Traitement Numérique du Signal

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1 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Traitmnt umériqu du Signal vrsion ichl Trré [email protected]

2 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés /94

3 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Tabl ds atièrs. ECHATILLOAGE FORALISATIO DE L'ECHATILLOAGE PERIODISATIO DU SPECTRE LE THEOREE DE RECOSTRUCTIO QUATIFICATIO LES TRASFOREES TRASFOREE DE FOURIER DISCRETE Définition Egalité d Parsval Intrprétation au sns ds moindrs carrés TRASFOREE DE FOURIER RAPIDE (FFT TRASFOREE E FILTRAGE UERIQUE LES SYSTEES LIEAIRES DISCRETS IVARIATS DAS LE TEPS Définition Conditions d stabilité FOCTIOS PROPRES DES SYSTEES LIEAIRES IVARIATS DAS LE TEPS SYSTEES LIEAIRES IVARIATS DAS LE TEPS REGIS PAR UE EQUATIO AUX DIFFERECES FILTRES A REPOSE IPULSIOELLE FIIE (RIF Propriété d phas linéair Synthès ds filtrs à répons impulsionnll fini Rlations ntr l nombr d cofficints t l gabarit FILTRES A REPOSE IPULSIOELLE IFIIE (RII Cllul purmnt récursiv Cllul du duièm ordr Cllul général du scond ordr Synthès ds filtrs à répons impulsionnll infini RELATIOS ETRE LE OBRE DE COEFFICIETS ET LE GABARIT REARQUE APPLICATIOS DU FILTRAGE UERIQUE DECIATIO ITERPOLATIO FILTRES DE YQUIST /94

4 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6.3. Filtr n cosinus surélvé ITRODUCTIO AUX SIGAUX ALEATOIRES AALYSE SPECTRALE PROBLEATIQUE DE L'AALYSE SPECTRALE ESTIATIO SPECTRALE O PARAETRIQUE Périodogramm, Corrélogramm éthod du minimum d varianc: méthod d Capon ESTIATIO SPECTRALE PAR DECOPOSITIO HAROIQUE éthod d Pisarnko: éthod d Prony: ESTIATIO SPECTRALE PARAETRIQUE odélisation AR odélisation A odélisation ARA COCLUSIO BIBLIOGRAPHIE AEXE DERIVATIO FORE BILIEAIRE EXERCICES ECHATILLOAGE TRASFOREE DE FOURIER FILTRAGE UERIQUE RIF FILTRAGE UERIQUE RII SIGAL ALEATOIRE PREDICTIO LIEAIRE AALYSE SPECTRALE AALYSE SPECTRALE QC RECAPITULATIF /94

5 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés. Echantillonnag Si on not a (t ls valurs priss au cours du tmps t par un signal analogiqu, l'échantillonnag d c drnir au rythm d'un périod d'échantillonnag instants multipls d T, rvint à n disposr, finalmnt, ds valurs d c signal, qu'au T. L signal (ou suit numériqu s not alors ( n ( a nt. La prmièr qustion qui s pos naturllmnt st d savoir si on n'a pas prdu d l'information n n disposant plus ds valurs du signal ntr du instants d'échantillonnag. (n??? T T t Un autr façon d formulr ctt qustion srait : "st-il possibl d rconstruir a ( t à partir ds échantillons ( n?" C'st là l'obt du théorèm d rconstruction. Très intuitivmnt on put s dir qu si on était sûr qu l signal "vari très lntmnt", alors ntr du instants d'échantillonnag, il n pourrait pas fair grand chos d'autr qu d'allr "tranquillmnt" d'un point à un autr. Après formalisation on arrivra à écrir ctt "variation lnt" du signal par un contraint sur son spctr, c qui va conduir au théorèm d l'échantillonnag parfois applé théorèm d Shannon.. Formalisation d l'échantillonnag La formalisation d l'opération d'échantillonnag st malhurusmnt assz délicat avc la notion mathématiqu habitull d fonction. Ell s'ffctu par contr d manièr simpl t concis par l'intrmédiair d la théori ds distributions, dévloppé par l mathématicin Laurnt Schwartz. L procssus d'échantillonnag st ainsi rprésnté mathématiqumnt par "l'action" d la distribution d Dirac δ ( t décalé d nt sur l signal analogiqu a ( t, c qui s not : < δ( t nt,a ( t > a ( nt ( n Rmarqu : Dans la suit d c cours on différncira la distribution d Dirac δ ( t (parfois applé "impulsion d Dirac", du symbol d Kronckr si n δ( n, par l fait qu la distribution st un opératur qui s'appliqu si n sur un signal t qu ct opératur dépndra d'un variabl continu, ici l tmps t, alors qu l symbol d Kronckr rprésnt plutôt un suit numériqu t aura pour argumnt un nombr ntir n. L. Schwartz, "éthods mathématiqus pour ls Scincs Physiqus," Ed Hrmann, 96. 5/94

6 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Rmarqu : En élctroniqu, l'utilisation du pign d Dirac pour "formalisr" l'opération d'échantillonnag d'un signal "continu" (analogiqu st assz intuitiv physiqumnt. En fft, on put considérr qu'un convrtissur analogiqu numériqu stim la moynn du signal pndant un tmps très court. L'échantillonnag à l'instant formalisé par l'intégral du signal par un impulsion pτ ( t kt défini par : pτ( t, pτ( t si t, si t τ τ, + τ τ, + t kt put ainsi êtr P τ (t /τ τ t P τ (t-kt a (t kt t Echantillonnr l signal à l'instant t kt rvint alors à calculr : d'après l théorèm d la moynn, on put dir qu : τ kt + + p τ( t kt a ( t dt τ a ( t dt τ kt τ kt + a ( t dt a ( kt + ε τ avc τ kt dès lors, n faisant tndr τ vrs, il vint : τ τ ε, 6/94

7 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés + lim pτ( t kt a ( t dt a ( kt τ On rtrouv ainsi la définition d la distribution d Dirac. ( k + ( t δ ( t kt Finalmnt, l'opération global d'échantillonnag put êtr formalisé n introduisant un signal "analogiqu" fictif ( t qui st nul prsqu partout t égal à a ( t pour t nt. En introduisant alors l pign d Dirac : L signal échantillonné s'écrit : + wt ( t δ( t nt (. n ( t ( t.w ( t a (. T ou ncor : ( t a ( t δ( t nt ou ncor : ( + t n + (3. n t ( n δ n (4. T. Périodisation du spctr L'analys du spctr du signal échantillonné fait appl au propriétés d la transformé d Fourir (F ds distributions. On doit alors partir d l'écritur du signal échantillonné : ( t a ( t.w ( t (5. dont la transformé d Fourir conduit à : F ( ( t F ( t T (.w ( t F ( ( t F ( w ( t X ( f F ( w ( t X ( f a T a T a T (6. Il apparaît donc qu l spctr du signal échantillonné st égal au spctr du signal analogiqu convolué par la F. transformé d Fourir du pign d Dirac : ( ( t wt Or on put montrr qu ctt transformé d Fourir st ll mêm un pign d Dirac : ( ( démonstration (non présnté dans c cours procèd n du étaps, on démontr d'abord qu : F wt ( t W f. La T puis qu : ( + wt ( t n π f nt F ( π f nt n δ f (8. n T n T E. Roubin, "Introduction à la théori d la communication, " Ed. asson, ièm d., /94

8 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Rmarqu 3 : Ls résultats sur la transformé d Fourir du pign d Dirac puvnt êtr approimativmnt "rtrouvés" par l'approch suivant : On considèr la fonction u ( t constitué par la suit d'impulsions p τ ( t d largur τ t d'amplitud, séparés τ par la duré T : + u ( t p τ ( t kt k u(t /τ T τ t La transformé d Fourir d l'impulsion élémntair p τ ( t donn : F { p ( t } τ + ( πfτ π f t sin pτ( t dt πfτ La transformé d Fourir d la suit d'impulsions u ( t conduit alors à : F { u( t } π f t π f t π f kt sin i ( t kt dt i ( t kt dt p p π τ k k f k ( πfτ En faisant alors tndr τ vrs, il vint : lim F τ Pour la duièm propriété, on put écrir qu : { } + u( t U( f k π f kt grâc au borns infinis on a : U ( + π f kt f k π f T U( f U( f d'où : f T ( π U ( f 8/94

9 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés U ( f n put donc êtr non nul qu'au abscisss du typ k f, on put donc écrir : T U ( + k f α k δ f k T Or touours grâc au borns infinis, on put rmarqur qu : U ( k f U f + T Dès lors n appliquant U ( f à un fonction ϕ ( f élémntair on pourra montrr tous ls trms α k sont égau ntr u t valnt. T En utilisant l'équation (6, il vint qu l spctr du signal échantillonné X ( f s'écrit donc : + n X ( f X a f (9. T n T a (t X a (f t f (nt X (f t f - F F 9/94

10 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Il apparaît donc qu l'échantillonnag tmporl d'un signal analogiqu conduit à un signal numériqu dont l spctr st la périodisation du spctr d'origin du signal analogiqu. Ctt propriété st très important t va êtr à l'origin d la démonstration du théorèm d rconstruction. Cpndant ll st assz abstrait, car ll a dmandé un passag par ls distributions pour êtr établi. On put n proposr un vrsion "imagé" suivant. Considérons ainsi l cas très simpl d'un signal : L spctr d c signal st alors égal à : ( π f t a ( t cos (. X a ( f [ δ( f f + δ( f + f ] (. C qui put s'intrprétr comm l fait qu l signal st n fait constitué d la somm d du fréquncs à f t πf t f t, ( ( π πf t + f cos. C qui s rprésnt graphiqumnt par l spctr suivant : X a (f / f - f f L signal échantillonné va s'écrir : t son spctr : ( π f nt ( nt cos (. + n n X ( f δ + δ f f f + f (3. T n T T c qui sra rprésnté par : X (f f - F Considérons l cas numériqu suivant : - f f F f Hz t F Hz /94

11 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés L signal échantillonné a alors l'allur suivant (attntion c'st un sinus qui st rprésnté ici t non un cosinus : signal échantillonné, fhz, FHz La périodisation nous dit qu l spctr d c signal numériqu possèd un rai à un rai à amplitud f ' ' F + f + Hz tmps Si on trac l signal tmporl a ( t sin( π f ' nt touours avc F Hz, on obtint : f ' F f 9 Hz t signal échantillonné, f9hz, FHz amplitud tmps /94

12 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés On rmarqu donc qu l'on obtint actmnt ls mêms échantillons. Si l'on trac ls signau analogiqus sur cs points numériqus, il vint : signal échantillonné, fhz, FHz amplitud tmps Et pour l signal à 9 Hz : signal échantillonné, f9hz, FHz amplitud On put donc intrprétr la périodisation dans l domain fréquntil par l fait qu tous ls signau analogiqus s trouvant à ds fréquncs du typ tmps f f ± kf, donnraint, s'ils étaint échantillonnés à F, ls mêms échantillons tmporls. On conçoit donc qu'à partir d'un signal numériqu, il faudra un condition supplémntair sur l signal analogiqu d'origin pour pouvoir l rconstruir t lvr ctt ambiguïté. /94

13 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés.3 L théorèm d rconstruction L'échantillonnag a introduit un périodicité du spctr. Pour rconstitur l signal d'origin on put "travaillr" dans l domain spctral pour rtrouvr l spctr du signal analogiqu. Il n rstra plus alors qu'à ffctur un transformation d Fourir invrs pour rconstitur l signal analogiqu tmporl. Dans l domain spctral, il suffit simplmnt d supprimr ls bands imags du signal numériqu. En introduisant un filtr idéal H ( f, dont la fonction d transfrt st défini par : H ( f F, pour H ( f, pour f f X (f F F, F F, H(f f -F - F / F / F L signal ˆ a ( t n sorti du filtr corrspond au produit d convolution du signal ( t par la répons impulsionnll h ( t du filtr H ( f. or h( t H ( f On a donc : ( πf t + F / + πft + πft sin df df F F πft F / c qui put ncor s'écrir : ( t τ ( t τ + + sin πf ˆ a ( t a ( τ δ( τ nt dτ (4. π n F ( t nt ( t nt πf a t + sin ˆ ( ( nt (5. πf On constat donc qu la valur ˆ a ( t du signal analogiqu, pour un instant qulconqu t n'appartnant pas à la "grill d'échantillonnag tmporl" ( kt k ntir put êtr obtnu par intrpolation ds valurs du signal sur la grill d'échantillonnag. ais cci à condition qu l raisonnmnt qui a été proposé dans l domain spctral soit possibl. Pour cla il faut donc s'assurr qu l'on put rconstitur l spctr du signal analogiqu n filtrant l spctr du signal numériqu. Ctt condition st vérifié si t sulmnt si l spctr d'origin n contint pas d composants 3/94

14 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés au fréquncs supériurs ou égals à F. Si c n'st pas l cas, ls bands imags s chvauchnt, on dit alors qu'il y a rplimnt d spctr t l signal rconstitué ˆ a ( t st différnt du signal d'origin. X (f H(f on d rcouvrmnt f -F - F / F / F On aboutit finalmnt au théorèm d l'échantillonnag ou théorèm d Shannon : Théorèm d l'échantillonnag n band d bas : Un signal qui n comport pas d composants à ds fréquncs supériurs ou égals à un valur régulièrmnt spacés d'un duré T à condition d'avoir F f ma F f ma st ntièrmnt détrminé par la suit d ss valurs à ds instants L raisonnmnt qui a été mné pour un signal n band d bas, put êtr conduit pour un signal dont l spctr s trouvrait localisé autour d'un fréqunc haut f. X a (f B -f On put alors énoncr l théorèm suivant : f f Théorèm d l'échantillonnag n band transposé : Un signal qui occup un band d fréqunc d largur B put-êtr ntièrmnt détrminé par la suit d ss valurs à ds instants régulièrmnt spacés d'un duré T à condition d'avoir F B F 4/94

