Mchel Foc Électomagnétsme et électocnétque P0) UPM, 06/07 hapte III Dpôles électostatques III.a.. Potentel Potentel et champ céés pa un dpôle onsdéons un système de deu chages opposées, +Q et Q, stuées espectvement en des ponts P et N dstants de a. Le système est ce qu on appelle un dpôle. Notons O le mleu de NP, u z un vecteu untae dgé de N ves P, et calculons le potentel V céé pa le dpôle en un pont M stué à une dstance de O dans le cas où a. Q VM) V Q M) + V +Q M) 4 π ε 0 NM + +Q ). III.) PM On a NM) NM NM NO + OM) NO + OM) NO) + OM) + NO OM. O NO a/, OM et NO OM a u z u a cos θ où θ est l angle ente u z et OM. On a donc NM a /4 + a cos θ + + a cos θ III.), III.3) ) / + a. III.4) 4 Fasons un développement de /NM au peme ode en a/. Quand u 0, + u) α + α u, donc, avec α / et on obtent De même, en emplaçant a pa a, donc Notons VM) 4 π ε 0 u a cos θ NM PM + a 4, III.5) a cos θ ). III.6) + a cos θ ), III.7) [ Q + Q a cos θ ] [ + Q + Q a cos θ ]) Q a cos θ 4 π ε 0 pou a. III.8) p Q a u z le moment dpolae. L unté SI de p est le m, mas on utlse plus souvent le debye symbole «D»), où D 3,34 0 30 m. On peut alos ééce le potentel sous la fome ntnsèque c.-à-d. ndépendante du système de coodonnées) VM) p u pou a. III.0) 4 π ε 0 III.9) 30
Mchel Foc Électomagnétsme et électocnétque P0) UPM, 06/07. hamp électque alculons le champ électque à gande dstance à pat de l epesson E gad V. En coodonnées sphéques, O u z cos θ u sn θ u θ, donc sot, sous fome ntnsèque, III.b. EM) V u V θ u θ sn θ V φ u φ Q a 4 π ε 0 3 cos θ u + sn θ u θ ). III.) EM) 3 Q a cos θ 4 π ε 0 3 u Q a 4 π ε 0 3 u z, III.) EM) 3 p u ) u p pou a. III.3) 4 π ε 0 3 Développement multpolae du potentel. Développement à l ode 3 en / onsdéons mantenant un ensemble S de chages Q,..., Q n stuées au ponts K,..., K n. Notons, y, z ) les coodonnées du pont K dans une base othonomée decte O, u, u y, u z ) quelconque et d + y +z )/ est la dstance OK. alculons le potentel en un pont M à une dstance de O. omme pécédemment, on peut éce K M) K M K M K O + OM) K O + OM) OK ) + OM) OK OM où α OK, u ). On a donc Posons u d cos α / + d /. On a donc Fnalement, pou tout, VM) 4 π ε 0 K M n 4 π ε 0 } {{ } teme monopolae V mon ) a. as où Q tot 0 d + d cos α, III.4) + u) α + α u + K M K M α α ) + d cos α n + d cos α + 4 π ε 0 } {{ } teme dpolae V dp ) d cos α + d / u + Ou 3 ) u + 3 u 8 + 3 d cos α d d 3 + O 3 n 3 d cos α d )/ 4 π ε 0 3 } {{ } teme quadupolae). III.5) + Ou 3 ), III.6). ) + O. } {{ 4 } teme octupolae, etc.) III.7) III.8) Le teme monopolae dt auss «unpolae») domne à gande dstance s la chage totale Q tot n est non nulle. est smplement le potentel céé pa une chage ponctuelle de valeu Q tot stuée à l ogne. 3
Mchel Foc Électomagnétsme et électocnétque P0) UPM, 06/07 b. as où Q tot 0 et p 0 S Q tot 0, le teme monopolae est nul. S n Q OK 0, le teme dpolae domne à gande dstance et on etouve la même epesson que pou un dpôle consttué de deu chages opposées : n VM) V dp M) Q d cos α n Q OK u 4 π ε 0 4 π ε 0 où p u 4 π ε 0, III.9) p OK III.0) est le moment dpolae de la dstbuton. S p 0, V dp 0 : l faut alos consdée les temes d ode supéeu. Pou n en patcule, en posant Q Q donc Q Q), N K et P K, on a ben p Q NP. Plus généalement, on poua assmle tout système tel que Q tot 0 et n Q OK 0 à un dpôle {N, P} potant les chages Q et +Q, où Q la somme des chages postves, N est le baycente des patcules de chage négatve pondéé pa les valeus de celles-c), et P celu des patcules de chage postve pondéé pa les valeus de celles-c).. Fome tensoelle du développement multpolae hos pogamme) Notons ν, ν et ν 3 les composantes de u selon u, u y et u z. On a donc le numéateu du teme quadupolae vaut où T ) d cos α ν + y ν + z ν 3, 3 d cos α d ) n 3 d ) n 3 Q y n 3 Q n z 3 Q y n 3 y d ) n 3 Q n y z 3 Q z n 3 Q z y n 3 z d ) 3 j 3 k III.) T ) j, k ν j ν k, III.) III.3) est le moment quadupolae de la dstbuton de chages. e moment, epésenté c-dessus sous fome de matce, est un tenseu d ode. Le moment dpolae est lu un vecteu, c.