Traitement Numérique du Signal

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1 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Traitmnt umériqu du Signal vrsion ichl Trré michl.trr@cnam.fr

2 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés /94

3 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Tabl ds atièrs. ECHATILLOAGE FORALISATIO DE L'ECHATILLOAGE PERIODISATIO DU SPECTRE LE THEOREE DE RECOSTRUCTIO QUATIFICATIO LES TRASFOREES TRASFOREE DE FOURIER DISCRETE Définition Egalité d Parsval Intrprétation au sns ds moindrs carrés TRASFOREE DE FOURIER RAPIDE (FFT TRASFOREE E FILTRAGE UERIQUE LES SYSTEES LIEAIRES DISCRETS IVARIATS DAS LE TEPS Définition Conditions d stabilité FOCTIOS PROPRES DES SYSTEES LIEAIRES IVARIATS DAS LE TEPS SYSTEES LIEAIRES IVARIATS DAS LE TEPS REGIS PAR UE EQUATIO AUX DIFFERECES FILTRES A REPOSE IPULSIOELLE FIIE (RIF Propriété d phas linéair Synthès ds filtrs à répons impulsionnll fini Rlations ntr l nombr d cofficints t l gabarit FILTRES A REPOSE IPULSIOELLE IFIIE (RII Cllul purmnt récursiv Cllul du duièm ordr Cllul général du scond ordr Synthès ds filtrs à répons impulsionnll infini RELATIOS ETRE LE OBRE DE COEFFICIETS ET LE GABARIT REARQUE APPLICATIOS DU FILTRAGE UERIQUE DECIATIO ITERPOLATIO FILTRES DE YQUIST /94

4 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6.3. Filtr n cosinus surélvé ITRODUCTIO AUX SIGAUX ALEATOIRES AALYSE SPECTRALE PROBLEATIQUE DE L'AALYSE SPECTRALE ESTIATIO SPECTRALE O PARAETRIQUE Périodogramm, Corrélogramm éthod du minimum d varianc: méthod d Capon ESTIATIO SPECTRALE PAR DECOPOSITIO HAROIQUE éthod d Pisarnko: éthod d Prony: ESTIATIO SPECTRALE PARAETRIQUE odélisation AR odélisation A odélisation ARA COCLUSIO BIBLIOGRAPHIE AEXE DERIVATIO FORE BILIEAIRE EXERCICES ECHATILLOAGE TRASFOREE DE FOURIER FILTRAGE UERIQUE RIF FILTRAGE UERIQUE RII SIGAL ALEATOIRE PREDICTIO LIEAIRE AALYSE SPECTRALE AALYSE SPECTRALE QC RECAPITULATIF /94

5 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés. Echantillonnag Si on not a (t ls valurs priss au cours du tmps t par un signal analogiqu, l'échantillonnag d c drnir au rythm d'un périod d'échantillonnag instants multipls d T, rvint à n disposr, finalmnt, ds valurs d c signal, qu'au T. L signal (ou suit numériqu s not alors ( n ( a nt. La prmièr qustion qui s pos naturllmnt st d savoir si on n'a pas prdu d l'information n n disposant plus ds valurs du signal ntr du instants d'échantillonnag. (n??? T T t Un autr façon d formulr ctt qustion srait : "st-il possibl d rconstruir a ( t à partir ds échantillons ( n?" C'st là l'obt du théorèm d rconstruction. Très intuitivmnt on put s dir qu si on était sûr qu l signal "vari très lntmnt", alors ntr du instants d'échantillonnag, il n pourrait pas fair grand chos d'autr qu d'allr "tranquillmnt" d'un point à un autr. Après formalisation on arrivra à écrir ctt "variation lnt" du signal par un contraint sur son spctr, c qui va conduir au théorèm d l'échantillonnag parfois applé théorèm d Shannon.. Formalisation d l'échantillonnag La formalisation d l'opération d'échantillonnag st malhurusmnt assz délicat avc la notion mathématiqu habitull d fonction. Ell s'ffctu par contr d manièr simpl t concis par l'intrmédiair d la théori ds distributions, dévloppé par l mathématicin Laurnt Schwartz. L procssus d'échantillonnag st ainsi rprésnté mathématiqumnt par "l'action" d la distribution d Dirac δ ( t décalé d nt sur l signal analogiqu a ( t, c qui s not : < δ( t nt,a ( t > a ( nt ( n Rmarqu : Dans la suit d c cours on différncira la distribution d Dirac δ ( t (parfois applé "impulsion d Dirac", du symbol d Kronckr si n δ( n, par l fait qu la distribution st un opératur qui s'appliqu si n sur un signal t qu ct opératur dépndra d'un variabl continu, ici l tmps t, alors qu l symbol d Kronckr rprésnt plutôt un suit numériqu t aura pour argumnt un nombr ntir n. L. Schwartz, "éthods mathématiqus pour ls Scincs Physiqus," Ed Hrmann, 96. 5/94

6 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Rmarqu : En élctroniqu, l'utilisation du pign d Dirac pour "formalisr" l'opération d'échantillonnag d'un signal "continu" (analogiqu st assz intuitiv physiqumnt. En fft, on put considérr qu'un convrtissur analogiqu numériqu stim la moynn du signal pndant un tmps très court. L'échantillonnag à l'instant formalisé par l'intégral du signal par un impulsion pτ ( t kt défini par : pτ( t, pτ( t si t, si t τ τ, + τ τ, + t kt put ainsi êtr P τ (t /τ τ t P τ (t-kt a (t kt t Echantillonnr l signal à l'instant t kt rvint alors à calculr : d'après l théorèm d la moynn, on put dir qu : τ kt + + p τ( t kt a ( t dt τ a ( t dt τ kt τ kt + a ( t dt a ( kt + ε τ avc τ kt dès lors, n faisant tndr τ vrs, il vint : τ τ ε, 6/94

7 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés + lim pτ( t kt a ( t dt a ( kt τ On rtrouv ainsi la définition d la distribution d Dirac. ( k + ( t δ ( t kt Finalmnt, l'opération global d'échantillonnag put êtr formalisé n introduisant un signal "analogiqu" fictif ( t qui st nul prsqu partout t égal à a ( t pour t nt. En introduisant alors l pign d Dirac : L signal échantillonné s'écrit : + wt ( t δ( t nt (. n ( t ( t.w ( t a (. T ou ncor : ( t a ( t δ( t nt ou ncor : ( + t n + (3. n t ( n δ n (4. T. Périodisation du spctr L'analys du spctr du signal échantillonné fait appl au propriétés d la transformé d Fourir (F ds distributions. On doit alors partir d l'écritur du signal échantillonné : ( t a ( t.w ( t (5. dont la transformé d Fourir conduit à : F ( ( t F ( t T (.w ( t F ( ( t F ( w ( t X ( f F ( w ( t X ( f a T a T a T (6. Il apparaît donc qu l spctr du signal échantillonné st égal au spctr du signal analogiqu convolué par la F. transformé d Fourir du pign d Dirac : ( ( t wt Or on put montrr qu ctt transformé d Fourir st ll mêm un pign d Dirac : ( ( démonstration (non présnté dans c cours procèd n du étaps, on démontr d'abord qu : F wt ( t W f. La T puis qu : ( + wt ( t n π f nt F ( π f nt n δ f (8. n T n T E. Roubin, "Introduction à la théori d la communication, " Ed. asson, ièm d., /94