15 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés On distingu alors du cas possibls, l prmir applé suréchantillonnag qui corrspond au cas où F > B t F > f, c'st l cas rprésnté sur la figur ci-dssous : X (f H(f - F / -f F / f f L duièm cas corrspond au sous-échantillonnag pour lqul on analysr sra étudié n rcics dirigés. F > B t F < f. C cas plus difficil à 5/94

16 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6/94

17 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés. Quantification Dans un chaîn d traitmnt numériqu du signal, l'échantillonnag st n général suivi par un opération d quantification. La quantification st l'approimation d chaqu valur du signal a ( t par un multipl ntir d'un quantité noté q t applé "pas d quantification". Si q st constant qull qu soit l'amplitud du signal, la quantification st dit uniform. q q -q -q T T 3T 4T t L signal quantifié q ( t diffèr du signal d'origin a ( t par un trm d'rrur ( t qui va s'primr par : C trm d'rrur st applé bruit d quantification. a ( t q ( t + ( t (6. Si l'on fait abstraction d l'échantillonnag tmporl, on put admttr qu c signal d'rrur st n fait un variabl aléatoir uniformémnt réparti ntr L'intégral donn alors : q q t. La puissanc PBq d c bruit d quantification st alors égal à : q + P Bq d (7. q q q PBq (8. En général on considèr qu c bruit d quantification st un signal aléatoir blanc (voir chapitr sur ls signau aléatoirs. On calcul alors l rapport signal sur bruit d quantification. Il s'agit du ratio ntr la puissanc du signal util sur la puissanc du bruit d quantifications. En notant σ la puissanc du signal util t σ la puissanc du 7/94

18 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés bruit d quantification ( σ PBq ds équations précédnts, alors l rapport s'écrit primé n décibl à travrs l'prssion Γ log( Γ db σ Γ σ. C rapport st souvnt L'optimisation d'un étap d'échantillonnag résid alors dans la capacité, à êtr capabl d pouvoir quantifir ls valurs maimals d l'amplitud d'un signal, tout n consrvant un "finss" d quantification pour ls faibls valurs du signal. Pour un convrtissur analogiqu numériqu CA (analog to digital convrtr: ADC d b bits "travaillant" ntr A +A/ t A/, l pas d quantification q st égal à q. b q La puissanc du bruit d quantification st égal à L rapport signal sur bruit d quantification Γ st donné par : D'où : ΓdB b σ log A Pour un signal gaussin dont la valur crêt st limité à σ Γ 6.b + log +.8 A 4 σ, on obtint : 4 σ A, c qui donn au miu 4 σ A 8 d'où Γ db 6.b (mpl : 6 bits 89 db, 4 bits 77 db, bits 65 db 8/94

19 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 3. Ls Transformés 3. Transformé d Fourir Discrèt 3.. Définition A partir d'un échantillon d valurs du signal numériqu: { ( nt } n {,,..., } corrspondanc ntr la transformé d Fourir "analogiqu" X ( f + pourrait s'écrir X ( f T ( nt n,, on put définir fair un + πft ( t dt t son prssion discrèt qui πfnt. Il s'n suit alors immédiatmnt un discussion sur la convrgnc d ctt sommation. On put alors divisr ctt transformé discrèt par la duré sur laqull ll st calculé, on pass ainsi d'un notion "d'énrgi" à un notion "d puissanc". On arriv ainsi à un écritur du typ X T / ( f lim T ( nt n / πfnt. Cpndant n pratiqu on n dispos n général qu d'un nombr fini d'échantillons, la Transformé d Fourir Discrèt (TFD du signal numériqu st donc défini par : ( πfnt X f ( nt (9. n On notra qu l'on a aussi "rcntré" ls échantillons ntr ls indics t - pour évitr d'utilisr la notion d tmps négatif. Cs qustions d normalisation d la sommation n'ont n général pas un grand importanc à moins qu l'on n souhait absolumnt fair un corrspondanc rigourus ntr l tmps continu t l tmps discrt. L calcul d la TFD put êtr réalisé pour n'import qull valur d la variabl d fréqunc f. On put donc obtnir un spctr X ( f défini pour f variant d manièr continu. C spctr X ( f put alors êtr "échantillonné" au rythm F. On obtint ainsi valurs équirépartis d à F. nk kf π X ( nt (. n D'après l théorèm d rconstruction évoqué précédmmnt, on sait qu ls valurs d X ( f au fréquncs f s déduisnt d cs valurs par intrpolation. L'équation précédnt dvint : On définit aussi la Transformé d Fourir Invrs (TFI : f sin π k + kf F X ˆ ( f X f (. k π k F 9/94

20 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés ( kn kf + π nt X (. k 3.. Egalité d Parsval On montr qu : Pour cla, il suffit d'écrir : n ( nt kf X n * n n ( nt ( nt ( nt kn kf π ( ( nt nt X * n n k kf * n k n ( nt X ( nt kn π (3. (4. (5. (6. n X k ( nt kf ( Intrprétation au sns ds moindrs carrés Si on considèr un signal ( nt, on put ssayr d l prédir au miu par un ponntill compl du typ ( π f nt + ϕ A. Pour idntifir ls trois paramètrs A, f, ϕ d l'ponntill, on put chrchr à minimisr l'rrur quadratiqu ntr l signal t l'ponntill. On doit donc minimisr l'prssion suivant : ( π f n T +ϕ in A ( nt (8. A, f, ϕ n ( ( { ( ( π f n T +ϕ A + nt A R nt } in. A, f, ϕ n (9. in. A +. A, f, ϕ n n ϕ ( ( ( π f n T +ϕ nt A R nt (3. On voit donc apparaîtr la Transformé d Fourir discrèt au nivau du troisièm trm d ctt somm. Si on not ctt drnièr sous la form : l'équation à minimisr dvint : πfnt φ X ( f ( nt ρ (3. n /94

21 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés + in. A A, f, ϕ n ( nt A. ρ cos( φ ϕ C trm st positif t sra donc minimal lorsqu A.ρ cos( φ ϕ l modul ρ d la Transformé d Fourir t ϕ φ. Il n rst plus alors qu'à maimisr n fonction d A : (3. sra maimal. Il faut donc choisir f qui maimis + in. A A. A n ( nt ρma (33. En annulant alors la dérivé n fonction d A, il vint :.. A ρma (34. D'où A ρma Il apparaît n définitiv qu l triplt A, f, ϕ s'obtint simplmnt n considérant la maimisation sur f du modul d la Transformé d Fourir discrèt du signal ( nt. L modul d la Transformé à ctt fréqunc f donn la valur d A t la phas d la Transformé ctt fréqunc f donn ϕ. 3. Transformé d Fourir Rapid (FFT Si on choisit un formalisation matricill d la Transformé d Fourir discrèt, t n s plaçant dans l cas où ll st calculé pour valurs au fréqunc f d'échantillons tmporls : kf, l'opération put êtr formalisé par l passag d'un vctur (. T (. T ((. T qu l'on notra plus simplmnt, à un vctur fréquntil. F X. F X (. F X qu l'on X X notra plus simplmnt au moyn d'un matric d passag X. n. m π P p n, m avc, p n, m /94

22 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés /94 P X X X (35. En introduisant la racin n ièm d l'unité : W π (36. L équation matricill précédnt s'écrit : 4 - W W W W W W W W W X X X X ( ( ( ( L L L L L (37. Lorsqu l nombr st un puissanc d, ( k, alors il st possibl d mttr à profit crtains particularités d la matric d passag pour évitr d dvoir ffctur ls multiplications qu dmandrait l produit matricil dirct. Dans un tl cas d figur, on décompos l vctur d'échantillons tmporls n un vctur comportant ls échantillons d'indic pairs t un vctur comportant ls échantillons d'indic impairs afin d'obtnir ls prmièrs valurs du vctur fréquntil. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W X X X X ( ( L L L L L L L L L L (38. En désignant par T / la matric qui vint n factur du vctur colonn ds élémnts d'indic pair t n décomposant la matric factur du vctur ds élémnts d'indic impair n un produit d'un matric diagonal par la matric T /, on obtint :

23 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 3/94 ( ( T W W W T X X X X O (39. Pour ls drnirs trms du vctur fréquntil, on obtint n utilisant la propriété W : ( ( T W W W T X X X X O (4. Il apparaît ainsi qu l calcul d k X t d k X + mt n œuvr ls mêms calculs à un changmnt d sign près. C calcul put êtr rprésnté par l diagramm suivant : T / T / X k X /+k k / - lign k lign k W k Il apparaît alors qu l calcul d'un Transformé d Fourir d'ordr rvint au calcul d du Transformés d'ordr auqul s'aoutnt multiplications compls. En itérant c princip on "dscnd" usqu'au Transformés d Fourir sur du valurs, qui s'ffctunt au moyn d la matric : T (4. En énumérant touts ls multiplications à ffctur on constat finalmnt qu l'algorithm d la Transformé d Fourir Rapid (TFR ou FFT n anglais pour Fast Fourir Transform (Cooly and Tucky 965 qui vint d'êtr dévloppé va dmandr ( log multiplications au liu ds multiplications du calcul dirct.

24 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés ot : L introduction du factur soustractions ffctués dans chaqu croisillon par ½. / put s fair à chaqu étap n divisant ls résultats ds additions t Empl : FFT d'ordr 8 Un FFT d ordr 8 aura pour diagramm : lign k X k k lign k W k X 4+k On voit d après l contnu d T 4 qu l on a intérêt à rgroupr avc 4, avc 6, t d mêm avc 5, t 3 avc 7. L diagramm a alors la form suivant (ls ronds noirs rprésntnt l opération d addition, ls traits épais idntifint l trm soustrait : X 4 X 6 W X X 3 X 4 5 W X 5 3 W X 6 7 W W 3 X 7 On constat dans c diagramm la présnc d 4 papillons FFT d ordr, papillons FFT d ordr 4 t papillon FFT d ordr 8. D plus, alors qu ls trms X i apparaissnt dans l ordr, l ordr ds i a été modifié. Ctt modification applé rnvrsmnt digital, consist à invrsr la rprésntation binair ds indics ds FFT. i avant chaqu calcul d 4/94

25 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés rnvrsmnt 3 4 digital π f t f t Transformé D : X f f t t π (, (, dtdt 3.3 Transformé n D la mêm manièr qu la transformé d Laplac st l'outil fondamntal pour l'analys ds systèms continus, la transformé n st l'outil d'analys pour ls systèms discrts. On rappll qu la transformé n d'un suit (n st défini pour R < < R par l'prssion: T ( n + n ( n X ( ( n n En considérant l'prssion d la transformé d Fourir discrèt : (4. TFD n + π f nt ( n X ( f T ( nt (43. n L passag d la transformé n à la transformé d Fourir st immédiat: X ( π f T X ( f (Cci n faisant abstraction du trm d normalisation T qu l'on considèr égal à (44. Ainsi l'analys d'un systèm discrt s fra n général au moyn d la transformé n, l passag n Fourir étant immédiat si nécssair. 5/94

26 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6/94

27 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 4. Filtrag umériqu 4. Ls systèms linéairs discrts invariants dans l tmps 4.. Définition Un systèm st discrt, si à la suit d'ntré discrèt (n corrspond un suit d sorti discrèt y(n. (n Systèm Discrt y(n Un systèm st linéair, si à la suit (n + a (n corrspond la suit y (n + a y (n. (n +a (n Systèm Linéair y (n +a y (n Un systèm st invariant dans l tmps, si à la suit (n-m corrspond la suit y(n-m. (n-m Systèm Invariant y(n-m Dès lors si δ ( n st la suit unitair δ( δ( n, alors tout suit (n put s'écrir: n m + ( n ( m δ( n m (45. m si h(n st la répons d'un systèm discrt linéair t invariant dans l tmps à la suit δ ( n alors : m+ m+ ( n y( n ( m h( n m h( m ( n m m m (46. on rconnaît alors un équation d convolution: y( n h( n * ( n (47. Ainsi dès qu'un systèm put êtr considéré comm linéair, discrt t invariant dans l tmps, il n découl qu'il st : régi par un équation d convolution 7/94

28 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés ntièrmnt détrminé par la répons h(n qu'il fournit lorsqu'il st cité par la suit impulsionnll δ( n. Ctt suit h(n constituant la répons impulsionnll du systèm. 4.. Conditions d stabilité Un systèm discrt, linéair t invariant dans l tmps (LIT st stabl si à tout suit d'ntré borné corrspond un suit d sorti borné. Un condition nécssair t suffisant pour qu'un systèm soit stabl st qu la somm ds valurs absolus d sa répons impulsionnll soit borné. m+ h( m < + (48. m Pruv d la condition nécssair : Soit (n la suit d'ntré borné défini par : ( n sgn( h( n alors, par définition d l'équation d convolution m régissant l systèm, + m y ( h( m. Donc si + y ( h( m n'st pas < la suit d sorti n'st pas borné m m t la condition d stabilité n'st pas rspcté. Pruv d la condition suffisant : Soit (n un suit d'ntré borné, c'st à dir: n, / ( n < alors: m t si + h ( m <, la suit y(n st alors borné. m m+ m+ y ( n h( m ( n m h( m (49. m m 4. Fonctions proprs ds systèms linéairs invariants dans l tmps On appliqu à l'ntré d'un SLIT d répons impulsionnll h ( n l signal numériqu compl d fréqunc f : π fnt ( n. On chrch la répons tmporll y ( n du systèm : on put alors écrir : + π f ( nm T y ( n h( n * ( n h( m (5. k + π fmt π fnt y( n h( m (5. k 8/94