-à-d. un tenseu d ode. En effet, avec p u p ν + p y ν + p z ν 3 n T ) Q n Q n y Q. z k0 3 j T ) j ν j, III.4) III.5) Le moment monopolae est un tenseu d ode 0, le scalae T 0) Q tot. De manèe généale, on a 3 j... 3 j k Tk) j,..., j k ν j... ν jk VM), III.6) 4 π ε 0 k où T k), le moment k -polae, est un tenseu d ode k. 3. ho de l ogne La valeu du potentel donnée pa la somme nfne de tous les temes ne dépend évdemment pas de l ogne abtae O, quelle que sot la dstance. En evanche, losqu on ne etent que les pemes temes,. On défnt pafos le moment quadupolae comme le double de T ). 3
Mchel Foc Électomagnétsme et électocnétque P0) UPM, 06/07 la somme tonquée est une appomaton d autant melleue du potentel que est gand et que l ogne est au cœu de la dstbuton de chages. Les temes du développement dépendent a po de l ogne non seulement pa leu dénomnateu k dans III.6), mas auss pa leu numéateu, 3 j... 3 j k Tk) j,..., j k ν j... ν jk. Dans celu-c, les ν dépendent peu de l ogne pou peu que celle-c sot dans la dstbuton de chages et que M sot lon de celle-c. Qu en est-l pou les moments T k)? On peut monte que, s Q tot 0, p ne dépend pas du pont O chos pou le calcule. En effet, pa appot à une aute ogne O, Hos pogamme) p O K O O + OK ) Q tot O O + OK p. III.7) omme pou le moment dpolae, le moment k -polae ne dépend pas de l ogne s tous les moments d ode nféeu sont nuls. Montons-le pa eemple pou la composante, ) du moment quadupolae. En notant avec un pme les coodonnées pa appot à un pont O de coodonnées 0, y 0, z 0 ) dans O, u, u y, u z ), on a III.c. T ), 3 d )/ y z )/ [ 0 + 0 ] [y y y 0 + y 0 ] [z z z 0 + z 0 ])/ y z )/ 0 + y 0 y + z 0 y z )/ pusque T0) T ) 0) z + 0 + y 0 + z 0 ) 3 d )/ T),. III.8) Dpôles atomques et moléculaes. Dpôles pemanents Les atomes les plus électonégatfs d une molécule attent les électons, ce qu end la molécule polae : celle-c acquet un moment dpolae pemanent et se compote comme un solde gde. La dstance NP ente les baycentes des chages négatves et postves étant constante, la nome de p est constante. Le vecteu moment dpolae n est cependant pas constant ca la molécule peut toune. S elle est soumse à un champ etéeu, nous veons qu elle a tendance à algne son moment dpolae dans la decton et le sens de ce champ. Un eemple mpotant de dpôle pemanent est la molécule d eau. elle-c est globalement neute mas pote un ecès de chage négatve q su l atome d oygène et un ecès de chage postve q su chacun des atomes d hydogène. En penant l atome d oygène comme ogne et en notant H ) et H ) les deu atomes d hydogène, on obtent p q OO + q OH ) + q OH ) q l cosθ/) u, III.9) où l est la dstance OH, θ OH ), OH ) ) 04 et u est un vecteu untae dgé de O ves le mleu de H ) H ). On peut fae le même calcul pou le doyde de cabone. ette molécule est globalement neute mas pote un ecès de chage postve su l atome de cabone et un ecès de chage négatve su chacun des atomes d oygène. ontaement à l eau, elle est lnéae, donc θ 80 et p 0 d apès l équaton III.9). Elle a en evanche un moment quadupolae non nul.). L électonégatvté est la capacté qu a un atome patcpant à une lason chmque d atte les électons ms en commun dans cette lason. 33
