Construction de solutions proches de solitons instables. d'équations dispersives non-linéaires surcritiques. Vianney Combet. Orsay, 9 janvier 2009

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1 Solitons gkdv Rapport d'activité Construction de solutions proches des solitons d'équations dispersives non-linéaires surcritiques Orsay, 9 janvier 2009 Thèse sous la direction de Luc Robbiano et Yvan Martel

2 Solitons gkdv Rapport d'activité Plan 1 Ondes solitaires Équation de Schrödinger non-linéaire Équation de Korteweg-de Vries généralisée Stabilité orbitale des solitons 2 Résultat pour gkdv surcritique Résultat principal Grandes lignes de la preuve 3 Rapport d'activité

3 Solitons gkdv Rapport d'activité NLS gkdv Stabilité orbitale des solitons Équation de Schrödinger non-linéaire (NLS) : où t R, x R n et λ = ±1. { i t u + u + λ u 2σ u = 0 u(0) = u 0 H 1 (R n ) Ondes solitaires pour NLS = états stationnaires : u ω (t, x) = e iωt ϕ ω (x) où ϕ ω vérie l'équation elliptique : ϕ + ωϕ λ ϕ 2σ ϕ = 0 Conditions nécessaires et susantes pour que cette équation admette des solutions localisées : λ = +1, ω > 0 et σ < 2 n 2.

4 Solitons gkdv Rapport d'activité NLS gkdv Stabilité orbitale des solitons Équation de Korteweg-de Vries généralisée (gkdv) : où t R et x R. { t u + 3 x u + x(u p ) = 0 u(0) = u 0 H 1 (R) Ondes solitaires pour gkdv = ondes progressives : u c (t, x) = Q c (x ct) où Q c vérie l'équation diérentielle ordinaire : cq c + Q c (Q p c ) = 0 Condition nécessaire et susante pour que cette équation admette des solutions localisées : c > 0.

5 Solitons gkdv Rapport d'activité NLS gkdv Stabilité orbitale des solitons Propriétés de Q c : 1 Q c est pair 2 Q c (x) C p e c x quand x ± 3 Q c est connu explicitement : Q c (x) = c 1 p 1 Q( cx) où Q = Q 1 est donné par Q(x) = p + 1 ( ) 2 cosh 2 p 1 x 2 1 p 1

6 Solitons gkdv Rapport d'activité NLS gkdv Stabilité orbitale des solitons Dénition On dit que u c (t, x) = Q c (x ct) est stable si : ε > 0, δ > 0, inf y R u 0 Q c ( y) H 1 δ = t R, inf y R u(t) Q c( y) H 1 ε

7 Solitons gkdv Rapport d'activité NLS gkdv Stabilité orbitale des solitons Dénition On dit que u c (t, x) = Q c (x ct) est stable si : ε > 0, δ > 0, inf y R u 0 Q c ( y) H 1 δ = t R, inf y R u(t) Q c( y) H 1 ε Théorème L'onde progressive u c (t, x) est stable si et seulement si p < 5, c'est-à-dire dans le cas L 2 -sous-critique.

8 Solitons gkdv Rapport d'activité NLS gkdv Stabilité orbitale des solitons Dénition Pour ϕ H 1 (R), on dénit la masse de ϕ par m(ϕ) = ϕ 2, et son énergie par : E(ϕ) = 1 ( x ϕ) p+1 ϕ p+1. Proposition Ces deux quantités sont conservées au cours du temps pour une solution de gkdv.

9 Solitons gkdv Rapport d'activité NLS gkdv Stabilité orbitale des solitons Dénition Pour ϕ H 1 (R), on dénit la masse de ϕ par m(ϕ) = ϕ 2, et son énergie par : E(ϕ) = 1 ( x ϕ) p+1 ϕ p+1. Proposition Ces deux quantités sont conservées au cours du temps pour une solution de gkdv. Proposition Si p < 5, alors Q c peut être caractérisé variationnellement. Plus précisément, si E(u) = E(Q c ) et m(u) = m(q c ), alors il existe a R tel que u = Q c ( + a).

10 Théorème Pour tout c > 0, il existe une solution w c (t) de gkdv surcritique dénie pour tout t 0, telle que : 1 w c (t) Q c H1 (R) t + 0, 2 c > 0, x 0 R, w c (0) Q c ( + x 0 ).

11 1 On construit une suite de données initiales (u 0,n ) qui vérient : m(u 0,n ) = m(q), E(u 0,n ) < E(Q) et u 0,n Q H 1 n 0.