8 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Rmarqu 3 : Ls résultats sur la transformé d Fourir du pign d Dirac puvnt êtr approimativmnt "rtrouvés" par l'approch suivant : On considèr la fonction u ( t constitué par la suit d'impulsions p τ ( t d largur τ t d'amplitud, séparés τ par la duré T : + u ( t p τ ( t kt k u(t /τ T τ t La transformé d Fourir d l'impulsion élémntair p τ ( t donn : F { p ( t } τ + ( πfτ π f t sin pτ( t dt πfτ La transformé d Fourir d la suit d'impulsions u ( t conduit alors à : F { u( t } π f t π f t π f kt sin i ( t kt dt i ( t kt dt p p π τ k k f k ( πfτ En faisant alors tndr τ vrs, il vint : lim F τ Pour la duièm propriété, on put écrir qu : { } + u( t U( f k π f kt grâc au borns infinis on a : U ( + π f kt f k π f T U( f U( f d'où : f T ( π U ( f 8/94

9 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés U ( f n put donc êtr non nul qu'au abscisss du typ k f, on put donc écrir : T U ( + k f α k δ f k T Or touours grâc au borns infinis, on put rmarqur qu : U ( k f U f + T Dès lors n appliquant U ( f à un fonction ϕ ( f élémntair on pourra montrr tous ls trms α k sont égau ntr u t valnt. T En utilisant l'équation (6, il vint qu l spctr du signal échantillonné X ( f s'écrit donc : + n X ( f X a f (9. T n T a (t X a (f t f (nt X (f t f - F F 9/94

10 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Il apparaît donc qu l'échantillonnag tmporl d'un signal analogiqu conduit à un signal numériqu dont l spctr st la périodisation du spctr d'origin du signal analogiqu. Ctt propriété st très important t va êtr à l'origin d la démonstration du théorèm d rconstruction. Cpndant ll st assz abstrait, car ll a dmandé un passag par ls distributions pour êtr établi. On put n proposr un vrsion "imagé" suivant. Considérons ainsi l cas très simpl d'un signal : L spctr d c signal st alors égal à : ( π f t a ( t cos (. X a ( f [ δ( f f + δ( f + f ] (. C qui put s'intrprétr comm l fait qu l signal st n fait constitué d la somm d du fréquncs à f t πf t f t, ( ( π πf t + f cos. C qui s rprésnt graphiqumnt par l spctr suivant : X a (f / f - f f L signal échantillonné va s'écrir : t son spctr : ( π f nt ( nt cos (. + n n X ( f δ + δ f f f + f (3. T n T T c qui sra rprésnté par : X (f f - F Considérons l cas numériqu suivant : - f f F f Hz t F Hz /94

11 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés L signal échantillonné a alors l'allur suivant (attntion c'st un sinus qui st rprésnté ici t non un cosinus : signal échantillonné, fhz, FHz La périodisation nous dit qu l spctr d c signal numériqu possèd un rai à un rai à amplitud f ' ' F + f + Hz tmps Si on trac l signal tmporl a ( t sin( π f ' nt touours avc F Hz, on obtint : f ' F f 9 Hz t signal échantillonné, f9hz, FHz amplitud tmps /94

12 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés On rmarqu donc qu l'on obtint actmnt ls mêms échantillons. Si l'on trac ls signau analogiqus sur cs points numériqus, il vint : signal échantillonné, fhz, FHz amplitud tmps Et pour l signal à 9 Hz : signal échantillonné, f9hz, FHz amplitud On put donc intrprétr la périodisation dans l domain fréquntil par l fait qu tous ls signau analogiqus s trouvant à ds fréquncs du typ tmps f f ± kf, donnraint, s'ils étaint échantillonnés à F, ls mêms échantillons tmporls. On conçoit donc qu'à partir d'un signal numériqu, il faudra un condition supplémntair sur l signal analogiqu d'origin pour pouvoir l rconstruir t lvr ctt ambiguïté. /94

13 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés.3 L théorèm d rconstruction L'échantillonnag a introduit un périodicité du spctr. Pour rconstitur l signal d'origin on put "travaillr" dans l domain spctral pour rtrouvr l spctr du signal analogiqu. Il n rstra plus alors qu'à ffctur un transformation d Fourir invrs pour rconstitur l signal analogiqu tmporl. Dans l domain spctral, il suffit simplmnt d supprimr ls bands imags du signal numériqu. En introduisant un filtr idéal H ( f, dont la fonction d transfrt st défini par : H ( f F, pour H ( f, pour f f X (f F F, F F, H(f f -F - F / F / F L signal ˆ a ( t n sorti du filtr corrspond au produit d convolution du signal ( t par la répons impulsionnll h ( t du filtr H ( f. or h( t H ( f On a donc : ( πf t + F / + πft + πft sin df df F F πft F / c qui put ncor s'écrir : ( t τ ( t τ + + sin πf ˆ a ( t a ( τ δ( τ nt dτ (4. π n F ( t nt ( t nt πf a t + sin ˆ ( ( nt (5. πf On constat donc qu la valur ˆ a ( t du signal analogiqu, pour un instant qulconqu t n'appartnant pas à la "grill d'échantillonnag tmporl" ( kt k ntir put êtr obtnu par intrpolation ds valurs du signal sur la grill d'échantillonnag. ais cci à condition qu l raisonnmnt qui a été proposé dans l domain spctral soit possibl. Pour cla il faut donc s'assurr qu l'on put rconstitur l spctr du signal analogiqu n filtrant l spctr du signal numériqu. Ctt condition st vérifié si t sulmnt si l spctr d'origin n contint pas d composants 3/94

14 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés au fréquncs supériurs ou égals à F. Si c n'st pas l cas, ls bands imags s chvauchnt, on dit alors qu'il y a rplimnt d spctr t l signal rconstitué ˆ a ( t st différnt du signal d'origin. X (f H(f on d rcouvrmnt f -F - F / F / F On aboutit finalmnt au théorèm d l'échantillonnag ou théorèm d Shannon : Théorèm d l'échantillonnag n band d bas : Un signal qui n comport pas d composants à ds fréquncs supériurs ou égals à un valur régulièrmnt spacés d'un duré T à condition d'avoir F f ma F f ma st ntièrmnt détrminé par la suit d ss valurs à ds instants L raisonnmnt qui a été mné pour un signal n band d bas, put êtr conduit pour un signal dont l spctr s trouvrait localisé autour d'un fréqunc haut f. X a (f B -f On put alors énoncr l théorèm suivant : f f Théorèm d l'échantillonnag n band transposé : Un signal qui occup un band d fréqunc d largur B put-êtr ntièrmnt détrminé par la suit d ss valurs à ds instants régulièrmnt spacés d'un duré T à condition d'avoir F B F 4/94

15 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés On distingu alors du cas possibls, l prmir applé suréchantillonnag qui corrspond au cas où F > B t F > f, c'st l cas rprésnté sur la figur ci-dssous : X (f H(f - F / -f F / f f L duièm cas corrspond au sous-échantillonnag pour lqul on analysr sra étudié n rcics dirigés. F > B t F < f. C cas plus difficil à 5/94