Mchel Foc Électomagnétsme et électocnétque P0) UPM, 06/07. Dpôles nduts Dans un champ nul, le nuage électonque d un atome admet une syméte sphéque autou du noyau. Losque l atome est plongé dans un champ électque E et, l est défomé, ca chacun de ses Z électons subt une foce e E et, tands que le noyau subt une foce Z e E et de sens contae. Le noyau et les électons se déplacent en sens opposés jusqu à ce qu un équlbe s établsse ente la foce sépaatce eecée pa le champ E et et la foce attactve d nteacton ente le noyau et les électons. Le baycente N du nuage électonque est alos décalé pa appot au baycente P du noyau : on dt que l atome a été polasé pa le champ et qu l a acqus un moment dpolae ndut. En champ fable, à l équlbe, ce moment est donné pa p α E et ), III.30) où α est une constante postve appelée polasablté. ec event à consdée que le dpôle se compote comme un essot. f. III.d.4.b.) Hos pogamme) Les molécules sont également polasables. En champ fable, la elaton ente p et E et este lnéae, mas pend la fome plus complquée suvante losque la molécule n est pas symétque :, 3 p 3 j α, j E et j ), III.3) où α, j ), j), 3 est le tenseu de polasablté, p p u + p u y + p 3 u z et E et E et Nous nous estendons à la fome III.30) dans ce qu sut. 3. Polasablté d un mleu u + E et u y + E et u 3 z. Losqu l est soums à un champ etéeu, un mleu contenant n dpôles nduts pa unté de volume acquet, en un pont M, un moment dpolae pa unté de volume PM) n α EM). III.3) Note que E compend à la fos le champ etéeu mposé au mleu et le champ podut pa les autes dpôles du mleu. Un mleu contenant des dpôles pemanents p acquet également un moment dpolae pa unté de volume losqu l est soums à un champ etéeu, ca les dpôles tounent pou s algne avec le champ. ette tendance à l ode est contebalancée pa le désode dû à l agtaton themque. Le degé d ode du mleu c.-à-d. d algnement des dpôles avec le champ) est caactésé pa le appot p E/k B T), où T est la tempéatue en kelvns) et k B est la constante de Boltzmann : P n p E/E s p E/k B T), III.33) P 0 s p E/k B T). III.d. Actons eecées su un dpôle. Résultante des foces etéeues alculons la ésultante des foces etéeues eecées su un dpôle 3 électostatque D { Q, Q}, où Q et Q sont en N et P 4. F et D F et Q + F et Q Q E et N) + Q E et P). III.34) Notons le mleu de NP. Un développement lmté au e ode de la composante selon de E et donne ) ) ) E E et P) E et et E et E et ) + P ) + y P y ) + z P z ), III.35) y z 3. etans auteus utlsent le teme «dpôle passf» esp. «dpôle actf») losqu ls s ntéessent au actons qu l subt esp. eece). 4. Plus généalement, s 0, le pont N est le baycente des chages négatves, pondéé pa les valeus des chages, P est le baycente des chages postves, et Q est la somme des chages postves. 34
Mchel Foc Électomagnétsme et électocnétque P0) UPM, 06/07 et de même pou N au leu de P, donc ) E et F et D ) Q p + p y P N ) + Q y + p z E et y De même pou E y et E z au leu de E, donc F et D p gad )E et u + p gad )E et sot ) y P y N ) + Q E et z ) z P z N ) ) E et p gad z )E et. III.36) F et D p gad ) E et. y u y + p gad )E et z u z, III.37) III.38) S E et est unfome, F et D 0. Même quand ce n est pas le cas, la foce etéeue su un dpôle est généalement fable, ca le champ vae peu à l échelle d un dpôle.. Moment total des foces etéeues sot alculons de même le moment pa appot à des foces etéeues su le système. On a Γ ) et D Γ ) et Q + Γ ) et Q N F et Q + P F et Q N Q) E et ) + P Q E et ) Q N + NP) E), Γ ) et D p E et ). Le moment pa appot à un pont A quelconque vaut Γ A) et D A F et D + Γ ) et D. S E et est unfome, F et D 0, donc, quel