Fgue 8 m u uϕ uθ y E E( ) u avec u Le champ E céé pa cette dstbuton à syméte sphéque, en un pont est poté pa le vecteu u et ne dépend que de la vaable d espace b) Calcul du champ électostatque E ( ). La suface femée Σ que nous chosssons pou calcule le flu de E est une sphèe de cente, de ayon : suface de même type que la suface chagée (fgue 9). Le flu de E à taves Σ est donné pa : dσ Φ E. dσ E Σ avec, E ( ) E( ) u et dσ dσu snθ dθ dϕu Le champ E est en tout pont de Σ poté pa la nomale «sotante» u et sa nome est constante en tout pont de Σ. Φ E( ) Π snθdθ Π dϕ ΠE( ) [ cosθ ] 4Π E( ) Le théoème de Gauss s éct : Qnt Φ 4Π E( ) Fgue 9 La chage à l ntéeu de la suface de Gauss Σ dépend de la poston de. Deu cas peuvent ête dstngués : est etéeu à la sphèe chagé (S) ou est ntéeu à (S). Π > dσ ds u (S) (Σ) 6

67 * est etéeu à (S) : > La chage à l ntéeu de la sphèe Σ de ayon > est : S Qnt ds avec, ds snθdθdϕ usque est unfome, on a : Π Π Qnt snθdθ dϕ 4Π (suface d une sphèe*) Le théoème de Gauss s éct donc : 4Π Φ 4Π E( ) En smplfant pa (4 Π), la nome du champ s éct : E( > ) a ason de syméte, le champ E ( ) est poté pa u. n obtent fnalement : u E( ) E( > ) (-4) s on pose : Q S ds 4Π Q u E( ) E( > ) Le champ est dentque au champ céé en pa une chage ponctuelle égale à la chage totale de la sphèe, Q concentée en. * est ntéeu à (S) : < Dans ce cas, la chage à l ntéeu de la sphèe de ayon < est nulle : Q nt Le théoème de Gauss condut à : Φ 4Π E( ) Ans, la nome de champ est nulle : E ( < ) Ce qu mplque que : E ( < ) Le champ électostatque E() subt à la tavesée de la suface chagée une dscontnuté égale à / (fgue ). E() ~ Fgue 6

68 c) Calcul du potentel électostatque V() E E( ) u gadv ( ) Ce qu donne en pojetant su u : dv E( ) E. u d D où, V ( ) E( ) d * est etéeu à (S) : Le potentel en est : V ( ) E( ) d + cste En chosssant l ogne des potentels à l nfn ( V ( ) ), on obtent : Q V ( ) V ( ) Le potentel est dentque au potentel céé en pa une chage ponctuelle égale à la chage totale de la sphèe, Q. * est ntéeu à (S) : Le champ en tout pont ntéeu à S est nul ; le potentel est donc constant : V ( ) cste ou détemne la constante nous pouvons utlse la contnuté du potentel pou : V ( ) V ( ) Nous pouvons etouve cette constante en écvant : ) V ( ) V ( avec, V() est le potentel au cente de la sphèe S obtenu à pat d un calcul dect dq suvant la elaton : dv avec, : ds V ( ) V ( ) ds S S Alos que le champ est dscontnu à la tavesée de la chage (fgue ), le potentel électostatque est contnu (fgue ). V() ~ Fgue 64

69 4- Sphèe chagée unfomément en volume 4- Enoncé n consdèe une sphèe (S) de cente et de ayon, chagée en suface de densté volumque de chage ρ unfome. Calcule le champ électostatque pus le potentel en tout pont de l espace. 4- Soluton a) Vaable dont dépend E et sa decton Les mêmes consdéatons de syméte évoquées pécédemment suggèent que : E ( ) E( ) u b) Calcul du champ électostatque E ( ) Φ Σ ou une sphèe femé Σ de cente et de ayon, le flu sotant est : E. dσ avec, dσ snθdθdϕ usque le nome du champ est constant, le théoème de Gauss s éct : Qnt Φ 4Π E( ) * est etéeu à (S) : La chage volumque à l ntéeu d une sphèe de ayon est donnée pa : Q v ρ ρ dτ avec, dτ d snθdθdϕ Π Π 4 Q d snθ dϕ Π ρ Le théoème de Gauss donne : 4 Φ 4Π E( ) Π ρ En smplfant pa (4 Π), on a : ρ E( ) Le champ électostatque est poté pa u et on a : ρ u Q u E( ) E( ) * est ntéeu à (S) : La chage volumque à l ntéeu d une sphèe de ayon est donnée pa : Q v ρ ρ dτ avec, dτ d snθdθdϕ Π Π 4 Q d snθ dϕ Π ρ Le théoème de Gauss donne : 4 Φ 4Π E( ) Π ρ En smplfant pa (4 Π ), on a : 65

70 ρ E( ) Le champ électostatque est poté pa u et on a : ρ Q E( ) E( ) u u Π 4 emaquons que pou, le champ est le même que s la chage concentée au cente de la sphèe (fgue ). Q 4 ρ Π état E() ρ ~ Fgue c) Calcul du potentel électostatque V() V E. dl * est etéeu à (S) : ρ V ( ) V ( ) E e. dl ρ u. du * est ntéeu à (S) : V ( ) V ( ) E. dl u. du + cste ρ ρ ou détemne la constante nous pouvons utlse la contnuté du potentel pou : ρ ρ V ( ) V ( ) + cste Ce qu donne : ρ ρ cste ( + ) d où, ρ ρ ρ V ( ) V ( ) + ( ) 6 6 Ans pou, le champ et le potentel sont les mêmes que s toute la chage Q état concentée en (fgue ). 66