29 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés ou ncor : y( n π H( f fnt H( f ( n (5. avc + π fmt H ( f h( m (53. k H ( f st un cofficint scalair compl indépndant d n (c'st-à-dir du tmps mais qui dépnd d la fréqunc f. H ( f rprésnt la répons n fréqunc du filtr. Ls signau d'ntré ( n qui donnnt n sorti ds signau y ( n H( f ( n sont applés ls fonctions proprs du systèm. Suls ls ponntills compls π fnt ouissnt d ctt propriété. Pour un signal ( n qulconqu, la répons tmporll y ( n n put s'obtnir qu par convolution avc h ( n à moins d pouvoir décomposr ( n n un somm d fonctions proprs, c qui rvint à l'primr par son spctr. 4.3 Systèms linéairs invariants dans l tmps régis par un équation au différncs Parmi ls systèms linéairs discrts invariants dans l tmps, ls systèms définis par un équation au différncs sont ls plus intérssants car ils modélisnt un grand nombr d systèms naturls. Un systèm d c typ, ou filtr numériqu, st défini par la rlation suivant: y( n ai ( n i + b y( n i (54. (n Systèm Différncs y(n La transformé n d ctt équation donn : n+ n+ n+ n i ( ni ( n y( n ai ( n i + b y( n n i n n (55. d'où : i Y( ai X ( + b Y( i (56. c qui donn la fonction d transfrt du systèm : 9/94

30 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés i ai Y( i H( X ( b (57. La fonction d transfrt st donc constitué d'un polynôm n au numératur sur un autr polynôm n au dénominatur. Ils puvnt tous ls du êtr primés n fonction d lurs racins : a ( i ( i H( D( ( P (58. A partir d ctt prssion d la fonction d transfrt, un rprésntation ds pôls t ds zéros sur l crcl unité s'avèr très util pour caractérisr l comportmnt spctral du systèm. Comm il a été rapplé brièvmnt au paragraph précédnt, il st possibl d'obtnir la fonction d transfrt spctral d c systèm n rmplaçant par π f T, put donc êtr vu comm la coordonné d'un point sur l crcl unité. i sra la coordonné d'un zéro d transmission dans l plan compl t alors simplmnt comm un ratio d produits d distancs. P d'un pôl dans l plan compl. La fonction d transfrt s'prim H( f a a imaginair i i P H(f (59. i P a rél ω 4.4 Filtrs à répons impulsionnll fini (RIF 3/94

31 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Un filtr à répons impulsionnll fini st un systèm linéair discrt invariant dans l tmps régi par un équation au différncs pour lqul l'échantillon d sorti y(n n dépnd qu d'un crtain nombr d'échantillons d'ntré (n. y( n ai ( n i (6. i Empl : Soit l filtr défini par l'équation suivant: y( n ( n + ( n (6. L'étud d c filtr put êtr réalisé au moyn d la transformé n : Y( (X(+ - X ( (6. d'où: H( + L comportmnt fréquntil du filtr s'obtint n rmplaçant par π f T : H( f + π f T ( ( ( π f T π f T f T f T π π + π f T cos (63. Il s'agit finalmnt d'un filtr pass bas dont l modul d la fonction d transfrt suit un courb n cosinus t dont l déphasag st linéair n fonction d la fréqunc. C déphasag st équivalnt à rtard τ T modul d H(f fréqunc 3/94

32 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Empl : Soit l filtr défini par l'équation suivant: y( n ( n + ( n + ( n 4 4 L'étud d c filtr put êtr réalisé au moyn d la transformé n : - - Y( X( + X ( + X ( 4 4 d'où: H( L comportmnt fréquntil du filtr s'obtint n rmplaçant par π ft : π f T f T H f 4π ( + + π f T f T f T + + π π π f T ( + cos π f T Il s'agit ncor d'un filtr pass bas dont l modul d la fonction d transfrt suit un courb n cosinus surélvé t dont l déphasag st linéair n fonction d la fréqunc. C déphasag st équivalnt à rtard τ T. H(f,9,8,7,6,5,4,3,,,5 f Dans cs du mpls il st apparu qu'il était facil d'obtnir la fonction d transfrt spctral d'un filtr numériqu à partir d l'équation tmporll régissant c filtr. Bin ntndu, c'st ssntillmnt l'approch invrs, consistant à trouvr l'équation d filtrag qui satisfait un gabarit fréquntil donné, qui st la plus important. On parl alors d synthès d filtr numériqu. Avant d présntr cs tchniqus d synthès, il st important d rmarqur, qu dans ls du mpls présntés, ls filtrs décrits avaint un déphasag linéair n fonction d la fréqunc. Il s'agit d'un propriété particulièr ds filtrs numériqus qui a un importanc capital dans ls applications où la phas du signal traité st portus d'informations. 3/94

33 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 4.4. Propriété d phas linéair Si l'on s plac dans l cas ou l'on rchrch un filtr dont la fonction d transfrt st du typ : H( f R( f ϕ( f prssion dans laqull R(f st un fonction réll d f qui rprésnt l gain du filtr n fonction d la fréqunc t où ( f ϕ π f τ st un fonction réll d f qui rprésnt un trm d déphasag linéair n fonction d la fréqunc, alors on put primr la répons impulsionnll d'un tl filtr au moyn d la transformé d Fourir invrs d H(f t on obtint : + π f ( tτ h( t R( f df n décomposant R(f n un parti pair t un parti impair: il vint: si on s rstrint à ds filtrs h(t rél, il vint: h(t st donc symétriqu par rapport à t τ. R( f P( f + I( f + + h( t + P( f cos( π f t df + I( f sin( π f t df + h( t + τ P( f cos( π f t df h( τ t Ainsi tout filtr à répons impulsionnll symétriqu rél st à phas linéair. L rtard équivalnt au déphasag st fonction d l'ordr du filtr. Un filtr RIF symétriqu rél à p+ cofficints ntraîn un rtard τ pt Un filtr RIF symétriqu rél à p cofficints ntraîn un rtard τ (p-/t pruv : Un filtr RIF symétriqu rél à p+ cofficints ntraîn un rtard τ pt La fonction d transfrt d'un tl filtr s'écrit: L filtr étant symétriqu, on a : p H f h n π ( ( f nt n n > p, h( n h( p ( n p h( p n 33/94

34 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés n-p n-p h p-n h h h p- h p p+ n n factorisant π f pt dans l'prssion d H(f, il vint : p p f ( n p T f n p T f pt H f h p h n ( ( π π ( + ( + h( n π n n p+ or du fait d la symétri du filtr : h( n h( p n, d'où: p p π f ( n p T f n p T h n π ( ( h( p n n p+ n p+ n ffctuant l changmnt d variabl: i p n c trm dvint égal à: d'où : h i π f ( ( p i T i p ou ncor : p p f ( n p T f n p T f pt H( f h( p h( n ( π + π + + h( n π n n p f pt H( f h( p + h( n cos( f ( n p T π π n π f τ R( f avc τ pt La démonstration pour l cas du filtr à p cofficints st idntiqu Synthès ds filtrs à répons impulsionnll fini La synthès ds filtrs numériqus st un domain qui a donné liu à d nombruss publications t rchrchs. Suls la bas ds principals méthods st posé dans c chapitr. La bibliographi fourni n ann comport ls dévloppmnts complts sur c sut. 34/94

35 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés La méthod la plus dirct pour synthétisr l filtr numériqu qui corrspond à un gabarit fréquntil donné consist simplmnt à échantillonnr c gabarit dans l plan ds fréquncs t à calculr la Transformé d Fourir invrs d c gabarit échantillonné. En l'absnc d gabarit d phas la méthod la plus simpl consist à considérr qu ctt drnièr st linéair n fonction d la fréqunc. F/ échantillonnag du gabarit idéal F/ F on a alors ls valurs d: H kf pour k, d'où par Transformé d Fourir invrs: h H k k i F π F it k pour i à -, (: ordr du filtr ls h i ainsi obtnus vont bin donnr la fonction d transfrt idéal au points H kf, mais ils donnront un spctr avc ds ondulations ntr cs valurs. Pour un fréqunc f qulconqu, on put rcalculr: H( f h i i π f it mais H(f put aussi s'obtnir par intrpolation ds trms H kf. En fft la transformé d Fourir invrs idéal dvrait donnr un infinité d trms ( h i i, +, or on a considéré uniqumnt trms ( h i. Cla i, rvint à tronqur ctt répons impulsionnll n la multipliant par un port Π(T(T. La fonction d transfrt obtnu st donc égal au produit d convolution du gabarit idéal par la transformé d Fourir d la port Π(T(T. 35/94

36 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Transformé d Fourir d la port Π(T(T : port Π T trms spacés d T T TF( π T π f it i π f T π f T π f T π f T π f T π f T π f T π f T TF f f ( T sin f T ( π π sin π f T L'écritur du produit d convolution conduit alors à l'prssion d H ( f pour un fréqunc f qulconqu, n fonction ds H kf (sans avoir bsoin d rpassr par ls ( h i. i, f k H f H k sin π F F ( k f k sin π F Ctt équation constitu un formul d'intrpolation pour obtnir H(f à partir ds H kf. H(f f F/ F 36/94

37 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Ainsi la méthod par synthès conduit à un fonction d transfrt qui ondul ntr ls valurs idéals. L'amplitud ds cs ondulations n'st pas contrôlabl t n'st pas constant. C'st contr ctt inconvénint qu vont tntr d luttr ls d'autrs méthods d synthès (cf Rmz qui n sront pas présntés dans c cours (voir référnc. Bllangr, pour plus d précisions sur c sut Rlations ntr l nombr d cofficints t l gabarit A partir d'un gabarit d filtrag désiré du typ d clui présnté ci dssous: +δ δ f δ f il st possibl d'stimr l nombr d cofficints dont aura bsoin un filtr RIF symétriqu rél, au moyn d la formul d'approimation suivant: 3 F log δδ f 37/94

38 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 4.5 Filtrs à répons impulsionnll infini (RII 4.5. Cllul purmnt récursiv Cllul du prmir ordr Soit l filtr défini par l'équation au différncs suivant : y( n ( n + b y( n C filtr st idntiqu à un filtr RIF d'ordr infini. Si l'ntré st la suit unitair: u(n u ( u ( n n, alors la sorti y(n st tll qu: y( y( b y( b y( n b n C filtr st stabl si: n b n <, c' st à dir si b < n Sa fonction d transfrt H( s'écrit: Y( H( X ( b ou ncor avc un rprésntation sur l crcl unité: H( P 38/94

39 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés a imaginair f.5 H(f f.5 P P f a rél ω 4.5. Cllul du duièm ordr Soit l filtr défini par l'équation au différncs suivant: y( n ( n b y( n b y( n La transformé n donn: d'où: Du cas sont alors possibls: ( Y( + b + b X ( H( + b + b + b + b b 4b, la fonction d transfrt possèd alors du pôls réls t ll st idntiqu à la mis n cascad d du clluls du prmir ordr. La fonction d transfrt global st donc monoton. b 4b <, la fonction d transfrt possèd alors du pôls compls conugués: d'où: b P ± b R( P t b OP H( P. P 39/94

40 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés a imaginair f.5 H(f P f.5 O OP P P f a rél P ω ω P La fonction d transfrt possèd un fréqunc d résonanc t n'st plus strictmnt monoton Cllul général du scond ordr y( n a ( n + a( n + a ( n b y( n b y( n a + a + a H( + b + b Du cas particulirs méritnt d'êtr détaillés: L filtr fréquntil: Si l'obctif d la fonction d transfrt st d filtrr crtains fréquncs présnts dans un signal, ls zéros du numératur vont s trouvr sur l crcl unité. La fonction d transfrt s'écrit alors: H( a ( ( ( P( P L déphasur pur: Un cllul du scond ordr put aussi êtr utilisé pour répondr, non pas à ds obctifs d filtrag fréquntil, mais à ds obctifs d déphasag du signal. Ainsi il st possibl d réalisr un déphasur pur avc un cllul d c typ. Pour cla il suffit d'utilisr un numératur t un dénominatur imag l'un d l'autr. Il st facil d vérifir qu: a + a + a H( a + a + a 4/94

41 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés d'où: t: D( H( D( D( D( H( H( H( D( D( ϕ( ω ϕ D ( ω ω avc ϕ D ( ω égal au déphasag du dénominatur D ( Synthès ds filtrs à répons impulsionnll infini La synthès ds filtrs à répons impulsionnll infini utilis ds fonctions modèl défini n p t procèd par transformation bilinéair d cs drnièrs Rappl d la transformation bilinéair: Soit l filtr analogiqu défini par l'équation suivant: (t filtr y(t y' ( t by( t + ( t + pt En appliquant la transformé d Laplac: y' ( t dt py( p il vint: d'où: py( p by( p + X ( p Y( p H( p X ( p p b En primant la fonction d transfrt du mêm filtr n numériqu, il vint: y( nt y( n T + y' (( n T + τ dτ L calcul d l'intégral par la formul du trapèz conduit alors à: T d'où: T y( nt y( n T y ' ( nt + y ' ( n T ( T y( nt y( n T by ( nt + ( nt + by ( n T + ( n T ( 4/94

42 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés t par transformé n : bt T ( ( + ( + Y( X ( d'où la fonction d transfrt n : Y( H( X ( En idntifiant avc la fonction d transfrt n p: il st possibl d fair l'approimation suivant: p H( T ( + bt ( ( + T ( ( + b Y( p H( p X ( p p b p T + Ctt approimation constitu la transformation bilinéair. t p + p T p T Propriétés d la transformation bilinéair: Transformation du crcl unité: ωt ωt si p T ωt + T T + ω ω ωt tg T T T + ω ω T + L crcl unité st donc transformé n a imaginair. Déformation fréquntill: Au liu d'obtnir : la transformé bilinéair a conduit à : p ω ωt p tg T n posant f la fréqunc vrai t f d la fréqunc déformé par la transformation bilinéair il vint: f πt tg ( π T f d 4/94

