Trigonométrie circulaire

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1 Trigonométrie circulaire On rappelle ici et on complète les résultats énoncés au lycée. L objectif à viser est la technicité. Pour cela, il faut : ➀ connaître par cœur les différentes formules de trigonométrie, ➁ savoir à quel moment s en servir. En ce qui concerne le premier point ➀, au cours de l année de mathématiques supérieures, on doit apprendre quatre formulaires :. un formulaire de trigonométrie circulaire,. un formulaire de dérivées,. un formulaire de primitives,. un formulaire de développements limités. Il est clair que l on n utilise pas en permanence une formule de trigonométrie ou une formule de dérivée. Cela se produit dans certaines périodes uniquement. Dans ces moments-là, on doit alors être capable de mobiliser la formule eacte, et en particulier on doit l avoir mémorisée. On peut donner sur le sujet deu conseils. Premièrement, chaque fois au cours de l année, que vous vous retrouverez face à une formule de trigonométrie ou de dérivée,... que vous ignorez à la suite d une colle, d un devoir,..., profitez-en pour prendre immédiatement di minutes de votre temps pour réapprendre la totalité du formulaire. Deuièmement, affichez vos formulaires sur vos murs, et ceci en plusieurs eemplaires dans des endroits stratégiques de votre habitation. Si vous suivez ces deu conseils, vous sortirez de mathématiques supérieures en connaîssant vos formules, ce qui est un objectif essentiel à atteindre. En ce qui concerne le deuième point ➁, vous trouverez dans un certain nombre d eercices de ce chapitre des raisons qui poussent à utiliser telle ou telle formule de trigonométrie plutôt que telle autre. Plan du chapitre Mesures en radians d un angle orienté.... page Les lignes trigonométriques...page. Définition des lignes trigonométriques.... page. Valeurs usuelles..... page 5. La notation e i.... page 6 Formulaire de trigonométrie circulaire.... page 7. Comparaison de lignes trigonométriques page 7. Formules d addition et de duplication......page 9. Résolution d équations trigonométriques....page. Formules de linéarisation....page.5 Formules de factorisation......page.6 Epressions de cos, sin et tan en fonction de t = tan.... page 5.7 Transformation de a cos + b sin......page 6.8 Le nombre j....page 7 Erreurs classiques à ne pas commettre....page 7 c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

2 Mesures en radian d un angle orienté Le plan est rapporté à un repère orthormé direct O, I, J ou encore OXY. Au lycée, vous avez appris à «enrouler» l ae réel sur le cercle trigonométrique, c est-à-dire le cercle de centre O et de rayon, orienté dans le sens direct. M Y X A chaque réel correspond un et un seul point du cercle trigonométrique. Si est positif, le point M associé à est le point du cercle obtenu en parcourant une longueur sur ce cercle, dans le sens direct, à partir du point de coordonnées, 0. Si est négatif, on parcourt sur le cercle une longueur = dans le sens indirect. Ainsi, tout réel est associé à un et un seul angle et si M est le point associé au réel alors s appelle UNE mesure en radian de l angle orienté I, OM. Ici, l unité de mesure est la longueur du rayon du cercle trigonométrique, à savoir et est le nombre de rayons qui constituent l arc de cercle qui va de O à M, d où le mot radian. Inversement, puisque le tour complet a une longueur égale à, deu réels mesurent un même angle si et seulement si leur différence est un multiple entier relatif de. Tout angle admet donc une infinité de mesures et si α est une mesure de l angle orienté I, OM, l ensemble des mesures de l angle I, OM est l ensemble des nombres de la forme α + k, k Z. Cet ensemble se note α + Z. α + Z = {α + k, k Z}. Ainsi, des réels différents peuvent mesurer un même angle. Par eemple, les réels et 5 sont des réels différents =, et 5 = 7, mais ces deu réels sont deu mesures distintes d un même angle. Dit autrement, le réel n est pas un angle mais le réel est une mesure parmi tant d autres d un certain angle orienté, le quart de tour direct. L ensemble des mesures de cet angle est + Z = { + k, k Z} = {..., 7,,, 5, 9,...}. Théorème. Tout angle orienté admet une et une seule mesure dans l intervalle [0, [, appelée mesure principale de l angle orienté. Parmi toutes les mesures d un angle orienté, il en est une et une seule qui appartient à [0, [. Cette mesure est la mesure principale de cet angle orienté. Quand on dispose d une mesure d un angle orienté, on peut trouver sa mesure principale de manière systématique grâce à la fonction «partie entière» voir le chapitre «fonctions de référence». Pour l instant, contentons nous de «bricolages». Eercice. Trouver la mesure principale d un angle de mesure 7, 7. Solution = 8 8 = 7 6 = 7 [ 0, 8 [ = [0, [. La mesure principale d un angle de mesure 7 est 7. 7 de mesure 7 + = = = est. [ 0, 6 [ = [0, [. La mesure principale d un angle c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

