2nde : Calcul algébrique

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1 Chapitre 1 2nde : Calcul algébrique 1.1 Développer et factoriser ex : (2x + 3)(x 1) =. Développer un produit, c est le transformer en somme. (a + b)c ou (a + b)(c + d). (a + b) 2. (a b) 2 =. ex : 3x 2 x =. (2x 1)(x + 2) (2x 1)(5x + 3). x 2 9=. 9x x + 4 = Factoriser une somme, c est la transformer en produit. ac + bc =. a 2 b 2 =. 3/4 + 2/3 =, 4/5 + 1/10 =, 3/x + 2/(x + 1) =. Réduire au même dénominateur, c est transformer une somme de fractions en une seule fraction. a b + c d =. 1 exos page 36 : 11,13,15, 16,18,19,21, 2 pour jeudi : ex 25 p 36 3 ex 26 1

2 2 CHAPITRE 1. 2NDE : CALCUL ALGÉBRIQUE 4 (module) TICE 3 page 30

3 1.2. ENSEMBLES DE NOMBRES Ensembles de nombres Définitions N, Z, D, Q, R. notations,, N, R +,... 2 Q. ex 28 page Intervalles Définition : L ensemble des réels compris entre 2 nombres. Tableau page 23 1 pour lundi : exo 37 p 37 2 Traduire par l appartenance à un intervalle : 3 x 7, 3 x < 7, x < 5, x 0, 2 < x 1, x 2. 3 Traduire par des inégalités : x [ 2; 1], x ]0; 4[, x [1; 100[, x ] ; 10[, x [5; + [, x ] ; 0]. 4 ex 38 p Intersection et réunion Définitions : l intersection de A et B, noté A B, est l ensemble des éléments qui appartiennent à A et B. la réunion de A et B, noté A B, est l ensemble des éléments qui appartiennent à A ou B. ex : [ 3; 2] et ]1; 4[. N et Z. N Z. R + R. R N. 1 ex 39,40 p 37 2 ex 41 p 37 3 QCM page 38

4 4 CHAPITRE 1. 2NDE : CALCUL ALGÉBRIQUE

5 Chapitre 2 Généralités sur les fonctions 2.1 Définir une fonction Rappels sur les lectures graphiques page 42 (Odyssée) Vocabulaire Définir une fonction sur D, c est associer à tout nombre x de D un nbre et un seul appelé image de x. L image de x est notée f(x). x est appelée la variable. D est l ensemble de définition de f (en gal un interv ou une réunion d interv). Si f(a) = b alors a est un antécédent de b. On note : f : x f(x). On peut définir la fct de 3 manières : par un graphique (points repérés par une croix et/ou avec des lignes de rappel : par un tableau de valeurs (l ens de définition n est plus un intervalle mais un ens) : x g(x)

6 6 CHAPITRE 2. par une formule : f : R R x 3x 2 2 Exercices 1 1,2,p ,7,8 page ,13 p 63 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS. 2.2 Courbes et résolutions graphiques Courbe représentative d une fonction Soit f une fonction définie sur D. La courbe représentative C de f est l ensemble des points M dont : l abscisse x décrit le domaine de définition D. l ordonnée est l image de x par f. On note : M(x, y) C x D, y = f(x). On dit que la courbe C a pour équation y = f(x). 2 Soit f la fonction définie sur [ 4; 6] par f(x) = x 2 + 2x 4. a) Éditer le tableau de valeurs de f avec le pas de 1. b) Donner 2 antécédents de 1 par f. 3 23,24,25 p Résolutions graphiques d équations ex 1 : Soient f et g deux fonctions de courbes représentatives C f et C g.

7 2.2. COURBES ET RÉSOLUTIONS GRAPHIQUES 7 Équation f(x) = k avec k réel 4 exo 16 page 39 (Hyperbole) 5 exo 26,27 p 64 (Odyssee) Résolutions graphiques d inéquations ex : ex 29, 37 p 65 (Odyssee) Équation f(x) = g(x) Ex 2 : Résoudre graphiquement x 2 = x + 2.

8 8 CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 1 Résoudre par le calcul et graphiquement 2x(x 1) = 3x ex 13 p 63 (Odyssee) 4 ex 31 p 65 (Odyssee)

9 2.2. COURBES ET RÉSOLUTIONS GRAPHIQUES 9

10 10 CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 2.3 Variations f définie sur I. f est croissante sur I signifie que pour tout a, b de I, si a b alors f(a) f(b). décroissante constante tableau de variations de la courbe de l exo 27 p 64 (Odyssee) ex 41,42,44 p66 (Odyssee) ex 51,52 p 67 (Odyssee) 2.4 Maximum et Minimum f définie sur I f a un maximum M en a signifie que por tout x de I, f(x) f(a). x 2 a pour min 0, min de x 2 + 2? min de (x 3) 2 + 2? 2.5 Exercices Exercices sur les ensembles de définition 1 Déterminer les ensembles de définitions des fonctions définies par : f(x) = 1 x et g(x) = x. 2 Déterminer les ensembles de définitions des fonctions définies par : a) f(x) = 1 x 1. b) f(x) = x 2 5x + 2. c) f(x) = 2x + 1 x 3. d) f(x) = 2x 3 x + 2. e) f(x) = 3x x f) f(x) = x 1. g) f(x) = 2x 3. h) f(x) = 4 x.

11 2.5. EXERCICES Exercices sur les fonctions 1 ex 7 page 38 (Hyperbole) 2 Soit f la fonction définie sur [ 5; 5] par (x 2)(x + 3). a) Éditer le tableau de valeurs de f avec le pas de 0, 5. b) Tracer la courbe de f. 3 ex 14 page 39 (Hyperbole) a) Tracer à l écran de la calculatrice la courbe de f : x x 2 + 2x 3. b) Résoudre graphiquement f(x) = 0. c) Vérifier par le calcul les solutions lues. 4 ex 15 page 39 (Hyperbole) Soit f la fonction définie par f(x) = x et g la fonction définie par g(x) = 2x 1. a) Tracer à l écran de la calculatrice les courbes de f et de g. b) Combien de solutions l équation x = 2x 1 semble-t-elle avoir? Conjecturer la valeur c) Vérifier la conjecture par le calcul. *** fin 4e séance