43 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés La transformation bilinéair ntraîn donc un déformation n fréqunc qui st d'autant plus important qu la fréqunc st élvé. Grâc à la transformation bilinéair la synthès ds filtrs numériqus d typ RII s résum à approchr l gabarit désiré par ds fonctions modèls définis n p puis à transformr cs drnièrs pour obtnir dirctmnt ls cofficints du filtr Ls fonctions modèl Plusiurs fonctions modèls prmttnt d'approchr au miau un gabarit dmandé. Ls plus célèbrs d'ntr lls sont ds fonctions d Buttrworth, lliptiqus ou ds polynôms d Tchbychff. 4.6 Rlations ntr l nombr d cofficints t l gabarit Il st possibl d'stimr l nombr d cofficints dont aura bsoin un filtr RII n fonction du gabarit dmandé au moyn d la formul suivant: F 4 f 8. log log sinπ f F δ δ π 5. Rmarqu Un crtain nombr d'écriturs n vont êtr présntés dans c polycopié, on insistra donc sur l point suivant : Lorsqu'un filtr d typ RII st défini par ss pôls t zéros, il faut êtr prudnt au momnt d rconstruir ls cofficints avc lsquls on va filtrr l signal. Du solutions sont possibls : - soit on rconstruit l polynôm n, on dévlopp puis on rpass n - soit on rconstruit dirctmnt l polynôm n. pour bin idntifir ls cofficints. Empl : ais attntion ls pôls t zéros concrnnt Soit l filtr d'ordr défini par du zéros t * t par ss du pôls P t * P. Rconstruction n : 43/94

44 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 44/94 ( ( ( ( ( ( ( ( PP P R R PP P R R P P H * * * * * * ( D'où l'équation d filtrag : ( ( ( ( ( ( ( ( * * n y PP n y P R n n R n n y + + Ou rconstruction n : ( ( ( ( ( ( PP P R R P P H + + * * * * ( D'où l'équation d filtrag : ( ( ( ( ( ( ( ( * * n y PP n y P R n n R n n y + + E ELAGER LES DEUX E AUCU CAS ( ( ( ( * * ( P P H Fau

45 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6. Applications du filtrag numériqu 6. Décimation Il arriv souvnt qu'un chaîn d traitmnt numériqu d'un signal fonctionn avc différnts rythms d'échantillonnag. Lorsqu la fréqunc d'échantillonnag décroît on parl alors d décimation. L'opération d décimation st trivial, il suffit d supprimr un crtain nombr d'échantillons. Ell st n général symbolisé par un flèch orinté d haut n bas. L schéma ci dssus rprésnt un décimation par, pour laqull il suffira d supprimr un échantillon sur du. La fréqunc d'échantillonnag passra ainsi d F à ' F F. Avant d'ffctur un tll opération il faut s'assurr qu l théorèm d Shannon rst vérifié. Il st donc nécssair d rstrindr la band B du signal afin qu'll n F F dépass pas B '. C filtrag "anti aliasing" st ctt fois réalisé n numériqu au cœur ds traitmnts, 4 c'st la différnc ssntill avc l filtrag anti aliasing "traditionnl" réalisé n analogiqu avant l'opération d'échantillonnag. : Filtr umériqu anti aliasing : 6. Intrpolation L'opération dual d la décimation st l'opération d'intrpolation. Pour l'ffctur on utilis un filtr numériqu t un insrtion d zéros au miliu du signal d'origin. Considérons, pour l'posr, l cas d'un intrpolation par un factur ' ' d'un signal y ( nt. On commnc par insérr un valur null ntr chaqu valur du signal y ( nt. La fréqunc d'échantillonnag st alors doublé, on a maintnant ' F F La form du spctr du signal st inchangé, ls valurs insérés étant ds zéros. Cpndant c spctr n corrspond pas à clui qu l'on aurait obtnu n échantillonnant réllmnt l signal analogiqu avc F. Il y a n fft trop d répétitions du motif au nivau du spctr. Il suffit alors simplmnt d supprimr cs motifs au moyn d'un filtr numériqu pour obtnir l spctr du signal numériqu, comm si il avait été échantillonné d'ntré à la fréqunc un opération d'intrpolation ds valurs tmporlls du signal. F. C filtrag numériqu corrspond à 45/94

46 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Y (f t f F' F' Y (f t f F X (f t f F L'opération d'intrpolation va s symbolisr par : Filtr umériqu d'intrpolation En combinant la décimation t l'intrpolation il st possibl d'ffctur ds modification fractionnairs d la fréqunc d'échantillonnag. : 46/94

47 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6.3 Filtrs d yquist Dans l domain ds communications numériqus, l filtrag numériqu ou un rôl important. C'st n particulir l cas lors d'un transmission numériqu où ls symbols à transmttr sont mis n form au moyn d'un filtr numériqu qui n doit pas crér d'intrférnc ntr symbols. Ls conditions qu doit satisfair c filtr pour qu l'intrférnc intrsymbol soit null, ont été énoncés pour la prmièr fois par yquist t constitunt l "prmir critèr d yquist". Cs conditions puvnt s'énoncr dans l domain tmporl ou dans l domain fréquncil. Dans l domain tmporl, lls s'appliqunt à la répons impulsionnll h( t du filtr : h(, h( nts, n ntir On put formalisr ctt propriété n écrivant : h( t δ( t nts δ( t n k Par transformé d Fourir d ctt équation, on obtint alors : H ( f δ ( f Ts k Ts ou ncor : k H( f Ts k Ts On considèr alors qu l filtr H ( f a un fréqunc d coupur L'prssion précédnt dvint alors : H( f + H( f Ts Ts tll qu : H( f pour f T s En considérant qu l filtr st à phas linéair, l'égalité dvint : H( f + H( f Ts Ts L prmir critèr d yquist s'prim donc, dans l domain tmporl d la manièr suivant : T s Un filtr pass bas H d fréqunc d coupur T s n'introduit pas d'intrférnc intrsymbol lors d la transmission d'un signal ak δ( t kts si sa fonction d transfrt H( f satisfait du conditions : k la phas d H( f st un fonction linéair d la fréqunc; l modul d H( f, c'st à dir l gain n amplitud du filtr st symétriqu par rapport au point Ts, Ts pour f T s L filtr d fréqunc d coupur la plus bass satisfaisant l r critèr d yquist st l filtr pass bas rctangulair t d fréqunc d coupur f c sin π Ts. La répons impulsionnll corrspondant st d la form : h( t Ts t π Ts 47/94

48 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6.3. Filtr n cosinus surélvé Un famill d filtrs, très important n communications numériqus, st la famill ds filtrs n cosinus surélvés. Ils ont la particularité d n pas produir d'intrférnc ntr symbols mais aussi d'êtr à support spctral borné. Ils prmttnt ainsi d mttr n form ds signau d communications pour ds canau à band limité, tout n présrvant ls signau d l'intrférnc ntr symbols. D'un point d vu théoriqu ils dmandnt cpndant un infinité d cofficints. Hurusmnt on put tronqur lur répons impulsionnll sans provoqur d prts d prformancs trop importants (n c qui concrn ls lobs scondairs du spctr. L'analys fin d cs filtrs particulirs sort du cadr d c cours. Suls la form analytiqu tmporll d la répons impulsionnlls d c filtr sra donné ci-dssous. Form d la répons impulsionnll à tmps continu du filtr n cosinus surélvé : h( t π t t sin sinβ π Ts Ts t t T π s β 4 Ts Dans l cas d'un modm d communications numériqus avc échantillons par symbols t un périod d'échantillonnag T, la répons impusionnll échantillonné (donc ls cofficints du filtr st donné par : h( k T π k k sin sinβ π π k k β 4 L cofficint β, applé roll-off du filtr st un cofficint rél positif qui vari ntr t. : Ts 3T yquist Illustration d l'fft tmporl du filtr n racin d cosinus surélvé (absnc d'intrférncs ntr symbols au instants d'échantillonnag 48/94

49 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 7. Introduction au signau aléatoirs La démarch la plus intuitiv t naturll pour rprésntr un signal consist à primr la valur d c drnir au cours du tmps. La variabl choisi st alors l tmps t t l signal s'prim sous la form d'un fonction (t. Lorsqu la fonction ( t st parfaitmnt détrminé, on parl d signal détrminist. D tls signau ont été rncontrés à d nombruss occasions lors ds cours précédnts. On s'st ainsi intérssé au signau sinusoïdau : ( t sin ( ωt ou à ds signau échlons : ( t U ( t d'autr typs d signau. ou ncor à Cpndant, lorsqu l'on s'intérss à ds signau réls, comm la valur d'un tnsion au borns d'un résistanc ou à la valur du courant parcourant un antnn ou à d'autrs mpls; On conçoit bin qu ls valurs du signal obsrvé vont êtr fonctions d'un multitud d phénomèns. Si l'on rprnd l'mpl d la résistanc, la valur d la tnsion va varir continullmnt autour d'un valur moynn n fonction d l'agitation ds élctrons, pour un antnn l'nvironnmnt élctromagnétiqu va êtr rsponsabl d nombruss variations t l'on conçoit intuitivmnt qu'il st impossibl d détrminr d manièr tout à fait act la valur du signal ( t. On formalis alors l signal comm étant un variabl aléatoir qui évolu dans l tmps t l'on parl d procssus aléatoir. En formalisant on pourrait introduir la variabl aléatoir X ( t t la distingur d ( t qui rprésnt la valur pris (réalisation par ctt variabl aléatoir à l'instant t. Dès lors l'nsmbl ds valurs du signal ( t st considéré comm étant un réalisation particulièr d'un procssus aléatoir. Dès qu l'on introduit ctt notion d variabl aléatoir on conçoit qu l'on va s'intérssr très rapidmnt au probabilités liés à ctt variabl aléatoir, à sa dnsité d probabilité si la variabl st continu t nfin à ss momnts statistiqus (moynn, covarianc, t évntullmnt ds momnts d'ordrs plus élvés. Un mpl typiqu, qui sra rpris plus n détail dans la suit du cours, st l cas du bruit blanc gaussin qu l'on rncontr très souvnt dans ls problèms d traitmnt du signal t d communications numériqu. Or c signal particulir st ustmnt défini par ls adctifs blanc t gaussin qui caractérisnt parfaitmnt sa dnsité d probabilité (gaussin t ss momnts d'ordr du (blanc. Partant dorénavant d signau aléatoirs, c qui st l cas l plus général qu l'on puiss nvisagr, nous allons dès maintnant considérr un sous nsmbl d cs signau qui sront ls signau stationnairs. Définition d la stationnarité : Un signal aléatoir st défini à chaqu instant t par la loi d probabilité d son amplitud X ( t. Ctt loi d probabilité put s'primr par un dnsité d probabilité ( t p X ( t p X, défini d la manièr suivant : [ X ( t + ] Pr ob, lim (64. L signal st stationnair si ss propriétés statistiqus sont indépndants du tmps, c'st à dir, si sa dnsité d probabilité st indépndant du tmps : 49/94

50 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Définition d'un signal du scond ordr : ( t p ( p X, X (65. L signal sra dit du scond ordr s'il possèd un momnt d'ordr applé valur moynn, qui st l'spéranc mathématiqu d X ( t, noté [ X ( t ] E t défini par : t un momnt d'ordr, applé fonction d covarianc : + m ( t E[ X ( t ]. p X (, t d ( m ( t, t E[ X ( t, X ( t ] (. p X, ; t, t dd (67. où p (, ; t, t st la dnsité d probabilité du coupl d variabls aléatoirs [ ( t X ( ] X X, t. Définition d la stationnarité à l'ordr : L caractèr d stationnarité put êtr limité au momnts du prmir t du scond ordr, on dit alors qu l signal st stationnair à l'ordr. On a alors : Pour l'ordr, l'indépndanc du tmps s'écrit : + m E[ X ( t ]. p X ( d, m constant indépndant du tmps ( ; t, t p (, ;, t t p (, ; τ p X, X X avc τ t t (68. Sul intrvint l'écart ntr ls du instants d'obsrvation. On introduit alors la fonction d'autocorrélation ( τ signal aléatoir : ( τ E[ X ( t X ( t τ ] r XX du r XX (69. La réalisation (t du signal aléatoir ( t X possèd aussi un moynn tmporll mt défini par : + T m T lim ( t dt (7. T T T Définition d l'rgodicité d'un signal stationnair à l'ordr : On dira qu l signal st rgodiqu lorsqu qu l'on put confondr la moynn tmporll m : m T avc la moynn + T m lim ( t dt (7. T T T t lorsqu qu l'on put calculr la fonction d'autocorrélation d la mêm manièr, c'st à dir : 5/94

51 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés + T r ( τ lim ( t ( t τ dt (7. T T T C résultat a ds conséquncs pratiqus très importants car il va prmttr d'accédr au propriétés statistiqus du signal à un instant donné à partir d l'obsrvation d c signal au cours du tmps. Ls dévloppmnts précédnts ont ssntillmnt concrné ds signau à valurs rélls. Cs signau corrspondnt intuitivmnt t physiqumnt à la plupart ds signau rncontrés. Lorsqu l'on considèr un valur d tnsion ou d courant t qu l'on s plac drrièr un convrtissur analogiqu numériqu, ls signau sont bin ntndu réls. Cpndant, dans bin ds cas, n particulir n communication numériqus, on sra amné à traitr ds nvlopps compls d signau modulés (voir aussi la définition du signal analytiqu. Il st donc nécssair, afin d n pas rstrindr la généralité d la suit ds algorithms t méthods présntés dans c cours, d considérr dorénavant ds signau à valurs compls. D plus on a usqu'alors bin séparé l procssus X (t t sa réalisation (t. Cpndant afin d'évitr d confondr l procssus t la Transformé d Fourir X ( f d sa réalisation, on abandonnra à partir d maintnant la notation X (t. L lctur avisé sra à mêm d comprndr ls écriturs du typ E [ (t ] comm l'spéranc d la variabl aléatoir. Résumé : L signal aléatoir ( t st un réalisation d'un procssus aléatoir. L signal sra considéré comm rgodiqu t stationnair à l'ordr, c'st à dir : E + T T T T [ ( t ] lim ( t dt m + T * * [ ( t ( t τ ] lim ( t ( t τ dt r ( τ E T T T 5/94

