Dans un repère orthonormé de l espace, si un vecteur u a pour coordonnées

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1 Chapitre n 16 Géométrie dans l espace (3) I. Etension du produit scalaire à l espace 1. Norme d un vecteur de l espace Définition 1 : On considère un vecteur u de l espace, A et B deu points de l espace tels que u = AB. La norme du vecteur u, notée u est la distance AB. Ainsi u = AB. Propriété 1 : Dans un repère orthonormé de l espace, si un vecteur u a pour coordonnées alors u = ² + y² + z². y z 2. Produit scalaire dans l espace On considère deu vecteurs u et v de l espace. Soient A, B et C trois points de l espace tels que u = AB et v = AC. Comme deu vecteurs de l espace sont nécessairement coanaires, il eiste au moins un an Pcontenant A, B et C. L unité de longueur dans le an étant celle choisie dans l espace, la définition du produit scalaire des vecteurs AB et AC de l espace coïncide avec celle du produit scalaire de ces mêmes vecteurs dans le an P. On peut don étendre à l espace les définitions, propriétés et epressions du produit scalaire dans le an. (Programme 1 S) Définition 2: Le produit scalaire de deu vecteurs u et v de l espace est le nombre réel, noté u. v, défini par u. v = 1 2 u + v 2 u 2 v 2 Remarque : Pout tout vecteur u de l espace, u. u = u 2. u. u est noté u² et est appelé carré scalaire de u. Propriété 2: Autres epressions du produit scalaire Si u = AB et v = AC sont deu vecteurs non nuls de l espace, alors : u. v = AB. AC = u v cos θ = AB AC cos θ où θ est la mesure de l angle géométrique BAC. Si u = AB et v = AC sont deu vecteurs non nuls de l espace et si H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB) alors : u. v = AB. AC = AB. AH Remarque : On rappelle que le projeté orthogonal d un point M sur une droite (d) est le point d intersection H de la droite (d) et de la perpendiculaire à la droite (d) passant par M.

2 Propriété 3: Epression analytique du produit scalaire Dans un repère orthonormé de l espace, on considère deu vecteurs de l espace u et v de coordonnées respectives y z et y z. Alors, u. v = + yy + zz. Remarque : Si u = v alors on retrouve u. u = u 2 = ² + y² + z². Propriété 4 : Règles de calcul On considère u, v et w trois vecteurs de l espace et k un réel. Symétrie : u. v = v. u. Bilinéarité : u. v + w = u. v + u. w et u. kv = k (u. v). Identités remarquables : u + v 2 = u + v 2 = u 2 + 2u. v + v 2. u v 2 = u + v 2 = u 2 2u. v + v 2. u + v. u v = u 2 v 2 II. Produit scalaire et orthogonalité 1. Vecteurs orthogonau Définition 3 : Dans l espace, dire que deu vecteurs u et v non nuls sont orthogonau signifie que si u = AB et v = CD alors les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. Propriété 5 : Deu vecteurs u et v sont orthogonau si et seulement si u. v = 0. Dans un repère orthonormé, les vecteurs u y et v y sont orthogonau si et z z seulement si + yy + zz = 0. Concrètement, pour démontrer que deu droites de vecteurs directeurs donnés sont orthogonales, on montre que le produit scalaire de ces vecteurs directeurs est nul. 2. Orthogonalité entre une droite et un an Propriété 6 : (ROC) On considère une droite D de vecteur directeur u et un an P dirigé par un coue de vecteurs (v; w) non colinéaires. La droite D et le an P sont orthogonau si et seulement si u. v = 0 et u. w = 0. Eeme : Concrètement, pour démontrer qu une droite est orthogonale à un an, on montre qu un vecteur directeur de la droite est orthogonal à un coue de vecteurs directeurs du an. ABCEDFGH est un cube d arête 1. (1) Donner les coordonnées des sommets du cube dans le repère orthonormé (D; DA, DC, DH). (2) Démontrer que les droites (DF) et (EB) sont orthogonales. (3) Démontrer que la droite (DF) et le an (EBG) sont orthogonau.