12 12 CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 5 exo 11 page 39 (Hyperbole, pas fait). C représente une fonction f définie sur [0, 5] : a) Parmi les points suivants, quels sont ceux dont on peut affirmer qu ils appartiennent à la courbe? 0(0; 0), A(1; 1), B(1; 1, 4), C(3; 1, 7), D(4; 2) et E(2, 25; 1, 5). b) Sachant que f(x) = x, dire, par le calcul, quels sont les points qui sont sur la courbe. 6 exo 4 page 38 (Hyperbole, pas fait) 7 ex 17 page 39 (Hyperbole, pas fait) 8 ex 66 page 48 (Hyperbole, pas fait)

13 Chapitre 3 Statistiques 3.1 Vocabulaire ex : salaires dans l entreprise Z : mensuel net Nbre de pers e.c.c. e.c.d. f.c.c. f.c.d. La population est l ensemble des individus sur lesquels porte l étude statistique. L individu est un élément de la population. La série statistique est l ens des données recueillies. Le caractère d une série statistique est la propriété étudiée. Le caractère est dit quantitatif s il ne prend que des valeurs numériques. qualitatif : 13 en anglais, 12 en allemand, 7 en espagnol et 2 en italien. Le caractère est dit quantitatif discret s il ne prend qu un nombre fini de valeurs numériques : notes au dernier devoir. Le caractère est dit quantitatif continu s il prend une infinité de valeurs numériques : tailles de la classe L effectif total de la série est le nombre total d individus. L effectif n i de la valeur x i est le nombre d individus ayant la valeur x i. La fréquence f i de x i est : f i = n i /n (quotient de l effectif par l effectif total). L effectif cumulé croissant(ecc) de la valeur x i est la somme des effectifs des valeurs inférieures à x i. L effectif cumulé décroissant(ecd) de la valeur x i est la somme des effectifs des valeurs supérieures à x i. La fréquence cumulée croissante(fcc) de la valeur x i est la somme des fréquences des valeurs inférieures à x i. 13

14 14 CHAPITRE 3. STATISTIQUES L fréquence cumulée décroissante(fcd) de la valeur x i est la somme des fréquences des valeurs supérieures à x i. 3.2 Présentation des données Listes Exemple 1 : le nombre de battements de coeur de quelques personnes adultes : Tableau avec effectifs On donne les valeurs avec le nombre d individus prenant cette valeur (exemple des salaires). Exemple 2 : Lors d une enquête, on a posé à 41 familles : Combien de postes de télé avez-vous? Télévision Effectif Tableau avec classes On donne un intervalle de valeurs avec le nombre d individus dont la valeur du caractère est dans cet intervalle (exemple 3 ou ex p 287 (odyssee) ex 6 page 213(hyperbole)). Exemple 3 : Tailles en cm de 41 garçons d un club : Taille entre160et165 entre165et170 entre170et175 entre175et180 entre180et185 Effectif

15 3.3. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES Représentations graphiques Diagramme en bâtons ou nuage de points pour une série discrète. Grâce au tableau d effectifs (donné ou fabriqué), on met les valeurs du caractère en abscisse, les effectifs en ordonnée, la hauteur des bâtons est proportionnelle à l effectif. 1 notes 2 ex 2 page Histogramme série continue à valeurs rangées en classe La largeur du rectangle correspond à l intervalle de chaque classe ; l aire des rectangles est proportionnelle à l effectif. 1 Ex 2 : Répartition des Français suivant le temps passé par jour devant la télé Temps [0, 1[ [1, 2[ [2; 2, 5[ [2, 5; 3[ [3; 4[ [4, 5[ [5, 7[ Eff unité d aire : 1 carreau = 2% 2 ex 7 page 213 (hyperbole) Courbe des fréq c.c Diagramme circulaire S utilise dans le cas discret et plutôt dans le cas qualitatif. L angle de chaque secteur est proportionnel à la fréquence. angle = 1 répartition langues effectif 360 = fréquence 360 effectif total Langue anglais allemand espagnol italien Eff Angle

16 16 CHAPITRE 3. STATISTIQUES 2 ex 7 page 213 : 3 ex 43 page 220 (hyperbole) Exercices Odyssée 1 ex 4 p ex 6 p Indicateurs statistiques de tendance Moyenne ni x i x = N = f i x i ex : 12,12,15,15,15,17 donnent 14,33 La moyenne vaut la somme des valeurs divisée par l eff total. 1 ex 8,9 page 213, ex 17 page 215, ex 44 page 220 (Hyperbole) 2 ex 11 p 278, 7 p 278, 9 p 278, 10 p 278 (Odyssée) 3 17 p 280 (Odyssée)

17 3.4. INDICATEURS STATISTIQUES DE TENDANCE Médiane et quartiles La médiane partage la série en 2 groupes de même effectif. Si n est pair,.. Les quartiles partagent la série en 4 groupes de même effectif. Ex (7 valeurs) : 12,12,14,15,16,16,17 (français) ex2 (6 valeurs) (allemand) ex3 : (5 valeurs) (anglais) ex4 : (4 valeurs) (maths) 1 ex 3 page 212, ex 10 page 213 (hyperbole) 2 ex 18 p 280, 20 p 280, 21 p 280, 23 p 281, 24 p ex 27 p 282, ex 49,50 p 285 Les déciles partagent en 10.

18 18 CHAPITRE 3. STATISTIQUES 1 ex 11,12,13 page 213, ex 19 page 215, ex 45 page 220 (hyperbole) 2 Voici le nombre de battements de coeur de quelques personnes adultes : a) Calculer l effectif total. b) Calculer la moyenne, la variance et l écart-type. c) Calculer la valeur maximale et la valeur minimale. d) Trier l ensemble des valeurs par ordre croissant. e) Calculer la médiane. f) Calculer le premier et le troisième quartile. 3 Voici les notes d une classe Camille 15 Julie 16 Lucie 11 Laura 12 Aurélie 18 Matthieu 15 Sarah 16 Céline 13 Maxime 12 Claire 15 Agathe 19 Léa 13 Agnès 10 Pierre 13 Delphine 11 Joëlle 9 Sylvain 16 Pauline 15 Louise 12 Manon 17 Antoine 18 Gilles 10 Mathilde 14 Alexis 11 Laure 11 Sophie 12 Marine 16 Hélène 13 Morgane 12 Cécile 15 a) Quelle est la moyenne de la classe, la variance et l écart-type? b) Donner la meilleure note, la moins bonne, l effectif total. c) Donner la médiane, les quartiles. d) Combien trouve-t-on de notes au-dessus de la moyenne (avec la fonction NB.SI)? e) Combien trouve-t-on de notes au-dessus de la médiane? f) On regroupe les notes par effectif. Tracer le diagramme en bâtons de la série. 4 Soient les salaires (en euros) dans 3 entreprises A, B et C :