3 L eistence et l unicité de la mesure pricipale d un angle de mesure peut se comprendre sur le schéma suivant : 0 On part de et on se dirige vers l intervalle [0, [ en faisant des pas de longueur. Quand on arrive juste en dessous de 0 ou juste au-dessus de si on est parti d un, le pas suivant est suffisament long pour nous faire dépasser 0, mais trop court pour nous faire dépasser et on tombe donc dans l intervalle [0, [. Puis, si on effectue encore un pas, on ressort forcément de cet intervalle. Pour trouver la mesure principale d un angle de mesure 7 7, nous avons cherché un nombre de tours à retrancher à pour tomber dans l intervalle ]0, [ 7 n étant clairement pas un nombre entier de tours. Puisque est un huitième de tours ou encore, puisque = 8, nous avons cherché «le plus grand multiple de 8 qui rentrait dans 7». En clair, nous avons effectué la division euclidienne de 7 par 8 : 7 = = , et en retranchant 8 tours à 7, la mesure obtenue est dans ]0, [. Pour trouver la mesure principale d un angle de mesure 7 7, nous avons cherché un nombre de tours à rajouter à pour tomber dans l intervalle ]0, [. Puisque est un siième de tours, nous avons effectué la division euclidienne de 7 par 6 : 7 = 6 + 5, et donc, en rajoutant tours à 7, la mesure obtenue est dans ], 0[. En rajoutant un troisième tour, on tombe dans ]0, [. Les considérations précédentes montrent que le travail à effectuer nécessite des connaissances en arithmétique ou des connaissances sur la partie entière d un réel et nous attendrons donc de les avoir pour mettre ce travail définitivement au point. La notion de mesure principale est subjective. Il n y a à priori aucune raison de distinguer telle mesure plutôt que telle autre. Nous avons choisi de privilégier la mesure élément de [0, [, parce que cette mesure donne systématiquement la longueur de l arc de cercle correspondant. Nous aurions tout aussi bien pu choisir comme mesure principale, celle des mesures qui est dans ], ], en ayant cette fois-ci en ligne de mire la parité des fonctions sinus et cosinus. Les lignes trigonométriques Pour mesurer un angle, on a mesuré une longueur sur un cercle. Mesurer des «longueurs courbes» est difficile, et on préfère de loin mesurer des lignes droites, les différentes lignes trigonométriques : le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente. Le mot sinus peut prêter à confusion. Nous avons effectivement dans la partie supérieure de notre nez deu sinus. Ce sinus là vient du latin et a la même étymologie que le mot sein par eemple. Il signifie «pli d un vêtement» ou «renflement» ou «courbure» ou «bosse»... Ce sinus est apparu au moyen-âge peu de temps avant le mot sinus de la trigonométrie. Le mot sinus de la trigonométrie a une longue histoire. Il s est appelé jiva en sanscrit en 500 ap.jc environ, ce qui signifie corde d arc. Il est passé à l arabe sous la forme jîba, mot qui n a pas d autre signification en arabe, et ceci grâce au mathématicien Al-Fazzari 8ème siècle. Mais quand Gérard de Crémone -87 traduit Al-Fazzari en latin, celui-ci commet une erreur de transcription et donc de traduction en transformant le mot jîba en jaîb, mot qui cette fois-ci veut dire «pli d un vêtement» ou «renflement»... Il traduit donc ce mot par sinus. C est enfin Regiomontanus 6-76 qui systématise l emploi du mot au sens où nous le connaissons aujourd hui et entérine ainsi l erreur de traduction. d Alembert dans son encyclopédie donne la définition suivante du mot sinus : «ligne droite tirée d une etrémité d un arc perpendiculairement au rayon qui passe par l autre etrémité». Le sinus de la trigonométrie n a donc aucun rapport avec les sinus qui se trouvent dans la partie supérieure de notre nez. Pour construire le mot cosinus, on a apposé au mot sinus le préfie co qui vient de la préposition latine cum signifiant avec. Le cosinus est donc une ligne trigonométrique qui va avec le sinus ou encore qui est associée au sinus. Signalons enfin l étymologie du mot trigonométrie : du grec tria trois gonia angles metron mesure ou encore mesure des trois angles d un triangle. c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

