Exo7. Formes différentielles

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1 Exo7 Formes différentielles Fiche de A. Gammella-Mathieu (IUT de Mesures Physiques de Metz Université de Lorraine) Exercice 1 éterminer si les formes différentielles suivantes sont exactes et dans ce cas, les intégrer : 1. ω 1 = xydx + x dy. ω = xydx zdy + xzdz 3. ω 3 = xe x y dx e x y dy. ω = yz dx + (xz + z)dy + (xyz + z + y)dz. [6873] Exercice On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : x = r cosϕ cosθ y = r cosϕ sinθ z = r sinϕ 1. Calculer dx, dy, dz.. Vérifier que xdx + ydy + zdz = rdr. En déduire r, r r et. [687] Exercice 3 On considère la forme différentielle ω = (x + y + x)dx + ydy. 1. Montrer que ω n est pas exacte.. Trouver une fonction ψ(x) telle que ψ(x)ω = d f. Préciser alors f. (On dit que ψ est un facteur intégrant.) [6875] Exercice On considère le champ vectoriel V (x,y) = (1 + xy,x 3 3). Ce champ est-il un champ de gradient? [6876] Exercice 5 Quel est le champ vectoriel qui dérive du potentiel U(x,y,z) = 1 + x + xy + xyz? [6877] Exercice 6 Calculer la circulation du champ vectoriel V (x,y) = (3x,x + y) le long du cercle C de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct. 1

2 [6878] Exercice 7 Calculer le travail W de la force F(x,y,z) = (yz,zx,xy) le long de l hélice H paramétrée par x = cost, y = sint et z = t où t varie de à π. [6879] Exercice 8 On donne le champ vectoriel V (x,y,z) = (y cosx,ysinx + e z,ye z ). 1. Montrer que ce champ est un champ de gradient.. éterminer le potentiel U(x,y,z) dont dérive ce champ sachant qu il vaut 1 à l origine. 3. Quelle est la circulation de ce champ de A(,1,) à B( π,3,)? [688] Exercice 9 En utilisant la formule de Green-Riemann, calculer I = xydxdy où = {(x,y) R x ;y ;x + y 1}. Indication [6881] Exercice 1 On considère la forme différentielle ω = y x + y dx + x x + y dy. 1. ans quel domaine cette forme différentielle est-elle définie?. Calculer l intégrale curviligne C ω où C est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct. 3. La forme ω est-elle exacte? [688] Références P. Thuillier, J.C. Belloc, Mathématiques, analyse tome 1, ème édition, Masson (199).. uverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses (). Retrouver cette fiche et d autres exercices de maths sur exo7.emath.fr

3 Indication pour l exercice 9 On rappelle la formule de Green-Riemann qui permet de faire le lien entre intégrale double et intégrale curviligne : Théorème. Soit un domaine de R limité par une courbe fermée C que l on suppose coupée par toute parallèle aux axes en deux points au plus. On considère une forme différentielle ω = Pdx + Qdy définie sur. Si les fonctions P et Q sont de classe C 1, on a : Pdx + Qdy = C + ( Q P )dxdy où l on a noté C + la courbe C que l on a orientée dans le sens direct. 3

4 Correction de l exercice 1 1. Pour ω 1, on pose P(x,y) = xy et Q(x,y) = x. Comme ω 1 est définie sur l ouvert étoilé R et que P = Q = x, le théorème de Poincaré permet de dire que ω 1 est exacte. On cherche f tel que d f = ω 1. Ceci équivaut à résoudre le système { = xy = x En intégrant la première ligne par rapport à x, on trouve f (x,y) = x y + c(y). En dérivant l expression que l on vient d obtenir par rapport à y et en identifiant avec la deuxième ligne du système, on trouve = x + c (y) = x. Il s ensuit que c (y) = et donc que c(y) = c R. Par suite, la fonction f cherchée est : où c est une constante réelle. f (x,y) = x y + c. Pour ω, on pose P(x,y,z) = xy, Q(x,y,z) = z et R(x,y,z) = xz. On constate que P = x alors que Q =. La forme ω n est donc pas exacte. 3. Pour ω 3, on pose P(x,y) = xe x y et Q(x,y) = e x y. Là aussi, P Q P puisque = xex y alors que Q = xex y ; ω 3 n est donc pas exacte.. Pour ω, posons P(x,y,z) = yz, Q(x,y,z) = xz + z, R(x,y,z) = xyz + z + y. On constate que (a) P = Q = z (b) P = R = zy (c) Q = R = xz + 1. La forme ω est de plus définie sur l ouvert étoilé R 3, elle est donc exacte d après le théorème de Poincaré. Cherchons maintenant f telle que d f = ω, ceci revient à résoudre le système : = yz = xz + z = xyz + z + y En intégrant la première équation par rapport à x, on trouve f (x,y,z) = xyz + ψ(y,z). Maintenant, en dérivant l expression obtenue successivement par y et z et en égalisant avec les deux dernières équations du système, on obtient un nouveau système { xz + ψ = xz + z xyz + ψ = xyz + z + y qui équivaut à : { ψ = z (1) ψ = z + y () Finalement, en intégrant (1) par rapport à y, il vient ψ(y,z) = zy + c(z). En dérivant cette expression de ψ par rapport à z et en égalisant avec (), on trouve y + c (z) = z + y, c est-à-dire c (z) = z donc c(z) = z + c où c R. Ainsi, la fonction f telle que ω = d f est de la forme où c R. f (x,y,z) = xyz + zy + z + c

