Choc élastique en dimensions Pa Pascal Rebetez Juillet 008. Intoduction Nous étudions le choc élastique ente deux disques glissant sans fottement su un plan hoizontal. Cette étude est menée dans le cade de la mécanique classique. Connaissant la vitesse de chaque disque en mouvement ectiligne unifome) avant le choc, nous chechons leu vitesse apès le choc. Le éféentiel choisi pou étudie ce poblème, est celui du laboatoie.. Paamète d impact Considéons dans un pemie temps le cas paticulie où les vitesses initiales des deux disques sont colinéaies : d Les vitesses finales dépendent de la distance d ente les suppots des deux vecteus vitesses initiales. Cette distance est appelée paamète d impact. Dans le cas généal où les deux vitesses initiales ne sont pas colinéaies, quelles) gandeus) déteminent le paamète d impact? La figue ci-dessous illuste cette situation : L énegie cinétique d un cops solide se déplaçant dans un plan) est égale à la somme de l énegie cinétique de tanslation de son cente de masse et de l énegie cinétique de otation du cops autou d un axe pependiculaie au plan et passant pa son cente de masse : Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions
E cin = m + I où m est la masse du cops, v la vitesse de son cente de masse, I le moment d inetie du cops pa appot à un axe pependiculaie au plan et passant pa son cente de masse et ω, la vitesse angulaie du cops autou de ce même axe. De plus, le cente de masse du cops se déplace comme une paticule ponctuelle de masse m su laquelle s exece la ésultante des foces extenes qui s execent su le cops. Le mouvement du cente de masse est donc soumis à la ème loi de Newton : F = m a où F est la ésultante des foces extenes qui s execent su le cops, m la masse du cops et a, l accéléation du cente de masse du cops. On peut donc considée le mouvement du cops comme un mouvement de tanslation du cente de masse, combiné à un mouvement de otation du cops autou de l axe sus-mentionné. Pa définition de l accéléation et en vetu de la loi fondamentale de la dynamique, nous pouvons écie, pou le mouvement du cente de masse) de chaque disque : v = v 0 + v = v 0 + a t)dt = v 0 + m t c v 0 : vitesse initiale v : vaiation de la vitesse v : vitesse finale t c : duée du choc m : masse du disque t c F t)dt La elation analogue pou le mouvement de otation des disques autou de leu cente de masse est : = 0 + = 0 + $ t)dt = 0 + t c I CM t c & t)dt = 0 + I CM t c t) F t)dt 0 : vitesse angulaie initiale : vaiation de la vitesse angulaie : vitesse angulaie finale : accéléation angulaie t c : duée du choc I CM : moment d inetie du disque pa appot à une axe qui lui est pependiculaie et passant pa son cente de masse) t) : moment de foce total execé su le disque F t) : foce supposée unique) execée su le disque t) : vecteu position du point d application de la foce execée su le disque Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions
Ces elations, valables pou chacun des disques, nous montent que le vecteu vitesse linéaie et angulaie) finale dépend du vecteu foce F t) qu ils subissent duant le choc. D apès le pincipe de l action et de la éaction, les disques subissent pendant le choc des foces opposées, dont le point d application est au point de contact des deux disques, appelé point d impact. Léquation expimant lénegie cinétique dun cops solide E cin = m + I ), suggèe de décompose le vecteu foce subi pa chaque disque selon deux diections, l une étant paallèle à la ligne joignant les centes des disques au moment du choc, appelée ligne d impact et donc nomale aux disques) et l aute, lui étant pependiculaie et donc tangente aux disques) comme l indique la figue ci-dessous : F F Avant le choc Au moment du choc Les deux composantes du vecteu foce contibuent à l accéléation linéaie) du cente de masse pendant le choc alos que seule la composante pependiculaie à la ligne d impact, contibue à l accéléation angulaie) du disque autou de l axe qui lui est pependiculaie et passant pa son cente de masse). Pa conséquent, le vecteu vitesse linéaie et angulaie) finale de chaque disque dépend de l oientation du vecteu vitesse linéaie) initiale de son cente de masse, pa appot à la ligne d impact. Ces deux oientations que l on appèle angles d impact) sont donc les paamètes d impact. Su la figue ci-dessous, nous voyons que les points C, C les centes des disques) et D le point d intesection des tajectoies initiales) foment un tiangle. Les angles d impact sont déteminés pa deux des tois angles intéieus de ce tiangle, le toisième étant déteminé pa les deux autes. Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 3