19 3.5. INDICATEURS STATISTIQUES DE DISPERSION 19 A B C Calculer moyenne, médiane et quartiles dans chaque cas. 3.5 Indicateurs statistiques de dispersion L étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. L écart interquartile est la différence entre Q 3 et Q Cas des séries continues On parle de classe. On prend les centres de classe pour le calcul. La classe à laquelle appartient la médiane s appelle la classe médiane. 1 données de l ex 5 p 212 Un distibuteur automatique de café propose des expressos. Une pesée portant sur 20 expressos a donné les masses suivantes de café utilisé : a) Calculer moyenne, médiane et quartiles. b) On regroupe les données en classes : Masse [79; 82[ [82; 85[ [85.88[ effectif Calculer les approximations de moyenne, médiane et quartiles. 2 ex 44 page 220

20 20 CHAPITRE 3. STATISTIQUES 3.7 Exercices 1 ex 12 page ex 13 page ex 26 page ex 40 page ex 45 page Tailles en cm de 41 garçons d un club : Taille entre 150 et 160 entre 160 et 170 entre 170 et 180 Effectif ,33 (var= 52,9) (ecart-type = 7,3)

21 Chapitre 4 Fonctions de référence 4.1 Fonction carré Définitions La fonction x x 2 s appelle la fonction carré La représentation graphique de la fonction carré s appelle parabole Parabole Faire un tableau de valeurs : La tracer x 2 1 0, 5 0 0, x 2 On dit que O est le sommet de la parabole. f( 1) = f(1), f( x) = f(x) : on dit que la parabole est symétrique par rapport à l axe des ordonnées et on dit que la fonction est paire. Résoudre x 2 2 ; on trace y = 2, la droite coupe 2 fois,.., S =. 1 ex 7,8,10 page 76 2 ex 11,12 page 76 3 ex 14 page 76 4 ex 93 p 85 21

22 22 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE RÉFÉRENCE 5 Résoudre : a) x 2 = 100, x 2 = 10, 4 5 x2 = 5. b) 2x = 1, 2x = 1. c) (x 1) 2 = 4, (2x 3) 2 = 3, (3x 1) 2 = 0. 6 On pose f(x) = x 2 et g(x) = x. a) Résoudre f(x) = g(x). b) Résoudre (graphiquement et par le calcul) f(x) > g(x). 7 On sait que a 2 < b 2. Peut-on comparer a et b quand : a) a et b sont strictement positifs? b) a et b sont strictement négatifs? c) a et b sont de signes contraires? 8 Comparer x 2 et x 2 2x Variations ( 2) 2?( 1) 2. (2) 2?(1) 2. déf de fct croissante : Soient u plus petit que v. f(u) f(v) = (u v)(u + v). u v?. si u et v sont positifs alors u + v? si u et v sont négatifs f est (st) décroissante sur ] ; 0] et (st) croissante sur [0; + [. tableau de variation 1 ex 15 p 76 2 ex 16,17 p 77 3 ex 21,23,24 p 77 4 ex 25 p 77 5 ex 77,78 p 83 6 ex 99 p 87 7 ex 94 p 85 8 ex 102 p 87 (module) 9 Comparer a 2 et ( 1) 2. lorsque a est plus petit que -1. Comparer a 2 et (2, 6) 2. lorsque a est plus grand que 2,6. 10 On pose f(x) = x a) Étudier les variations b) Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, tracer la courbe. c) A-t-on un axe de symétrie? 11 Mêmes question avec x 2 1.

23 4.1. FONCTION CARRÉ Exercices en plus 1 Sam veut entourer une partie de son potager d un grillage pour le protéger des lapins qui viennent manger ses légumes. Il a récupéré 120m de grillage et souhaite entourer une zone rectangulaire. a) Trouver une fonction qui exprime l aire de ce rectangle. b) En déduire l aire maximale que l on peut obtenir. 2 Le point M appartient [B; C]. OB = 4 et OA = 3. a) On note A(x) l aire du triangle OAM. Montrer que la courbe de la fonction A admet un axe de symétrie. b) Exprimer A(x) en fonction de x et vérifier par le calcul que l on a un axe de symétrie. 3 a) Si une grandeur G augmente de t%, montrer que la nouvelle valeur de G est : ( G 1 + t ) 100 b) Si un article coûte P euros hors taxes. Calculer son prix T.T.C. en fonction de P. c) Si une grandeur G diminue de t%, montrer que la nouvelle valeur de G est : ( G 1 t ) 100 d) Si un article coûte P euros. Calculer son nouveau prix, s il a baissé de 10%, en fonction de P. e) Calculer le taux d augmentation d un article qui augmente de 10% puis de 15%. f) Quel est le nouveau prix d un article qui a augmenté de 10% puis baissé de 10%? g) Quel est le nouveau prix d un article qui a baissé de 10% puis augmenté de 10%? h) En deux augmentations (identiques) successives, on a obtenu une augmentation globale de 20%. Quel est le pourcentage de chaque augmentation? i) On augmente de 3% le côté d un carré. Quel est le pourcentage d augmentation de son périmètre? de son aire? j) J achète 50 euros d essence. Le prix diminue de 10%. Quel est le pourcentage d essence que je peux acheter en plus, avec la même somme?

24 24 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE RÉFÉRENCE 4.2 Fonction inverse Définition La fonction x 1 x est la fct inverse. Sa représentation graphique s appelle hyperbole Représentation graphique D =?. tableau de valeurs de -2 à 2 f(2)?f( 2).f( x)?f(x) On dit que la fonction est impaire et que la représentation graphique présente une symétrie par rapport à O. 1 Calculer les images de 3/2, 4/3, 10 5, Résoudre 1 x 2. 3 Calculer sans laisser de radical au dénominateur : f( 2), f( 5) et f(2 3). 4 encadrements de 1/x si 4 x 7, 4 x < 1, 5 ex 54,55,59 p 96(Odyssée) 6 Quel est l antécédent de 5; 3/4; 10 4 ; 0, 03; 2/2. 7 ex 28,29 p 77, ex 36,42 p 78, ex30, 31 p 78 (hyperbole) Variations 1/3? 1/2 u et v non nuls tels que u v. f(u) f(v) =. v u?. Si u et v sont positifs, uv?0 Si u et v sont négatifs, uv?0 f est st décroissante sur ] ; 0[ et ]0; + [ u v, 1 u 1 v Tableau de variation (avec double barre en 0) :