5 Correction de l exercice 1. On vérifie que : (a) dx = cosϕ cosθdr r sinϕ cosθdϕ r sinθ cosϕdθ (b) dy = cosϕ sinθdr r sinϕ sinθdϕ + r cosθ cosϕdθ (c) dz = sinϕdr + r cosϕdϕ. Par suite, on a : (a) xdx = r cos ϕ cos θdr r sinϕ cosϕ cos θdϕ r sinθ cosθ cos ϕdθ (b) ydy = r cos ϕ sin θdr r sinϕ cosϕ sin θdϕ + r cosθ sinθ cos ϕdθ (c) zdz = r sin ϕdr + r cosϕ sinϕdϕ.. En additionnant, on obtient xdx + ydy + zdz = rdr. On en déduit que : xdx + ydy + zdz = r( r r r dx + dy + dz). Ainsi r = x r r = y r r = z r. Correction de l exercice 3 1. Posons P(x,y) = x + y + x et Q(x,y) = y. On voit facilement que P pas exacte. Q. La forme ω n est donc. Comme ω est définie sur R, il suffit que ψω soit exacte pour que f existe. Maintenant, ψω est exacte si et seulement si (ψ(x)(x + y + x)) = (ψ(x)y). Ceci équivaut à yψ(x) = yψ (x). Ainsi, ψ(x) = ψ (x) pour tout x. onc ψ(x) = ke x avec k constante. On peut choisir k =. Ainsi ψω = e x (x + y + x)dx + e x (y)dy. On cherche ensuite f telle que : { = e x (x + y + x) = e x (y) En intégrant la deuxième équation par rapport à y, on trouve f (x,y) = e x y + c(x). En dérivant cette expression par rapport à x et en égalisant avec la première équation du système, on obtient e x y + c (x) = e x (x + y + x) c est-à-dire Il en résulte que c(x) = x e x + c et donc que avec c dans R. c (x) = e x (x + x). f (x,y) = e x (x + y ) + c 5

6 Correction de l exercice Au champ V (x,y) est associée la forme ω = (1 + xy)dx + (x 3 3)dy. Cette forme n est pas exacte puisque (1+xy) (x3 3). Il s ensuit que V (x,y) n est pas un champ de gradient. Correction de l exercice 5 Le champ vectoriel qui dérive du potentiel U est Il s agit donc du champ vectoriel de composantes : grad(u) = ( u, u, u ). grad(u) = (1 + y + yz,x + xz,xy). Correction de l exercice 6 Soit ω = 3xdx + (x + y)dy la forme différentielle naturellement associée à V (x,y) et considérons x = cost et y = sint comme paramétrage du cercle de centre O et de rayon 1 (avec t [;π]). Il s ensuit que la circulation C V. dl n est autre que : Comme cos t = cos(t)+1, on obtient : C C π V. dl = w = (3cost( sint) + (cost + sint)cost)dt. C π V. dl = ( sint cost + cos(t) + 1 )dt = [cos (t) + 1 sin(t) + t ]π = π. Remarquons que si la forme ω avait été exacte, on aurait obtenu C V. dl = comme réponse, puisque l intégrale curviligne d une forme exacte sur une courbe fermée est nulle. Correction de l exercice 7 Notons ω = yzdx + zxdy + xydz la forme différentielle associée à F(x,y,z). Par définition de W, on a W = H F. dl = H ω. après le paramétrage donné pour H, on a π W = = = π π yzdx + zxdy + xydz ((sint)t( sint) +t cos t + cost sint)dt (t cos(t) + cost sint)dt. On a utilisé ici la formule trigonométrique : cos(t) = cos t sin t. En faisant une intégration par parties, on constate que π t cos(t)dt = [ t sin(t) ] π π sin(t) dt. On en déduit que W = [ t sin(t) ] π + 1 [cos(t)] π + 1 [sin (t)] π = π = π 8. 6

