Méthode des Eléments Finis MEF

Transcription

1 1 Méthod ds Elémnts Finis MEF Apprntissag ECN & Mastr SMA Structurs Bois ESB H. OUDIN MMGC SIM

2 Objctifs d ct nsignmnt Présntr ls princips d bas d la MEF Problèms élémntairs «comprndr» Formulations variationnlls «généralisr» Méthods numériqus «appliqur» Parcours pédagogiqu (sit Wb, poly) Trillis Portiqus Méthods variationnlls «EDP» Méthods numériqus MEFLAB

3 3 Projt pédagogiqu L étudiant st l actur principal d sa formation L parcours pédagogiqu st organisé n thèms Activités proposés Comprndr Apprndr Appliqur Validr Travail n Autonomi Supports pédagogiqus sur l WEB Vidéo & Présntations PowrPoint (sit) Polycopié + xrcics corrigés (sit) + QCM (sit) Exrcics (sit) MEFLAB (sit) Mapl Exrcics traités n TD

4 Projt pédagogiqu : Sit Wb 4 L mnu donn accès aux documnts Objctifs : Travail n autonomi Pouvoir réagir sur vos difficultés

5 5 Déroulmnt 14h d Cours TD n commun sur ls thèms : Trillis Portiqus Méthods variationnlls. Puis n sall informatiqu n différncié Apprntissag ECN utilisation d un cod d calcul industril 4h TD sur ls Méthods numériqus & 1h d projt : Pour abordr ls problèms d analys t d validation d modèl via ds xmpls simpls. Mastr SMA structurs Bois L outil numériqu Mflab 1h d projt : dimnsionnmnt d un systèm portur poutrs sous tndus t ls frms ou arcs articulés.

6 6 Méthod ds Elémnts Finis Qulqus xmpls d application

7 Rfroidissmnt d'un jant n alliag d'aluminium 7 L rmplissag, l rfroidissmnt, l transfrt d chalur d la pièc au moul, t la solidification sont modélisés. Laboratoir d métallurgi physiqu d l'epfl Ecol Polytchniqu Fédéral d Lausann

8 Apprntissag ECN & Mastr SMA Structurs Bois 8 SNCF Mannquin HYBRID III 50% déformabl Modèl élémnts finis du sièg impacté Didir LEVEQUE

9 En biomécaniqu 9 Intrfac os - prothès Articulation du gnou ligamnts, tndons, cartilags, ménisqus Jan ROYER - MMGC

10 «Orang II» Mat 45 m Voils 1000 m 110 Pids ( 37,80m ) 30 Tonns Carbon-Nomx 10 Dsign : Gills Ollir Gills MARCKMANN Laurnt GORNET - MMGC

11 ECN - SNECMA Modélisation d la prt d un aub dans un réactur 11 Laurnt STAINIER - MMGC

12 Élémnts finis t Lvl St mthod 1 Voir l sit d FEDKIW : Stanford Émili MARCHANDISE JF. REMACLE : UCL Nicolas CHEVAUGEON : MMGC

13 13 Méthod ds Elémnts Finis Etud ds Trillis F F Poutrs rliés par ds rotuls Traction - comprssion

14 Ls Trillis 14 Modèl barr N f dx N+ dn x «PFD»On isol un tranch dx x ρsudx = dn + fdx ] 0, [ N ESu «Comportmnt»,x = Equation local Ls conditions aux limits x Su ESu = f ESu ] [ ρ, 0, xx, x = N d() t sur D σ u = u d () t sur D u "EDP" Équations aux Dérivés Partills

15 Ls Trillis 15 Modèl barr f F F o 0 l u(m,t) «PTV»Princip ds Travaux Virtuls δ A = δw σ δε o xx xx Sdx avc δε σ xx = δ u, x = Eε = Eu xx xx, x δu ρsu δu dx = ESu,x δu,x dx + f δu dx + Foδu o+ Fδu o o o Formulation variationnll δ E d E ( ) d = ES u,x dx o

16 Equivalnc ds formulations "EDP" u EL x ] 0, [ ρsu ES f = 0 x 0 u P P ( ρsu ES f) dx= 0 x Ls Trillis 1 èr Form intégral Formulation fort 16 u u P u P ES dx = P ES ES dx x x x 0 x 0 0 P u u P PρSudx + ES dx = P ES + Pfdx x x x P CL δu "PTV"

17 Elémnt fini "Barr " Ls Trillis 17 i u i u j () j variabls nodals approximation linéair x o = x a1 (, ) () t u xt = a1+ a x= < 1, x> Maths a () t Idntification nodal x x ui () t u( x, t) = < 1, > Physiqu u j () t u = < N > { U } Approximation nodal x N1 ( x )= 1 N 1 N 1 x/l x N ( x)= x/l 0 1 Fonctions d intrpolation

18 Elémnt fini "Barr " Matric raidur élémntair Ls Trillis 18 d o T,x,x,x,x o δe = ESu δu dx = δu ES u dx T [ ],, K = < N > ES < N > dx x x o u,x, x Matric raidur élémntair [ K ] ui = < N > u j T T { δ } { } δe = U < N > ES < N > dx U d, x, x o ES 1 1 = 1 1

19 Elémnt fini "Barr " Ls Trillis Forc généralisé élémntair 19 i f j δt = f δudx 0 { δ } δu = < N > U T { δ } ( x) δt = U < N > f dx 0 T Forc généralisé élémntair { F } = f Pour un charg uniform f f i Charg nodal équivalnt j

20 Ls Trillis 0 Trillis D : Changmnt d bas { } T U = u v u v y o i i j j i x o () α j v i u i x u u i j = C 0 α S α 0 u u = < Cα Sα > v ui 0 0 vi C S u α α j v j T { U} = [ P]{ U} Pour l énrgi ES 1 1 E = U 1 1 U U U K Pour ls contraints ES ES uj ui N = ( uj ui) = < Cα Sα > vj vi T T T { } [ P] [ P]{ } = { } [ K ]{ } d [ ] avc [ A] [ A] [ A] [ A] ES = [ A] C C S α α α = CS α α Sα

21 Analys d un trillis Ls Trillis 1 y o x o a X 1 a F Y Y1 1 3 N nœuds vctur ds déplacmnts nodaux Conditions aux limits 6 inconnus T { U} = { u v u v u v } T { F} = { X Y 0 Y F 0 } DDL T Systèm réduit sur { U } = { v } rd u u 3 3 Assmblag ds matrics élémntairs [ K]{ U} = { F} 6 équations Résolution du systèm matricil { u u3 v 3} puis { X1 Y1 Y} Post traitmnt Efforts sur ls élémnts Efforts aux nouds Lois d comportmnt ES N = ( uj ui ) Equilibr d chaqu élémnt (4 équations)

22 A vous d jour Soyz actur d votr formation pour n profitr plinmnt Etudiz votr polycopié t Traitz au moins l xrcic d cours N En TD nous traitrons l xrcic TR-5 F F