4 . Définition des lignes trigonométriques B cotan K sin M H cos tan A cos = abscisse de M sin = ordonnée de M tan = AH cotan = BK Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, i, j. On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon orienté dans le sens direct. On se donne un réel. On note M le point du cercle trigonométrique tel que soit une mesure en radians de l angle i orienté, OM. Le cosinus du réel est l abscisse du point M et le sinus du réel est l ordonnée du point M. Ensuite, on note T resp. T la tangente au cercle de centre O et de rayon au point A, 0 resp. 0,. Si n est pas de la forme + k, k Z, resp. k, k Z, la droite OM n est pas parallèle à T resp. T. Elle coupe donc T resp. T en un point H resp. K. Par définition, la tangente resp. la cotangente du réel est la mesure algébrique AH resp. BK c est-à-dire la longueur AH resp. la longueur BK affectée d un signe + ou suivant que H soit au-dessus ou au-dessous de l ae des abscisses resp. K soit à droite ou à gauche de l ae des ordonnées. Le théorème de Thales montre immédiatement que Théorème. / + Z, tan = sin cos / Z, cotan = cos sin / Z, cotan = tan Ensuite, d après le théorème de Pythagore, Théorème. Pour tout réel, cos + sin =. Ce théorème fondamental permet en particulier de calculer l une des deu lignes trigonométriques quand on connaît son signe et la valeur de l autre ligne : cos = ± p sin ou sin = ± p cos. Corollaire. R, cos et R, sin. Démonstration. cos = sin, et donc cos = p cos =, et de même pour sin. Corollaire. Soient a et b deu réels. θ R/ a = cosθ et b = sinθ a + b =. Démonstration. Soient a et b deu réels. S il eiste θ tel que cosθ = a et sinθ = b, le théorème montre que a +b =. i Réciproquement, si a + b =, le point Ma, b est un point du cercle trigonométrique. Soit θ =, M le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct O, i, j. On sait que le point M a pour coordonnées cosθ, sinθ et donc que a = cosθ et b = sinθ. Corollaire. ➊ Pour tout réel n appartenant pas à + Z, cos = + tan. ➋ Pour tout réel n appartenant pas à Z, sin = + cotan. Démonstration. cos = cos + sin = cos cos cos + sin cos = + tan. c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

5 sin = sin + cos = sin sin sin + cos sin = + cotan. Ces égalités jointes au théorèmes et et permettent de calculer les quatre lignes trigonométriques d un angle quand on connaît leurs signes et l une de ces quatre lignes. Par eemple, on sait maintenant eprimer cos en fonction de sin ± p q sin, ou en fonction de tan ± +tan, ou en fonction de cotan ±p sin = ± =.... +cotan Eercice. [ ] On suppose que est un réel élément de, tel que cos =. Calculer sin, tan et cotan. [ 5 On suppose que est un réel élément de, ] tel que tan =. Calculer cos, sin et cotan. Solution. [ ] Puisque,, sin 0, tan 0 et cotan 0. Puisque sin 0, sin = cos = 6 5 = Puis tan = sin cos = et cotan = tan =. [ Puisque, ], cos 0, sin 0 et cotan 0. Puisque cos 0, cos = + tan = 9 5 = Puis sin = tancos = et cotan = 0 tan =. = 0.. Valeurs usuelles angle en radian 0 On note que la ligne des sinus s écrit Les autres lignes s en déduisent. 6 angle en degré sinus 0 = cosinus = 0 tangente 0 = cotangente = 0 0,,, et D autre part, il est important d avoir en tête les valeurs numériques usuelles. Un formulaire complet des valeurs numériques usuelles à connaître a déjà été fourni. Ici, on doit savoir que :. = = 0, , =,..., = 0, , =, 7..., et = = 0, Rappelons le calcul de cos et sin. Ces nombres sont positifs et égau. Donc, = cos +sin = cos. Puis, cos = = sin. Notons que l emploi de la valeur est très fréquemment meilleur sans l être systé- matiquement que l emploi de la valeur alors que le carré de est., car la première epression est simplifiée par eemple, le carré de est c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 5 http ://

6 Rappelons aussi le calcul de cos et sin. Dans ce cas, le triangle OAM de la page est équilatéral et la, est donc. Ensuite, hauteur issue de M est encore la médiatrice du segment [O, A]. L abscisse de M, à savoir cos sin = cos = =. Ce résultat est utile pour découper une pizza en si parties égales. On visualise le milieu d un rayon et on remonte perpendiculairement à ce rayon au bord de la pizza, c est-à-dire à la croûte...nous verrons plus tard comment découper une pizza en 5 Profitons-en enfin pour rappeler les liens entre hauteurs et côtés dans un triangle isocèle rectangle ou encore un demi carré et un triangle équilatéral. Triangle isocèle rectangle Triangle équilatéral a h a h h = a et a = h h = a Ainsi, la diagonale d un carré est fois son côté, et inversement le côté d un carré est sa diagonale divisée par.. La notation e i Pour tout réel, on pose e i = cos + i sin où i est le nombre complee tel que i =. e i n est autre que l affie du point M du cercle trigonométrique de coordonnées cos, sin le plan étant toujours rapporté à un repère orthonormé direct. Cet objet va devenir rapidement l outil fondamental de la trigonométrie. On doit déjà en connaître des valeurs usuelles : e 0 =, e i/ = i, e i =, e i/ = i, e i/ = + i. On doit ensuite en connaître les premières propriétés : Théorème. R, e i = et en particulier, R, e i 0. R, e i = e i = e i. Démonstration. e i = p cos + sin =. D autre part, e i = cos i sin = cos + i sin = e i. Mais alors, e i e i = e i e i = e i = et donc e i = e i = e i. c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 6 http ://