25 4.3. EXERCICES DANS HYPERBOLE 25 1 Comparer 1/3 et 1/2 ; et ; 1 x et 1 x À quel intervalle appartient 1/x quand : x [2; 5], x 2, x < 3, x [3; 7[, x ] 4; 1[ ; x [ 2; 3]. 3 Résoudre 1 x 2, < 2, 3, < ex 37,39,40 p 78, ex 79 p 83, ex 44,45,46 p 78, ex 64 p 81 (hyperbole) 4.3 Exercices dans Hyperbole 1 ex 90,91,92 p 85 2 ex 94 p 85 (calculs avec ) 3 ex100,101 p 87 (longs) 4 ex 89 p 85 5 ex 77,78,83 page 83 (logique) 6 ex 81 p 83 (quantificateurs)

26 26 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

27 Chapitre 5 Vecteurs 5.1 Introduction Hexagone régulier : Translation qui transforme A en B ; F en? O en? E? C? Transforme-t-elle E en F? D en E? Soit A et A 2 points distincts. La translation qui envoie A sur A est la transformation par laquelle l image d une figure est obtenue en faisant glisser la figure : Une translation est une transformation par laquelle l image d une figure est obtenue en faisant glisser la première : selon la direction AA, dans le sens de A vers A, d une longueur égale à AA. La translation de vecteur AB est notée t. AB odyssée p 150 n

28 28 CHAPITRE 5. VECTEURS 5.2 Définitions Les couples (A, B), (E, D), (O, C) et (F, O) définissent un vecteur. On dit que AB est un représentant de ce vecteur. Propriété : Un point C aura une unique image C par la translation de vecteur AB ; on l obtient en traçant la parallèle à (AB) passant par C et en reportant la longueur AB dans le sens de A vers B. 1 ex p 171 n 1,2,3,4 (Odyssée 2de) La longueur AB est appelée norme du vecteur AB et notée AB. Le vecteur AB est caractérisé par : sa direction (celle de (AB) ou une parallèle à (AB)) son sens (celui de A vers B) sa norme (la longueur AB). A est appelé l origine du vecteur AB. B est appelé l extrémité du vecteur AB Sur la 2e figure, on a t = t ; on dit que les vecteurs AB et CD sont égaux. AB CD Ils ont même direction, même sens et même norme. On dit que AB et CD sont les représentants d un même vecteur. Si les points A et B sont confondus, AB est le vecteur nul et noté 0. On trace un représentant de u d origine A et un d extrémité B : AB = CD AB et CD ont même direction, même sens et même longueur. Théorème : A, B, C, D 4 points du plan. AB = CD (ABDC) est un parallélogramme (éventuellement aplati). AB et CD ont même direction, même sens et même longueur! : attention à l ordre dans les lettres du parallélogramme Un vecteur est nul si les extrémités sont confondues. 1 ex 5, 7,9 p 171 (odyssée) 2 ex 1,2,5 page 192, ex 6,7 page 192 et 5 (hyperbole)

29 5.3. SOMME DE VECTEURS Somme de vecteurs coucou ex 1 chariot maman/enfant ex 2 : bouteille dans une rivière avec du courant et du vent de travers. La somme de 2 vecteurs est le vecteur associé à la translation résultant de l enchaînement des 2 translations. On note u + v. 2 façons de représenter u + v. règle du parallélogramme relation de Chasles 1 ex 25 à 29 p 194, ex 30 p 194 (hyperbole 2de) 2 avec les vecteurs du 10 p 172 (odyssée), tracer les vecteurs u + v, u + w et v + w. 5.4 Multiplication d un vecteur par un réel Si la résistance de l enfant est 4 fois plus élevée? u un vecteur non nul représenté par A et B. λ R. λ u est le vecteur AC où C est tel que : si λ > 0, C [AB) et AC = λab si λ < 0, C [AB) et AC = λab On dit que u et AC sont colinéaires 1 ex 34, 35 p 194, ex 38, 39 (λ), ex 41,42 (u-v), ex 43 (Hyperbole 2de) 2 module : 59,62,63 p 197 (Hyperbole 2de), 64 p 198 (pas fait), 65 p ex 10,11 p 172, ex 13,14 p 172, ex 29 p 173, ex 30,16, 32,34 (Odyssée) 4 Chasles : ex 19,20,21,22,24 p 172 (Odyssée) 5 géométrie : ex 33,35,25,26,27 p 172 (Odyssée) Remarque : BA a même direction et même norme que AB et un sens opposé. C est le vecteur opposé de AB. I milieu de [AB] ssi AI = 1 2AB ou IA = IB ou IA + IB = 0.

30 30 CHAPITRE 5. VECTEURS 5.5 Coordonnées d un vecteur Définition (O, I, J) un repère. u un vecteur. La translation de vecteur u associe au point O un unique point M. Les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées du point M tq u = OM. Les coordonnées d un point M sont notées en ligne (x, y) ; les coordonnées d un vecteur sont notées en colonne. On note le repère (0, ı, j ) avec ı = OI et j = OJ. On prend 2 points A et B. On note M le point tq OM = AB Propriétés Si u (a, b) et u (a, b ) u + u (a + a, b + b ) et λ u (λa, λb). OM = xı + yj. 2 vecteurs sont égaux s ils ont mêmes coordonnées Coordonnées du milieu Coordonnées d un vecteur [AM] et [0B] ont même milieu I. x I = x B 2 et y I = y B 2. On a aussi x I = x A + x M 2 et y I = y A + y M. 2 Donc : x M = x B x A et y M = y B y A. coordonnées de M sont celles de AB. critère de colinéarité : coord proportionnelles ou xy y x = 0