71 V() ρ ρ V e ~ Fgue 4- emaque Le potentel pou un pont à l ntéeu à Σ peut ête également détemné en écvant : ρ ρ V ( ) E. dl E e. dl E. dl avec, E e u et E u 67

72 Eamens cogés

73 E.S.S.T.T Novembe Dépatement de hysque Duée H et de chme TC Devo suvellé N hysque Electcté Eecce : Les pates I, II et III sont ndépendantes ate I n consdèe une chage ponctuelle q placée dans le vde à l ogne du système de coodonnées sphéques de base ( u, uθ, uϕ ). ) Donne l epesson du champ électostatque E cée pa cette chage en un pont de l espace stué à la dstance de. Epme E en foncton du vecteu. ) Calcule la cculaton de E le long d un contou quelconque lmté pa deu ponts A et B. Sot V() le potentel électostatque cée en pa la chage q. En dédue la dfféence de potentel V V ente A et B, pus le cculaton de E le long d un contou femé. A B ate II n consdèe deu chages ponctuelles dentques (q > ) dstantes de a et placées dans le vde en deu ponts A(, a, ) et B(, -a, ) de l ae y. ) Calcule le champ électostatque E ( ) cée pa ces deu chage en un pont de la médatce de AB. n note le mleu de AB et on pose :. ) Que devent l epesson de E ( ) losqu on emplace la chage q en A pa q. ate III Sot un fl AB de longueu L confondu avec l ae, chagé avec une densté lnéque λ unfome. ) Calcule le champ électostatque E cée pa ce fl en un pont de la médatce de AB. n note le mleu de AB et on pose :. Ece E en foncton de la chage totale Q du fl. ) En dédue le champ E cée pa un fl nfn. ) Calcule, à une constante pès, le potentel électostatque V cée pa le fl nfn. En dédue la dfféence de potentel ente deu ponts et de la médatce de AB. 68

74 Eecce : Les pates I et II sont ndépendantes Dans l espace assmlé au vde, la plan Π (y) d un epèe othonomé dect de base (, j, k ) pote une chage de densté sufacque >. Le champ électostatque cée pa cette dstbuton en tout pont de l espace est : E( > ) k E( ) E( < ) k ate I ) Calcule le potentel électostatque V() dans les deu égons > et <. n donne : V ( ). ) n supepose au plan pécédent à la dstance d >, un plan Π unfomément chagé avec une densté (-). a) En utlsant le pncpe de supeposton, détemne le champ électostatque E ( ) dans les tos égons : > d, < < d et <. b) En dédue le potentel électostatque V() dans les tos égons : d, d et. n donne : V ( ). ) epésente E() et V() en foncton de. Commente ces coubes. ate II A la dstance d >, le plan Π est emplacé pa une dem-sphèe de ayon qu pose su un dsque de même ayon E et d épasseu tès fable. La dem-sphèe et le dsque ne pote aucune chage (fgue ). Dem-sphèe d k Dsque Π Fgue Calcule le flu Φ du champ électostatque E ( ) cée pa le plan Π à taves la suface femée fomée pa la dem-sphèe et le dsque. 69

75 Coecton DS ESSTT Eecce ate I ) En coodonnées sphéques (, θ, ϕ) de base ( u, uθ, uϕ ), le champ est donné pa : q E( ) 4π q 4π 4 ) C( E) E. d AB q u π d du + dθuθ + snθdϕu ϕ q B d q C( E) 4π A 4π A B D aute pat, E gadv dv ( ) Ed B B dv Ed C(E) A A q V B VA 4π A B Ans, q V A VB C( E) 4π A B ou un contou femé Γ ABA C ( E) E. d E. d + E. d ( VA VB ) + ( VB VA ) Γ ate II AB BA ) E( ) E A ( ) + E B ( ) q 4π A 4 A + q π B B, A A + a j + et B B + a j + Donc, A B + Et donc, q ( ) 4π / ( a ) + q ( A + B ) 4π + E / / a a ( ) ( ) A j B A E( ) y q> q> u q> d Fgue Fgue E B ( ) E( ) E A ( ) B 7

76 ) n emplace la chage q en A pa (-q) : E( ) E A ( ) + E B ( ) q 4π A 4 A + q π B B A j y -q< E A ( ) E( ) E B ( ) B q> Fgue 4 Et donc, ( q E ) ( A + B ) 4 π / ( ) d E a + E q a ( ) j / d E ' d E 4 π a ( + ) ate III () ) Soent deu ponts et symétque pa appot à. Autou de et, un élément dl content une chage dq λ dl λd. ϕ * La chage élémentae dq () cée le champ ϕ u élémentae d E ( ) * La chage élémentae dq (') cée le champ A dl B élémentae d E ' ( ) Fgue 5 Le champ cée pa les deu éléments symétques a une seule composante suvant u pusque les composantes suvant se compensent. D aute pat, d E ( ) d E ' ( ) Donc, d E d E avec, ( ) d E ( ) + d E ' ( ) dq ) 4π ( tg ϕ cosϕ u d E ( ) cosϕu 7