7 On doit aussi connaître les epressions de cos, sin, tan et cotan en fonction de e i : Théorème 5 formules d Euler. Formules d Euler ➊ R, cos = Ree i = ei + e i et R, sin = Ime i = i ei e i. ➋ R \ + Z, tan = ei e i ie i + e i et R \ Z, cotan = iei + e i e i e i. Formulaire de trigonométrie circulaire. Comparaison de lignes trigonométriques Tour complet cos + = cos sin + = sin tan + = tan cotan + = cotan Angle opposé Demi-tour Quart de tour direct cos = cos sin = sin tan = tan cotan = cotan cos + = cos sin + = sin tan + = tan cotan + = cotan cos + = sin sin + = cos tan + = cotan cotan + = tan Quart de tour indirect Angle supplémentaire Angle complémentaire cos = sin sin = cos tan = cotan cotan = tan cos = cos sin = sin tan = tan cotan = cotan cos = sin sin = cos tan = cotan cotan = tan Toutes ces formules s obtiennent par lecture directe d un graphique voir page suivante et par eemple, il n est pas question d obtenir la formule cos + = cos à partir des formules d addition refournies plus loin : cos + = cos cos sin sin = cos. c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 7 http ://

8 Angle opposé Demi-tour Quart de tour direct + + sin = sin cos = cos sin + = sin cos + = cos sin + = cos cos + = sin Quart de tour indirect Angle supplémentaire Angle complémentaire sin = cos cos = sin sin = sin cos = cos sin = cos cos = sin Aucune des formules ci-dessus n a été fournie avec ses conditions de validité et c est un tort. Les formules en sinus et cosinus sont valables pour tout réel. Les formules n utilisant que la tangente sont valables pour n appartenant pas à + Z, celles n utilisant que la cotangente sont valables pour n appartenant pas à Z et celles utilisant à la fois la tangente et la cotangente sont valables pour n appartenant pas à Z. Eercice. Calculer cos 5, tan, sin. 6 Solution. 5 cos = cos + = cos =. tan = tan + 5 = tan =. sin = sin = sin 7 = sin = sin = 6. Eercice. Pour réel et n entier relatif, simplifier cos + n, sin + n, tan + n. Solution. On ajoute ou on retranche n ou n demi-tours. Si n est pair, le cosinus est inchangé et si n est impair, le cosinus est changé en son opposé. Donc, R, n Z, cos + n = n cos. On ajoute ou on retranche n ou n quarts de tours. Si n un multiple de, on a effectué un nombre entier de tours et le sinus est inchangé. Si n est de plus qu un multiple de, on a effectué un nombre entier de tours plus un quart de tour direct et dans ce cas, sin + n = sin + = cos. Si n est de plus qu un multiple de, on a effectué un nombre entier de tours plus un demi-tour et dans ce cas, c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 8 http ://

9 sin + n = sin + = sin. Si n est de plus qu un multiple de, on a effectué un nombre entier de tours plus trois quarts de tour direct et dans ce cas, sin + n = sin + = cos. Donc, R, n Z, sin + n = sin si n Z cos si n + Z sin si n + Z cos si n + Z. R \ + n, n Z, tan + n = tan.. On doit mémoriser certains des résultats ci-dessus : R, n Z, cos + n = n cos, sin + n = n sin, cosn = n, sin + n = n. L epression eplicite de sin + n est aussi la dérivée n-ème de la fonction sinus.. Formules d addition et de duplication Théorème 6 formules d addition et de duplication. Formules d addition cosa + b = cosacosb sinasinb cosa b = cosacosb + sinasinb sina + b = sinacosb + sinbcosa sina b = sinacosb sinbcosa tana + tanb tana + b = tanatanb tana tanb tana b = + tanatanb Formules de duplication cos = cos sin = cos = sin sin = sincos tan = tan tan Les formules d addition pour sinus et cosinus sont démontrées en ère S. Rappelons-en brièvement les idées. On suppose acquise l epression du problème scalaire de deu vecteurs dans un repère orthonormal. On se donne deu réels a et b. On note u le vecteur de coordonnées cosa, sina dans un repère orthonormé O, i, j i u est donc le vecteur de norme tel que, u = a [] et v le vecteur de coordonnées cosb, sinb i v est donc le vecteur de norme tel que, v = b [], alors v. u = cosacosb + sinasinb. Mais on a aussi v, i u =, i u, v = a b [] et donc Finalement, cosa b = cosa cosb + sina sinb. v. u = v u cos v, u = cosa b. Pour cosa + b, on remplace b par b dans la formule précédente. Pour sina + b, on peut écrire sina + b = cos a + b = cosacos b sinasin b = cosa sinb + sina cosb = sina cosb + sinb cosa. Les formules de duplication eprimant le cosinus et le sinus du double d un angle en fonction du cosinus et du sinus de cet angle s en déduisent en égalant a et b. On a effectivement trois epressions différentes de cos et on doit connaître les trois. Par eemple, la dernière donne l epression de cos en fonction de sin uniquement et permet ainsi, sachant que sin = 5, de fournir cos = 9 5 = 7 sans pour autant connaître. Démontrons maintenant les formules 5 concernant la tangente : c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 9 http ://