16 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6/94

17 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés. Quantification Dans un chaîn d traitmnt numériqu du signal, l'échantillonnag st n général suivi par un opération d quantification. La quantification st l'approimation d chaqu valur du signal a ( t par un multipl ntir d'un quantité noté q t applé "pas d quantification". Si q st constant qull qu soit l'amplitud du signal, la quantification st dit uniform. q q -q -q T T 3T 4T t L signal quantifié q ( t diffèr du signal d'origin a ( t par un trm d'rrur ( t qui va s'primr par : C trm d'rrur st applé bruit d quantification. a ( t q ( t + ( t (6. Si l'on fait abstraction d l'échantillonnag tmporl, on put admttr qu c signal d'rrur st n fait un variabl aléatoir uniformémnt réparti ntr L'intégral donn alors : q q t. La puissanc PBq d c bruit d quantification st alors égal à : q + P Bq d (7. q q q PBq (8. En général on considèr qu c bruit d quantification st un signal aléatoir blanc (voir chapitr sur ls signau aléatoirs. On calcul alors l rapport signal sur bruit d quantification. Il s'agit du ratio ntr la puissanc du signal util sur la puissanc du bruit d quantifications. En notant σ la puissanc du signal util t σ la puissanc du 7/94

18 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés bruit d quantification ( σ PBq ds équations précédnts, alors l rapport s'écrit primé n décibl à travrs l'prssion Γ log( Γ db σ Γ σ. C rapport st souvnt L'optimisation d'un étap d'échantillonnag résid alors dans la capacité, à êtr capabl d pouvoir quantifir ls valurs maimals d l'amplitud d'un signal, tout n consrvant un "finss" d quantification pour ls faibls valurs du signal. Pour un convrtissur analogiqu numériqu CA (analog to digital convrtr: ADC d b bits "travaillant" ntr A +A/ t A/, l pas d quantification q st égal à q. b q La puissanc du bruit d quantification st égal à L rapport signal sur bruit d quantification Γ st donné par : D'où : ΓdB b σ log A Pour un signal gaussin dont la valur crêt st limité à σ Γ 6.b + log +.8 A 4 σ, on obtint : 4 σ A, c qui donn au miu 4 σ A 8 d'où Γ db 6.b (mpl : 6 bits 89 db, 4 bits 77 db, bits 65 db 8/94

19 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 3. Ls Transformés 3. Transformé d Fourir Discrèt 3.. Définition A partir d'un échantillon d valurs du signal numériqu: { ( nt } n {,,..., } corrspondanc ntr la transformé d Fourir "analogiqu" X ( f + pourrait s'écrir X ( f T ( nt n,, on put définir fair un + πft ( t dt t son prssion discrèt qui πfnt. Il s'n suit alors immédiatmnt un discussion sur la convrgnc d ctt sommation. On put alors divisr ctt transformé discrèt par la duré sur laqull ll st calculé, on pass ainsi d'un notion "d'énrgi" à un notion "d puissanc". On arriv ainsi à un écritur du typ X T / ( f lim T ( nt n / πfnt. Cpndant n pratiqu on n dispos n général qu d'un nombr fini d'échantillons, la Transformé d Fourir Discrèt (TFD du signal numériqu st donc défini par : ( πfnt X f ( nt (9. n On notra qu l'on a aussi "rcntré" ls échantillons ntr ls indics t - pour évitr d'utilisr la notion d tmps négatif. Cs qustions d normalisation d la sommation n'ont n général pas un grand importanc à moins qu l'on n souhait absolumnt fair un corrspondanc rigourus ntr l tmps continu t l tmps discrt. L calcul d la TFD put êtr réalisé pour n'import qull valur d la variabl d fréqunc f. On put donc obtnir un spctr X ( f défini pour f variant d manièr continu. C spctr X ( f put alors êtr "échantillonné" au rythm F. On obtint ainsi valurs équirépartis d à F. nk kf π X ( nt (. n D'après l théorèm d rconstruction évoqué précédmmnt, on sait qu ls valurs d X ( f au fréquncs f s déduisnt d cs valurs par intrpolation. L'équation précédnt dvint : On définit aussi la Transformé d Fourir Invrs (TFI : f sin π k + kf F X ˆ ( f X f (. k π k F 9/94

20 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés ( kn kf + π nt X (. k 3.. Egalité d Parsval On montr qu : Pour cla, il suffit d'écrir : n ( nt kf X n * n n ( nt ( nt ( nt kn kf π ( ( nt nt X * n n k kf * n k n ( nt X ( nt kn π (3. (4. (5. (6. n X k ( nt kf ( Intrprétation au sns ds moindrs carrés Si on considèr un signal ( nt, on put ssayr d l prédir au miu par un ponntill compl du typ ( π f nt + ϕ A. Pour idntifir ls trois paramètrs A, f, ϕ d l'ponntill, on put chrchr à minimisr l'rrur quadratiqu ntr l signal t l'ponntill. On doit donc minimisr l'prssion suivant : ( π f n T +ϕ in A ( nt (8. A, f, ϕ n ( ( { ( ( π f n T +ϕ A + nt A R nt } in. A, f, ϕ n (9. in. A +. A, f, ϕ n n ϕ ( ( ( π f n T +ϕ nt A R nt (3. On voit donc apparaîtr la Transformé d Fourir discrèt au nivau du troisièm trm d ctt somm. Si on not ctt drnièr sous la form : l'équation à minimisr dvint : πfnt φ X ( f ( nt ρ (3. n /94

21 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés + in. A A, f, ϕ n ( nt A. ρ cos( φ ϕ C trm st positif t sra donc minimal lorsqu A.ρ cos( φ ϕ l modul ρ d la Transformé d Fourir t ϕ φ. Il n rst plus alors qu'à maimisr n fonction d A : (3. sra maimal. Il faut donc choisir f qui maimis + in. A A. A n ( nt ρma (33. En annulant alors la dérivé n fonction d A, il vint :.. A ρma (34. D'où A ρma Il apparaît n définitiv qu l triplt A, f, ϕ s'obtint simplmnt n considérant la maimisation sur f du modul d la Transformé d Fourir discrèt du signal ( nt. L modul d la Transformé à ctt fréqunc f donn la valur d A t la phas d la Transformé ctt fréqunc f donn ϕ. 3. Transformé d Fourir Rapid (FFT Si on choisit un formalisation matricill d la Transformé d Fourir discrèt, t n s plaçant dans l cas où ll st calculé pour valurs au fréqunc f d'échantillons tmporls : kf, l'opération put êtr formalisé par l passag d'un vctur (. T (. T ((. T qu l'on notra plus simplmnt, à un vctur fréquntil. F X. F X (. F X qu l'on X X notra plus simplmnt au moyn d'un matric d passag X. n. m π P p n, m avc, p n, m /94

22 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés /94 P X X X (35. En introduisant la racin n ièm d l'unité : W π (36. L équation matricill précédnt s'écrit : 4 - W W W W W W W W W X X X X ( ( ( ( L L L L L (37. Lorsqu l nombr st un puissanc d, ( k, alors il st possibl d mttr à profit crtains particularités d la matric d passag pour évitr d dvoir ffctur ls multiplications qu dmandrait l produit matricil dirct. Dans un tl cas d figur, on décompos l vctur d'échantillons tmporls n un vctur comportant ls échantillons d'indic pairs t un vctur comportant ls échantillons d'indic impairs afin d'obtnir ls prmièrs valurs du vctur fréquntil. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W X X X X ( ( L L L L L L L L L L (38. En désignant par T / la matric qui vint n factur du vctur colonn ds élémnts d'indic pair t n décomposant la matric factur du vctur ds élémnts d'indic impair n un produit d'un matric diagonal par la matric T /, on obtint :