52 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 5/94

53 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 8. Analys Spctral 8. Problématiqu d l'analys spctral La rprésntation du signal sous la form (t st un démarch st naturll mais ll n corrspond pas forcémnt à la millur rprésntation physiqu ds signau rncontrés. En fft, l'individu ou ls systèms élctroniqus sont souvnt plus snsibls à la puissanc t à la fréqunc ds signau t la rprésntation du signal sous la form d sa répartition d puissanc n fonction d la fréqunc prmt, dans bin ds cas, d'trair d manièr plus immédiat l'information qui résid dans c drnir. L signal st alors rprésnté par un fonction P(f applé dnsité spctral d puissanc. L passag d (t à P(f constitu l'analys Spctral. Il ist du grands classs d méthods pour stimr la dnsité spctral d puissanc d'un signal (t. La prmièr, l'stimation spctral non paramétriqu, n'utilis aucun connaissanc a priori sur l signal t part uniqumnt d l'obsrvation d c drnir. La duièm, l'stimation spctral paramétriqu, utilis un modèl paramétriqu décrivant l signal, modèl à partir duqul il st aisé d'obtnir la dnsité spctral d puissanc. Ls paramètrs du modèl sont adaptés n fonction du signal obsrvé. Entr cs du méthods il ist un troisièm class d'approchs qui suppos qu l signal st composé d'un crtain nombr d rais spctrals dont il convint d trouvr ls fréquncs t ls puissancs. C typ d méthods sra classé dans c cours sous l'appllation d'stimation spctral par décomposition harmoniqu. 8. Estimation Spctral non paramétriqu 8.. Périodogramm, Corrélogramm La Transformé d Fourir d la fonction d'autocorrélation r (τ du procssus aléatoir (t stationnair à l'ordr s'écrit: P + πfτ ( f r ( τ dτ ll st égal à la dnsité spctral d puissanc P(f du procssus (t. En fft, pour τ, il vint: ( [ ] ( r E ( t P ( f π df P ( f df En supposant l'hypothès rgodiqu vérifié, l'spéranc mathématiqu s'écrit: [ ] T E ( t + lim ( t + dt P( f df t T T (74. (75. P(f rprésnt donc bin l dnsité spctral d puissanc du procssus (t. Il s'agit là du théorèm d Winr Kintchin. 53/94

54 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés L'hypothès rgodiqu prmttant d confondr l'spéranc mathématiqu avc un moynn tmporll, l dévloppmnt d r(τ donn : P + + T lim (76. T T T * πfτ ( f ( t ( t τ dτ On put aussi introduir l spctr compl d la réalisation tronqué du procssus (t : En prnant l carré d ctt prssion, il vint : + T πft X T ( f ( t dt (77. T t n prnant l'spéranc d ctt prssion, on obtint : T + T + T * πfu + πfv X T ( f ( u ( v dudv T T T (78. E T + T + T πf ( uv X T ( f r ( u v dudv (79. T T T En ffctuant alors l changmnt d variabl suivant τ u v v' v t n prnant gard au intrvalls d variation ds nouvlls variabls, il vint : u +T -T +T -T v τ +T -T +T -T v' Pour τ, v ' vari d T à τ T t pour τ, v ' vari d T à T τ E T T T τ T T τ πfτ πfτ T ( f r ( τ dτdv' + r ( τ dτ ' (8. T τ v' T τ v' T X dv d'où finalmnt : T T πfτ πfτ E X T ( f r ( τ( T τ dτ + r ( τ( T + τ dτ (8. T T τ τ 54/94

55 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés En introduisant alors la fonction T τ π τ ( f E X T ( f r τ dτ (8. T τt T I indicatric d l'intrvall [ T + T ] 4T,, il vint : On obtint donc : τ E ( X T ( f TF r τ I 4T (83. T T τ E X T ( f P( f * TF I 4T (84. T T Lorsqu T tnd vrs l'infini, l duièm trm du produit d convolution tnd vrs δ ( f, d'où : lim E T T X T ( f P( f (85. En considérant alors un cas numériqu, où l'obsrvation du signal (t s résum à valurs échantillonnés à la périod mathématiqu. d'où : T, la dnsité spctral put êtr stimé n limitant l'intégral précédnt t n oubliant l'spéranc nt f Ppr ( f π ( nt (86. T n Ct stimatur d la dnsité spctral d la dnsité spctral d puissanc du signal ( nt st applé périodogramm. Il dmand, pour êtr calculé, la mis au carré d la Transformé d Fourir du signal numériqu ( nt sur points. Il st, dpuis la mis au point d l'algorithm d Transformation d Fourir Rapid (TFR ou FFT n anglais par J. Cooly t J. Tucky n 965, l'stimatur l plus mployé. Jusqu'à la mis au point d l'algorithm d la FFT, la méthod la plus utilisé consistait à stimr ' valurs d la fonction d'autocorrélation r ( p avc ' < t à calculr la Transformé d Fourir Discrèt (TFD ou DFT n anglais sur ls ' points obtnus. Ct stimatur d la dnsité spctral d puissanc, du au travau d Blackman t Tucky, port l nom d corrélogramm. avc : P cor ' ( (87. p( ' πpf ( f r p 55/94

56 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés r ( p * ( n ( n p (88. n p pour p ' Pour ' ls stimaturs du périodogramm t du corrélogramm sont idntiqus. En fft, d'où: P cor Pcor p( n p * πpf ( f ( n n p ( (89. πnf * π( n p f ( f ( n ( n p (9. p( n p prssion qui put ncor s'écrir: nf Pcor ( f π ( n Ppr ( f (9. n Ls du stimaturs sont donc bin idntiqus pour '. Propriétés du périodogramm: L périodogramm constituant un stimatur d la dnsité spctral d puissanc du procssus ( nt, il st nécssair d'étudir son biais t sa varianc. L calcul d l'spéranc d P ( f avc : * r ( p ( n ( n p n p pr donn: [ ( f ] E Ppr πpf E r ( p (9. p( d'où: p πpf [ pr ( f ] r p E P p( ( (93. ncor grâc au propriétés d la Transformé d Fourir: sin πf E[ Ppr ( f ] P( f sin πf (94. 56/94

57 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés L'stimatur du périodogramm st donc un stimation biaisé d la dnsité spctral d puissanc P ( f du procssus ( nt. L'stimatur st n fait l résultat du filtrag, dans l domain fréquntil d P ( f par l filtr sin πf sin πf sans biais.. Lorsqu tnd vrs l'infini c filtr tnd vrs δ ( f, l périodogramm st donc asymptotiqumnt L calcul d la varianc st délicat t conduit, pour ds signau gaussins à : Var ( P ( f P( f pr sin + πf ( πf (95. Ctt varianc put êtr diminué n séparant l'nsmbl ds valurs d ( nt n sous nsmbls d K < K valurs. Il st alors possibl d calculr K stimaturs t d fair la moynn ds K stimaturs obtnus. La varianc st alors divisé par K. Ctt amélioration d la varianc d l'stimatur s pay par un diminution d résolution d c drnir. En fft la résolution spctral st n échantillons. T dans l cas d échantillons t n KT dans l cas d K Enfin, ls lobs scondairs d sin πfn f π puvnt êtr atténués n introduisant ds fnêtrs d pondérations qui vont êtr appliqués dirctmnt sur l signal obsrvé ( nt. En conclusion, l périodogramm st un stimatur d la dnsité spctral d puissanc qui st d'autant millur qu l signal st obsrvé sur un longu plag d stationnarité. L'algorithm d la Transformé d Fourir Rapid st bin connu t la plupart ds procssurs d signau sont vndus avc ds routins d TFR optimisés. Ct stimatur st donc aisé à utilisr t c'st la raison pour laqull c'st l'stimatur l plus mployé auourd'hui. Pour calculr un périodogramm il faut donc: obsrvr valurs du signal ( nt, calculr un TFR sur points avc mis au carré. 57/94

58 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 8.. éthod du minimum d varianc: méthod d Capon Pour chaqu fréqunc f, ctt méthod chrch un filtr adapté dont la répons vaut pour ctt fréqunc f t partout aillurs. Un fois c filtr obtnu l'stimatur P Cap ( f n'st autr qu la puissanc d sorti du filtr obtnu pour la fréqunc f. La sorti y(n d c filtr s'écrit : ou plus simplmnt sous form vctorill : * y( n hi ( n i (96. i T y( n H X ( n (97. h avc h H t h ( n ( n X ( n ( n + L filtr H doit donc minimisr E [ y n ] avc : ( avc la contraint H T F πf 4πf F πf (98. C qui s'écrit, n utilisant un multiplicatur d Lagrang: T T H optimal st tl qu E[ H X n ] + α( H F soit, n annulant la dérivé par rapport à H : T avc R E[ X ( n X ( n ] ( st minimal matric d'autocorrélation du signal (n. n introduisant α dans l'prssion d la contraint H T F, il vint : α H R F (99. d'où finalmnt : α (. T F R F R F H (. T F R F 58/94

59 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Pour stimr P Cap ( f il n rst plus qu'à calculr: T T [ y( n ] E[ H X ( n X ( n H ] PCap ( f E (. T F R R R + F PCap ( f (3. T T F R FF R F or : d'où: PCap ( f (4. T F R F T πf 4πf πf πf F R F [,,,..., ] ρkl (5. πf En conclusion pour obtnir l'stimatur d Capon, il faut: obsrvr échantillons du signal ( nt PCap ( f (6. π( kl f ρkl k l stimr la matric d'autocorrélation t l'invrsr pour obtnir ls trms ρ kl calculr P Cap ( f pour chaqu fréqunc f. Ctt méthod souffr donc d'un coût d calcul supériur au stimaturs précédnts. Il st possibl d démontrr qu ct stimatur à un varianc minimal t c'st la raison pour laqull il st souvnt applé stimatur du minimum d varianc. 8.3 Estimation spctral par décomposition harmoniqu 8.3. éthod d Pisarnko: Dans ctt méthod, l signal (n st supposé êtr constitué d'un somm d sinusoïds s (n t d'un bruit blanc additif b (n. Sachant qu tout signal sinusoïdal rél sin( n ω put s'écrir: ( n s( n + b( n (7. il st possibl d'écrir: ( n ω cos ωsin( n ω sin( n ω sin 59/94

60 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés d'où: s( n am s( n m m ( n am s + n m n rmplaçant s( n m par ( n m b( n m, il vint: ( n m b( c qui put s'écrir matricillmnt: am ( n m amb( n m m m T T X ( n A B( n A avc: t : d'où: E T X ( n B( n T [ ( n, ( n,..., ( n ] [ b( n, b( n,..., b( n ] T a a A a T T [ X ( n X ( n ] A E[ X ( n B ( n ] A E ( S( n + B( n T [ B( n ]A T R + A E[ ( S( n + B( n B( n ]A T Or, l bruit st supposé blanc, d varianc σ t décorrélé du mélang d sinusoïds, ctt équation dvint donc: R + A σ IA σ A L vctur A st donc l vctur propr associé à la valur propr Ayant l vctur A, on put écrir la transformé n d l'équation: S s ( n ams( n m m m m ( m a σ avc la contraint a. ls valurs d pour lsqulls ctt équation st vérifié donnnt ls valurs ds fréquncs présnts dans l m mélang. Il faut donc trair ls racins du polynôm a m pour obtnir ls valurs d fréquncs. m 6/94

61 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Si t σ n sont pas connus a priori, il suffit d surdimnsionnr la matric R t d'analysr ss valurs proprs. Théoriqumnt clls ci doivnt, au bout d ordrs, attindr un valur constant égal à σ. Il ist d nombru critèrs qui prmttnt d détctr c blocag à σ ds valurs proprs. Enfin, il st possibl d'obtnir ls puissancs ds sinusoïds détctés. En fft, il st facil d vérifir qu, dans l cas d'un mélang d sinusoïds d pulsation ωi t d puissanc P i, on a : r( P cos ω + P cos ω P cos ω r( P cos ω + P cos ω P cos ω... r( P cos ω + P cos ω P cos ω disposant ds pulsations ω i t ds cofficints d'autocorrélation r (i, il "suffit" d résoudr c systèm pour trouvr ls puissancs rspctivs P i ds rais spctrals idntifiés. En conclusion pour analysr un signal slon la méthod d Pisarnko, il faut: obsrvr valurs du signal ( nt, calculr la matric d'autocorrélation t n fair la décomposition n élémnts proprs, détctr σ t n déduir l nombr d sinusoïds, trair ls racins d'un polynôm compl d dgré, nfin si l'on vut ls puissancs, résoudr un systèm rél d équations à inconnus. La décomposition n élémnts proprs rst pour l'instant l'étap la plus délicat à réalisr d manièr rapid t c'st l frin principal à l'mploi d ctt méthod éthod d Prony: Dans ctt méthod l signal st, comm dans la méthod d Pisarnko, supposé êtr constitué d'un somm d sinusoïds mais l bruit st rmplacé par un amortissmnt sur cs drnièrs. L'hypothès d départ s'écrit donc : avc : On put alors fabriqur l polynôm : n ( n b m m m αm πf m m D'après l'hypothès d départ sur (n on a : ψ( k i i ( k ai avc a 6/94

62 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6/94 l m n b l l m n ( n multipliant ctt équation par a m t n ffctuant un sommation sur m, il vint : l m n l l m m m m b a m n a ( ou ncor : m m l m m l n l l m a b m n a ( or a m m l m par définition ds cofficints m a du polynôm ψ ( dont ls racins sont ls l, d'où : m m m n a ( t donc : m m m n a n ( ( Ls cofficints m a puvnt donc êtr obtnus par la résolution du systèm linéair d dimnsion suivant : + + a a.. (.. (.... (.. ( (.. ( (.. ( A partir ds cofficints m a il st possibl d formr l polynôm : avc a a m i m m ψ ( t d'n trair ls racins compls. Ls moduls d cs racins donnnt alors ls affaiblissmnts m α tandis qu ls phass donnnt ls fréquncs m f. Ls amplituds rspctivs m b ds différnts sinusoïds puvnt nfin êtr obtnus n résolvant l systèm linéair suivant : b b Pour ctt méthod il faut donc : obsrvr valurs du signal ( nt résoudr un systèm linéair compld dimnsion trair ls racins d'un polynôm compl d dgré t si l'on vut ls amplituds résoudr un systèm linéair compl d dimnsion.