10 Démonstration. Soient a et b deu réels tels que a / + Z, b / + Z et a+b / + Z. On a alors cosa 0, cosb 0 et donc cosa cosb 0. Par suite, on peut écrire : tana + b = sina + b sina cosb + cosa sinb sina cosb + cosa sinb/cosa cosb tana + tanb = = = cosa + b cosa cosb sina sinb cosa cosb sina sinb/cosa cosb tana tanb. Pour tana b, on remplace alors b par b dans la formule précédente, et pour tan, on pose a = b = dans la formule précédente. tana + tanb On doit noter que dans la formule tana + b = tana tanb formule en sinus et le signe en dénominateur provient de la formule en cosinus. le signe + en numérateur provient de la Il est maintenant essentiel d associer au formules précédentes les formules en e i et il ne faut plus penser ces différentes formules dans des chapitres séparés. Théorème 7 formule de Moivre. ➊ a, b R, e ia+b = e ia e ib, ➋ a, b R, e ia b = e ia /e ib, ➌ a R, e ia = e ia = eia, ➍ a R, n Z, e ina = e ia n formule de Moivre. Démonstration. Soit a et b deu réels. ➊ e ia e ib = cosa + i sinacosb + i sinb = cosa cosb sina sinb + isina cosb + cosa sinb = cosa + b + i sina + b = e ia+b. ➋ e ia b e ib = e ia+b b = e ia, et puisque e ib 0, e ia b = eia e ib. ➌ Déjà vu. ➍ C est clair pour n = 0. Soit n 0. Supposons que pour tout réel a, e ia n = e ina. Alors, e ia n+ = e ia n e ia = e ina e ia = e in+a. On a montré par récurrence que n N, a R, e ia n = e ina. Si maintenant, n 0, alors n N et e ia n = e ia n = /e ina = e ina. A l aide de l epression e i, on peut retrouver toutes les formules de trigonométrie. Par eemple, considérons les deu formules cos + = sin et sin + = cos. Il n est pas toujours évident de mémoriser celle des deu qui comporte un signe mais on doit savoir le lire du premier coup d œil sur un cercle trigonométrique. Ces deu formules sont contenues dans l unique égalité e i+/ = e i/ e i qui se détaille en : cos + + i sin + = ei+/ = e i/ e i = icos + i sin = sin + i cos. Ainsi, le signe de l égalité cos + = sin n est autre que le signe de l égalité i =. Eercice 5. Eprimer cos et cos en fonction de cos uniquement. Eprimer sin en fonction de sin uniquement. Eprimer tan en fonction de tan uniquement. Solution. Soit R. Première solution mauvaise. cos = cos + = coscos sinsin = cos cos sin cos = cos cos cos cos = cos cos. Deuième solution bonne. cos = Ree i = Recos + i sin = cos cossin = cos cos cos = cos cos. Ensuite, cos = cos = cos = 8cos 8cos +, ou aussi c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 0 http ://