23 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 3/94 ( ( T W W W T X X X X O (39. Pour ls drnirs trms du vctur fréquntil, on obtint n utilisant la propriété W : ( ( T W W W T X X X X O (4. Il apparaît ainsi qu l calcul d k X t d k X + mt n œuvr ls mêms calculs à un changmnt d sign près. C calcul put êtr rprésnté par l diagramm suivant : T / T / X k X /+k k / - lign k lign k W k Il apparaît alors qu l calcul d'un Transformé d Fourir d'ordr rvint au calcul d du Transformés d'ordr auqul s'aoutnt multiplications compls. En itérant c princip on "dscnd" usqu'au Transformés d Fourir sur du valurs, qui s'ffctunt au moyn d la matric : T (4. En énumérant touts ls multiplications à ffctur on constat finalmnt qu l'algorithm d la Transformé d Fourir Rapid (TFR ou FFT n anglais pour Fast Fourir Transform (Cooly and Tucky 965 qui vint d'êtr dévloppé va dmandr ( log multiplications au liu ds multiplications du calcul dirct.

24 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés ot : L introduction du factur soustractions ffctués dans chaqu croisillon par ½. / put s fair à chaqu étap n divisant ls résultats ds additions t Empl : FFT d'ordr 8 Un FFT d ordr 8 aura pour diagramm : lign k X k k lign k W k X 4+k On voit d après l contnu d T 4 qu l on a intérêt à rgroupr avc 4, avc 6, t d mêm avc 5, t 3 avc 7. L diagramm a alors la form suivant (ls ronds noirs rprésntnt l opération d addition, ls traits épais idntifint l trm soustrait : X 4 X 6 W X X 3 X 4 5 W X 5 3 W X 6 7 W W 3 X 7 On constat dans c diagramm la présnc d 4 papillons FFT d ordr, papillons FFT d ordr 4 t papillon FFT d ordr 8. D plus, alors qu ls trms X i apparaissnt dans l ordr, l ordr ds i a été modifié. Ctt modification applé rnvrsmnt digital, consist à invrsr la rprésntation binair ds indics ds FFT. i avant chaqu calcul d 4/94

25 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés rnvrsmnt 3 4 digital π f t f t Transformé D : X f f t t π (, (, dtdt 3.3 Transformé n D la mêm manièr qu la transformé d Laplac st l'outil fondamntal pour l'analys ds systèms continus, la transformé n st l'outil d'analys pour ls systèms discrts. On rappll qu la transformé n d'un suit (n st défini pour R < < R par l'prssion: T ( n + n ( n X ( ( n n En considérant l'prssion d la transformé d Fourir discrèt : (4. TFD n + π f nt ( n X ( f T ( nt (43. n L passag d la transformé n à la transformé d Fourir st immédiat: X ( π f T X ( f (Cci n faisant abstraction du trm d normalisation T qu l'on considèr égal à (44. Ainsi l'analys d'un systèm discrt s fra n général au moyn d la transformé n, l passag n Fourir étant immédiat si nécssair. 5/94

26 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6/94

27 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 4. Filtrag umériqu 4. Ls systèms linéairs discrts invariants dans l tmps 4.. Définition Un systèm st discrt, si à la suit d'ntré discrèt (n corrspond un suit d sorti discrèt y(n. (n Systèm Discrt y(n Un systèm st linéair, si à la suit (n + a (n corrspond la suit y (n + a y (n. (n +a (n Systèm Linéair y (n +a y (n Un systèm st invariant dans l tmps, si à la suit (n-m corrspond la suit y(n-m. (n-m Systèm Invariant y(n-m Dès lors si δ ( n st la suit unitair δ( δ( n, alors tout suit (n put s'écrir: n m + ( n ( m δ( n m (45. m si h(n st la répons d'un systèm discrt linéair t invariant dans l tmps à la suit δ ( n alors : m+ m+ ( n y( n ( m h( n m h( m ( n m m m (46. on rconnaît alors un équation d convolution: y( n h( n * ( n (47. Ainsi dès qu'un systèm put êtr considéré comm linéair, discrt t invariant dans l tmps, il n découl qu'il st : régi par un équation d convolution 7/94

28 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés ntièrmnt détrminé par la répons h(n qu'il fournit lorsqu'il st cité par la suit impulsionnll δ( n. Ctt suit h(n constituant la répons impulsionnll du systèm. 4.. Conditions d stabilité Un systèm discrt, linéair t invariant dans l tmps (LIT st stabl si à tout suit d'ntré borné corrspond un suit d sorti borné. Un condition nécssair t suffisant pour qu'un systèm soit stabl st qu la somm ds valurs absolus d sa répons impulsionnll soit borné. m+ h( m < + (48. m Pruv d la condition nécssair : Soit (n la suit d'ntré borné défini par : ( n sgn( h( n alors, par définition d l'équation d convolution m régissant l systèm, + m y ( h( m. Donc si + y ( h( m n'st pas < la suit d sorti n'st pas borné m m t la condition d stabilité n'st pas rspcté. Pruv d la condition suffisant : Soit (n un suit d'ntré borné, c'st à dir: n, / ( n < alors: m t si + h ( m <, la suit y(n st alors borné. m m+ m+ y ( n h( m ( n m h( m (49. m m 4. Fonctions proprs ds systèms linéairs invariants dans l tmps On appliqu à l'ntré d'un SLIT d répons impulsionnll h ( n l signal numériqu compl d fréqunc f : π fnt ( n. On chrch la répons tmporll y ( n du systèm : on put alors écrir : + π f ( nm T y ( n h( n * ( n h( m (5. k + π fmt π fnt y( n h( m (5. k 8/94

29 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés ou ncor : y( n π H( f fnt H( f ( n (5. avc + π fmt H ( f h( m (53. k H ( f st un cofficint scalair compl indépndant d n (c'st-à-dir du tmps mais qui dépnd d la fréqunc f. H ( f rprésnt la répons n fréqunc du filtr. Ls signau d'ntré ( n qui donnnt n sorti ds signau y ( n H( f ( n sont applés ls fonctions proprs du systèm. Suls ls ponntills compls π fnt ouissnt d ctt propriété. Pour un signal ( n qulconqu, la répons tmporll y ( n n put s'obtnir qu par convolution avc h ( n à moins d pouvoir décomposr ( n n un somm d fonctions proprs, c qui rvint à l'primr par son spctr. 4.3 Systèms linéairs invariants dans l tmps régis par un équation au différncs Parmi ls systèms linéairs discrts invariants dans l tmps, ls systèms définis par un équation au différncs sont ls plus intérssants car ils modélisnt un grand nombr d systèms naturls. Un systèm d c typ, ou filtr numériqu, st défini par la rlation suivant: y( n ai ( n i + b y( n i (54. (n Systèm Différncs y(n La transformé n d ctt équation donn : n+ n+ n+ n i ( ni ( n y( n ai ( n i + b y( n n i n n (55. d'où : i Y( ai X ( + b Y( i (56. c qui donn la fonction d transfrt du systèm : 9/94