77 d ( + tg ϕ) dϕ dϕ cos ϕ cos ϕ Sot, λ d E( ) cosϕdϕu π Le champ total est : λ ϕ λ λ ) cosϕdϕu π π π L / Avec, snϕ [( L / ) + ] / L / * La chage totale du fl est : Q λ dl λdl λl ϕ [ snϕ] u snϕ u E( fl L / et donc : s epme en foncton de la chage totale : Q Q E( ) snϕ u u / π L 4π [( L / ) + ] Π ) Fl nfn : ϕ ; snϕ λ E u Π q. n peut etouve ce ésultat, en écvant le champ dans le cas où << L / : λ L / λ E( ) u u / 4π L / [ + ( /( L / )) ] Π ) V pou un fl nfn : E gadv dv ( ) Ed λ d λ V Ed Log + cste Π Π dv +Ed λ d dv Π Ans, λ V ( ) V ( ) Log Π Q λ. Le champ peut L 7

78 Eecce ate I E gadv dv d V Ed * ou > V d + * ou V ( ) C k C V ( > ) * ou < V d C + * ou V ( ) C V ( < ) Ans, V ( ) pou tout éel. ) Supeposton (I) E( > ) k * ou Π, on a : d E( < ) k (II) E( > d) k * ou Π, on a : (III) E( < d) k égon I ( d) : E I E Π + E Π k k égon II ( d) : E II E Π + E Π k + k k égon III ( ) : E III E Π + E Π k + k b) otentel V() V Ed égon I ( d) : V I E I d C I Π(>) Π (-) k Fgue 6 Π(>) > E < E Fgue 7 k k E E k k 7

79 égon II ( d) : VII E II d + CII égon III ( ) : V III E III d CIII usque le potentel est contnu en et en d, on a : * ou : V ( ) C III + CII ans C II C III * ou d : V II VI ans C I d Ans, V I ( d) d ; V II ( d) et V III ( ) ) epésentaton de E() et V() E() d Fgue 8 V() d Fgue 9 d Commentaes : le champ E est dscontnu en et en d ; alos que le potentel est contnu. ate II Le plan Π cée un champ : E( > ) k Sot D : la suface du dsque et S la suface d une dem-sphèe et D ' D + S 74

80 75 S D S S D D D E d S E d S d S E Φ + Φ + Φ... ' En un pont du dsque D : k d d dsk S d D ϕ ρ ρ Le sgne tadut le fat que le flu de E à taves D est sotant.. d d E d S D D D π ϕ ρ ρ π Φ * En un pont de la sphèe S : S u d d dsu S d ϕ θ snθ ϕ θ θ θ ϕ θ θ d d u k d d E d S d S S cos sn ). ( sn. Φ / cos sn. d d E d S S S S π ϕ θ θ θ π π Φ / sn π π π Ans, le flu total est : + Φ π π k Π Fgue E dsu dsk θ

81 Dépatement : hysque et Chme Eamen Année unvestae : 6-7 D.S. atèe : hysque Secton T - Date : //7 N.B. L étudant poua utlse un ésultat donné dans l épeuve, qu l n a pu etouve, pou la sute. oblème d électostatque Les pates et sont dépendantes. Dans tout ce poblème l'espace sea appoté à un epèe othonomé dect (, u, u y, u ) et un pont quelconque de l'espace sea epéé pa ses coodonnées catésennes (, y, ). ate : Une lame chagée en volume n consdèe une lame chagée en volume lmtée pa les plans d'équatons espectves -h et +h (où e est une constante postve désgnant l épasseu de la lame) et nfne dans les dectons de y et de (fgue ). La lame est chagée unfomément en volume avec une densté ρ postve. Sot E ( ) et V () le champ et le potentel électostatques céés en pa cette dstbuton de chages. ) De quelles vaables d'espace, le potentel V () dépend t-l? ) Dédue la fome des sufaces équpotentelles et des lgnes de champ. ) onte que E ( ) E( ) u et E( ) E( ). 4) Calcule le champ E ( ) à l'ade du théoème de Gauss en tout pont de l'espace. 5) Dédue le potentel V (). n penda V (,, ). 6) Tace les coubes de vaatons de E et V en foncton de. 7) n se place dans le cas où l'épasseu h est "tès fable". La dstbuton de chages est alos assmlée au plan (y) chagé sufacquement avec une densté unfome. a) Epme la densté sufacque en foncton de ρ et h. b) Dédue l'epesson du champ et du potentel électostatques E p ( ) et V p ( ) céés pa le plan chagé. c) Tace les coubes de vaatons de E p et V p en foncton de. 8) Une dstbuton de chages su un plan nfn ou dans une tanche nfne peut-elle este dans la éalté? -h ρ u y u y u Fgue +h 76

82 ate : Deu lames de chages opposées y n consdèe mantenant la dstbuton de chages -ρ +ρ epésentée su la fgue compenant deu lames (I et II) (II) (I) u y nfnes dans les dectons y et, d épasseu h, centées en u A et A, d'abscsses espectves +a et -a ( a > h ), et de A u A chages volumques unfomes ρ et - ρ. n désgne pa E I ( ) le champ électostatque cée pa la lame de cente h h A et E II ( ) celu cée pa la lame de cente A. Fgue ) a) onte que le plan est un plan de syméte mpa pou les deu lames. b) En dédue que le champ cée pa les deu lames E est une foncton pae de : E ( ) E ( ) ) a) Donne les epessons de E I ( ) et E II ( ) dans les tos cas suvants : cas a) : a + h, cas b) : a h a + h et cas c) a h. b) Détemne les epessons du champ ésultant E ( ) dans les tos cas a), b) et c). c) Tace alos l allue de E en foncton de. ) a) onte que : V ( ) V ( ) où V est le potentel assocé au deu lames. b) Donne les epessons de V ( ) dans les tos cas a), b) et c). c) tace l allue de V en foncton de. 77

