Le jeudi 12 mars 2015, 13h30-15h30.

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1 Collège Joseph-Anglade Le jeudi 12 mars 2015, 13h30-15h30. Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4. Ne pas rendre le sujet avec la copie. L utilisation de la calculatrice est autorisée, dans le cadre de la réglementation en vigueur. Chaque exercice est indépendant. L ensemble est noté sur 40 points. Le soin, la propreté et la maîtrise du vocabulaire mathématique seront évalués à hauteur de 4 points. page 1/5

2 Exercice 1 (6 points) 1. Le 9 février, Nadia profite de la période des soldes pour s offrir cette tablette. Elle donne trois billets de cent euros et un billet de cinquante euros à la caisse. Combien lui rend-on? Justifier = 0, ,85 = 344,25 (prix de la tablette pendant les soldes) ,25 = 5,75 On lui rend 5, Loric a eu quinze ans le 3 mai 2014 et ses grands-parents lui ont offert 400 euros. Pourra-t-il acheter cette tablette? = 1,15 344,25 1,15 395,89 (prix de la tablette après la hausse des prix en mars) 400 > 395,89 Loric pourra s acheter sa tablette avec 400 euros. Les informations données étant plutôt ambigües, on acceptera bien-sûr la réponse suivante : = 1, ,15 465,75 (prix de la tablette après la hausse des prix en mars) 400 < 465,75 Loric ne pourra pas s acheter sa tablette avec 400 euros. Ce n était de toute façon déjà pas possible dès le départ!!! Exercice 2 (4 points) 1. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de AM l aire de MNPQ est égale à 10 cm². L aire de MNPQ est égale à 10 cm² pour AM = 1 cm et pour AM = 3 cm. 2. Déterminer l aire de MNPQ lorsque AM est égale à 0,5 cm. Lorsque AM est égale à 0,5 cm, l aire de MNPQ est environ 12,5 cm². 3. Pour quelle valeur de AM l aire de MNPQ est-elle minimale? Quelle est alors cette aire? L aire de MNPQ est minimale pour AM = 2 cm. Elle est alors égale à 8 cm². Exercice 3 (4 points) 1. La plus grande sphère du dépôt a un diamètre de 19,7 m. Montrer que son volume de stockage est d environ m 3. On rappelle que le volume V d une boule de rayon R est donné par V = 4 3 πr3. 19,7 2 = 9, π 9, Le volume de stockage est bien d environ m 3. page 2/5

3 2. Tous les deux mois, tonnes de butane sont importées sur le territoire. 1 m 3 de butane pèse 580 kg. Quel est le volume, en m 3, correspondant aux tonnes? On arrondira le résultat à l unité tonnes = kg Le volume correspondant aux tonnes est d ' environ m Les deux plus petites sphères ont des volumes de m 3 et 600 m 3. Seront-elles suffisantes pour stocker les tonnes de butane, ou bien aura-t-on besoin de la grande sphère? Justifier la réponse = < Les deux petites sphères ne suffisent pas pour tout stocker donc on aura besoin de la grande sphère. Exercice 4 (8 points) 1. Représenter sur votre copie la figure en vraie grandeur. Ne pas utiliser le quadrillage de la copie. 2. Calculer AC. On donnera l arrondi au millimètre. On sait que Le triangle ABC est rectangle en B. On applique Le Théorème de Pythagore. On conclut AC 2 = AB 2 + BC 2 AC 2 = AC 2 = 8 AC = 8 2,8 (en cm) 3. a/ Calculer la mesure de l angle ACB. On sait que Le triangle ABC est rectangle en B. On applique La définition de la tangente. On conclut tan(acb ) = AB CB = 2 2 = 1 À la calculatrice, on trouve ACB = 45. b/ En déduire la mesure de l angle DCE. Les droites (AE) et (DB) sont sécantes en C (les angles ACB et DCE sont opposés par le sommet) donc ACB = DCE = Calculer l arrondi à 0,1 cm de DE. On sait que Le triangle DCE est rectangle en E. On applique La définition du sinus. On conclut sin(dce) = DE DC sin(45 ) = DE 6 DE = 6 sin(45 ) 4,2 (en cm) page 3/5

4 5. Calculer la longueur de [CE]. Justifier soigneusement la réponse. On sait que Le triangle DCE est rectangle en E. On applique La définition du cosinus. On conclut cos(dce ) = CE CD cos(45 ) = CE 6 CE = 6 cos(45 ) 4,2 (en cm) Exercice 5 (5 points) 1. Exprimer cette vitesse en m/s. 324 km m 324 km/h = = = 90 m/s 1 h s 2. Combien de kilomètres relient les deux villes par la ligne TGV? On utilise les éléments donnés pour h45 = 1,75 h Soient v la vitesse, d la distance, t la durée du parcours. v = d ce qui donne 324 = d t 1,75 d = 324 1,75 = kilomètres relient les deux villes par la ligne TGV. 3. A quelle vitesse roulait ce TGV-Est en 2007? 2h15 = 2,25 h v = d t ce qui donne avec les informations pour 2007 v = 567 2,25 = 252 Ce TGV roulait à 252 km/h en Exercice 6 (6 points) On considère l expression E(n) = (n + 1) 2 (n 1) Démontrer que E(n) = 4n. E(n) = n 2 + 2n + 1 (n 2 2n + 1) = n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n 1 = n 2 n 2 + 2n + 2n = 4n 2. En déduire comment calculer facilement (sans utiliser la calculatrice). En remplaçant n par dans l expression E(n) de départ, on obtient : E(3 000) = ( ) 2 ( ) 2 = En remplaçant n par dans l expression E(n) de la question 1., on obtient : E(3 000) = = Donc = Quel est le nombre n tel que (n + 1) 2 (n 1) 2 =? Justifier. Cela revient en fait à chercher le nombre n tel que 4n = c'est-à-dire tel que n = 4 = 25. page 4/5

5 Exercice 7 (3 points) De quel matériau cet objet peut-il être fait? Calculons le volume de cet objet en m 3. a = 88 cm = 0,88 m b = 57 cm = 0,57 m c = 67 cm = 0,67 m a b c = 0,88 0,57 0,67 = 0, (en m 3 ) Calculons la masse volume de cet objet en kg.m -3. M V = 3 003,7 0, (en kg. m 3 ) À la lecture du tableau, il semble que cet objet soit composé de nickel. page 5/5