30 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés i ai Y( i H( X ( b (57. La fonction d transfrt st donc constitué d'un polynôm n au numératur sur un autr polynôm n au dénominatur. Ils puvnt tous ls du êtr primés n fonction d lurs racins : a ( i ( i H( D( ( P (58. A partir d ctt prssion d la fonction d transfrt, un rprésntation ds pôls t ds zéros sur l crcl unité s'avèr très util pour caractérisr l comportmnt spctral du systèm. Comm il a été rapplé brièvmnt au paragraph précédnt, il st possibl d'obtnir la fonction d transfrt spctral d c systèm n rmplaçant par π f T, put donc êtr vu comm la coordonné d'un point sur l crcl unité. i sra la coordonné d'un zéro d transmission dans l plan compl t alors simplmnt comm un ratio d produits d distancs. P d'un pôl dans l plan compl. La fonction d transfrt s'prim H( f a a imaginair i i P H(f (59. i P a rél ω 4.4 Filtrs à répons impulsionnll fini (RIF 3/94

31 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Un filtr à répons impulsionnll fini st un systèm linéair discrt invariant dans l tmps régi par un équation au différncs pour lqul l'échantillon d sorti y(n n dépnd qu d'un crtain nombr d'échantillons d'ntré (n. y( n ai ( n i (6. i Empl : Soit l filtr défini par l'équation suivant: y( n ( n + ( n (6. L'étud d c filtr put êtr réalisé au moyn d la transformé n : Y( (X(+ - X ( (6. d'où: H( + L comportmnt fréquntil du filtr s'obtint n rmplaçant par π f T : H( f + π f T ( ( ( π f T π f T f T f T π π + π f T cos (63. Il s'agit finalmnt d'un filtr pass bas dont l modul d la fonction d transfrt suit un courb n cosinus t dont l déphasag st linéair n fonction d la fréqunc. C déphasag st équivalnt à rtard τ T modul d H(f fréqunc 3/94

32 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Empl : Soit l filtr défini par l'équation suivant: y( n ( n + ( n + ( n 4 4 L'étud d c filtr put êtr réalisé au moyn d la transformé n : - - Y( X( + X ( + X ( 4 4 d'où: H( L comportmnt fréquntil du filtr s'obtint n rmplaçant par π ft : π f T f T H f 4π ( + + π f T f T f T + + π π π f T ( + cos π f T Il s'agit ncor d'un filtr pass bas dont l modul d la fonction d transfrt suit un courb n cosinus surélvé t dont l déphasag st linéair n fonction d la fréqunc. C déphasag st équivalnt à rtard τ T. H(f,9,8,7,6,5,4,3,,,5 f Dans cs du mpls il st apparu qu'il était facil d'obtnir la fonction d transfrt spctral d'un filtr numériqu à partir d l'équation tmporll régissant c filtr. Bin ntndu, c'st ssntillmnt l'approch invrs, consistant à trouvr l'équation d filtrag qui satisfait un gabarit fréquntil donné, qui st la plus important. On parl alors d synthès d filtr numériqu. Avant d présntr cs tchniqus d synthès, il st important d rmarqur, qu dans ls du mpls présntés, ls filtrs décrits avaint un déphasag linéair n fonction d la fréqunc. Il s'agit d'un propriété particulièr ds filtrs numériqus qui a un importanc capital dans ls applications où la phas du signal traité st portus d'informations. 3/94

33 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 4.4. Propriété d phas linéair Si l'on s plac dans l cas ou l'on rchrch un filtr dont la fonction d transfrt st du typ : H( f R( f ϕ( f prssion dans laqull R(f st un fonction réll d f qui rprésnt l gain du filtr n fonction d la fréqunc t où ( f ϕ π f τ st un fonction réll d f qui rprésnt un trm d déphasag linéair n fonction d la fréqunc, alors on put primr la répons impulsionnll d'un tl filtr au moyn d la transformé d Fourir invrs d H(f t on obtint : + π f ( tτ h( t R( f df n décomposant R(f n un parti pair t un parti impair: il vint: si on s rstrint à ds filtrs h(t rél, il vint: h(t st donc symétriqu par rapport à t τ. R( f P( f + I( f + + h( t + P( f cos( π f t df + I( f sin( π f t df + h( t + τ P( f cos( π f t df h( τ t Ainsi tout filtr à répons impulsionnll symétriqu rél st à phas linéair. L rtard équivalnt au déphasag st fonction d l'ordr du filtr. Un filtr RIF symétriqu rél à p+ cofficints ntraîn un rtard τ pt Un filtr RIF symétriqu rél à p cofficints ntraîn un rtard τ (p-/t pruv : Un filtr RIF symétriqu rél à p+ cofficints ntraîn un rtard τ pt La fonction d transfrt d'un tl filtr s'écrit: L filtr étant symétriqu, on a : p H f h n π ( ( f nt n n > p, h( n h( p ( n p h( p n 33/94

34 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés n-p n-p h p-n h h h p- h p p+ n n factorisant π f pt dans l'prssion d H(f, il vint : p p f ( n p T f n p T f pt H f h p h n ( ( π π ( + ( + h( n π n n p+ or du fait d la symétri du filtr : h( n h( p n, d'où: p p π f ( n p T f n p T h n π ( ( h( p n n p+ n p+ n ffctuant l changmnt d variabl: i p n c trm dvint égal à: d'où : h i π f ( ( p i T i p ou ncor : p p f ( n p T f n p T f pt H( f h( p h( n ( π + π + + h( n π n n p f pt H( f h( p + h( n cos( f ( n p T π π n π f τ R( f avc τ pt La démonstration pour l cas du filtr à p cofficints st idntiqu Synthès ds filtrs à répons impulsionnll fini La synthès ds filtrs numériqus st un domain qui a donné liu à d nombruss publications t rchrchs. Suls la bas ds principals méthods st posé dans c chapitr. La bibliographi fourni n ann comport ls dévloppmnts complts sur c sut. 34/94

35 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés La méthod la plus dirct pour synthétisr l filtr numériqu qui corrspond à un gabarit fréquntil donné consist simplmnt à échantillonnr c gabarit dans l plan ds fréquncs t à calculr la Transformé d Fourir invrs d c gabarit échantillonné. En l'absnc d gabarit d phas la méthod la plus simpl consist à considérr qu ctt drnièr st linéair n fonction d la fréqunc. F/ échantillonnag du gabarit idéal F/ F on a alors ls valurs d: H kf pour k, d'où par Transformé d Fourir invrs: h H k k i F π F it k pour i à -, (: ordr du filtr ls h i ainsi obtnus vont bin donnr la fonction d transfrt idéal au points H kf, mais ils donnront un spctr avc ds ondulations ntr cs valurs. Pour un fréqunc f qulconqu, on put rcalculr: H( f h i i π f it mais H(f put aussi s'obtnir par intrpolation ds trms H kf. En fft la transformé d Fourir invrs idéal dvrait donnr un infinité d trms ( h i i, +, or on a considéré uniqumnt trms ( h i. Cla i, rvint à tronqur ctt répons impulsionnll n la multipliant par un port Π(T(T. La fonction d transfrt obtnu st donc égal au produit d convolution du gabarit idéal par la transformé d Fourir d la port Π(T(T. 35/94