83 Coecton eamen IEI-EL ana 7 y I/ ) V ( ) V (, y/, / ) V ( ) -h ρ u u y +h ) * Les sufaces équpotentelles véfent : V ( ) cste Ans, cste (plans paallèle à y) * Le champ E est pependculae au sufaces équpotentelles ; ans, E est poté pa u u Fgue Les lgnes de champ sont des dotes paallèles à. ) * E ( ) E( ) E est tangent au lgnes de champ ; ans E ( ) E( ) u * usque Π (, u y, u ) psp, E( ) E( ') avec est le symétque de pa appot à Π. Ce qu mplque que : E( ) E( ) q : E ( ) Qnt 4) Φ E. ds Σ Σ : cylnde de généatces paallèle à et lmté pa le plan Π (y) et le plan passant pa. Φ E ( ) S B * S à l ntéeu : h - ou h ; Qnt ρ h S B ρh E( h) u - ou h ρh E( h ) u * S à l etéeu : h - ou h ; Qnt ρ S B ρ E( h) u - ou h ρ E( h ) u Ans, ρh E( h) u 78

84 ρ E( h) u 5) * dv ( ) E. d E( ) d En échangeant pa, on obtent : dv ( ) + E( ) d E( ) d dv ( ) Ans, V ( ) V ( ) Autement, on obseve la même confguaton de chage en et où est le symétque de pa appot à Π. Ce qu mplque que : V ( ) V ( ') * ou h V ( ) ρ ρ d V ( ) D où, ρ V ( h) * ou h (à l etéeu) ρh ρh V ( ) d + cste usque V est contnu en h, on a : ρh ρh ρh + cste ; cste D où : ρh h V ( ) ( + ) * ou h (en échange en ) ρh h V ( ) ( + ) Ans : V ( ρ h) 6) * E() ρh -h h ρh Fgue 4 79

85 V() -h ρh h ρh Fgue 5 7) lan chagé en suface avec une densté. a) Q se conseve : S ρsh ρh et ρ h b) E p E et u V p Vet c) E() V() Fgue 6 Fgue 7 8

86 II/ y a) Soent et deu ponts symétques pa appot au plan (y). ρ( ) ρ( ') Ans, Π ' (, u y, u ) ps mpa, E ( ) E ( ') avec est le symétque de pa appot à Π. Ce qu mplque que : E( ) E( ) ) a) et b) c) E cas E I ( ) E( a) E II ( ) E( + a) E () a + h ρh ρh a h a + h ρ ρh ρ ( a) ( a h) a h ρh ρh ρh ( ) E ( ) -ρ h (II) u u y Fgue 8 +ρ A u A h (I) E () ρh -a-h -a+h a-h a+h ρh Fgue 9 ) dv ( ) E ( ) d E ( d ans ; dv ( ) E ( ) d dv ( ) ) 8

87 Dépatement : hysque et Chme Eamen Année unvestae : 7-8 D.S. atèe : hysque Secton T - Date : //8 N.B. L étudant poua utlse un ésultat donné dans l épeuve, qu l n a pu etouve, pou la sute. L espace physque est appoté à un epèe othonomé dect (, u l espace est epéé dans la base cylndque ( u, uθ, u ) pa (, θ, )., u, u ). Un pont de y ELECTSTATIQUE oblème A/ n consdèe un cylnde ceu (S) de ayon, de longueu nfne, chagé en suface pa une densté sufacque de chages unfome > (fgue ). Sot un pont quelconque de l espace. ) Indque les coodonnées dont dépend le champ électostatque E () et détemne sa decton. ) a) Défn et justfe la suface de Gauss. b) Détemne le champ E () en tout pont de l espace ( < et > ). ) a) Tace l allue de E() en foncton de (où E() est la nome du champ). b) Le champ E () est-l contnu à la tavesée de la suface du cylnde. 4) En penant comme éféence du potentel V( ) V, calcule le potentel V() en tout pont de l espace. 5) a) Tace l allue de V() en foncton de. b) Véfe que le potentel V() est contnu à la tavesée du cylnde. B/ Une couonne cylndque (C) d ae ' et de ayon ntéeu et etéeu de longueu nfne, pote une chage volumque épate ente les sufaces des deu cylndes avec une densté constante ρ > (fgue ). (S) (C) ρ u Fgue u 6) écse les nvaances du champ électostatque E () et détemne sa decton. Fgue 7) a) En utlsant le théoème de Gauss, donne les epessons du champ électostatque E () en tout pont de l espace. 8