63 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 8.4 Estimation spctral paramétriqu A la différnc d l'stimation spctral non paramétriqu, qui n faisait aucun hypothès sur l signal obsrvé (n, si c n'st ds propriétés d stationnarité à l'ordr, l'stimation spctral paramétriqu suppos qu c signal suit un modèl donné. C modèl comport un crtain nombr d paramètrs qui sont adaptabls n fonction du signal obsrvé. Il ist principalmnt trois grands classs d modèls: L modèl auto régrssif - modèl AR - L signal (n st supposé êtr prédictibl n fonction d'un crtain nombr d ss valurs antériurs. (n- (n- (n- (n Il put donc s'écrir: équation où ls cofficints ( (n d varianc ( n ai + n i ( n i ( a i i, constitunt ls paramètrs du modèl t où (n st un bruit blanc décorrélé d σ t qui rprésnt l'rrur d prédiction. La transformé n d ctt équation donn alors: X i i ( i a E( L signal (n put donc êtr vu comm l résultat du passag d'un bruit blanc (n d varianc filtr d fonction d transfrt H (. σ à travrs un avc : H ( a i i i 63/94

64 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés La connaissanc ds paramètrs ai prmt donc d calculr la dnsité spctral d puissanc P(f: Par ( f σ πfi ai i L modèl à moynn austé - modèl A - L signal (n st supposé pouvoir s'écrir comm un combinaison linéair d'échantillons décorrélés ntr u, c qui put s formalisr comm un combinaison linéair d'échantillons d'un bruit blanc (n : ( n bi( n i i L signal (n put donc êtr vu comm l résultat du passag d'un bruit blanc (n à travrs un filtr d fonction d transfrt H (. avc : H ( i b i i La dnsité spctral d puissanc du signal (n s'écrit alors : Pma πfi ( f bi σ i L modèl auto régrssif à moynn austé - modèl ARA- Combinaison ds modèls AR t A où l signal (n où l signal (n st supposé pouvoir s'écrir n fonction d valurs passés t d échantillons d'un bruit blanc décorrélé. d'où: ( n ai ( n i + bi ( n i i i Parma ( f πfi bi i πfi ai i σ 64/94

65 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 8.4. odélisation AR Pour ffctur ctt modélisation il faut donc trouvr ls paramètrs ai du modèl: ( n ai ( n i + a ( n i modèl qui corrspond à la structur RIF suivant: (n (n- (n a a a (n a (l'rrur (n st ici noté a(n pour traduir qu'il s'agit d'un rrur avant corrspondant à un prédiction d (n à partir d { ( n ( n K ( n } Il st alors possibl d'optimisr un critèr d minimisation d'rrur quadratiqu, c'st à dir, d chrchr l u d paramètrs i a qui minimisnt [ ] E a n (. C qui put s'écrir matricillmnt d la manièr suivant: T A optimal st tl qu'il minimis: E [ ( n ] E ( ( n X ( n A avc : t : En dévloppant [ ] E a n ( il vint: a [ ( n, ( n,..., ( n ] T X ( n [ a, a a ] T A,..., T T T [ a ( n ] E ( ( n X ( n A ( ( n X ( n A E T T T T [ a ( n ] E[ ( n A X ( n ( n ( n X ( n A + A X ( n X ( n A ] E En annulant la dérivé d ctt prssion par rapport à A il vint : A ou ncor: E [ X ( n X T ( n ] E [ X ( n * ( n ] a A R r ( 65/94

66 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés avc: r( r(. r( r( * r r R ( (.. r matric d'autocorrélation du signal t r a (... r(. * * r (. r ( r( r( En posant Ea E[ a n ] ( t n utilisant (, il vint: [ ] [ ] [ ] ( E a E ( n E X T ( n ( n A + A T E X ( n X T ( n A [ ( ] ( ( ( Ea E a n E n X T n A Ea r( r a T A + r a T A Ea r( r a T A ( En écrivant ( t ( sous un form matricill uniqu, il vint: r r E a T ( a r R A a (3 équation d Yul Walkr avant (ou dirct ou forward dans l cas stationnair Il st donc possibl d trouvr l vctur A n invrsant la matric R puis d calculr l'énrgi d'rrur d prédiction avant. Cpndant, l coût d calcul d'un tll approch st alors n o( 3 c qui put s'avérr gênant lorsqu st important. Il st possibl d résoudr ctt équation avc un coût d calcul proportionnl à o( utilisant l'algorithm d Lvinson. n Algorithm d Lvinson : Pour fair passr l coût d calcul d la résolution d l'équation d Yul Walkr d o( à o( 3, ct algorithm va utilisr un récurrnc sur l'ordr du modèl prédictur AR. Pour cla, il st nécssair d'introduir l'rrur d prédiction arrièr. 66/94

67 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés L modèl d prédiction avant consistait à stimr (n à partir d { ( n ( n ( n } K, n invrsant l'a ds tmps, on put construir un modèl d prédiction arrièr qui va stimr ( n à partir d { ( n + K K ( n }. Cla corrspond à l'équation d prédiction arrièr suivant : modèl, dont la structur RIF st la suivant: ( n b + i ( n + i + b ( n i (n b b b - b (n (n- (n- (n- (n (n- (n- L'équation d prédiction arrièr s'écrit d manièr matricill: T b ( n ( n X ( n B avc [ ] T X ( n ( n, ( n,..., ( n + t [ ] T B b, b,..., b L vctur B optimal st tl qu'il minimis E E[ ( n ] T c qui conduit à: B E[ X ( n X ( n ] E[ X ( n ( n ] d'où: b B R r (4 avc [ r(, r(,..., r( ] r b n rportant B dans l'prssion d E E[ ( n ] b b b il vint: b 67/94

68 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés d'où: [ ( ] [ ( ] [ ( ( ] + [ ( ( ] E b n E n E n X n B B T E X n X T n B Eb r( r b T B (5 En réunissant (4 t (5 au sin d'un mêm équation matricill, il vint: R r b B r r E b T ( (6 b Equation d Yul Walkr arrièr (ou rétrograd ou backward dans l cas stationnair L'algorithm d Lvinson st obtnu n réunissant ls équations avant t arrièr. Il st aisé d vérifir E a Eb En fft, l'équation (6 put s'écrir: B R + E b n multipliant à gauch par la coidntité : J t n rmarquant qu, du fait d la symétri d R : il vint: n idntifiant avc l'équation avant (3: R + J R R J JB E b il vint: A JB t Eb Ea E R + A E a C qui rvint à dir qu prédir (n- à partir d (n-+,...,(n st idntiqu à prédir (n à partir d (n-,...,(n-. La sul différnc ntr ls du prédictions st l sns d parcours sur la tractoir d (n. 68/94

69 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 69/94 L'algorithm s bas sur un récursion sur l'ordr. Si on connaît A- t B- à l'ordr -, il vint pour la prédiction avant à l'ordr : R r r r A E K b b T ( avc K r a r i i i ( (, t pour la prédiction arrièr: r r r R B K E a T a ( d'où: R A E K + t R B K E + d'où: R A K E B E K E + d'où: [ ] B k A A t ( E E k avc k K E - Algorithm d Lvinson - C qui corrspond au rlations suivants: { ( i i i i i k E E a k a a i k a i r a r E k r E,,,,, : ( ( : ( (

70 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Rmarqu: il st possibl d'écrir: A k B A t : B B k A d'où: A A B k t: B k B A d'où n rprnant ls prssions ds rrurs avants t arrièrs: a ( n ( n X T ( n A A B a n n X T n ( ( ( k B a n a n k X T ( ( ( n n or: b ( n ( n X T ( n B b ( n ( n + X T ( n B b ( n ( n X T ( n B d la mêm manièr : conduit à : a ( n a ( n k b ( n b ( n ( n X T ( n B 7/94

71 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés b ( n b ( n k a ( n Ls cofficints ki corrspondnt donc à la structur n trillis suivant: (n a,- k a, (n b,- (n - k b, (n Enfin, on put démontrr: k [ a, ( n b, ] E E d'où l nom d cofficints d corrélation partill (PARCOR donné souvnt au cofficints ki. En conclusion, la modélisation AR dmand la mis à our d cofficints ai pour cla il faut: obsrvr au minimum valurs du signal, calculr ls cofficints d'autocorrélation, appliqur l'algorithm d Lvinson (coût d cacul proportionnl à o(² odélisation A Dans l cas du modèl AR, l vctur A s'obtint n optimisant un critèr d'rrur quadratiqu. Ctt optimisation conduit d manièr plicit à la résolution d'un systèm linéair: Par contr, pour un modèl A: A R r a l'rrur d prédiction s'écrit: ( n bi ( n i i ( n ( n E T ( n B avc [ ] T E ( n ( n, ( n,..., ( n 7/94

72 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés L vctur E dépnd d B t l systèm à résoudr dvint non linéair. L'optimisation act du critèr st alors très délicat. Cpndant, l'algorithm d Durbin prmt d'approchr la solution optimal avc d bons résultats. Algorithm d Durbin: L princip d ct algorithm consist à idntifir l modèl A d'ordr avc un modèl AR d'ordr >>. En fft, tout modèl A put êtr idntifié à un modèl AR d'ordr infini: i bi i i ai i n rmplaçant la born infini par un valur >>, il st possibl d fair l'approimation suivant: d'où : i H( bi i i ai i i bi i i ai i ou ncor dans l domain tmporl : bi ai δ i c qui donn δ b i a i i t donc:, n posant b il vint: δ a + b i a i i pour à : a + bi a i i 7/94

73 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Ls cofficints bi du modèl A d'ordr du signal (n sont donc aussi ls cofficints du modèl AR d'ordr du signal an. Conclusion, l'obtntion ds valurs bi s fait n résolvant du systèms AR, il faut: modélisr l signal (n sous la form d'un procssus AR d'ordr >> t trouvr l vctur ds paramètrs, grâc à l'algorithm d Lvinson par mpl, modélisr l signal constitué par ls paramètrs précédnts sous un form AR d'ordr t trouvr l nouvau vctur ds paramètrs odélisation ARA La modélisation ARA put s décomposr n un modélisation AR suivi d'un modélisation A. En fft, il faut idntifir l filtr: i bi i i H( b H H i ( ( i i i ai ai i i H( st idntifiabl d manièr act au moyn d l'algorithm d Lvinson tandis qu H( st idntifiabl d manièr approché au moyn d l'algorithm d Durbin. En conclusion, pour idntifir ls paramètrs d'un modèl A il faut: idntifir un modèl AR d'ordr, filtrr l signal (n par l filtr mis à our, idntifir un modèl A d'ordr à partir du signal filtré. Ls modélisations AR, A t ARA prmttnt finalmnt d'obtnir la dnsité spctral d puissanc du signal (n grâc à l'idntification ds paramètrs du modèl considéré. L modèl AR n comport qu ds pôls (filtr tout pôls t n pass amais par zéro: Par ( f σ πfi ai i C modèl st bin adapté au signau composés d signau sinusoïdau dans du bruit blanc. L modèl A n comport qu ds zéros (filtr tout zéros: 73/94

74 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés πfi Pma ( f bi i σ C modèl st bin adapté au signau dont la puissanc st null dans crtains bands d fréquncs. L modèl ARA possédant à la fois ds pôls t ds zéros: Parma ( f πfi bi i πfi ai i σ il st adapté à n'import qul typ d signau. 8.5 Conclusion Il ist un grand nombr d méthods d'analys spctral t l choi st souvnt dicté par l'application considéré. En général, ls méthods non paramétriqus trouvnt lur intérêt n présnc d signau longs t stationnairs tandis qu ls méthods paramétriqus sont plutôt utilisés pour ls signau brfs t non stationnairs. Enfin, ls méthods d modélisation AR puvnt êtr rndus adaptativs, c qui prmt un analys tmps rél d la dnsité spctral d puissanc du signal obsrvé. 74/94

75 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 9. Bibliographi. Bllangr, Traitmnt numériqu du signal : Théori t pratiqu, 9 ièm édition, Dunod, Paris. D. Ghorbanzadh, P. arry,. Point, D. Vial, Elmnts d mathématiqus du signal, ièm édition, Dunod, Paris. A. Quinquis, L traitmnt du signal sous atlab, Hrmès Lavoisir, Paris 7. urat Kunt, Traitmnt d l'information, vol, Tchniqus modrns d traitmnt numériqu ds signau, PPUR, Lausann 99. J.G. Proakis, D.K. anolakis, Digital Signal Procssing, 4 th d, Prntic Hall, w York 6. S. Kay, Statistical Signal procssing, Dtction thory,prntic Hall, w York, 993. S. Kay, S. arpl, Spctrum analysis - A modrn prspctiv -, Procdings of IEEE vol 69, ovmbr /94