que sot A, Γ A) et D Γ ) et D. III.39) III.40) III.4) 3. as d un dpôle pemanent a. Résultante des foces Pou un dpôle pemanent, en électostatque, on a gad p E et ) p gad ) E et, donc l équaton III.38) peut ête éécte F et D gad p E et ). III.4) III.43) En effet, gad p E) p ot E + E ot p + E gad) p + p gad) E. III.44) Les tos pemes temes du membe de dote sont nuls : le peme ca ot E 0 en électostatque ; le deuème et le tosème ca un dpôle pemanent est gde, donc p ne dépend pas de la poston de en evanche, p dépend de l oentaton du dpôle). b. Équlbe et stablté Un dpôle pemanent se compotant comme un solde gde, l est à l équlbe s F et D 0 donc s E et est unfome) et s Γ et D 0, c.-à-d. s p est paallèle à E et. Il y a donc deu oentatons d équlbe : p oenté selon + E ; p oenté selon E. O losque le dpôle est écaté de l équlbe, le moment des foces le amène ves + E : l équlbe n est donc stable que losque p est oenté selon + E. S le champ est statonnae ndépendant du temps), le dpôle a un mouvement d oscllaton lbe ou plus généalement de pécesson autou de son oentaton stable ; en pésence de dsspaton, ce mouvement s amott et le dpôle s algne selon + E au bout de quelques τ, où τ est le temps de elaaton. S le champ est apdement vaable, le dpôle subt une oscllaton focée et pene à suve l oentaton du champ, ce qu échauffe le mleu envonnant. est le pncpe du fou à mco-ondes, dans lequel les dpôles sont les molécules d eau contenues dans les alments. 35
Mchel Foc Électomagnétsme et électocnétque P0) UPM, 06/07 c. Énege potentelle Dstnguons le dpôle D et les souces «etéeues» avec lesquelles l nteagt. L énege potentelle de l ensemble est E nt p D et) E nt p D) + E nt p et) + E p D et). III.45) L énege potentelle d nteacton ente le dpôle D et l etéeu vaut E p D et) E p +Q et) + E p Q et) +Q) V et P) + Q) V et N), où V et est le potentel podut pa les souces etéeues. omme dv E d, III.46) au e ode, et de même pou V et N), donc sot V et P) V et ) + E et ) P) E p D et) E et p D) E et ) Q P Q N) E et ) Q NP, E p D et) p E et ). III.47) III.48) III.49) Remaque que E et p D) est etémale quand p et E sont algnés. On etouve donc les deu oentatons d équlbe déjà obtenues à pat du moment. Le mnmum de E p étant attent quand p est selon + E, l s agt ben de l oentaton stable. Pou un dpôle pemanent, PN c te. O le taval des foces ntéeues à un solde gde est nul, donc E nt p D) E p D D) c te et on peut suppme ce teme pusque l énege potentelle est de toute façon défne à une constante pès. S les souces etéeues sont mmobles les unes pa appot au autes, E nt p et) E p et et) c te, teme qu on peut omette ca constant. d. Ecuson en mécanque du solde hos pogamme) La poston de chacun des ponts d un solde est détemnée s l on connaît la poston d un de ces ponts, pa eemple, et l oentaton du solde. ette denèe est caactésée pa tos angles, les angles d Eule ϑ, ϕ et ψ. Un dpôle pemanent se compotant comme un solde, son énege potentelle E et p D) p E et ) dépend des postons des souces etéeues et de va E et ), et de l oentaton du dpôle pa l ntemédae de p. Pou cette denèe, deu angles suffsent : l angle ϑ ente p et u z, et l angle ϕ ente u et la pojecton de p su le plan u, u y ). L angle ψ coespondat à la otaton de la molécule autou de l ae, p).) On a donc de et p D) d et E et p D) + d E et p D) + d ϑ, ϕ) E et p D), III.50) } {{ }} {{ } dw F D et ) dw F et D ) où l on a noté d et esp d, d ϑ, ϕ) ) une dfféencaton pa appot au postons des souces etéeues esp. à la poston de, à l oentaton du dpôle), et d et E et p D) p d et E), III.5) d E et p D) p d E), III.5) d ϑ, ϕ) E et p D) E) d