88 b) Le champ E () est-l contnu à la tavesée des deu sufaces de la couonne cylndque (C). 8) n fat tende, la chage totale de la dstbuton volumque de la couonne cylndque est alos épate su la suface d un cylnde ceu de longueu nfne et de ayon. Sot la densté de chages du cylnde ceu. a) Epme en foncton de ρ, et. b) etouve les epessons de E () cée pa un cylnde ceu. 9) n se place mantenant dans le cas où et on suppose que le ayon est néglgeable devant la longueu du cylnde chagé. La chage totale de la dstbuton volumque peut ête consdéée épate unfomément su un fl nfn. n désgne pa λ la densté lnéque du fl. a) Epme λ en foncton de ρ et. b) En dédue l epesson du champ E () cée pa le fl. c) etouve E () cée pa un fl de longueu nfne à pat du théoème de Gauss. d) En dédue l epesson du potentel V() cée pa le fl nfn à une constante addtve pès qu on notea K. C/ n consdèe deu fls ectlgnes, de longueus nfnes, potant des y dstbutons lnéques de chages de denstés constantes + λ et λ (λ > ). Ces deu fls sont paallèles ente eu et pependculae au plan (y). n désgne pa A(-a/, ) et B(+a/, ) les ntesectons espectves du fl chagé ( λ ) et celu chagé à ( + λ ) avec le plan (y). L ogne du epèe (y) est le mleu de AB (AB a), (fgue ). Sot un pont du A(-a/,) -λ θ B(+a/,) +λ Fgue plan (y) epéé en coodonnées polaes pa (, θ) avec et θ ( AB, ). n désgne pa V() et E ( ) espectvement le potentel et le champ électostatque cées pa les deu fls en un pont tès élogné des fls : >> a. ) En utlsant les ésultats de B-9-d), donne les epessons du potentel V λ ( ) cée pa le fl en A et du potentel V + λ ( ) cée pa le fl en B (à constante addtve pès). ) Sachant que le pont est ps comme ogne du potentel : V ( ), en dédue l epesson du potentel V() cée pa les deu fls. ) Dans le cade de l appomaton dpolae ( >> a), epme les dstances A et B en foncton de, a et θ. λ a cosθ ) a) onte que : V( ) π b) onte que les deu fls chagés se compotent comme un dpôle électostatque solé dont on pécsea le moment dpolae p. 4) En dédue les composantes adale et othoadale du champ électostatque E ( ), son module et sa decton. f f f n donne * gad f u + uθ + u où f(, θ, ) est une foncton scalae θ * ou <<, Log( + ) (au e ode) 8

89 Coecton eamen IEI-EL ana 8 A/ > ) * E ( ) E(, / θ, / ) E( ) * Π (, u, u ) Π (, u, uθ ) Ans, E Π Π D où, le champ est adal : E E( ) u ) a) * Σ cylnde de hauteu h et d ae et passant pa. * (S) pésente une syméte cylndque et E est adal. b) dφ E( ) u. dθ d u E( ) dθ d d où, Φ πhe( ) h ( > ) (Σ) (C) u u uθ * E ( < ) ca Q nt ( < ) * E( > ) u ca Qnt ( > ) πh ) a) Fgue 4 E() ~ b) E est dscontnu en et la valeu de la dscontnuté vaut 4) V ( ) V dv E d V E( ) d V ( ) cste V gadv u ca E est adal * d V ( ) Log + B B est détemné pa contnuté du potentel en : V Log + B Fgue 5 84

90 Ans, B V + Log V ( ) Log + V 5) a) V() V Fgue 6 b) V ( ) V ( ) V B/ ρ > 6) E E( ) u Φ πhe( ) * E ( ) ca Q ( < ) * Q nt ρ h π d dθ d nt πhρ [ ] π hρ πhρ ρ E( ) u * Q π hρ nt [ ] [ ] ρ [ ] u E( ) b) * ( ) d ρ E ; E( ) [ ] + ans, E est contnu en ρ + * E( ) [ ] E( ) ans, E est contnu en 8) a) En consdéant un cylnde de hauteu h, la consevaton de la chage s éct : Q ρ πh π [ ] h Fgue 7 ρ 85

91 D où : ρ [ ] b) E ( < ) ρ E( > ) [ ] u u n etouve le ésultat de -b). 9) et << l Q ρ πh λh λ ρ π ρ λ b) E( ) u u π λh c) Φ πhe ( ) λ E( ) u π n etouve 9 b) dv d) E gadv u ca E est adal d λ d V E( ) d π λ V ( ) Log + K π C/ AB a u u avec >> a (appomaton dpolae) * Le fl passant pa B de densté + λ cée le potentel : λ V + λ ( ) Log B + K π * Le fl passant pa A de densté - λ cée le potentel : λ V λ ( ) + Log A + K π y u y A(-a/,) θ B(+a/,) -λ +λ u uθ Fgue 8 E ϕ u 86

92 ) V ( ) Le pncpe de supeposton s éct : λ V ( ) V λ ( ) + V+ λ ( ) Log π A B + λ A V ( ) Log + cste π B A, en, ; V ( ) cste B λ A V ( ) Log π B * où, [ ] cste ( A + ) A + A. A + ; a a a A et A. cos( θ ) cosθ on a : a a a A + a cosθ + ( + cosθ + ) 4 4 usque a / <<, on a : a /(4 ) << a /, a A ( + cosθ ) D où, a / A ( + cosθ ) a a a * B + a cos( π θ ) + ( cosθ + ) 4 4 a / B ( cosθ ) a / ( + cosθ ) λ ) a) V ( ) Log π a / ( cosθ ) λ a a Log ( + cosθ ) Log( cosθ ) 4π λa cosθ λa cosθ 4π π b) p Qλ AB (λ l) au p (λ l) a 4) * E E E( ) E ( E E θ V λa cosθ π V λasnθ θ π * / + θ π * tg ϕ tgθ ) λa 87

93 Annee SYSTEES DES CDNNEES A AXES THGNAUX A- INTDUCTIN A- CDNNEES CATESIENNES A- CDNNEFS CYLINDIQUES A-4 CDNNEES SHEIQUES A-5 ALICATINS A-6 CNCLUSIN 88