76 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 76/94

77 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 77/94. Ann Dérivation Form Bilinéair Dérivation d RA A T n rél ( i a a r a a u K, ( k a r a a u, K k k k a r a u, k k k r a a u, p p p k k k r a a r a a u,, + p p p p p p p k k p k p k p p k k r a r a a r a a r a a u,,,, p p p p p p k p k k r a r a r a p u,,, + + T R R donc k p p k r r,, d où : + p p p p p p r a r a a u,, K K r p a p u, Donc : RA RA A A T

78 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 78/94

79 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés. Ercics. Echantillonnag EXERCICE Soit un signal analogiqu à tmps continu a (t dont l spctr, rprésnté par l modul d Transformé d Fourir (TF X a ( f st à support borné dans l'intrvall [ F, +F]. On échantillonn a (t à la fréqunc F avc T F 5F. Ct échantillonnag, supposé idéal, s'écrit à l'aid d'un pign d Dirac : ( t a ( t. WT ( t. On considèr l'allur suivant pour la TF d a (t : -F +F. Rprésntz graphiqumnt ( f X pour f [ F, + F] On échantillonn maintnant un signal à tmps continu d la form : a t Acos( πft + B signal échantillonné ( nt a ( nt.. Détrminz l'prssion d ( graphiqumnt son spctr EXERCICE nt (. On obtint ainsi l, primz la Transformé d Fourir d c signal t rprésntz Soit un signal analogiqu rél à tmps continu a (t dont l spctr X a ( f st à support borné, d largur 5 Hz t cntré sur.5 Hz. La parti du spctr corrspondant au fréquncs "positivs" st rprésnté ci-dssous : X a(f 5 Hz.5 Hz f Un ingéniur propos d'échantillonnr c signal à un fréqunc F 9Hz. La plupart ds ingéniurs auquls il soumt ctt proposition prétndnt qu'il n rspct pas l théorèm d l'échantillonnag t n voint pas l'intérêt d ctt solution.. Présntz un argumntair pour défndr la solution d ct ingéniur.. Rprésntz l spctr du signal échantillonné 3. La solution st ll ncor valabl si l signal st cntré sur Hz t F5 Hz, pouvz vous primr un condition suffisant pour qu l "sous échantillonnag" proposé fonctionn touours convnablmnt. 79/94

80 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés EXERCICE 3 Un ingéniur du son nrgistr un concrt avc micros. Il supprim, par filtrag, ls composants ds signau analogiqus au fréquncs supériurs à khz, puis il échantillonn ls signau d ss micros t quantifi ls valurs sur 6 bits. Il désir stockr ls signau numérisés sur un CD-RO. On suppos qu'il n'ffctu aucun autr traitmnt sur ss donnés (pas d codag contr ls évntulls rrurs par mpl. Qull doit êtr la capacité d son CD pour 7 minuts d concrt? EXERCICE 4 En pratiqu, l'échantillonnag d'un signal à tmps continu st suivi d'un codag d chaqu échantillon n un valur Q ( rprésnté sous form numériqu (convrsion analogiqu-numériqu. Ctt opération constitu un discrétisation du signal avc un pas d quantification qu l'on supposra constant. Pour i ( i +, l procédé d quantification rtnu dans ct rcic st un arrondi d la valur d à Si on utilis un cod binair sur b bits, la plag d codag vaut On définit l'rrur d quantification par ( Q( A b. ±.. Détrminz l'prssion d l'rrur d quantification pour situé dans l i ièm intrvall d quantification t tracz l'allur du graph corrspondant.. On admt qu l'rrur d quantification, ncor applé bruit d quantification, st un variabl aléatoir continu non corrélé à t dont la dnsité d probabilité st uniform. ontrz qu st cntré t primz sa varianc σ n fonction d. 3. On définit l rapport signal à bruit d quantification n db par : σ Γ db log σ Dans ctt prssion, codag, soit A < σ rprésnt la varianc d. La dynamiqu d st supposé n pas dépassr la plag d A. Détrminz l'prssion d Γ n fonction d σ, du nombr b d bits t d l'amplitud A d la plag d codag. Qul st l'apport n décibl (db d'un bit supplémntair. 4. Calculz la valur maimum d Γ avant saturation pour un codag sur 6 bits avc ls signau suivants supposés cntrés : - un signal sinusoïdal - un signal gaussin dont la valur crêt sra stimé à 4σ 8/94

81 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés. Transformé d Fourir EXERCICE Soit un signal numériqu rél ( nt dont l spctr, pour ls fréquncs "positivs", st rprésnté ci-dssous : X (f 8 khz f F /4 f On multipli trm à trm ls échantillons d c signal par un signal sinusoïdal rél d fréqunc normalisé f f n. 5 pour formr un nouvau signal y ( nt. (Fréqunc normalisé : f n F. Qull st la valur d. Eprimz y ( nt n fonction d ( nt 3. Rprésntz l spctr d y ( nt (on supposra la band du signal faibl dvant la valur d la fréqunc f EXERCICE On considèr un signal analogiqu Π ( t défini d la manièr suivant : Π Π ( t τ τ, t, τ τ ( t, t, On numéris c signal avc un fréqunc d'échantillonnag. Qull condition doit rspctr F pour rspctr l théorèm d l'échantillonnag? On considèr maintnant la port numérisé d échantillons : F (, n [ ] Π nt, (, n [ ] Π nt,. Calculz la Transformé d Fourir discrèt d ctt port numériqu t tracz l spctr d à F n précisant ls valurs ds passags par. On introduit la Transformé n cosinus discrèt suivant : C( f ( nt cos ( πfnt + n 3. Eprimz C ( f n fonction d la Transformé d Fourir discrèt ( f 4. Qull condition faut-il avoir sur l signal numériqu tmporl ( pour avoir C ( f X ( f 5. Soint ls échantillons du signal suivant : (nt nt X (l signal tmporl st rél T 4 T t 8/94

82 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6. La Transformé d Fourir discrèt d c signal st-ll réll? 7. Qul échantillon pourrait-on aoutr pour résoudr l problèm? EXERCICE 3 On considèr un imag qu l'on notra I t qui comport ligns t colonns. On not ( n m lign n colonn m. Ecrivz la Transformé d Fourir d l'imag n fonction d du variabls p t q On conugu ctt Transformé t on ffctu la Transformé invrs on obtint l négatif d l'imag? l'imag d'origin? l'imag d'origin avc un symétri par rapport à un a vrtical? l'imag d'origin avc un doubl symétri vrtical horizontal? n'import quoi? EXERCICE 4 (Cas d'étud Radar I,, l pil d la On obsrv pndant µs un signal radio qu l'on échantillonn à Hz. C signal st n fait l'écho d'un puls radar, c'st à dir un ptit morcau d sinusoïd, qui avait été émis un instant auparavant vrs un véhicul n mouvmnt. On considérra n prmièr approimation dans ct rcic, qu l puls radar émis occup un band d khz (avc un mis n form t qu'il a été transposé n fréqunc à 5 GHz. En récption il st rdscndu n band d bas par transposition d fréqunc.. Proposz un schéma global d la chaîn émission / récption. On ffctu un FFT du signal rçu aprè transposition à la fréqunc Hz (dit band d bas, qull précision put-on obtnir sur l'stimation d fréqunc? 3. Qull précision put-on n déduir sur la vitss du mobil compt tnu d l'fft Dopplr? 4. C princip d msur d la vitss put-il fonctionnr? 8/94

83 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés.3 Filtrag numériqu RIF EXERCICE On considèr un filtr RIF symétriqu rél pair dont ls cofficints sont : h., h. 3, h. 6, h3. 6, h4. 3, h5.. Calculr la répons d c filtr à la fréqunc Hz. Calculr la répons d c filtr à la fréqunc normalisé.5 3. On invrs l sign ds cofficints d'indic impair, qull st la répons du nouvau filtr obtnu à la fréqunc normalisé.5 4. Donnz un schéma d réalisation du filtr. Combin faut-il d multiplications par valur d sorti EXERCICE Un filtr numériqu à répons impulsionnll fini st défini par l'équation suivant : y( n ak ( n k k Ls cofficints a k ont été calculés d tll sort qu c filtr soit d typ pass bas avc un fréqunc d coupur f c égal à F /. ( F rprésntant la fréqunc d'échantillonnag.. Qu dvint c filtr si ss cofficints a k sont rmplacés par ak cos( π f k T avc f F / 5. EXERCICE 3 Soit l filtr défini par l'équation : y( n ( n +. 7 ( n +. 9( n la fréqunc d'échantillonnag st égal à Hz, ls signau sont réls.. Qull puissanc d calcul (nombr d'opérations par scond minimal faut-il prévoir pour réalisr c filtr? EXERCICE 4 On considèr un chaîn d traitmnt constitué par la mis n cascad ds 4 filtrs numériqus suivants : 7 4 u ( n ai ( n i, v ( n b u( n i 6 w m ( n cmv( n m, ( n 5 y d k w( n k k Soit ( n l signal n ntré t ( n. Ecrir y ( n n fonction d ( n?. Qul st l'ordr du filtr ainsi obtnu? n? 3. Qul cofficint affct ( y l signal n sorti. EXERCICE 5 83/94

84 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés On considèr l filtr numériqu RIF A (z à 64 cofficints tous égau à. Soit (n l signal à l'ntré du filtr t y (n l signal à la sorti du filtr. On s plac à l'instant n. Srait-il possibl d'obtnir la sorti parmi ls valurs délivrés par un FFT du signal d'ntré. Tracz la fonction d transfrt n fréqunc du filtr. ( i π On multipli trm à trm ls cofficints du filtr par 3 Tracz la fonction d transfrt n fréqunc du nouvau filtr ainsi obtnu. 4 Srait-il possibl d'obtnir la sorti à l'instant n au moyn d'un FFT. 5 On chrch à décomposr un signal au moyn d'un banc d 64 filtrs fréquntils équidistants. Proposz un solution n utilisant un FFT. EXERCICE 6 On considèr l'intrpolation d factur la plus simpl qui consist à insérr ntr chaqu valur du signal numériqu d'origin la dmi somm ds échantillons ncadrant ctt nouvll valur. Ecrir l filtr intrpolatur, primz sa répons n fréqunc. 84/94

85 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés.4 Filtrag numériqu RII EXERCICE Un boucl à vrrouillag d phas st modélisé par l circuit suivant : + (n-y(n(n + (n - y(n Ecrir la rlation ntr la suit d'ntré (n t la sorti y(n. En déduir la fonction d transfrt n du systèm.. Qull st la répons à l'échlon unité. Vérifir qu'll corrspond bin à un assrvissmnt d y(n sur (n, c'st à dir qu'll tnd vrs l'unité quand n tnd vrs l'infini. 3. L cofficint K rprésnt l gain d l'assrvissmnt. Dans qull plag doit on choisir ss valurs pour garantir la stabilité. EXERCICE Soit l filtr numériqu défini par ss :zéros :. 9 ± ±. 8 t par ss pôls : P. 6 ±. 6 P. 7 ±. 58. D qul typ d filtr s'agit-il (RIF, RII,?. Qul st son ordr 3. Qull st sa fonction d transfrt (pass haut, pass bas, pass band? EXERCICE 3 On considèr un filtr numériqu dont la fonction d transfrt n s'écrit : b + b + H( + b + b. D qul typ d filtr s'agit-il (RII, RIF t qul st son ordr?. Calculz la répons n fréqunc d c filtr. 85/94

86 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés ( 3. On pos H( t on introduit ϕ ω D( D ( comm étant la répons n phas du dénominatur D (, primz la répons n phas d H( n fonction d ω t d ϕ D ( ω. EXERCICE 4 On considèr l filtr RII suivant : y( n ( n b y( n b y( n. Qul signal d'ntré (n conduit à y( n δ( n, discutz c résultat. n On rappll qu'un condition nécssair t suffisant d stabilité pour un filtr numériqu st d'avoir + h n borné. n Eprssion dans laqull h n rprésnt la n ièm valur d la répons impulsionnll du filtr. On s plac dans l cas où b t b sont tls qu la fraction + b + b a du pôls compls conugués P t * P. calculz la répons impulsionnll du filtr 3. montrz qu la condition d stabilité rvint à avoir l pôl à l'intériur du crcl unité (On pourra décomposr la fraction n élémnts simpls t ffctur la division. L'écritur du pôl n coordonnés polairs put êtr avantagus pour l calcul EXERCICE 5 On vous dmand d réalisr un filtr numériqu agissant sur un signal numérisé à Hz. La band passant s'étnd d à Hz t la band atténué d Hz à 5 Hz.. Qull puissanc d calcul faut-il grossièrmnt prévoir pour réalisr c filtr avc un filtr RIF? un filtr RII?. Qu pnsz vous du problèm posé t auriz vous qulqus rcommandations à fair pour l simplifir. 86/94