11 cos = Ree i = Recos + i sin = cos 6cos sin + sin = cos 6cos cos + cos = 8cos 8cos +. Soit R. sin = Imcos + i sin = cos sin sin = sin sin. Soit R. cos = 0 équivaut 6 + Z. Comme cet ensemble contient + Z, tan et tan eistent ou encore cos et cos sont non nuls si et seulement si / 6 + Z. Pour un tel, tan = sin cos = Imcos + i sin Recos + i sin = cos sin sin cos cossin = cos sin sin / cos cos cossin / cos = tan tan tan. Les formules obtenues pour cos et sin doivent être mémorisée : R, cos = cos cos, sin = sin sin. La première technique utilisée cos = cos + est mauvaise selon différents points de vue. Il peut paraître bizarre et inesthétique de passer par l «angle double» alors que l on voudrait voir une bonne fois pour toutes l «angle». On sent bien d autre part que si le nombre était un peu plus grand, les calculs deviendraient rapidement pénibles. Par eemple cos7 = cos + =... L outil fondamental pour ces calculs est e i et la merveilleuse formule de Moivre jointe à la formule du binôme de Newton qui sera réeposée dans le chapitre sur le symbole Σ que l on détaillera dans le chapitre suivant e i = e i où l on passe directement de l «angle» à l «angle triple». C est encore plus criant avec tan. L angle n a rien à faire au milieu des calculs et par eemple, tan n eiste pas pour = alors que tan et tan eistent. Eercice 6. Calculer cos et sin. et Solution. cos = cos = cos cos + sin sin = =, sin = sin = sin cos cos sin = 6 =. Les valeurs obtenues sont si possible à mémoriser : 6 + cos = 6 et sin =. L idée = ou aussi = 6 apparaît beaucoup plus clairement si on pense en degrés : à 5 et à 5 et 60 5 = 5... correspond à 60 degrés, c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

12 . Résolution d équations trigonométriques Résolution d équations trigonométriques a, b R, cosa = cosb k Z/ b = a + k ou k Z/ b = a + k b a + Z ou b a + Z a, b R, sina = sinb a, b R \ + Z, tana = tanb a, b R \ Z, cotana = cotanb a, b R, e ia = e ib a R, e ia = k Z/ b = a + k ou k Z/ b = a + k b a + Z ou b a + Z k Z/ b = a + k b a + Z k Z/ b = a + k b a + Z k Z/ b = a + k b a + Z k Z/ a = k a Z. Pour chacun des si types d équation envisagés, une simple lecture du cercle trigonométrique suffit pour se convaincre du résultat. Eercice 7. Résoudre dans R les équations suivantes : sin = 0, sin =, sin =, cos = 5 cos =, 6 cos = 0, 7, tan = 0, 8 cotan = 0. Solution. R, sin = 0 k Z/ = k, R, sin = 0 Z. R, sin = k Z/ = + k, R, sin = + Z. R, sin = k Z/ = + k, R, sin = + Z. R, cos = k Z/ = k, R, cos = Z. 5 R, cos = k Z/ = + k, R, cos = + Z. 6 R, cos = 0 k Z/ = + k, R, cos = 0 + Z. 7 R, tan = 0 k Z/ = k, R, tan = 0 Z. 8 R, cotan = 0 k Z/ = + k, R, cotan = 0 + Z. Pour chaque résolution, on a donné deu rédactions possibles. La deuième est plus performante et la première est plus compréhensible et plus facile à maîtriser. Chacune de ces équations peut être résolue grâce à l encadré précédent. Par eemple, sin = 0 sin = sin0 k Z/ = 0 + k ou k Z/ = 0 + k k Z/ = k. Néanmoins, ce n est pas ainsi que l on a pensé la résolution. On a placé sur un cercle trigonométrique au brouillon tous les «points solutions», c est-à-dire les points du cercle trigonométrique dont l ordonnée vaut 0. Puis, on a fourni toutes les mesures des angles correspondants et obtenu l ensemble Z + Z. Cet ensemble est en fait l ensemble des multiples de, le demi-tour, ou encore l ensemble Z. Vous devez considérer toutes les équations précédentes comme du cours à connaître par cœur. Une équation du type tan = a ou cotan = a est bien plus simple à résoudre qu une équation du type cos = a ou sin = a. L équation tan = a a toujours une infinité de solutions et si 0 est l une d entre elles, alors l ensemble des solutions est 0 + Z. Plus précisément, l équation tan = a admet une et une seule solution dans tout intervalle de longueur fermé à gauche et ouvert à droite. Eercice 8. Résoudre dans R les équations suivantes : sin =, cos =, tan =, cotan =, 5 e i = i, 6 e i =. Solution. R, sin = Z 6 + Z. R, cos = + Z + Z. c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