36 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Transformé d Fourir d la port Π(T(T : port Π T trms spacés d T T TF( π T π f it i π f T π f T π f T π f T π f T π f T π f T π f T TF f f ( T sin f T ( π π sin π f T L'écritur du produit d convolution conduit alors à l'prssion d H ( f pour un fréqunc f qulconqu, n fonction ds H kf (sans avoir bsoin d rpassr par ls ( h i. i, f k H f H k sin π F F ( k f k sin π F Ctt équation constitu un formul d'intrpolation pour obtnir H(f à partir ds H kf. H(f f F/ F 36/94

37 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Ainsi la méthod par synthès conduit à un fonction d transfrt qui ondul ntr ls valurs idéals. L'amplitud ds cs ondulations n'st pas contrôlabl t n'st pas constant. C'st contr ctt inconvénint qu vont tntr d luttr ls d'autrs méthods d synthès (cf Rmz qui n sront pas présntés dans c cours (voir référnc. Bllangr, pour plus d précisions sur c sut Rlations ntr l nombr d cofficints t l gabarit A partir d'un gabarit d filtrag désiré du typ d clui présnté ci dssous: +δ δ f δ f il st possibl d'stimr l nombr d cofficints dont aura bsoin un filtr RIF symétriqu rél, au moyn d la formul d'approimation suivant: 3 F log δδ f 37/94

38 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 4.5 Filtrs à répons impulsionnll infini (RII 4.5. Cllul purmnt récursiv Cllul du prmir ordr Soit l filtr défini par l'équation au différncs suivant : y( n ( n + b y( n C filtr st idntiqu à un filtr RIF d'ordr infini. Si l'ntré st la suit unitair: u(n u ( u ( n n, alors la sorti y(n st tll qu: y( y( b y( b y( n b n C filtr st stabl si: n b n <, c' st à dir si b < n Sa fonction d transfrt H( s'écrit: Y( H( X ( b ou ncor avc un rprésntation sur l crcl unité: H( P 38/94

39 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés a imaginair f.5 H(f f.5 P P f a rél ω 4.5. Cllul du duièm ordr Soit l filtr défini par l'équation au différncs suivant: y( n ( n b y( n b y( n La transformé n donn: d'où: Du cas sont alors possibls: ( Y( + b + b X ( H( + b + b + b + b b 4b, la fonction d transfrt possèd alors du pôls réls t ll st idntiqu à la mis n cascad d du clluls du prmir ordr. La fonction d transfrt global st donc monoton. b 4b <, la fonction d transfrt possèd alors du pôls compls conugués: d'où: b P ± b R( P t b OP H( P. P 39/94

40 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés a imaginair f.5 H(f P f.5 O OP P P f a rél P ω ω P La fonction d transfrt possèd un fréqunc d résonanc t n'st plus strictmnt monoton Cllul général du scond ordr y( n a ( n + a( n + a ( n b y( n b y( n a + a + a H( + b + b Du cas particulirs méritnt d'êtr détaillés: L filtr fréquntil: Si l'obctif d la fonction d transfrt st d filtrr crtains fréquncs présnts dans un signal, ls zéros du numératur vont s trouvr sur l crcl unité. La fonction d transfrt s'écrit alors: H( a ( ( ( P( P L déphasur pur: Un cllul du scond ordr put aussi êtr utilisé pour répondr, non pas à ds obctifs d filtrag fréquntil, mais à ds obctifs d déphasag du signal. Ainsi il st possibl d réalisr un déphasur pur avc un cllul d c typ. Pour cla il suffit d'utilisr un numératur t un dénominatur imag l'un d l'autr. Il st facil d vérifir qu: a + a + a H( a + a + a 4/94

41 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés d'où: t: D( H( D( D( D( H( H( H( D( D( ϕ( ω ϕ D ( ω ω avc ϕ D ( ω égal au déphasag du dénominatur D ( Synthès ds filtrs à répons impulsionnll infini La synthès ds filtrs à répons impulsionnll infini utilis ds fonctions modèl défini n p t procèd par transformation bilinéair d cs drnièrs Rappl d la transformation bilinéair: Soit l filtr analogiqu défini par l'équation suivant: (t filtr y(t y' ( t by( t + ( t + pt En appliquant la transformé d Laplac: y' ( t dt py( p il vint: d'où: py( p by( p + X ( p Y( p H( p X ( p p b En primant la fonction d transfrt du mêm filtr n numériqu, il vint: y( nt y( n T + y' (( n T + τ dτ L calcul d l'intégral par la formul du trapèz conduit alors à: T d'où: T y( nt y( n T y ' ( nt + y ' ( n T ( T y( nt y( n T by ( nt + ( nt + by ( n T + ( n T ( 4/94

42 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés t par transformé n : bt T ( ( + ( + Y( X ( d'où la fonction d transfrt n : Y( H( X ( En idntifiant avc la fonction d transfrt n p: il st possibl d fair l'approimation suivant: p H( T ( + bt ( ( + T ( ( + b Y( p H( p X ( p p b p T + Ctt approimation constitu la transformation bilinéair. t p + p T p T Propriétés d la transformation bilinéair: Transformation du crcl unité: ωt ωt si p T ωt + T T + ω ω ωt tg T T T + ω ω T + L crcl unité st donc transformé n a imaginair. Déformation fréquntill: Au liu d'obtnir : la transformé bilinéair a conduit à : p ω ωt p tg T n posant f la fréqunc vrai t f d la fréqunc déformé par la transformation bilinéair il vint: f πt tg ( π T f d 4/94

43 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés La transformation bilinéair ntraîn donc un déformation n fréqunc qui st d'autant plus important qu la fréqunc st élvé. Grâc à la transformation bilinéair la synthès ds filtrs numériqus d typ RII s résum à approchr l gabarit désiré par ds fonctions modèls définis n p puis à transformr cs drnièrs pour obtnir dirctmnt ls cofficints du filtr Ls fonctions modèl Plusiurs fonctions modèls prmttnt d'approchr au miau un gabarit dmandé. Ls plus célèbrs d'ntr lls sont ds fonctions d Buttrworth, lliptiqus ou ds polynôms d Tchbychff. 4.6 Rlations ntr l nombr d cofficints t l gabarit Il st possibl d'stimr l nombr d cofficints dont aura bsoin un filtr RII n fonction du gabarit dmandé au moyn d la formul suivant: F 4 f 8. log log sinπ f F δ δ π 5. Rmarqu Un crtain nombr d'écriturs n vont êtr présntés dans c polycopié, on insistra donc sur l point suivant : Lorsqu'un filtr d typ RII st défini par ss pôls t zéros, il faut êtr prudnt au momnt d rconstruir ls cofficints avc lsquls on va filtrr l signal. Du solutions sont possibls : - soit on rconstruit l polynôm n, on dévlopp puis on rpass n - soit on rconstruit dirctmnt l polynôm n. pour bin idntifir ls cofficints. Empl : ais attntion ls pôls t zéros concrnnt Soit l filtr d'ordr défini par du zéros t * t par ss du pôls P t * P. Rconstruction n : 43/94

44 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 44/94 ( ( ( ( ( ( ( ( PP P R R PP P R R P P H * * * * * * ( D'où l'équation d filtrag : ( ( ( ( ( ( ( ( * * n y PP n y P R n n R n n y + + Ou rconstruction n : ( ( ( ( ( ( PP P R R P P H + + * * * * ( D'où l'équation d filtrag : ( ( ( ( ( ( ( ( * * n y PP n y P R n n R n n y + + E ELAGER LES DEUX E AUCU CAS ( ( ( ( * * ( P P H Fau