31 5.6. NORME D UN VECTEUR Exercices 1 Odyssée 2de : 36, 38,39, 40 p 173 (chgt de repère) 2 A( 7/2; 1/2), B(1/2; 3/2) et C(5/2; 5/2) sont-ils alignés? 3 Odyssée 2de : 41,42,43,44 p 174 (lectures de coordonnées) 4 Odyssée 2de : 45,46,47,48,58,59 p 174 (calculs de coordonnées de vecteurs) 5 Odyssée 2de : 49,50,51,53 p 175 (calculs de coordonnées de points) 6 Odyssée 2de : 54,55,56,57 p 175 (colinéaires) 7 ex 12 p 193, ex 14,15 p 193, ex 17 p 193 (Hyperbole) 8 ex 20 p 193, 22 p 193 (pas fait) (Hyperbole 2de) 9 ex 49 p 195, ex 62,63,64, ex 31, 32, 46, 48,50,51 (Hyperbole 2de) 10 ex 47 p 195, 22, 72 (pas fait), **DM : 60 et 68 p 198 **(Hyperbole 2de) 5.6 Norme d un vecteur Un repère quelconque : ı et j ne sont pas colinéaires. milieu de [A; B] a pour coord : x A + x B 2 repère orthogonal repère orthonormal : ı et j ont même norme. et y A + y B. 2 repère orthonormé : ı et j ont même norme 1. u = x 2 + y 2. AB =. 1 Hyperbole 2de : ex 18 p 193, ex 69 p 198, ex 70, ex 93, 94 p 203 (long) 2 Odyssée 2de : 60,61,62 p 175 (Normes) 3 Odyssée 2de : 66,67,68, 69, 70, 71, 73, 74, 63, 75, 76 p 176, 97, 101, 102, 103 p 180 (géométrie) 4 Odyssée 2de : *** DM 90, 92, 104 page 178 (géométrie) **** DS 2h (vecteurs) : 17 mars **** DS 2h (fct) : 7 avril **** DS 2h (tout) 12 mai **** conseil de classe (24 mars)

32 32 CHAPITRE 5. VECTEURS

33 Chapitre 6 Études de fonctions 6.1 Tableau de signes ex : signe de (x 1)( x + 3) : x x x (x 1)( x + 3) car x x 1 est une fonction affine croissante qui s annule en 1 et x x + 3 est une fonction affine décroissante qui s annule en Fonctions de la forme x a(x α) 2 + β ex1 : f(x) = 2(x 3) Montrer que f est croissante sur [3; + [. On prend a et b ; a < b a 3 < b 3. Comme a 3 > 0, (a 3) 2 < (b 3) 2... Tableau de variations ex2 : f(x) = 3(x 4) Montrer que f est décroissante sur [4; + [. Tableau de variations Si a > 0 alors f est décroissante sur ] ; α] puis croissante sur [α; + [. Si a < 0,... (α, β) sont les coordonnées du sommet de la parabole. 1 ex 7,8,9,10,11 p résoudre 3(x 2) = 21 et 5(x + 1) = 7. 33

34 34 CHAPITRE 6. ÉTUDES DE FONCTIONS 6.3 Fonctions polynôme de degré Définition On dit qu une fonction f est une fonction polynôme de degré 2 s il existe a 0 et b, c tels que : f(x) = ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c est appelée forme développée de f(x). f(x) peut aussi s écrire : f(x) = a(x α) 2 + β appelée forme canonique de f(x). [Cette forme est utile pour résoudre f(x) = m]. f(x) peut parfois s écrire : f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) appelée forme factorisée de f(x). [Cette forme est utile pour résoudre f(x) = 0 ou chercher le signe de f(x)]. 1 f(x) = 3(x + 2) 2 27 forme canonique de f(x). a) On développe... 3x x 15 est appelée la forme développée de f(x). b) 3(x 1)(x + 5) =... est appelée la forme factorisée de f(x). c) Choisir l expression pour calculer : (i) f(0). (ii) f(1). (iii) f( 2). (iv) un antécédent de 0. (v) un antécédent de 15. (vi) un antécédent de 27, 24. (vii) 30 a-t-il un antécédent? d) Signe de f(x)? e) Tableau de variations de f : 2 ex 18, 16, 17 p 97/ 50, 52 p 103 (hyperbole 2de) Variations Si a > 0 alors f est décroissante jusqu à b/2a puis croissante. Si a < 0,...

35 6.4. FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES Représentation graphique Si a > 0 alors on dit que la parabole est dirigée vers le haut : Si a < 0 alors on dit que la parabole est dirigée vers le bas. Du fait de l axe de symétrie, l abscisse du sommet est la demi-somme de 2 points de même ordonnée. (La droite verticale passant par le sommet est l axe de symétrie de la parabole). 1 ex 11,12,13,17 p 117/ ex 43 p 122/ ex 44(sauf B1) p 123 (odyssée 2de) 6.4 Fonctions homographiques Définition C est une fonction de la forme ax + b cx + d Ensemble de définition avec c 0. La fct est définie si cx + d 0 : double barre dans le tableau de variations. 1 Est-ce une fct homog et donner son domaine de déf. a) f(x) = x + 1 x 3. b) f(x) = 2x + 5. x c) f(x) = 2 x x. d) f(x) = 2 x + 1 x 3. e) f(x) = 1 1 x. f) f(x) = x 1 x. 2 Résoudre : 1/x = 4, 1/(x + 1) = 2, 5/(2x 1) = 1, 3x/(2x + 6) = 0, 1ou Représentation graphique Comme d/c n a pas d image, la courbe ne coupe jamais la droite x = d/c. La courbe est formée de 2 parties. ex : x + 1 x 2.

36 36 CHAPITRE 6. ÉTUDES DE FONCTIONS Variations ex1 : f(x) = 3 x 1 ex2 : f(x) = x + 1 x 2 1 f(x) = 3 x 1. 2 f(x) = 2x + 1 x + 2. sur ]1; + [ : a < b, a 1... sur ]2; + [ : f(a) f(b) =... 3 Intersection de f(x) avec les axes f(x) = x 3 3x 4. 4 ex 26,27,28 p 119 (Odyssée 2de) 5 ex 58 p 104 (hyperbole 2de) 6.5 Tableaux de signes et inéquations 1 Résoudre x 2 < x. 2 Résoudre 1 x 1. 3 Résoudre x Résoudre x + 1 x( x + 1) 0, < 0. x 2 2x 5 5 Résoudre x2 1 2x 0 x + 1 x 2 < 3.