C C D 3. Choix du epèe et du système de coodonnées Les deux vitesses initiales des centes de masse déteminent un plan celui su lequel glissent les disques) dans lequel nous plaçons note epèe à deux dimensions). Vu la discussion qui pécède, nous penons pou oigine du epèe le point d impact et comme axes, la ligne d impact et la doite qui lui est pependiculaie, comme indiqué su la figue ci-dessous : y x O Nous choisissons un système de coodonnées polaies. Les vitesses initiales seont donc déteminées pa leu nome v et leu oientation θ pa appot à l un des axes du epèe celui pependiculaie à la ligne d impact), comme indiqué su la figue ci-dessous : Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 4
y x O Avant le choc Au moment du choc Apès le choc Remaquons que dans ce epèe, les oientations θ et θ des vecteus vitesses initiales, sont les deux angles ou paamètes) d impact. En se donnant les vitesses initiales en paticulie leu oientation) dans ce epèe, on se donne également les paamètes dimpact. C est là que éside tout l intéêt de ce epèe paticulie, puisque la connaissance des paamètes d impact est indispensable à la détemination des vitesses finales des deux disques. Les angles α, α et les vecteus et, seont utiles pa la suite. 4. Calculs Nous limitons note étude au cas où les disques ne sont pas en otation autou de leu cente de masse, ils ne sont animés que d un mouvement de tanslation. Note poblème consiste à touve les vitesses linéaies des centes de masse) des disques apès le choc. Le mouvement ayant lieu dans un plan, cela evient donc à touve les nomes et oientations des vitesses finales de chaque disque à savoi les quate inconnues v, θ, v et θ. Nous avons à disposition tois pincipes de consevation ; le pincipe de consevation de la quantité de mouvement, le pincipe de consevation de l énegie mécanique le choc étant supposé élastique, l énegie cinétique est consevée) et le pincipe de consevation du moment cinétique. Le pemie pincipe s expime pa deux équations une équation pa composante, la quantité de mouvement étant un vecteu du plan), le deuxième pincipe founit une équation l énegie est une gandeu scalaie) et le toisième pincipe en founit une ; en effet la constance du vecteu moment cinétique total, concene en paticulie son oientation, laquelle Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 5
est toujous nomale au plan dans lequel a lieu le mouvement. Le vecteu moment cinétique n a donc de composante que dans cette diection. Note tavail consiste à ésoude un système de quate équations expimant les tois pincipes de consevation) à quate inconnues v, θ, v et θ, les composantes des vitesses finales). Écivons ces quate équations où et désignent les ayons des disques et les lettes pimées concenent les gandeus apès le choc). 4. Les équations expimant les pincipes de consevation 4.. Pincipe de consevation du moment cinétique L z = L z L = L l + l = l + l sinα sinα = sinα sinα où α i est l angle ente le vecteu vitesse v i et le vecteu position i du cente de masse du i ème disque au début du choc et α i est l angle ente le vecteu vitesse v i et le vecteu position i du cente de masse du i ème disque à la fin du choc c.f. fig. ci-dessus). Chaque vecteu position est le même au début et à la fin du choc i = i ). La figue ci-dessus nous pemet de déduie les elations ente les angles α i, α i et les angles θ i, θ i, ces denies epésentant l oientation des vitesses avant et apès le choc) : = $ = $ = $ = $ La substitution de ces elations dans l équation pécédente donne : sin $ & ) * + m v sin $ & ) * = m v sin $ & ) * + m v sin $ * & ) Les elations tigonométiques pemettent de simplifie l équation pécédente : cos cos = cos cos ) Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 6