45 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6. Applications du filtrag numériqu 6. Décimation Il arriv souvnt qu'un chaîn d traitmnt numériqu d'un signal fonctionn avc différnts rythms d'échantillonnag. Lorsqu la fréqunc d'échantillonnag décroît on parl alors d décimation. L'opération d décimation st trivial, il suffit d supprimr un crtain nombr d'échantillons. Ell st n général symbolisé par un flèch orinté d haut n bas. L schéma ci dssus rprésnt un décimation par, pour laqull il suffira d supprimr un échantillon sur du. La fréqunc d'échantillonnag passra ainsi d F à ' F F. Avant d'ffctur un tll opération il faut s'assurr qu l théorèm d Shannon rst vérifié. Il st donc nécssair d rstrindr la band B du signal afin qu'll n F F dépass pas B '. C filtrag "anti aliasing" st ctt fois réalisé n numériqu au cœur ds traitmnts, 4 c'st la différnc ssntill avc l filtrag anti aliasing "traditionnl" réalisé n analogiqu avant l'opération d'échantillonnag. : Filtr umériqu anti aliasing : 6. Intrpolation L'opération dual d la décimation st l'opération d'intrpolation. Pour l'ffctur on utilis un filtr numériqu t un insrtion d zéros au miliu du signal d'origin. Considérons, pour l'posr, l cas d'un intrpolation par un factur ' ' d'un signal y ( nt. On commnc par insérr un valur null ntr chaqu valur du signal y ( nt. La fréqunc d'échantillonnag st alors doublé, on a maintnant ' F F La form du spctr du signal st inchangé, ls valurs insérés étant ds zéros. Cpndant c spctr n corrspond pas à clui qu l'on aurait obtnu n échantillonnant réllmnt l signal analogiqu avc F. Il y a n fft trop d répétitions du motif au nivau du spctr. Il suffit alors simplmnt d supprimr cs motifs au moyn d'un filtr numériqu pour obtnir l spctr du signal numériqu, comm si il avait été échantillonné d'ntré à la fréqunc un opération d'intrpolation ds valurs tmporlls du signal. F. C filtrag numériqu corrspond à 45/94

46 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Y (f t f F' F' Y (f t f F X (f t f F L'opération d'intrpolation va s symbolisr par : Filtr umériqu d'intrpolation En combinant la décimation t l'intrpolation il st possibl d'ffctur ds modification fractionnairs d la fréqunc d'échantillonnag. : 46/94

47 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6.3 Filtrs d yquist Dans l domain ds communications numériqus, l filtrag numériqu ou un rôl important. C'st n particulir l cas lors d'un transmission numériqu où ls symbols à transmttr sont mis n form au moyn d'un filtr numériqu qui n doit pas crér d'intrférnc ntr symbols. Ls conditions qu doit satisfair c filtr pour qu l'intrférnc intrsymbol soit null, ont été énoncés pour la prmièr fois par yquist t constitunt l "prmir critèr d yquist". Cs conditions puvnt s'énoncr dans l domain tmporl ou dans l domain fréquncil. Dans l domain tmporl, lls s'appliqunt à la répons impulsionnll h( t du filtr : h(, h( nts, n ntir On put formalisr ctt propriété n écrivant : h( t δ( t nts δ( t n k Par transformé d Fourir d ctt équation, on obtint alors : H ( f δ ( f Ts k Ts ou ncor : k H( f Ts k Ts On considèr alors qu l filtr H ( f a un fréqunc d coupur L'prssion précédnt dvint alors : H( f + H( f Ts Ts tll qu : H( f pour f T s En considérant qu l filtr st à phas linéair, l'égalité dvint : H( f + H( f Ts Ts L prmir critèr d yquist s'prim donc, dans l domain tmporl d la manièr suivant : T s Un filtr pass bas H d fréqunc d coupur T s n'introduit pas d'intrférnc intrsymbol lors d la transmission d'un signal ak δ( t kts si sa fonction d transfrt H( f satisfait du conditions : k la phas d H( f st un fonction linéair d la fréqunc; l modul d H( f, c'st à dir l gain n amplitud du filtr st symétriqu par rapport au point Ts, Ts pour f T s L filtr d fréqunc d coupur la plus bass satisfaisant l r critèr d yquist st l filtr pass bas rctangulair t d fréqunc d coupur f c sin π Ts. La répons impulsionnll corrspondant st d la form : h( t Ts t π Ts 47/94

48 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 6.3. Filtr n cosinus surélvé Un famill d filtrs, très important n communications numériqus, st la famill ds filtrs n cosinus surélvés. Ils ont la particularité d n pas produir d'intrférnc ntr symbols mais aussi d'êtr à support spctral borné. Ils prmttnt ainsi d mttr n form ds signau d communications pour ds canau à band limité, tout n présrvant ls signau d l'intrférnc ntr symbols. D'un point d vu théoriqu ils dmandnt cpndant un infinité d cofficints. Hurusmnt on put tronqur lur répons impulsionnll sans provoqur d prts d prformancs trop importants (n c qui concrn ls lobs scondairs du spctr. L'analys fin d cs filtrs particulirs sort du cadr d c cours. Suls la form analytiqu tmporll d la répons impulsionnlls d c filtr sra donné ci-dssous. Form d la répons impulsionnll à tmps continu du filtr n cosinus surélvé : h( t π t t sin sinβ π Ts Ts t t T π s β 4 Ts Dans l cas d'un modm d communications numériqus avc échantillons par symbols t un périod d'échantillonnag T, la répons impusionnll échantillonné (donc ls cofficints du filtr st donné par : h( k T π k k sin sinβ π π k k β 4 L cofficint β, applé roll-off du filtr st un cofficint rél positif qui vari ntr t. : Ts 3T yquist Illustration d l'fft tmporl du filtr n racin d cosinus surélvé (absnc d'intrférncs ntr symbols au instants d'échantillonnag 48/94