p. III.53) Véfons, à pat des epessons obtenues pou F et D et Γ ) que l on a ben et D dw F et D ) p d E) + E) d p. Le taval des foces eecées su un solde S pendant une duée dt nfntésmale est dw F et S d M) + Γ M) et S d α, III.54) III.55) où M est un pont quelconque du solde, d M) le déplacement élémentae de M pa appot à un éféentel galléen R, et d α dα u 5 epésente une otaton du solde pa appot à R d un angle nfntésmal dα autou de l ae u. En temes de vtesse angulae nstantanée de otaton ω R /R, pa appot à R, du éféentel R dans lequel le dpôle est fe, d α ω R /Rt) dt.) Pou le dpôle, avec M, on a dw F et D ) [ p gad] E et ) d ) + p E et ) d α. III.56) 5. Attenton, d α n est pas une vaaton nfntésmale d un vecteu α, mas une quantté vectoelle nfntésmale. 36
Mchel Foc Électomagnétsme et électocnétque P0) UPM, 06/07 Véfons d abod que p E et ) d α d p E et Pou tous éféentels R et R et toute foncton vectoelle f, d f d f dt + ω R dt /R /R /R f, III.57) donc d f ) /R d f ) /R + d α f. III.58) Le moment dpolae est pemanent, c.-à-d. fe dans le éféentel R du dpôle, donc d p ) /R 0. En omettant l ndce «/R» pou le éféentel galléen, on obtent d p d α p, sot, en utlsant l nvaance du podut mte pa pemutaton cculae, III.59) p E et ) d α d α p) E et d p E et. III.60) Montons mantenant que [ p gad] E et ) d ) p d E et. Pou un dpôle gde, en électostatque, [ p gad] E et ) d ) gad p E et ) d ) d p E et ). III.6) Pusque p ne dépend pas de ), On obtent fnalement avec E et p D) p E et. Epesson de d α d p E et ) p d E et ). III.6) dw p d E et ) + E et ) d p d p E et ) de et p D) III.63) p ne dépend que de l oentaton du dpôle. On peut éce p p kϑ, ϕ), où k est un vecteu untae de colattude ϑ et de longtude ϕ. On a d p p d k p k ϑ dϑ + k ϕ dϕ p u ϑ dϑ + u ϕ sn θ dϕ). III.64) La base k, u ϑ, u ϕ ) est othonomée decte, donc d p d α p avec d α sn ϑ dϕ u ϑ + dϑ u ϕ. III.65) III.66) alcul de F et D et Γ ) et D à pat de Eet p D) L énege potentelle dépend des coodonnées, y, z) de pa l ntemédae de E et ) et de la decton ϑ, ϕ) de p. On a de p E p d + E p y dy + E p z dz + E p ϑ dϑ + E p ϕ dϕ. III.67) } {{ }} {{ } p d E et F et D d ) E et d p Γ ) et D d α L dentfcaton des temes de la pemèe accolade donne F et D gad E et p D) ce qu n état pas complètement évdent ca D n est pas un pont matéel). elle des temes de la deuème accolade donne l epesson du moment en foncton de l énege potentelle : 4. as d un dpôle ndut Γ ) et D sn ϑ E et p D) ϕ onsdéons un dpôle ndut tel que p α E et ). u ϑ Eet p D) ϑ u ϕ. III.68) 37
Mchel Foc Électomagnétsme et électocnétque P0) UPM, 06/07 a. Foce et moment ésultants ontaement au dpôle pemanent, F et D gad p E et ), ca p dépend de E et, donc de la poston. En evanche, d apès l équaton III.44), gad p E) p ot E + E ot p + E gad) p + p gad) E p 0 + E α ot E + α E gad) E p gad) E, III.69) donc F et D p gad) E et p E et gad. III.70) Le moment eecé pa le champ etéeu est nul pusque Γ ) et D p E et ) et que le moment dpolae ndut est algné avec E dans le cas consdéé c p α E et ). b. Énege potentelle On a de nt p D) F N P d OP + F P N d ON F N P d OP F N P d ON F N P d NP. III.7) Détemnons l epesson de F N P en consdéant un dpôle à l équlbe. Le pont P est soums à la foce eecée pa le champ etéeu et à celle due à N. S l est à l équlbe, F N P +Q E et P) 0. O E et P) E et ), donc F N P Q E et ) Q α Le dpôle se compote donc comme un essot de adeu k Q /α et de longueu à vde nulle, d où E nt p D) k NP) p α NP. p E et ) Le calcul effectué au III.d.3.c pou E et p D) étant ndépendant de la natue du dpôle, III.7). III.73) E nt p D) + E et p D) p E et ). III.74) 38