12 1 On construit une suite de données initiales (u 0,n ) qui vérient : m(u 0,n ) = m(q), E(u 0,n ) < E(Q) et u 0,n Q H 1 n 0. 2 On (re)démontre que Q est instable dans le cas p > 5, de telle sorte qu'on obtient : δ > 0, n 1, T n R + tel que { infy R u n (T n ) Q( y) H 1 = δ t [0, T n ], inf y R u n (t) Q( y) H 1 δ Remarque : On peut montrer que T n n +.

13 1 On construit une suite de données initiales (u 0,n ) qui vérient : m(u 0,n ) = m(q), E(u 0,n ) < E(Q) et u 0,n Q H 1 n 0. 2 On (re)démontre que Q est instable dans le cas p > 5, de telle sorte qu'on obtient : δ > 0, n 1, T n R + tel que { infy R u n (T n ) Q( y) H 1 = δ t [0, T n ], inf y R u n (t) Q( y) H 1 δ Remarque : On peut montrer que T n n +. 3 Grâce à un lemme de modulation autour de Q, on montre que, à translation du centre de masse près, (u n (T n )) est bornée dans H 1, de telle sorte qu'on peut en extraire une sous-suite faiblement convergente : u n (T n ) v 0

14 Proposition Pour tout c > 0, on a v 0 Q c.

15 Proposition Pour tout c > 0, on a v 0 Q c. Dénition On pose w 0 = ˇv 0 H 1 (R), soit pour tout x R : w 0 (x) = v 0 ( x). Remarque : Si u(t, x) est solution de gkdv, alors u( t, x) est aussi une solution.

16 Proposition Pour tout c > 0, on a v 0 Q c. Dénition On pose w 0 = ˇv 0 H 1 (R), soit pour tout x R : w 0 (x) = v 0 ( x). Remarque : Si u(t, x) est solution de gkdv, alors u( t, x) est aussi une solution. Proposition Pour tout t 0, w(t) existe et (à translation près) : u n (T n t, x) w(t, x) dans H 1

17 Conclusion :

18 Conclusion : 1 En choisissant δ susamment petit, un théorème de stabilité asymptotique nous assure de l'existence de c + > 0 et t ρ(t) R tels que : w(t) Q c+ ( ρ(t)) H1 (x>t/10) t + 0

19 Conclusion : 1 En choisissant δ susamment petit, un théorème de stabilité asymptotique nous assure de l'existence de c + > 0 et t ρ(t) R tels que : w(t) Q c+ ( ρ(t)) H1 (x>t/10) t Un théorème de décroissance exponentielle, couplé avec la décroissance exponentielle des solutions initiales, nous assure que : t 0, x 0 > 2, w(t, + ρ(t)) 2 H 1 (x< x 0 ) Ce x 0/4.

20 Conclusion : 1 En choisissant δ susamment petit, un théorème de stabilité asymptotique nous assure de l'existence de c + > 0 et t ρ(t) R tels que : w(t) Q c+ ( ρ(t)) H1 (x>t/10) t Un théorème de décroissance exponentielle, couplé avec la décroissance exponentielle des solutions initiales, nous assure que : t 0, x 0 > 2, w(t, + ρ(t)) 2 H 1 (x< x 0 ) Ce x 0/4. 3 Comme ρ(t) t, on en déduit facilement que : w(t) Q c+ ( ρ(t)) H1 (R) t + 0

21 Conclusion : 1 En choisissant δ susamment petit, un théorème de stabilité asymptotique nous assure de l'existence de c + > 0 et t ρ(t) R tels que : w(t) Q c+ ( ρ(t)) H1 (x>t/10) t Un théorème de décroissance exponentielle, couplé avec la décroissance exponentielle des solutions initiales, nous assure que : t 0, x 0 > 2, w(t, + ρ(t)) 2 H 1 (x< x 0 ) Ce x 0/4. 3 Comme ρ(t) t, on en déduit facilement que : w(t) Q c+ ( ρ(t)) H1 (R) t On en conclut le résultat voulu grâce à l'invariance par scaling : si u(t, x) est une solution, alors pour tout λ > 0, λ 2 p 1 u(λ 3 t, λx) est aussi une solution.

22 Solitons gkdv Rapport d'activité Durant cette première année, j'ai particulièrement étudié les notions de stabilité orbitale et asymptotique pour des solitons, dont les outils de démonstration se sont en grande partie retrouvés dans celle du résultat présenté ici. La suite du projet est de comprendre et d'adapter un récent papier de Duyckaerts et Roudenko pour gkdv, qui ont montré le même type de résultats pour NLS, par une autre méthode (construction de solutions approchées par point xe). Séminaires suivis en 2008 : Journées EDP à Évian ; Journées étude qualitative d'edp dispersives à Lille. Cours prévu en 2009 : Semestre IHP (Ondes non-linéaires et dispersion).

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