1. Question de cours : Dans un repère, d et d sont les droites d équations cartésiennes respectives : avec et avec.

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1 Date : 10/12/12 Classe : 1ère S 2 Professeur : M Pons D.S.T. de Matématiques. Durée : eures 0 Sortie autorisée : au bout de eures. Documents autorisés : calculatrice Toutes les réponses doivent être clairement justifiées, sauf précision contraire. Faites des prases complètes et garder le sujet à la fin de l épreuve. Rendre la feuille annexe. Exercice 1 : (12 points) Une propriété de la courbe de la fonction inverse. On considère la fonction inverse (O,, ) d unité 1 cm. définie sur ]0 ; + [ et sa courbe Cf dans un repère ortonormé 1) Soit a et a+, deux réels de l intervalle ]0 ; + [. a) En donnant toutes les justifications utiles, calculer le taux d accroissement de la fonction entre a et a+. b) Prouver alors que la fonction est dérivable pour tout réel x de l intervalle ]0 ; + [ et donner l expression de sa fonction dérivée. 2) Déduire du 1) l équation de la tangente (t) à la courbe Cf en son point d abscisse. ) Tracer Cf et la tangente (t) sur la feuille annexe jointe. 4) On note A et B les intersections respectives de la droite (t) avec l axe des abscisses et l axe des ordonnées. a) Calculer les coordonnées de A et B. b) Calculer l aire du triangle AOB (construire sur la feuille annexe). 5) a est un réel strictement positif ; en utilisant le résultat de la première question, déterminer l équation de la tangente (ta) à la courbe Cf en son point d abscisse a, sous sa forme réduite. 6) La droite (ta) coupe l axe des abscisses et celui des ordonnées en C et D respectivement. a) Calculer les coordonnées de C et D en fonction de a. b) Calculer l aire du triangle OCD et commenter le résultat. Exercice 2 : (6 points) 1. Question de cours : Dans un repère, d et d sont les droites d équations cartésiennes respectives : avec et avec. Démontrer que d et d sont sécantes, si et seulement si,. 2. Application : Dans un repère, on donne les points, et. a) Vérifier que les droites d : et d : sont sécantes. b) Démontrer que la droite d est la médiane du triangle C issue de C, et d la médiane du triangle C issue de B. c) Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle C. 1

2 Exercice : (6 points 2-2-2) Soit CD un carré de côté a (a > 0). On considère les deux triangles équilatéraux DCE et DAF. 1) Montrer que, dans un triangle équilatéral de côté a, une auteur a pour longueur a. 2) On se place dans le repère (A ;, ). a) Déterminer, sans justifier, les coordonnées des points A, B, C, D, E et F. b) Démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles. Exercice 4 : (6 points) Pour cet exercice, on rappelle que la distance ( ou l écart ) entre deux réels x et y est x y. On considère l algoritme suivant : Début Définir a,, t comme réels Définir n comme entier naturel Demander la valeur de a Demander la valeur de n. Affecter à t la valeur 0 Affecter à la valeur 1 Tant que ( a + ) 2 a 2 Affecter à t la valeur ( a + ) 2 a 2 Affecter à la valeur de 10 Fin du tant que Afficer t Fin - t est supérieur à 10 - n faire : 1) Faire fonctionner cet algoritme «à la main» avec a = et n = 1. On complètera le tableau donné en annexe. 2) Que représente le résultat afficé? ) Quel est le rôle de l entier naturel n? 2

3 Exercice 5 : (10 points) Partie QCM : Pour caque question, une et une seule proposition est correcte. On demande de noter son numéro a, b, c ou d dans le tableau dans l annexe qui sera rendue. Caque réponse correcte apporte 1 point (sur 40 du sujet) ; caque erreur enlève 0,25 point. Si le total de l exercice est négatif, il est ramené à zéro. Question 1. Soient A, I et B trois points tels que AI + IB =. Alors : a) I est le milieu du segment [ ] b) AI + IB = b) I [ ] c) On ne peut rien dire de particulier. Question 2. Soit CD un parallélogramme de centre O et E le symétrique de O par rapport à D. Alors, dans le repère ( A, AD, ) : a) E ( - 1,5 ; 1,5 ) b) E ( 1,5 ; - 1,5 ) c) E ( 1,5 ; - 0,5 ) d) E ( -0,5 ; 0,5 ) Question. Soient A, M et B trois points tels que - AM + 5 BM = 0. Alors : a) M [ ] b) AM = c) AM = 5 4 d) AM = 4 5 Question 4. Soient A, B et M sont trois points tels que AM = k et k ] - ; 0 [. On a alors : Question 5. a) M [] b) M [) c) M () Un vecteur directeur de d : 4y 5x + 7 = 0 est : a) u ( 5 ; 4 ) b) u ( - 5 ; 4 ) c) u ( 4 ; 5 ) d) u ( - 4 ; 5 ) Question 6. Soient A, B et C trois points tels que AC = 7 et =.Alors : a) AC = 7 b) AC = - 7 c) AC et sont colinéaires. d) On ne peut rien dire de particulier.

4 Question 7. La droite d équation 2x y + 7 = 0 est parallèle à : a) d : x - 2y + 11 = 0 b) d : y = 2 x + 11 c) d : y = - 2 x + 4 d) d : y = - 2 x - 5 Question 8. Une équation de la droite ( ) passant par A ( - 5 ; ) et B ( 2 ; 7 ) est : a) - 4x + 7y +41 = 0 b) 4x 7y + 41 = 0 c) - 4x + 7y 1 = 0 d) 4x + 7y + 41 = 0 Question 9. On a représenté ci-dessous la courbe d une fonction polynôme du second degré f et sa tangente au point d abscisse 4. Alors : a) f ( 2 ) = - b) f ( 4 ) = 2 c) f ( 4 ) = - d) f ( 2,5 ) = 0 Question 10. La fonction f représentée ci-dessus est définie sur IR par f ( x ) = a ( x ) 2 + ; le discriminant de f ( x ) est. Alors : a) a < 0, < 0, < 0 et < 0 b) a < 0, > 0, < 0 et < 0 c) a > 0, > 0, < 0 et > 0 d) a < 0, > 0, > 0 et < 0 4

5 Annexe à rendre. Nom :... Grapique de l exercice 1 Tableau de réponses du QCM. Question réponse. Tableau de réponse pour l algoritme. valeur de t valeur de initialisation ère boucle 2 ème boucle test ( a + ) 2 a 2 - t > 10 -n validé? ( oui ou non) 5