13 R, tan = + Z. R, cotan = 6 + Z. 5 R, e i = i e i = e i/ + Z. 6 R, e i = e i = e i + Z. Eercice 9. Résoudre dans R les équations suivantes : sin =, sin = sin, sin = cos, cos = cos, 5 e i = e i. Solution. Soit R. sin = + Z + Z Donc, S = 6 + Z + Z. Soit R. 6 + Z + Z. sin = sin + Z ou + Z Z ou Z. Donc, S = Z Z. Soit R. sin = cos cos = cos + Z ou + Z Z ou + Z. Donc, S = Z + Z. Soit R. cos = cos cos = + cos cos = Z Z. Donc, S = Z. 5 Soit R. e i = e i e i = Z Z. Donc, S = Z. En par eemple, on peut résoudre aussi de la façon suivante : sin = sin k Z/ = + k ou k Z/ = + k k Z/ = k ou k Z/ 5 = + k k Z/ = k ou k Z/ = 5 + k. On notera cependant 5 la praticité des ensembles du type α + az pour résoudre des équations trigonométriques. En, il fallait se ramener à l une des deu situations de base sina = sinb ou cosa = cosb. Nous avons choisi la deuième. Il fallait donc «transformer un sinus en cosinus». La manière la plus naturelle d agir est le passage au complémentaire X X qui échange les rôles de sinus et cosinus sans problèmes de signes. En, nous avions deu possibilités, «tout écrire en», ce que nous avons fait, ou tout écrire en : cos = cos cos = cos cos = cos = Z.. Formules de linéarisation Formules de linéarisation cosacosb = cosa b + cosa + b cos sinasinb = cosa b cosa + b sin sinacosb = sina + b + sina b sinbcosa = sina + b sina b = + cos = cos sin sincos = c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

14 Démonstration. On a cosa+b = cosa cosb sina sinb et cosa b = cosa cosb+sina sinb. En additionnant membre à membre ces égalités on obtient cosa cosb = cosa b + cosa + b et en retranchant on obtient sina sinb = cosa b cosa + b. De même, les égalités sina + b = sina cosb + sinb cosa et sina b = sina cosb sinb cosa fournissent sina cosb = sina + b + sina b et sinb cosa = sina + b sina b. Eercice 9. Dériver quatre fois les fonctions f : cos sin, f : cos, f : cos + sin. Solution. Pour réel, cos sin = coscossin = sincos = sin + sin. Par suite, f est quatre fois dérivable sur R et, pour réel, f = 8sin + sin. Pour réel, cos = cos = + cos = + cos + cos = + cos + + cos = + cos + cos. 8 Par suite, f est quatre fois dérivable sur R et, pour réel, f = 6 cos + 8 cos = 8cos + cos. sin cos + sin = cos + sin sin cos = = cos = + cos. Par suite, f est quatre fois dérivable sur R et, pour réel, f = 8 cos = 6cos. Il est beaucoup plus facile de dériver ou d intégrer des sommes que des produits. Quand on doit dériver de nombreuses fois un produit, on le transforme d abord en une somme ou encore on linéarise à l aide de formules de...linéarisation. Dériver une fois les fonctions sinus ou cosinus consiste à «effectuer un quart de tour direct» voir le chapitre «fonctions de référence» et donc, quand on dérive fois, on est revenu au point de départ : cos = cos et sin = sin. En, on pouvait aussi écrire cos sin = +cos sin = sin+sin cos = sin+ sin sin = sin + sin. Pour linéariser les epressions ci-dessus, on a utilisé les formules de linéarisation pour les cosinus et les sinus. Les calculs n étaient pas trop compliqués car était multiplié par un petit nombre, ou. Cependant, les formules de linéarisation deviennent très vite pénibles à utiliser et il faut à terme les remplacer par la formule e ia e ib = e ia+b. Le symbole a disparu de manière remarquablement simple et c est bien ce que l on voulait. Nous reviendrons sur les linéarisations dans le chapitre «Nombres complees»..5 Formules de factorisation Formules de factorisation p + q p q cosp + cosq = cos cos p + q p q cosp cosq = sin sin p + q p q sinp + sinq = sin cos p q p + q sinp sinq = sin cos + cos = cos cos = sin c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. http ://

15 Démonstration. On inverse les formules de linéarisation en changeant de plus les notations. On pose p = a + b et q = a b de sorte que a = p + q et b = p q obtenu en ajoutant et en retranchant membre à membre les deu égalités. L égalité cosa + b + cosa b = cosa cosb s écrit alors cosp + cosq = cos p + q cos p q et l égalité cosa + b cosa b = sina sinb s écrit cosp cosq = sin p + q sin p q. On fait de même pour les sinus. Eercice 0. Résoudre dans R l équation sin + sin + sin = 0. Solution. Soit R. sin + sin = sincos et donc sin + sin + sin = sincos + sin = sincos +. Par suite, sin + sin + sin = 0 sin = 0 ou cos = Z + Z + Z. Pour résoudre des équations dont le second membre est 0 ou étudier des signes, on doit la plupart du temps factoriser et donc utiliser... des formules de factorisation. D autre part, dans une suite arithmétique ayant un nombre impair de termes ici, il est toujours préférable de privilégier le terme médian ici. Regrouper sin et sin en laissant sin tout seul était donc sûrement plus prometteur que de regrouper sin et sin par eemple..6 Epressions de cos, sin et tan en fonction de t = tan Pour réel n appartenant pas à + Z, on pose t = tan. Alors, Théorème 8. ➊ R \ + Z, cos = t + t, ➋ R \ + Z, sin = t + t, ➌ R \ + Z + Z, tan = t t, Démonstration. ➊ Pour / + Z, cos = cos sin cos = sin cos cos + sin = sin / cos tan cos + sin / cos = + tan. ➋ Pour / + Z, sin = ➌ Pour / sin cos / cos tan cos + sin / cos = + tan. sin tan + Z + Z, tan = cos = tan. Dans la pratique de maths sup, ces formules ne servent pas avant le chapitre «calculs d intégrales». Le moment venu, elles permettront d effectuer des changements de variables intéressants dans certaines intégrales. Néanmoins, si on doit faire face à une équation où apparaissent les epressions cos, sin et tan, epressions qui peuvent être vécues comme trois inconnues différentes, une idée de résolution peut être de «tout passer en t = tan», de sorte qu il n y a plus qu une inconnue : le réel t..7 Transformation de a cos + b sin On se donne deu réels a et b, l un au moins de ces deu réels étant non nul. On considère l epression f = a cos + b sin. Dans cette epression, la variable apparaît deu fois ce qui rend délicat la résolution de l équation f = 0 ou l étude des variations. On veut trouver une écriture de f où la variable n apparaît qu une fois. On a en ligne de mire la formule c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 5 http ://