94 A- INTDUCTIN Suvant les bases de pojecton utlsées, pluseus systèmes des coodonnées peuvent ête utlse pou epée la poston d'un pont matéel (catésen, cylndque et sphéque). Les vecteus de bases de ces systèmes sont tous untaes et othogonau deu à deu. Dans ce chapte nous allons défn ces quate types de systèmes des coodonnées à aes othogonau ans que les déplacements, sufaces et volumes élémentaes assocés. Des eemples de calculs d'ntégale pemettont alos de monte l'mpotance de ces éléments dfféentels. A- CDNNEES CATESIENNES A-. Défnton Sot (y) un système d'aes ectanglae auquel on assoce une base othonomée dect (, j, k ),(Fgue A-). H k j m y y Fgue A- Sot un pont matéel. La pojecton othogonale de dans le plan (y) est notée : m poj () et sa pojecton su l ae est notée : H poj ( ) y Le pont est alos epéé pa tos dstances. Le vecteu poston s éct donc : m + m m + H + y j + k, y et sont obtenus en pojetant othogonalement le vecteu poston espectvement su les tos aes, y et.. ; y. j et. k. Les coodonnées catésennes d un pont sont dénommées : est l'abscsse du pont (- < < + ) y est l'odonnée du pont (- < < + ) est la cote de (- < < + ) Les vecteus de base du système des coodonnées catésennes (, j, k ) sont défns pa : * est un vecteu untae oenté ves postf * j est un vecteu untae oenté ves y postf * k est un vecteu untae pependculae ( ) au deu autes vecteus de base et oenté ves postf (tel que le tède (, j, k ) sot dect). Autement, l est défn pa : k j 89

95 A-. Vecteu déplacement élémentae Consdéons un pont (,y,) et le pont '(+d, y+dy, +d) obtenu en fasant déplace les tos composantes de espectvement de d, dy et d paallèlement au vecteus de base, j et k (Fgue A-). ds d ds y ds dy d k j y Fgue A- Le vecteu déplacement élémentae s'éct : d d( ) ' ' d ( + y j+ k) d + dy j+ dk Ans, le déplacement élémentae du pont à.' est équvalent à tos déplacements élémentaes paallèlement au vecteus de base (, j, k ) espectvement égau à d, dy et d. Les pojectons du vecteu déplacement élémentae su la base (, j, k ) s'obtennent en fasant vae de façon nfntésmale une des coodonnées en lassant les deu autes constantes La vaaton de à y et constants : d d La vaaton de y à et constants : d y dy j La vaaton de à et y constants : d dk La nome du vecteu déplacement est donnée pa (Fgue A-): d d + + dy d Le déplacement de à ' engende un volume élémentae lmté pa s suface paallèles deu à deu dont d est une dagonale pncpale. A-. Sufaces élémentaes Les sufaces élémentaes sont les sufaces déctes pa le pont (,y,) losque l'on fat vae deu de ses coodonnées d'une quantté élémentae en mantenant la tosème constante. Ans, la suface ectangulae élémentae (ou élément de suface) pependculae à est la suface à constante et pou y vae de dy et de d : ds d y d dy j dk dyd De même s y pus sont mantenus constantes, nous avons : 9

96 ds y d d d dk dd avec, ds y est la suface pependculae à y ds d d y d dy j ddy avec, ds est la suface pependculae à emaque Les vecteus éléments de sufaces sont oentés ves la nomale etéeue à l'élément de suface consdéé. A-.4 Volume élémentae L'élément de volume est le volume déct pa les tos déplacements élémentaes losque l'on fat vae les tos coodonnées du pont d'une quantté élémentae. Ce volume élémentae est donné pa le podut mte suvant : d τ d.( dy j dk) d.( dyd) ddyd A- CDNNEES CYLINDIQUES A-. Coodonnées polaes A-.. Défnton Sot (y) un système d'aes catésen plan (Fgue A-). y uθ uρ y j ρ θ Fgue A- Dans le plan (y), un pont est epéé en coodonnées catésennes pa son abscsse et son odonnée y (deu dstances). En coodonnées polaes, est epéé en pa une dstance et un angle défns pa : ρ : dstance du pont à l'ogne, ρ < + θ (, ) θ : l'angle du dède dect (sens postf) appelé angle polae (, ), θ π. Les vecteus de base du système polae sont ( u ρ, uθ ) : * u ρ : vecteu untae poté pa le vecteu poston * u θ : vecteu untae dgé suvant θ cossants 9

97 A-.. elatons ente les coodonnées catésennes et polaes En coodonnées catésennes, le vecteu poston s'éct : + y j En pojetant le vecteu poston (Fgue A-), nous avons : ρcosθ ; y ρsnθ A pat de ces deu elatons, nous obtenons : ρ + y En pojetant les vecteus ( u, obtenons (fgue A-4) : ρ uθ ) dans le système de coodonnées catésennes, nous y uθ j uρ θ u ρ cos θ+ snθ j uθ sn θ+ cosθ j Fgue A-4 A-.. Epessons du vecteu poston + y j ρ(cos θ+ snθ j) ρu A-..4 Dévaton angulaes des vecteus de base ρ duρ snθ + cosθ j cos( θ + π /) + sn( θ + π /) j dθ duρ se dédut de u ρ en fasant toune u ρ de π/ dans le sens tgonométque (sens postf dθ ou le sens des θ cossants). Ce ésultat est généal: la dévée pa appot à l'angle polae θ(t) d'un vecteu untae, dont l'oentaton vae au cous du temps, est un aute vecteu untae touné pa appot au peme, d'un angle π/ dans le sens postf. du ρ θ dθ u duθ u dθ de même, ρ A-..5 Déplacement élémentae Consdéons un pont (ρ, θ) et le pont '(ρ + dρ, θ + dθ) obtenu en fasant déplace les deu composantes de espectvement de dρ et dθ paallèlement au vecteus de base polaes u ρ et u θ (Fgue A-5). 9