37 6.5. TABLEAUX DE SIGNES ET INÉQUATIONS 37

38 38 CHAPITRE 6. ÉTUDES DE FONCTIONS

39 Chapitre 7 Probabilités 7.1 Vocabulaire Un sac contient 5 chocolats (3 rouges et 2 jaunes) Piocher un chocolat et noter la couleur est une expérience aléatoire car on a plusieurs issues possibles et que l on ne peut pas prévoir le résultat. obtenir un rouge est un événement élémentaire ou éventualité. L ensemble des issues est l univers E = {rouge, jaune}. 7.2 Probabilité d un événement Loi des grands nombres Lors d une expérience répétée n fois, les fréquences obtenues d un événement se rapprochent d une valeur théorique losque n devient grand. Cette valeur s appelle probabilité de l événement. On parle de la loi des grands nombres. La proba p i de chaque issue x i est un nombre entre 0 et 1 : 0 p i 1. Définir une loi de probabilité est associer un nombre positif ou nul appelé probabilité à chaque issue possible tel que : p 1 + p 2 + p n = 1 et x i x 1 x 2 x 3 x 4 p i p 1 p 2 p 3 p 4 ici : x i jaune rouge p i 2/5 3/5 1 ex 1,2,3,4,5,6,7 p 307 (Odyssée 2de) ************************* BONNES VACANCES!!! ************************* 39

40 40 CHAPITRE 7. PROBABILITÉS Calcul de probabilité L événement certain a pour probabilité 1. ex : obtenir un nombre entre 1 et 6 L événement impossible Ø a pour proba 0. ex : obtenir 7 Lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser, on dit que l expérience est équiprobable ou qu elle suit une loi équirépartie. Chaque événement élémentaire a pour probabilité 1/n. ex 1 : lancer un dé > 1/6 ex 2 : piocher une carte > 1/32 ex 3 : piocher un chocolat dans un sac. Ce n est pas une expérience équiprobable. Un événement est un sous-ensemble de l ensemble des issues possibles ; on dit que l issue a réalise l événement A. ex 1 : En lançant un dé, obtenir un nombre pair ex 2 : obtenir un carreau ex 3 : obtenir un chocolat rouge La probabilité d un événement est la somme des probabilités des issues qui composent cet événement : ex 1 : P ( obtenirunpair ) = P ( obtenir2 )+P ( obtenir4 )+P ( obtenir6 ) = ex 2 : p( carreau ) = 8/32. ex 3 : p( chocolatrouge ) = 3/5. la probabilité d un événement A est : nbrecasf avorables nbret otald issues = card(a). n 1 ex 8,9,10, 11,13,15 p 307, 19,20 p 308 (Odyssée 2de) 2 ex 5,7,11, 15, 18 page 232 (hyperbole 2de) Arbre de probabilité Il permet de représenter une expérience ayant plusieurs étapes : on part d un sommet qui se partage en 2 ou plusieurs branches primaires représentant les éventualités, un sommet (ou noeud) se partage en plusieurs branches secondaires, une branche correspond à un résultat. 1 ex 6 p 232. ex 14 p 233. ex 16 p 233. (arbre, hyperbole 2de) 2 ex 19,20 p 308 (odyssée 2de)

41 7.2. PROBABILITÉ D UN ÉVÉNEMENT Intersection et réunion A et B sont 2 événements. L intersection de A et B est l événement formé des issues qui réalisent à la fois A et B. ex : A : piocher une dame, B : piocher un pique, A B : piocher une dame de pique Deux événements sont incompatibles si A B = Ø. ex : A : piocher une dame, B : piocher un roi La réunion de A et B est l événement formé des issues qui réalisent A ou B. A : piocher un pique B : piocher un trèfle A B : piocher une noire p(a B) + p(a B) = p(a) + p(b) Contraire Le contraire de A est l événement formé des issues qui ne réalisent pas A. A : piocher un rouge A : piocher un noir p(a) = 1 p(a) 1 ex 24,25,26,28,30 p 309, 41 p 311 (odyssée 2de) 2 ex 20, 22, 24, 30 p 234 (hyperbole 2de) 3

42 42 CHAPITRE 7. PROBABILITÉS 7.3 Exercices 1 Quatre élèves A, B, C, D participent à une course. Il n y a pas d ex aequo à l arrivée. a) Quelle est la probabilité que B gagne? b) Quelle est la probabilité que B soit dans les deux premiers? 2 Un nombre à 4 chiffres ne contient que des 1 et des 2. a) Quelle est la probabilité que les 4 chiffres soient identitques? b) Quelle est la probabilité que le nombre soit un nombre pair? c) Quelle est la probabilité que le nombre soit un multiple de 3? d) Quelle est la probabilité que le nombre soit divisible par 6? 3 Dans une classe, il y a 12 filles et 15 garçons. 4 filles et 6 garçons font option Histoire des Arts. On considère au hasard un élève de cette classe. F est l événement l élève est une fille. G est l événement l élève est un garçon. H est l événement l élève suit l option Histoire des Arts. F G Total H a) Compléter le tableau : H Total b) Calculer la probabilité de F. c) Calculer la probabilité de G. d) Calculer la probabilité de H. e) Calculer la probabilité de H. f) Calculer la probabilité de l événement A = l élève est une fille qui suit l option Histoire des Arts. g) Calculer la probabilité de l événement B = l élève est un garçon qui ne suit pas l option Histoire des Arts. 4 Un sac contient 5 jetons marqués -5,-3,1,2,6. On tire un premier jeton et on note sa valeur a. On ne remet pas ce jeton dans l urne. On tire alors un second jeton et on note sa valeur b. L événement E est réalisé si a + b est positif. L événement F est réalisé si ab est positif. a) Calculer p(e), p(f ) et p(e F ). b) Même question si après le premier tirage, i=on remet le jeton tiré dans le sac. 5 Un dé est pipé : la probabilité de faire 6 est 1 (les 5 autres éventualités on tla 3 même probabilité). Déterminer la probabilité de : a) tomber sur 3. b) tomber sur un nombre pair. c) tomber sur un nombre impair.

43 Chapitre 8 Équations de droites 8.1 Caractérisation analytique ex 1 : eq : y = 3x 2. ordonnée à l origine, coefficient directeur ou pente. Pour la tracer, on choisit 2 valeurs pour x (x = 0 et x =..). ex 2 : y = x + 2. ex 3 : y = 2x ( droite passant par l origine du repère ) ex 4 : y = 5 ( droite parallèle à l axe des abscisses : a = 0) ex 5 : x = 3 ( droite parallèle à l axe des ordonnées : x = cte ) 1 ex 20 p 169 (hyperbole 2de) 2 Ex 4,5,6,7 p 201, ex 8,9,11,12,13,14,15,16 p 202,61 p 207 (Odyssée 2de) Définition : Une droite est un ensemble de points M(x, y) tels que y = mx + p ou x = c. (droite affine ou droite verticale). 8.2 Coefficient directeur ex 1 : A(1; 3), B(1, 4) et C(1; 2) sont-ils alignés? ex 2 : A( 1; 7), B(1, 4) et C(3; 1) sont-ils alignés? accroissement représentation d une droite pour montrer 2 accroissements : Les accroissements des images sont proportionnels aux accroissements des abscisses ; Le coefficient directeur de (AB) (x A x B ) vaut : y B y A x B x A. 1 ex 12,14,15,16,17,13 p 168, ex 80 p 179, 21,22 p 168 (hyperbole 2de) 2 ex 17,18,19,20,21,22 p 202 (odyssée 2de) 43