16 cosacosb + sinasinb = cosa B. On fait apparaître devant cos et sin le cosinus et le sinus d un angle en se servant du corollaire du théorème page. Les deu nombres a et b n ont aucune raison d être le cosinus et le sinus d un angle. Mais si on norme le vecteur u a, b en le divisant par sa norme u = a + b, les deu nombres obtenus a a = a + b et b b = a + b vérifient bien sûr a + b = a a + b + b a + b =. Le corollaire page permet alors d affirmer l eistence d un réel θ tel que cosθ = Pour réel, on peut écrire a b et sinθ = a + b a + b. a cos + b sin = a + b a a + b cos + b a + b sin = a + b coscosθ + sinsinθ = a + b cos θ. Soit a, b R \ {0, 0}. R, a cos + b sin = a + b cos θ, a b où θ est un réel tel que cosθ = et sinθ = a + b a + b. Eercice. Résoudre dans R les équations cos + sin =, cos sin =. Solution. Soit R. cos + sin = cos + sin = cos = cos + Z ou + Z Z + Z. Soit R. cos sin = cos sin = cos + = 6. Cette équation n a pas de solution car >. Il était tout aussi valable d écrire cos + sin = sin cos + cos sin = sin + ou aussi cos sin = sin cos cos sin = sin. Eercice. Trouver le minimum et le maimum de la fonction cos + sin. Solution. Soit θ le réel élément de [0, ] tel que cosθ = 5 et sinθ = 5 5 θ eiste car + =. Alors, 5 pour tout réel, cos + sin = 5coscosθ + sinsinθ = 5cos θ. Le maimum cherché vaut donc 5, atteint par eemple pour = θ. De même, le minimum vaut 5, minimum atteint pour = θ +..8 Le nombre j Par définition, j = e i/ = cos + i sin = + i. Ce nombre sera beaucoup utilisé au cours de l année de maths sup et de l année de maths spé. En physique, le nombre complee i est noté j lettre qui suit i dans l alphabet car la lettre i est utilisée autrement, celle-ci désignant l initiale du mot intensité. La lettre j en physique n a donc pas la même signification qu en mathématiques. Le nombre j vérifie j = e i/ = e i =. Par suite, j j = et donc, j = j et j = j. On a aussi j = e i/ = e i/ = j. On aurait aussi pu constater que puisque j = e i/ =, on a jj = et donc j = j. Ensuite, j = j = 0 j j + j + = 0 + j + j = 0 car j. Mais alors, j + j = et aussi, + j = j ou + j = j. c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 6 http ://

17 j = e i/ = cos + i sin = + i j = e i/ = j = i j =, j = j = j et j = j = j + j + j = 0, et donc j + j =, + j = j, + j = j n Z, j n =, j n+ = j et j n+ = j. Erreurs classiques à ne pas commettre Ne pas connaître ses formules de trigonométrie. Au risque d être lassant, apprenez vos formules et si vous constatez que vous n en connaissez pas une, réglez le problème immédiatement en réapprenant la totalité de votre formulaire et ceci plusieurs fois au cours de l année. Penser que e i = équivaut à = 0 alors que e i = équivaut à Z. Obtenir cos+ par eemple à partir de la formule donnant cosa+b. C est très maladroit car la valeur de cos+ doit être lue directement sur un cercle trigononométrique. Manipuler des epressions trigonométriques sans faire de dessin. Le dessin est un outil formidable pour nous aider dans les calculs et il ne faut jamais hésiter à le faire epilicitement et pas uniquement dans la tête. c Jean-Louis Rouget, 007. Tous droits réservés. 7 http ://