98 y uθ uρ ds j dθ ρ θ dρ ρdθ Fgue A-5 usque les vecteus de base polaes changent de decton d'un pont à un aute, le vecteu déplacement élémentae s'éct en coodonnées polaes : d d( ρuρ) dρu ρ + ρdu ρ, du ρ d u ρ ( θ ) ( ) dθ dθuθ dθ d dρu ρ + ρdθduθ Les pojectons du vecteu déplacement élémentae su la base ( u ρ, uθ ) s'obtennent en fasant vae de façon nfntésmale l'une des coodonnées en lassant l'aute constante : * La vaaton de ρ à θ constant : d ρ dρuρ * La vaaton de θ à ρ constant : d θ ρdθduθ Cette elaton peut ête également détemne géométquement suvant la Fgue A-5 en néglgeant les déplacements de second ode. La nome du vecteu déplacement élémentae est la longueu de la pemèe dagonale de la suface élémentae : d ( dρ) + ( ρdθ ) A-..6 Suface élémentae La suface élémentae déct pa les deu déplacement paallèlement au vecteus de base polaes est donnée pa : H u ds d ρ dθ dρu ρ ρdθuθ ρdρdθ uθ k θ ρ j uρ y m Fgue A-6 9

99 A-. Coodonnées cylndques A-.. Défnton Dans le système des coodonnées cylndques, un pont est epéé pa deu dstances et un angle (ρ, θ, ). Le vecteu poston s'éct : m + m m + H avec, m pojy() et H poj ( ) usque le plan y est mun d'un système de coodonnées polaes, le vecteu poston s'éct : ρ uρ + u avec, ρ et θ ont la même sgnfcaton que celles en coodonnées polaes. la même sgnfcaton en coodonnées catésennes. * ρ m ; ρ < + * θ (, m) : anglepolae; θ π * : cote Les vecteus de base du système cylndques ( u ρ, u θ, u ) sont défns pa : * ρ uθ u, sont les vecteus de base d un système des coodonnées polaes assocé au pont m ( u ρ vecteu untae poté pa le vecteu m ; u θ vecteu untae dgé suvant θ cossants) * u la même sgnfcaton que le vecteu poté pa en coodonnées catésennes : u uρ uθ. Le système des coodonnées cylndques est obtenus pa une otaton d'un angle θ des vecteus de base catésennes autou de l'ae. Les vecteus u ρ et u θ changent de decton d'un pont à un aute, alos que u est un vecteu constant. A-.. elatons ente les coodonnées catésennes et cylndques + y j+ k avec, ρcosθ ; y ρsnθ ; A pat de ces deu elatons (ou géométquement), nous obtenons : ρ + y En pojetant les vecteus ( u ρ, uθ ) dans le système de coodonnées catésennes, nous obtenons (Fgues A- et A-4) : u ρ cos θ+ snθ j ; uθ sn θ+ cosθ j ; u k. A-.. Epessons du vecteu poston A-..4 Déplacement élémentae Consdéons un pont (ρ, θ, ) et le pont '(ρ + dρ, θ + dθ, + d) obtenu en fasant déplace les tos composantes de espectvement de dρ, dθ et d paallèlement au vecteus de base u ρ, u θ et u (Fgue A-6). 94

100 usque le vecteu u ne change pas de decton d'un pont à un aute d u et le vecteu déplacement élémentae s'éct : d ( ρ ) +, d uρ dθuθ d uρ + u dρu ρ + ρdu ρ du d dρ uρ + ρdθuθ + du Ce vecteu déplacement élémentae peut ête détemné géométquement suvant la fgue A-6. A-..5 Sufaces élémentaes La suface élémentae S ρ à ρconstant est : ds dθ d ρdθuθ du ρdθ d ρ H k θ ρ dθ j ρdθ Fgue A-6 ds ρ m ds dρ ds θ u y uθ uρ La suface élémentae S θ à θ constant est : dsθ d ρ d dρu ρ du dρd La suface élémentae S à constant est : ds d ρ dθ ρdρdθ A-..6 Volume élémentae dτ dρu ρ.( ρdθuθ du ) ρdρu ρ.( dθdu ρ) ρdρdθd A-4 CDNNEES SHEIQUES A-4. Défnton Dans ce système un pont (, θ, ϕ) est epéé pa deu angles et une dstance défns pa (Fgue A-7) : * dstance de à ; < + H u uϕ * θ (, ) : colattude de ; θ π * ϕ (, m), avec m pojy(). ϕ : longtude ou amuth de ; comme en coodonnées cylndques ϕ π k θ j ϕ m uθ y Les vecteus de base du système sphéque ( u, u θ, u ϕ ) sont défns pa : * u : vecteu untae poté pa le vecteu poston, Fgue A-7 * u θ : vecteu untae tangent au méden et contenu dans le dem-plan méden (m) et l est dgé suvant θ cossants. éden : dem-cecle 95