44 44 CHAPITRE 8. ÉQUATIONS DE DROITES 8.3 Vecteur directeur On appelle vecteur directeur d une droite, tout vecteur non nul de même direction que cette droite. x = 2 : j. y = ax + b, AB avec A(0; b) et B(1; a + b) : ( 1 a ) 1 ex 23,24,25,26 p 202 (odyssée 2de) 8.4 Droites parallèles ou sécantes 2 droites sont parallèles si et ssi elles ont même coef directeur 4cas : 2droites verticale, 1 seule verticale et 2 non verticales (parallèles ou pas). 1 ex 23,24,26,27,28,30,31,32,36,38,50,81,82,83,84 p 169 (hyperbole 2de) 2 ex 27 p 203, 28,29, 30,31, 32 (odyssée 2de)

45 8.4. DROITES PARALLÈLES OU SÉCANTES 45

46 46 CHAPITRE 8. ÉQUATIONS DE DROITES

47 Chapitre 9 Trigonométrie 9.1 Définitions Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 qui est muni d un sens direct. point de départ : A. On fait un tour. On a parcouru 2π (périmètre du cercle). **** On fait 1/2 tour, on a parcouru π ; on fait 1/4 de tour, on a parcouru π/2. L angle vaut π/2rad = 90. On dit que B est le point image de π/2, C celui de π,...! : plusieurs réels correspondent à D : π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2,... 47

48 48 CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE 9.2 Cosinus et sinus M image du réel x. Les coordonnées du point M sont cos x et sin x. x 0 π/2 π 3π/2 2π 3π π/2 3π/2 point cos x sin x 1 6, 8 p 130 (hyperbole 2de) 2 exo 1 de ma feuille Détermination de cos π 6 avec Pythagore : OHE étant un demi-triangle équilatéral, OH = De la même manière : sin π 3 = 3 2. Détermination de cos π 4 avec Pythagore : 3 2. cos π 3 6 = 2. OHF étant un triangle isocèle rectangle, OH 2 + HF 2 = 1 : OH = cos π 4 = sin π 4 = = 1 2.

49 9.3. PROPRIÉTÉS 49 x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π point A E F G B C cos x sin x Pour le retenir : x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 point A E F G B cos x sin x , 15,16, 20, 21,23,24 p 131, 46 p 135, 11 p 130, 18 p 131 (hyperbole 2de) 2 exo 6 de ma feuille 9.3 Propriétés x est une réel quelconque et M son point image. M est sur le cercle : P1 : 1 cos x 1 et 1 sin x 1. OM = 1 : P2 : cos 2 x + sin 2 x = 1. M est l image de x + 2π,.. : P3 : si k Z, cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x. Les images de x et x sont symétriques par rapport à l axe des x : P4 : cos( x) = cos x et sin( x) = sin x. Les images de x et π x sont symétriques par rapport à l axe des y : P5 : cos(π x) = cos x et sin(π x) = sin x. Les images de x et π + x sont symétriques par rapport à 0 : P6 : cos(π + x) = cos x et sin(π + x) = sin x. Les images de x et π/2 x sont symétriques par rapport à y = x : P7 : cos(π/2 x) = sin x et sin(π/2 x) = cos x. 1 exo 2,3,4,5,7,8,10,11 de ma feuille 9.4 Résolution d équations a étant donné :

50 50 CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE cos x = cos a ssi x = a ou x = a à 2π près. sin x = sin a ssi x = a ou x = π a à 2π près.

51 9.4. RÉSOLUTION D ÉQUATIONS 51

52 52 CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE 9.5 Exercices 1 Donner le signe de cos x et sin x quand x est dans l intervalle : [ 0; π ] [ π ] [ ; 2 2 ; π ; π; 3π ] [ 3π ] ; 2 2 ; 2π ; [ π ] [ 2 ; 0 ; π; π ]. 2 2 Donner avec la calculatrice en mode radian, la valeur approchée de du cosinus et du sinus de : π 5, π 12, 3π 7, 19π 8. 3 Si a désigne un nombre réel de [ π; 0] tel que cos a = 1 5. Placer le point image de a sur le cercle trigonométrique et calculer la valeur exacte de sin a. 4 On donne cos π 5 = a) Calculer la valeur exacte de sin π 5. b) En déduire les valeurs exactes du sinus et du cosinus de : 4π 5 et de 9π 5. 5 Donner avec la calculatrice en mode radian, la valeur approchée du réel x tel que : a) sin x = 0, 4 et x [ π/2; π/2]. b) cos x = 0, 7 et x [0; π]. 6 Placer, dans les cas suivants, le point image du réel a tel que : a) cos a = 1/4 et a [ π ] 2 ; 0. b) cos a = 2/3 et a [0; π]. c) cos a = 3/4 et sin a = 2/3. d) cos a = 1/3 et sin a = 3/4. 7 a) On sait que sin a = 2 3 et que a [π/2; π]. Calculer cos a. b) On sait que cos a = 1 3 et que a [ π; 0]. Calculer sin a. 8 a désigne un réel tel que sin a = 0, 1. a) Placer sur le cercle trigonométrique le 2 points images possibles du réel a. b) Donner avec [ la calculatrice en mode radian, la valeur approchée possible de a dans 0; π ] [ π ] puis dans 2 2 ; π. 9 a désigne un réel tel que cos a = 5/6. a) Placer sur le cercle trigonométrique le 2 points images possibles du réel a. b) Donner avec la calculatrice en mode radian, la valeur approchée possible de a dans [0; π] puis dans [ π; 0].

53 9.5. EXERCICES Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions sur le cercle : 3 cos x = 2, 2 sin x = 1 et 2 cos 2 x = cos x. 11 On sait que cos π =. 4 ( a) Calculer : cos π ) ( 11π ) ( 13π ) ( 25π ), cos, cos, et cos b) Montrer que sin π =. 4 ( c) Calculer : sin π ) ( 11π ) ( 13π ) ( 25π ), sin, sin, et sin Sur le demi-cercle de ] centre O et de diamètre [AB], on place le point M tel que BOM = b avec b 0; π [. 2 On pose OAM = a. a) Montrer que b = 2a. b) Expliquer pourquoi cos a = AC AM = AM AB. c) Montrer que AC = 1 + cos(2a). Exprimer AM en fonction de cos a. d) Montrer que cos 2 a = 1 + cos(2a). 2 e) En déduire les valeurs exactes de cos π 8 et cos π Soit x un réel. a) En remarquant que (cos x sin x) 2 0, montrer que cos x sin x 1 2. b) En remarquant que (cos x + sin x) 2 0, montrer que cos x sin x 1 2. c) En déduire que pour tout x, i 1 2 cos x sin x 1 2. d) sin x cos x a-t-elle une solution?