87 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés.5 Signal aléatoir EXERCICE On considèr un signal aléatoir numériqu ( nt. Pour simplifir ls écriturs on suppos T t l'on écrit la réalisation du signal à l'instant T sous la form (n. L signal (n a été obtnu n filtrant, au moyn d'un filtr à répons impulsionnll fini, un bruit blanc b (n gaussin cntré d varianc σ. L'équation d filtrag st la suivant : ( n. b( n b( n.. b( n +.. b( n 3. Calculz, n fonction d r (, r (, r (, r ( 3 cs cofficints.. L signal (n st-il blanc? σ, ls cofficints d'autocorrélation d'ordr,,,3 du signal (n. On notra 3. La répartition ds nivau d'amplitud du signal (n st ll gaussinn (sans ustifir? 4. Formz la matric d'autocorrélation d'ordr 3 qu l'on notra R 3 On suppos maintnant qu l'on dispos d'un autr signal noté y (n, lui aussi obtnu par filtrag du bruit b (n s'écrivant ctt fois ci : y( n b( n b( n, mais 5. Donnz la Transformé n d la répons impulsionnll du filtr qui a prmis d'obtnir y (n à partir d b (n. 6. Placz ls zéros d c filtr sur un crcl unité, qulls sont la ou ls fréqunc(s coupés par c filtr? Tracz à main lvé l'allur d sa répons n fréqunc. 7. L signal y (n st il blanc? On considèr maintnant l cofficint d'intrcorrélation ntr ls signau (n t y (n. On not r y ( p c * cofficint t il st défini par : ( p E[ ( n y( n p ] r y 8. Calculz ry (, ry (, ry ( EXERCICE On considèr un filtr avc uniqumnt ds zéros : On fait passr un bruit (n π 4, π * 4 b uniformémnt réparti ntr [ ]. Eprimz (n n fonction du signal d'ntré., à travrs c filtr. On not (n la sorti du filtr.. Calculz ls cofficints d'autocorrélation d'ordr t d (n. On notra r (, r ( cs cofficints. EXERCICE 3 On considèr l cas d'un signal s (n obtnu au moyn d du capturs. Sur l prmir captur l signal st rçu avc un variabl d bruit additiv b (n t avc un variabl b (n sur l duièm captur. Cs du variabls d bruit sont supposés indépndants, gaussinns, cntrés t d mêm varianc égal à σ. L signal s(n st supposé êtr cntré t normalisé, c'st à dir E [ s n ] ( t E[ s n ] ( 87/94

88 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés. Eprimz l rapport signal sur bruit sur chaqu captur. On notra (n t (n ls signau capturs. Afin d améliorr c rapport signal sur bruit on décid d sommr ls signau issus ds du capturs t d formr un nouvau signal y( n ( n + ( n.. Eprimz l nouvau rapport signal sur bruit obtnu sur l signal somm y (n. On considèr maintnant qu l duièm captur fonctionn moins bin qu l prmir t qu l signal qu il rçoit s écrit : ( n α s( n + b ( n Eprssion dans laqull α rprésnt un cofficint d affaiblissmnt rél compris ntr t. 3. Donnz l rapport signal à bruit d combinaison obtnu par simpl sommation n tnant compt d c cofficint α. 4. Tracz c rapport pour α variant ntr t t discutz sur l fficacité d la sommation. On propos maintnant d introduir un cofficint multiplicatif rél a sur la duièm antnn. 5. Eprimz, n fonction d α t d σ, la valur optimal qu doit prndr c cofficints a afin d maimisr l rapport signal sur bruit n sorti d combinaison. EXERCICE 4 On considèr l signal ( nt suivant :. ontrz, sur c signal simpl, qu ( n ( n p n ( p( n p n. Proposz un méthod pour généralisr c résultat à tout obsrvation d'un signal sur points 88/94

89 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés.6 Prédiction linéair EXERCICE On considèr l'obsrvation tronqué d 6 échantillons d'un signal aléatoir (n : On suppos l signal nul n dhors d cs valurs. On choisit d'stimr, à partir d'un obsrvation d valurs, l cofficint d'autocorrélation du signal (n au moyn d la formul :. Calculz ls valurs d ( p r ( p r, pour p [ + ]. Donnz la valur du périodogramm d (n pour f 3. Donnz la valur du corrélogramm d (n pour f * ( n ( n p n p EXERCICE On considèr un signal aléatoir stationnair (n t l'on suppos connu ss cofficints d'autocorrélation : r( 3σ, r( σ, r( σ, r ( 3 On chrch l filtr d prédiction linéair d'ordr 3 d c signal.. Utilisz l'algorithm d Lvinson pour idntifir succssivmnt, n fonction ds cofficints d'autocorrélation, ls filtrs prédicturs d'ordr, t 3. On notra : a, a a, a a 3 a 3 3 cs trois filtrs. 3. Tracz l'énrgi d prédiction n fonction d l'ordr du prédictur pour σ. Qu pouvz vous dir sur l'évolution d ctt énrgi d prédiction. 3. On suppos qu ls autrs cofficints d'autocorrélation r (i sont nuls pour i 3. Calculz l'énrgi d prédiction à l'ordr 4. Pnsz vous qu l'énrgi d prédiction va baucoup évolur si l'on poursuit la prédiction à ds ordrs supériurs. Justifiz votr répons. 4. L signal (n a été obtnu par filtrag d'un bruit blanc gaussin d varianc σ par un filtr à répons impulsionnll fini d fonction d transfrt n H ( + α + β, n déduir ls valurs d α t β EXERCICE 3 On considèr un problèm d transmission dans lqul un émttur nvoi un signal s (n. L récptur rçoit c signal augmnté d'un variabl d bruit additiv, qu l'on notra b (n. L signal rçu sra noté ( n s( n + b( n. On suppos qu l signal émis s (n st cntré t d puissanc normalisé t qu ls échantillons sont indépndants. L bruit b (n sra supposé gaussin blanc d varianc comm du variabls aléatoirs indépndants. σ. L bruit additif t l signal émis puvnt êtr considérés. Calculz l rapport d puissanc ntr l signal util t l bruit dans l signal rçu (c rapport dit signal sur bruit s not SSB ou SR n anglais. 89/94

90 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Avant d'êtr rçu, l signal émis travrs un canal d propagation avc ds échos multipls (canal dit multitrats. On considèr qu la répons d c canal s'écrit C( + α. L trm d bruit additif st sommé après l canal multitrats.. Eprimz l nouvau signal rçu y (n n fonction d (n t d b (n. Eprimz l nouvau rapport signal à bruit On choisit d mttr n récption un filtr d prédiction linéair à répons impulsionnll fini afin d "rblanchir l signal rçu". Eprimz l ou ls cofficints d c filtr blanchissur dans l cas où il aurait un ou du cofficints. 9/94

91 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés.7 Analys Spctral EXERCICE L but d ct rcic st d démontrr qu lorsqu'un signal aléatoir (n d dnsité spctral d puissanc P (f travrs un filtr numériqu d répons impulsionnll fini d trms h i, i,,.. t d fonction d transfrt n fréqunc H (f, alors cla donn un signal y (n n sorti dont la dnsité spctral d puissanc P y (f st égal à : Py (f H(f P (f.. démontrz c résultat (! c'st calculatoir EXERCICE On considèr un signal aléatoir (n qu l'on suppos êtr blanc t d puissanc P. C signal subit un phénomèn d'écho, c'st à dir qu'il st sommé à un vrsion rtardé t légèrmnt atténué d lui mêm. On not y (n l signal avc l'écho. On not α l cofficint d'affaiblissmnt t on suppos qu l rtard τ du à l'écho pu êtr assimilé à un nombr act d périods d'échantillonnags. On introduit ainsi p tl qu. Ecrivz y (n n fonction d (n τ pt.. Qull st la fonction d transfrt n du filtr qui prmt d passr d (n à y (n 3. En supposant qu vous obsrviz un grand nombr d valurs d y (n mais qu vous n connaissiz pas (n, proposz un méthod pour stimr α t τ. ( Vous savz ust qu (n st blanc 4. Proposz un méthod pour supprimr l'écho EXERCICE 3 On échantillonn un signal avc un fréqunc d'échantillonnag F 7kHz. On ffctu nsuit la Transformé d Fourir rapid d 5 valurs d c signal t on obtint ainsi 5 valurs compls (qu l'on numérot d à 5. En analysant ls moduls d cs valurs, on idntifi du valurs très nttmnt supériurs au autrs. Il s'agit d la 8 ièm valur t d la 496 ièm. On n déduit qu'il y avait sans dout un signal sinusoïdal d fort amplitud dans l signal d départ.. Qull était la fréqunc d ctt sinusoïd? EXERCICE 4 On considèr l signal (nt α sin( π f nt. ontrz qu'il s'agit d'un signal autorégrssif d'ordr dont la varianc d l'rrur d'stimation st null.. Calculz la fonction r ( τ pour τ, T, T,..., pt 3. Qul st l rang d la matric d'autocorrélation du signal ( nt On aout un duièm sinusoïd : ( nt α ( πf nt + α sin( πf nt sin avc f f t α i t réls. 4. Put-on trouvr un filtr RIF qui annul totalmnt c signal? 5. Qul st l plus ptit ordr d c filtr? 9/94

92 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés.8 Analys Spctral EXERCICE On dispos d obsrvations i indépndants d mêm moynn t d mêm varianc σ d'un procssus aléatoir. On stim m par mˆ i i. mˆ st-il biaisé?. Qull st la varianc d mˆ 3. Rprésntz ctt stimation par un filtr t un décimation EXERCICE On considèr l signal ( nt α sin( πf nt. ontrz qu'il s'agit d'un signal autorégrssif d'ordr dont la varianc d l'rrur d'stimation st null.. Calculz la fonction r ( τ pour τ, T, T,..., pt 3. Qul st l rang d la matric d'autocorrélation du signal ( nt On aout un duièm sinusoïd : ( nt α sin ( πf nt + α sin( πf nt avc f f t α i t réls. 4. Put-on trouvr un filtr RIF qui annul totalmnt c signal? 5. Qul st l plus ptit ordr d c filtr? On aout un trm d bruit : ( nt α sin ( πf nt + α sin( πf nt b( nt + b ( nt rprésnt un échantillon d bruit blanc d varianc 6. Formz la matric d'autocorrélation d'ordr 3 7. Qull sra l'énrgi d l'rrur d prédiction dans l cas d'un prédiction linéair à l'ordr 4 (on répondra uniqumnt pour ls du cas trêms du rapport signal à bruit σ EXERCICE 3 On s plac dans l cas d'un filtr prédictur rél agissant sur un signal rél. On not T A ( a, a,..., a ls cofficints du filtr t ( qu la dérivé n fonction du vctur a d la form R r i, la matric d'autocorrélation du signal. ontrz A T RA st égal à RA. EXERCICE 4 On rçoit un bloc d donnés via un intrfac radio. On dispos ainsi d 5 échantillons qui sont ds symbols BPSK auquls s'st suprposé un bruit additif blanc gaussin d varianc Ls échantillons ont été échantillonnés à Hz. On dispos d 4 symbols non modulés sur lsquls on ffctu un FFT afin d'stimr un écart d fréqunc. Qull st la résolution fréquntill qu l'on obtint n sorti d FFT. σ. 9/94

93 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés.9 QC récapitulatif [] L fait d'échantillonnr un signal a pour fft : a d symétrisr son spctr b d'échantillonnr son spctr c d périodisr son spctr d d périodisr l signal [] On considèr un signal d musiqu qu l'on filtr ntr t 4 khz. Pour rspctr l théorèm d l'échantillonnag, la fréqunc d'échantillonnag doit : a êtr supériur à 4 khz b êtr supériur à 48 khz c êtr supériur à 96 khz d êtr supériur à 56 khz [3] La Transformé n d la répons impulsionnll d'un filtr à répons impulsionnll infini possèd : a uniqumnt ds zéros b uniqumnt ds pôls c ds pôls t ds zéros d ds pôls ou ds zéros mais pas ls du (ou clusif [4] Un filtr numériqu à répons impulsionnll infini st : a touours stabl b stabl si ss pôls sont à l'intériur du crcl unité c stabl si ss pôls sont à l'tériur du crcl unité d stabl si ss zéros sont sur l crcl unité [5] On considèr l filtr RII dont l'équation tmporll st la suivant : y( n ( n + 4( n y( n, ls prmirs trms d sa répons impulsionnll sont : a,,, b,5,3,- c,4,-, d,,-4,8 [6] On considèr la Transformé d Fourir Rapid (TFR n français ou FFT n anglais sur 56 valurs d'un signal compl qulconqu échantillonné à un fréqunc d'échantillonnag F. La FFT fournit : a 56 valurs rélls b 56 valurs imaginairs purs c 56 valurs compls d 8 valurs compls [7] On dispos d 64 échantillons d'un signal numériqu échantillonné à la fréqunc F 3 khz. L modul d la 5 ièm valur d la FFT du signal sur 64 valurs st très nttmnt plus important qu ls autrs valurs. On n déduit qu'il y a dans l signal un signal sinusoïdal rél à la fréqunc : a 4.6 khz b 8.75 khz c 53.9 khz d 5.3 khz 93/94

94 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés [8] L périodogramm st un : a stimatur d la Transformé d Fourir b stimatur d la dnsité d probabilité c stimatur d la dnsité spctral d puissanc d un prédictur linéair [9] L'algorithm d Lvinson st a un algorithm d'idntification spctral b un algorithm d calcul d cofficints d prédiction linéair c un algorithm d décomposition d'un matric n élémnts proprs d un algorithm d calcul d la Transformé d Fourir [] Un filtr anti-aliasing (anti rplimnt spctral doit êtr placé : a drrièr l CA b dvant l CA c drrièr l CA d dvant l CA CA: Convrtissur Analogiqu/umériqu CA: Convrtissur umériqu/analogiqu [] Un filtr RIF dvant séparr un band passant d'un band atténué avc un band d transition d khz t avc un fréqunc d'échantillonnag d Hz va dmandr (ordr d grandur nviron : a cofficints b cofficints c cofficints d cofficints [] Si on rspct l théorèm d Shannon : a il st impossibl d rconstruir ls valurs du signal ntr ls instants d'échantillonnag b il st possibl d rconstruir ls valurs du signal ntr ls instants d'échantillonnag c il st possibl d supprimr ls échantillons d'indic pairs d il st possibl d calculr la Transformé d Fourir avc opérations ( rprésntant l nombr d'échantillons disponibls 94/94