101 * u ϕ : est un vecteu m (plan méden) dgé dans le sens de ϕ cossant. Ce vecteu est pependculae au deu autes vecteus de base et tel que le tède ( u, u θ, u ϕ ) est dect : uϕ u uθ. Le système des coodonnées sphéques est obtenus pa une double otaton des vecteus de base catésennes (, j, k ). La pemèe otaton d'un angle ϕ autou de k ; la deuème d'un angle θ autou de u ϕ. Les tos vecteus ( u, uθ, uϕ ) changent de decton d'un pont à un aute. A-4. elatons ente les coodonnées catésennes et sphéques Consdéons le plan y, et pojetant le vecteu m suvant les vecteus de base et j (Fgue A-8) : lan (y) ϕ u j snθ y y m Fgue A-8 En pojetant le vecteu m, nous avons : snθ cosϕ ; y snθsnϕ La cote n'est aute que la pojecton du vecteu poston su l'ae : cosθ avec, + y + lan (m) ou touve l'epesson des vecteus de base sphéques en foncton des vecteus de base catésennes, consdéons le plan (m), avec m pojy() et sot u un vecteu untae poté pa la k u dote m. C θ u mu ' + Ck ' snθu+ cosθ k m m uθ m'' u+ C'' k cosθ u snθk u m ou epme le vecteu untae u poté pa m en C uθ foncton des vecteus de base catésenne, nous consdéons le plan y de la Fgue A-9. Fgue A-9 96

102 u cos ϕ+ snϕ j d'où: u sn θ(cosϕ+ snϕ j) + cosθ k snθ cosϕ+ snθ snϕ j+ cosθ k uθ cosθ(cosϕ+ snϕ j) snθk cosθ cosϕ+ cosθ snϕ j snθk Connassant u et u θ, le tosème vecteu de base est donné pa : uϕ u u j k θ cosθ cosϕcosθ snϕ snθ sn θ cosϕ snθ snϕ cosθ snϕ+ cosϕ j A-4. Epessons du vecteu poston Le vecteu déplacement s'éct : + y j+ k (snθ cosϕ+ snθ snϕ j+ cosθ k) u A-4.4 Déplacement élémentae Consdéons un pont (, θ, ϕ) et le pont '( + d, θ + dθ, ϕ + dϕ) obtenu en fasant déplace les tos composantes de espectvement de d, dθ et dϕ paallèlement au vecteus de base sphéques u, u θ et u ϕ (Fgue A-). Le vecteu déplacement élémentae s'éct : d d( u ) du + u du du sn θcosϕ+ snθ snϕ j+ cosθ k u θ u d + dϕ θ ϕ (cos θcosϕ + cosθ snϕ j snθk) dθ + ( snθ snϕ+ snθ cosϕ j) dϕ k d d'où, u dθu θ + snθdϕu ϕ d du + dθuθ + snθdϕuϕ Les pojectons du vecteu déplacement élémentae su la base ( u, uθ, uϕ ) s'obtennent comme en coodonnées cylndques en fasant vae de façon nfntésmale une des coodonnées en lassant les deu autes constantes : * La vaaton de à θ et ϕ constants : d du * La vaaton de θ à et ϕ constants : d θ dθuθ * La vaaton de ϕ à et θ constants : dϕ snθdϕuϕ A-4.5 Suface élémentae Les vecteus déplacements élémentaes d, d θ et d ϕ pemettent de consdée les sufaces élémentaes suvantes: ds dθ dϕ dθuθ snθdϕuϕ snθ dθdϕ H ϕ snθ dϕ dϕ θ dθ snθ j m ds θ ds Fgue A- d ds ϕ y uθ u uϕ 97

103 ds dϕ d θ sn θdϕuϕ du snθ ddϕ ds d ϕ dθ du dθuθ ddθ A-4.6 Volume élémentae Les s sufaces élémentaes délmtent un volume élémentae donné pa : dτ du.( dθuθ snθdϕuϕ) snθ ddθdϕ A-5 ALLICATINS A-5. Coodonnées catésennes ou calcule la suface d'un cecle, consdéons d'abod la suface élémentae en coodonnées catésennes (Fgue A-) : ds ddy L'équaton d'un cecle s'éct en coodonnées catésennes : + y d où, y ± y + S ds y + y y y ( ) dy dy d dy osons : y cosθ ; dy snθdθ ou y ; θ et pou y -; θ π ; ans : S π cos θ snθdθ [ θ sn θ ] π S sn θdθ ( cosθ) dθ π π 4 π A-5. Coodonnées polaes ) Le calcul de la suface d'un cecle est eps à pat des coodonnées polaes. ou celà nous consdéons la suface élémentae epésentée su la Fgue A- : ds ρdρdθ avec, ρ et θ π. π S ρdρ dθ π y y - ds dy d Fgue A- + y 98

104 y + ds ρ dθ θ ρ dθ - Fgue A- ) Suface latéale d'un cylnde de hauteu h (ρ cste) ds ρ dθd dθd π S dθ d πh h A-5. Coodonnées cylndque ou calcule le volume d'un cylnde : dτ ρdρdθd π π h [ ρ ][][] θ h τ dτ ρdρ dθ d π A-5. Coodonnées sphéques ou calcule le volume d'une sphèe : dτ snθdθdϕd τ π π dτ d snθdθ h dϕ 4π A-6 CNCLUSIN Nous pouvons véfe que les vecteus de base qu défnssent les dfféents systèmes des coodonnées sont untaes, qu'ls sont othogonau deu à deu et fomes des bases dectes. Les vecteus poston, déplacements élémentaes, sufaces élémentaes dépendent du système des coodonnées choss pou les epme. Les systèmes des coodonnées cylndques sont utlsés dans les poblèmes pésentant une syméte aale de évoluton. Les systèmes des coodonnées sphéques sont utlsés dans les poblèmes pésentant une syméte sphéque autou d'un pont. 99