49 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 7. Introduction au signau aléatoirs La démarch la plus intuitiv t naturll pour rprésntr un signal consist à primr la valur d c drnir au cours du tmps. La variabl choisi st alors l tmps t t l signal s'prim sous la form d'un fonction (t. Lorsqu la fonction ( t st parfaitmnt détrminé, on parl d signal détrminist. D tls signau ont été rncontrés à d nombruss occasions lors ds cours précédnts. On s'st ainsi intérssé au signau sinusoïdau : ( t sin ( ωt ou à ds signau échlons : ( t U ( t d'autr typs d signau. ou ncor à Cpndant, lorsqu l'on s'intérss à ds signau réls, comm la valur d'un tnsion au borns d'un résistanc ou à la valur du courant parcourant un antnn ou à d'autrs mpls; On conçoit bin qu ls valurs du signal obsrvé vont êtr fonctions d'un multitud d phénomèns. Si l'on rprnd l'mpl d la résistanc, la valur d la tnsion va varir continullmnt autour d'un valur moynn n fonction d l'agitation ds élctrons, pour un antnn l'nvironnmnt élctromagnétiqu va êtr rsponsabl d nombruss variations t l'on conçoit intuitivmnt qu'il st impossibl d détrminr d manièr tout à fait act la valur du signal ( t. On formalis alors l signal comm étant un variabl aléatoir qui évolu dans l tmps t l'on parl d procssus aléatoir. En formalisant on pourrait introduir la variabl aléatoir X ( t t la distingur d ( t qui rprésnt la valur pris (réalisation par ctt variabl aléatoir à l'instant t. Dès lors l'nsmbl ds valurs du signal ( t st considéré comm étant un réalisation particulièr d'un procssus aléatoir. Dès qu l'on introduit ctt notion d variabl aléatoir on conçoit qu l'on va s'intérssr très rapidmnt au probabilités liés à ctt variabl aléatoir, à sa dnsité d probabilité si la variabl st continu t nfin à ss momnts statistiqus (moynn, covarianc, t évntullmnt ds momnts d'ordrs plus élvés. Un mpl typiqu, qui sra rpris plus n détail dans la suit du cours, st l cas du bruit blanc gaussin qu l'on rncontr très souvnt dans ls problèms d traitmnt du signal t d communications numériqu. Or c signal particulir st ustmnt défini par ls adctifs blanc t gaussin qui caractérisnt parfaitmnt sa dnsité d probabilité (gaussin t ss momnts d'ordr du (blanc. Partant dorénavant d signau aléatoirs, c qui st l cas l plus général qu l'on puiss nvisagr, nous allons dès maintnant considérr un sous nsmbl d cs signau qui sront ls signau stationnairs. Définition d la stationnarité : Un signal aléatoir st défini à chaqu instant t par la loi d probabilité d son amplitud X ( t. Ctt loi d probabilité put s'primr par un dnsité d probabilité ( t p X ( t p X, défini d la manièr suivant : [ X ( t + ] Pr ob, lim (64. L signal st stationnair si ss propriétés statistiqus sont indépndants du tmps, c'st à dir, si sa dnsité d probabilité st indépndant du tmps : 49/94

50 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Définition d'un signal du scond ordr : ( t p ( p X, X (65. L signal sra dit du scond ordr s'il possèd un momnt d'ordr applé valur moynn, qui st l'spéranc mathématiqu d X ( t, noté [ X ( t ] E t défini par : t un momnt d'ordr, applé fonction d covarianc : + m ( t E[ X ( t ]. p X (, t d ( m ( t, t E[ X ( t, X ( t ] (. p X, ; t, t dd (67. où p (, ; t, t st la dnsité d probabilité du coupl d variabls aléatoirs [ ( t X ( ] X X, t. Définition d la stationnarité à l'ordr : L caractèr d stationnarité put êtr limité au momnts du prmir t du scond ordr, on dit alors qu l signal st stationnair à l'ordr. On a alors : Pour l'ordr, l'indépndanc du tmps s'écrit : + m E[ X ( t ]. p X ( d, m constant indépndant du tmps ( ; t, t p (, ;, t t p (, ; τ p X, X X avc τ t t (68. Sul intrvint l'écart ntr ls du instants d'obsrvation. On introduit alors la fonction d'autocorrélation ( τ signal aléatoir : ( τ E[ X ( t X ( t τ ] r XX du r XX (69. La réalisation (t du signal aléatoir ( t X possèd aussi un moynn tmporll mt défini par : + T m T lim ( t dt (7. T T T Définition d l'rgodicité d'un signal stationnair à l'ordr : On dira qu l signal st rgodiqu lorsqu qu l'on put confondr la moynn tmporll m : m T avc la moynn + T m lim ( t dt (7. T T T t lorsqu qu l'on put calculr la fonction d'autocorrélation d la mêm manièr, c'st à dir : 5/94

51 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés + T r ( τ lim ( t ( t τ dt (7. T T T C résultat a ds conséquncs pratiqus très importants car il va prmttr d'accédr au propriétés statistiqus du signal à un instant donné à partir d l'obsrvation d c signal au cours du tmps. Ls dévloppmnts précédnts ont ssntillmnt concrné ds signau à valurs rélls. Cs signau corrspondnt intuitivmnt t physiqumnt à la plupart ds signau rncontrés. Lorsqu l'on considèr un valur d tnsion ou d courant t qu l'on s plac drrièr un convrtissur analogiqu numériqu, ls signau sont bin ntndu réls. Cpndant, dans bin ds cas, n particulir n communication numériqus, on sra amné à traitr ds nvlopps compls d signau modulés (voir aussi la définition du signal analytiqu. Il st donc nécssair, afin d n pas rstrindr la généralité d la suit ds algorithms t méthods présntés dans c cours, d considérr dorénavant ds signau à valurs compls. D plus on a usqu'alors bin séparé l procssus X (t t sa réalisation (t. Cpndant afin d'évitr d confondr l procssus t la Transformé d Fourir X ( f d sa réalisation, on abandonnra à partir d maintnant la notation X (t. L lctur avisé sra à mêm d comprndr ls écriturs du typ E [ (t ] comm l'spéranc d la variabl aléatoir. Résumé : L signal aléatoir ( t st un réalisation d'un procssus aléatoir. L signal sra considéré comm rgodiqu t stationnair à l'ordr, c'st à dir : E + T T T T [ ( t ] lim ( t dt m + T * * [ ( t ( t τ ] lim ( t ( t τ dt r ( τ E T T T 5/94

52 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 5/94

53 Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés 8. Analys Spctral 8. Problématiqu d l'analys spctral La rprésntation du signal sous la form (t st un démarch st naturll mais ll n corrspond pas forcémnt à la millur rprésntation physiqu ds signau rncontrés. En fft, l'individu ou ls systèms élctroniqus sont souvnt plus snsibls à la puissanc t à la fréqunc ds signau t la rprésntation du signal sous la form d sa répartition d puissanc n fonction d la fréqunc prmt, dans bin ds cas, d'trair d manièr plus immédiat l'information qui résid dans c drnir. L signal st alors rprésnté par un fonction P(f applé dnsité spctral d puissanc. L passag d (t à P(f constitu l'analys Spctral. Il ist du grands classs d méthods pour stimr la dnsité spctral d puissanc d'un signal (t. La prmièr, l'stimation spctral non paramétriqu, n'utilis aucun connaissanc a priori sur l signal t part uniqumnt d l'obsrvation d c drnir. La duièm, l'stimation spctral paramétriqu, utilis un modèl paramétriqu décrivant l signal, modèl à partir duqul il st aisé d'obtnir la dnsité spctral d puissanc. Ls paramètrs du modèl sont adaptés n fonction du signal obsrvé. Entr cs du méthods il ist un troisièm class d'approchs qui suppos qu l signal st composé d'un crtain nombr d rais spctrals dont il convint d trouvr ls fréquncs t ls puissancs. C typ d méthods sra classé dans c cours sous l'appllation d'stimation spctral par décomposition harmoniqu. 8. Estimation Spctral non paramétriqu 8.. Périodogramm, Corrélogramm La Transformé d Fourir d la fonction d'autocorrélation r (τ du procssus aléatoir (t stationnair à l'ordr s'écrit: P + πfτ ( f r ( τ dτ ll st égal à la dnsité spctral d puissanc P(f du procssus (t. En fft, pour τ, il vint: ( [ ] ( r E ( t P ( f π df P ( f df En supposant l'hypothès rgodiqu vérifié, l'spéranc mathématiqu s'écrit: [ ] T E ( t + lim ( t + dt P( f df t T T (74. (75. P(f rprésnt donc bin l dnsité spctral d puissanc du procssus (t. Il s'agit là du théorèm d Winr Kintchin. 53/94