3 3. Vecteur normal à un an Définition 4 : Eemes : Dire qu un vecteur n non nul est normal à un an P signifie que toute droite de vecteur directeur n est orthogonale au an P. (1) On considère les points A 3; 1; 4, B 0; 5; 1, C(0; 1; 1) et le vecteur n Vérifier que les points A, B et C forment un an. Le vecteur n est-il normal au an (ABC)? (2) ABCDEFGH est un cube d arête 1. Démontrer, sans utiliser de repère, que le vecteur AG est normal au an (CFH). (Voir figure ci-contre) Déterminer si un vecteur est normal à un an ; Démontrer qu une droite est orthogonale à un an si et seulement si elle est orthogonale à deu droites sécantes de ce an III. Equations cartésiennes de ans 1. Caractérisation d un an Propriété 7 : On considère un point A de l espace et un an P de vecteur normal n. Le an P qui passe par A et de vecteur normal n est l ensemble des points M tels que AM. n = 0. Conséquences : Plans parallèles et perpendiculaires On considère deu ans P et P de vecteurs normau respectifs n et n. P parallèle à P n et n sont colinéaires. P perpendiculaire à P n et n sont orthogonau n. n = Equation cartésienne d un an Théorème : (ROC) L espace est muni d un repère orthonormé. a Si n b est un vecteur normal à un an P alors une équation cartésienne de ce c an P est de la forme a + by + cz + d = 0 où d est un réel. Réciproquement, si a, b, c et d sont quatre réels donnés avec a, b, c non tous nuls, alors l ensemble des points M(; y; z) tels que a + by + cz + d = 0 est a un an de vecteur normal n b. c

4 Eemes : (1) L espace est muni d un repère orthonormé. Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne du an P. 1 Le an P est défini par A(1; 0; 3) et a pour vecteur normal n 2. 2 Le an P est le an parallèle au an Q d équation cartésienne 2 y + 3z 1 = 0 passant par B(1; 2; 3). (2) Donner un vecteur normal de chacun des ans P 1 et P 2. P 1 : 4 + 3y z + 2 = 0 ; P 2 : 2y + z 1 = 0 (3) L espace est muni d un repère orthonormé. Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives 1; 2; 4, ( 2; 6; 5) et ( 4; 0; 3). Justifier que les points A, B, C définissent un an, noté P. Déterminer alors un vecteur normal au an P. En déduire enfin une équation cartésienne du an P. Caractériser les points d un an de l espace par une relation a + by + cz + d = 0 avec a, b, c trois réels non tous nuls ; Déterminer une équation cartésienne d un an connaissant un point et un vecteur normal ; Déterminer un vecteur normal à un an défini par une équation cartésienne. IV. Positions relatives dans l espace 1. Intersection d une droite et d un an Propriété 8 : On considère une droite D passant par un point A et de vecteur directeur u et P un an de vecteur normal n. Si u et n ne sont pas orthogonau alors D et P sont sécants. Si u et n sont orthogonau alors : Si A P alors D est incluse dans P ; Si A P alors D est strictement parallèle à P. Eeme : Concrètement, pour savoir si une droite et un an sont sécants, on teste l orthogonalité d un vecteur directeur de al droite et d un vecteur normale au an. L espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère le an P d équation 4 + 3y 2z + 3 = 0 et les droites D 1 et D 2 de représentations paramétriques = 1 t = t suivantes : D 1 : y = 2 + 2t, t R et D 2 : y = 3 + t, t R z = 1 + t z = 3 + 2t (1) Le an P et la droite D 1 sont-ils sécants? (2) Déterminer l intersection du an P et de la droite D Intersection de deu ans Propriété 9 : On considère deu ans P et P de vecteurs normau respectifs n et n. Si n et n sont colinéaires alors P et P sont parallèles. Si n et n ne sont pas colinéaires alors P et P sont sécants : leur intersection est une droite.

5 Concrètement, pour savoir si deu ans sont sécants, on teste la colinéarité des vecteurs normau à ces deu ans. Eeme : On considère les ans P 1 et P 2 d équations respectives : 2 3y + z 1 = 0 et 4 5y + 3z 3 = 0. (1) Démontrer que les ans P 1 et P 2 sont sécants. (2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite, intersection de P 1 et P 2. Pour déterminer une représentation paramétrique d une droite intersection de deu ans sécants, on eprime deu des trois réels, y et z en fonction du troisième que l on choisit comme paramètre t. Choisir la forme la us adaptée entre équation cartésienne et représentation paramétrique pour : Déterminer l intersection d une droite et d un an ; Etudier la position relative de deu ans.