7 Remarquons que ω = yzdx+zxdy+xydz est exacte. e plus, on vérifie aisément que ω = d(xyz). On peut alors retrouver le résultat précédent en faisant : où l on a posé f (x,y,z) = xyz, W = f (B) f (A) et B = (cos( π ),sin(π ), π ) = (,, π ) A = (cos(),sin(),) = (1,,). Correction de l exercice 8 1. On note P(x,y,z) = y cosx, Q(x,y,z) = ysinx+e z et R(x,y,z) = ye z. La forme ω = Pdx+Qdy+Rdz, naturellement associée au champ V (x,y,z), est exacte puisqu elle est définie sur R 3 et (a) P = Q = ycosx (b) P = R = (c) Q = R = ez. Le champ V (x,y,z) est donc un champ de gradient.. Cherchons U tel que ω = du. Cela nous conduit à résoudre le système : U = y cosx U = ysinx + e z U = ye z En intégrant la première équation par rapport à x, on trouve : U(x,y,z) = y sinx + ψ(y,z). Maintenant, en utilisant les deux dernières équations, on est amené à résoudre le système suivant : { ψ = e z ψ = ye z Par suite, on vérifie que ψ(y,z) = e z y + c(z) avec c (z) =. onc c(z) = c avec c constante réelle et finalement : U(x,y,z) = y sinx + e z y + c avec c R. Par ailleurs, on veut que U(,,) = 1 ce qui donne c = La circulation du champ de A(,1,) à B( π,3,) est AB V. dl = ω = U(B) U(A) = U( π,3,) U(,1,) = 11. AB Remarquons que lorsque ω est exacte, pour calculer l intégrale curviligne de ω sur un chemin, il suffit de connaître l origine et l extrémité du chemin. Autrement dit, l intégrale curviligne d une forme exacte sur AB ne dépend que de A et de B, et non du chemin choisi pour aller de A à B. 7

8 Correction de l exercice 9 On rapporte le plan à un repère orthonormé direct d origine O. après la formule de Green-Riemann, en choisissant de prendre P = et Q = x y de sorte que Q P = xy, on obtient : I = xydxdy = x ydy T où l on a noté T le triangle OAB orienté dans le sens direct avec O(,), A(1,) et B(1,1). Ainsi I = xydxdy = x ydy + x ydy + x ydy. OA AB BO L intégrale curviligne d une forme différentielle sur un chemin est indépendant du paramétrage choisi pour ce chemin. Pour le calcul, nous choisissons de paramétrer OA par x = t et y = avec t variant de à 1 et ainsi OA x ydy =. e même, nous choisissons de paramétrer BO par x = et y = t avec t variant de 1 à et ainsi BO x ydy =. Enfin, nous choisissons de paramétrer AB par x = t et y = 1 t avec t allant de 1 à et donc : I = xydxdy = x ydy = AB 1 t (1 t) 1 ( dt) = t (1 t) dt = 1. Remarquons qu il n aurait pas été plus difficile ici de calculer directement l intégrale double sans utiliser la formule de Green-Riemann : 1 x 1 xydxdy = ( xydy)dx = x[ y 1 (1 1 ]1 x x) dx = x dx = 1. Correction de l exercice 1 1. La forme ω = y dx + x dy est définie sur R \ {(,)}. x +y x +y. Paramétrons le cercle C par x = cost, y = sint avec t [; π]. On obtient : C ω = = = π π π = π. ( sint( sint) + cost(cost))dt sin t + cos tdt 1dt 3. La forme ω n est pas exacte, sinon son intégrale curviligne sur la courbe fermée C serait nulle et cela contredirait notre résultat de la question précédente. Remarquons cependant que ( y x + y ) = ( x x + y ) = y x (x + y ). En fait, avec cet exemple, on voit que dans le théorème de Poincaré, l hypothèse que l ouvert doit être étoilé, est indispensable. Ici R \ {(,)} n est pas étoilé, c est un domaine "troué". e plus, C ω n est pas nulle car le cercle entoure le "trou". 8