4.. Pincipe de consevation de la quantité de mouvement $ P = P & = P x $ P y P x P y & P x = P x p x + p x = p x + p x x x = v x v x cos cos = cos v cos ) P y = P y p y + p y = p y + p y y y = v y v y sin sin = sin sin 3) 4..3 Pincipe de consevation de l énegie mécanique consevation de l énegie cinétique) E cin = E cin E cin + E cin = E cin + E cin + m = v + m v = v v 4) 4. Solution du système d équations Les équations touvées ci-dessus, constituent un système de quate équations : $ cos cos = cos v cos & cos cos = cos v cos & sin sin = sin v sin = & v 5) Les substitutions suivantes pemettent de simplifie la fome de ce système : A = cos cos B = cos cos C = sin sin D = 6) Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 7
On obtient ainsi : $ A = cos v cos & B = cos v cos & C = sin v sin D = & v 7) De plus, les changements de vaiables suivants simplifient la ésolution ce système : = cos $ = cos $ & = sin $ = sin $ 8) puisque lon obtient ainsi : & A = B = C = $ ) D = $ + ) + ) 9) qui est un système d équations du deuxième degé, dont les quate inconnues sont maintenant α, β, δ et γ. À l aide des deux pemièes équations du système 9), on touve les inconnues β et δ : = $ B A B & ) = cos* + = A B m ) 0) = cos* où les coefficients A et B ont été explicités à laide des elations 6). De la toisième équation du système 9), on expime γ en fonction de α : = C $ m ) On insèe maintenant ces expessions de β, δ et γ dans la quatième équation du système 9), en explicitant les coefficients C et D c.f. 6)). On obtient ainsi : Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 8
+ m $ m m ) $ v & m sin* + sin* + m & m ) m ) sin * + sin* sin* = 0 ) qui est une équation du deuxième degé en α, de la fome dont les deux solutions sont Le disciminant est ici égal à qui est toujous positif ou nul. Les deux solutions de l équation ) sont : a + b + c = 0 = b ± b 4ac a sin sin )) + = b + b 4ac a = sin$ = b b 4ac a 3) = m sin$ + m sin$ À ces deux solutions pou α coespondent deux solutions pou γ : + = C $ + m = sin 4) = C $ m = sin sin Pa conséquent, le système 9) a deux solutions : le quaduplet α +, β, δ et γ + d une pat et le quaduplet α, β, δ et γ d aute pat. On peut maintenant expime la solution v, θ, v, θ, du système initial 5), à laide des elations 8) ente ces huit vaiables. Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 9
Dans 8), on voit que : tan = $ ce qui pou α + donne : tan = tan d où : = 5) et pou α : tan = $ m tan + m sin 6) cos De même, tan = $ ce qui pou γ + donne : tan = tan d où : = 7) et pou γ : Dans 8), on voit également que : ce qui pou α + donne : tan = sin + m $ m tan 8) cos = + $ = d où : = 9) et pou α : Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 0
= m sin$ + m sin$ * & ) + cos$ ) 0) De même, v = + $ ce qui pou γ + donne : v = d où : v = ) et pou γ : v = m sin$ + m sin$ * & ) + cos$ ) ) Les équations 5), 7), 9) et ) expiment des vitesses finales égales aux vitesses initiales, ce qui coespond à la situation tiviale où aucun choc n a eu lieu ente les disques. En evanche, les équations 6), 8), 0) et ) coespondent à la situation où les disques se sont entechoqués. Nous écapitulons ci-dessous ces quate équations qui expiment la solution du système 5), c est-à-die la solution avec choc) de note poblème : tan = $ m tan + m sin cos = m $ sin + m sin * & ) + cos ) tan = m $ m tan + sin cos ou encoe : v = m $ sin + m sin * & ) + cos ) Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions
= actan m $ tan + m sin * & cos ) = $ m sin + m sin * & ) = actan m $ m tan + sin * & cos ) + cos ) 3) v = m $ sin + m sin * & ) + cos ) 5. Discussion de la solution Nous pouvons faie les emaques suivantes concenant la solution 3) : a) Ces deux paies d équations sont symétiques sous pemutation des indices et, ce qui physiquement signifie que ien dans le mouvement de ces disques ne pemet de les distingue. b) Cette solution est indépendante des ayons et des disques. Le choix de note epèe explique cette indépendance c.f. paagaphe 3). Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions
6. Étude de cas paticulies Nous étudions dans cette denièe patie quelques cas paticulies intéessants de la solution généale 3). a) = m les disques ont la même masse) Pou les oientations, on obtient : tan = sin cos Pa conséquent : tan = sin cos tan tan = tan tan Avant et apès le choc, les poduits des tangentes des oientations des vitesses sont égaux. Pou les nomes, on obtient : = sin ) + cos ) Pa conséquent : v = sin ) + cos ) + v = + Avant et apès le choc, les sommes des caés des nomes des vitesses sont égales. b) >> m l un des disques a une masse négligeable pa appot à celle de l aute) Pou l oientation de la vitesse du disque le plus loud, on obtient : tan $ tan $ L oientation de la vitesse du disque le plus loud ne change pas au cous du choc. Pou la nome de la vitesse du disque le plus loud, on obtient : $ La nome de la vitesse du disque le plus loud ne change pas au cous du choc. Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 3
Pou l oientation de la vitesse du disque le plus lége, on obtient : tan $ tan + sin cos Pou la nome de la vitesse du disque le plus lége, on obtient : v = sin$ + sin$ ) + cos$ ) c) = 0 l un des disque est immobile avant le choc) Pou l oientation de la vitesse du disque incident, on obtient : tan = $ m tan Pou la nome de la vitesse du disque incident, on obtient : = m sin$ * & ) + cos$ ) Pou l oientation de la vitesse du disque initialement immobile, on obtient : tan = $ = & Apès le choc, le vecteu vitesse du disque initialement immobile a la même diection que la ligne d impact. Pou la nome de la vitesse du disque initialement immobile, on obtient : v = sin Considéons encoe un cas paticulie de cette situation, celui où les deux disques ont la même masse = m ). La pemièe équation de cette patie c) devient dans ce cas : D où : tan = 0, $ ± = 0 Apès le choc, le vecteu vitesse du disque incident est pependiculaie à la ligne d impact. Il est donc aussi pependiculaie au vecteu vitesse de l aute disque. Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 4
En ésumé, losque deux disque de même masse s entechoquent alos que l un d eux est initialement immobile, les tajectoies des disques apès le choc, sont pependiculaies. Celle du disque initialement immobile est paallèle à la ligne d impact, alos que celle du disque incident lui est pependiculaie. d) Choc fontal les diections des vecteus vitesse initiale sont confondues avec la ligne d impact, cela signifie que = ± et = ± ) Considéons le cas paticulie où les vecteus vitesse initiale sont dans le même sens = = ± ). Pou les oientations des vitesses finales, on obtient : tan = tan = $ = = & Apès le choc, les diections des vecteus vitesse estent confondues avec la ligne d impact. Pou les nomes des vitesses finales, on obtient : = m + m v = + m m On etouve ici la solution du choc élastique en une dimension. 7. Conclusion Nous voyons dans ce tavail, que la ésolution du poblème initial, simple en appaence puisqu il ne fait inteveni que deux cops le nombe minimal pou qu existe une inteaction), qu il se limite au plan on pouait considée le même poblème dans un espace à tois dimensions) et au mouvement de tanslation des centes de masse on pouait pende en compte le mouvement de otation des disques autou de leu cente de masse), nécessite l emploi des tois lois de consevation énegie, quantité de mouvement et moment cinétique) qui constituent les fondement de la mécanique classique. En effet, comme le appellent G. Cohen-Tannoudji et M. Spio dans leu ouvage La matièe-espace-temps, «On peut en effet démonte mathématiquement que toutes les lois de la dynamique classique sont équivalentes à cet ensemble de lois de consevation.». «Qu impote la façon, pouvu qu on ait l hadiesse, Qu empote la aison ves de nouvelles ivesses.» PR Pascal Rebetez Choc élastique en dimensions 5