54 54 CHAPITRE 9. TRIGONOMÉTRIE

55 Chapitre 10 Géométrie dans l espace 10.1 Perspective cavalière La représentation plane d un solide en perspective cavalière doit respecter les règles suivantes : une droite est représentée par une droite. deux droites parallèles sont représentées par deux droites parallèles. les proportions de longueur sont conservées. les éléments visibles du solide sont dessinés en trait plein, les éléments cachés du solide sont dessinés en trait pointillé. dans un plan vu de face, la figure est représentée en vraie longueur. 1 ex 2 p 251 (odyssée 2de) 10.2 Solides usuels page Solides droits Les faces latérales sont des rectangles (et la base est un polygone ou un disque). V = B h où B= aire de la base, et h la hauteur du solide. base=rectangle : Pavés droits base=triangle : Prismes base= disque (La face déroulée est un rectangle) : Cylindres 55

56 56 CHAPITRE 10. GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE Solides pointus : pyramides et cônes Les faces latérales sont des triangles (et la base est un polygone ou un disque). V = 1 3 B h où B= aire de la base, et h la hauteur du solide. base= disque : Cône base=triangle, carré ou polygone : Pyramides Rem : tétraèdre : base=triangle tétraèdre régulier, pyramide régulière : base est un polygone régulier et les faces latérales sont des triagnles isocèles Sphère Seul solide dont on ne peut pas réaliser de patron. V = 4 3 πr3 1 ex 4,5,11,17 p 251 (odyssée 2de) 10.3 Plan de l espace Par trois points non alignés de l espace passe un seul plan. Un plan est don défini par : 3 points non alignés, ou une droite et un point n appartenant pas à cette droite. ou 2 droites sécantes, ou 2 droites trictement parallèles. coplanaires= appartiennent à un même plan. 1 ex 18,19 p 253 (odyssée 2de) 10.4 Positions relatives page 237

57 10.5. SECTIONS PLANES Deux droites sécantes (l intersection est un point), strictement parallèles, confondues, non coplanaires Deux plans sécants (l intersection est une droite), strictement parallèles, confondus Une droite et un plan sécants (l intersection est un point), strictement parallèles, la droite est ncluse dans le plan. 1 ex 20,21,22, 23, 24,25 p 253 (odyssée 2de) 10.5 Sections planes La section plane du solide par un plan est la surface plane formée des points communs au solide et au plan. Pour cela, on cherche l intersection de chaque face du solide avec ce plan :

58 58 CHAPITRE 10. GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE 10.6 Solides de Platon 5 solides dont les faces sont des polygones réguliers feu=tétraèdre. terre=cube air=octaèdre : 8 faces, 6 sommets eau=icosaèdre : 12 sommets, 20 faces(triangles) tout l univers : dodécaèdre 12 faces(pentagones), 20 sommets Le solide qui relie les centres de chaque face est aussi un solide de Platon dual du cube = octaèdre dual du tétraèdre=tétraèdre

59 10.6. SOLIDES DE PLATON 59 1 ex 29/30/31p25

60 60 CHAPITRE 10. GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

61 Chapitre 11 Systèmes linéaires 11.1 Systèmes et droites { ax + by= c a x + b y= c ax + by = c by = ax + c : le coefficient de la 1e droite est : a b. Le coefficient de la 2e droite est : a b. Si les coefficients directeurs sont différents, les 2 droites sont sécantes : le système a une seule solution. Si les coefficients directeurs sont égaux, les 2 droites sont parallèles : le système a 0 ou une infinité de solutions (suivant que les droites sont confondues ou strictement parallèles). { ex : x y= 1 3x + 2y= 8 { x y= 1 3x 3y= 3 { x y= 1 3x 3y= Méthode de substitution Depuis la 1e équation, on déduit l expression de la 1e variable en fct de la 2e et on remplace dans la 2e éq pour trouver la valeur de la 2e variable : { x y= 1 3x + 2y= Méthode de combinaison linéaire On essaie d éliminer une des 2variables par addition ou soustraction des 2 équations et on trouve la valeur de l autre variable : 61

62 62 CHAPITRE 11. SYSTÈMES LINÉAIRES { 2x 2y= 2 3x + 2y= 8 { x y= 1 3x + 2y= 8 { 3x + y= 1 x + y= 3 { x y= 1 x y= 3 { x y= 1 3x 3y= 3 { 2x + 3y= 1 3x + 2y= 4 7 a) Á 10m d un bâtiment (AH = 10) l angle entre horizontale et la droite moisommet est de 60 ( HAS = 60 ) : combien mesure le bâtiment (SH =?)? b) On ne connaît pas la distance au bâtiment (AH =?) ; l angle entre horizontale et la droite moi-sommet est de 45 ( HAS = 45 ). 10m plus loin (AB = 10), on trouve un angle de 30 ( HBS = 30 ). Combien mesure le bâtiment (SH =?)? 1 3,66 m c) Même question si 2 1,95 m HAS = 60 et HBS = 55

63 11.4. EXERCICES Exercices 1 Résoudre dans R 2 les systèmes suivants : { { 3x + 2y= 1 3x + 2y= 1 a) e) 1 x y= 3 { 2 x y= 1 3x + y= 1 { 6 b) 2x 5y= 8 x + y= 1 f) x + 7y= 15 { 2x + 3y= 5 { 4x y= 21 c) 1 g) x + y= 1 3x + 2y= 13 { 3 3x + 2y= 1 d) 2x + 3y= 1 2 Résoudre dans R 2 le système suivant : 1 x + 2 y = 5 3 x 1 y = 1 : (1; 2) : (5; 1) 3 Calculer les longueurs des côtés d un rectangle, sachant que : si l on augmente la largeur de 3m et si l on diminue la longueur de 3m alors l aire ne change pas. si l on diminue la largeur de 5m et si l on augmente la longueur de 3m alors l aire augmente de 16m 2.